К вопросу о симметричной задаче Лидстона
Преобразования Э. Бореля и формулы Ю.В. Сохоцкого. Предложение 1 и критерий полноты С. Банаха. Предложение 2 и теорема Шаудера-Тихонова. Вопрос о полноте в полосе. Однородная симметричная задача Лидстона. Главная ветвь логарифма и функции Лидстона.
Рубрика | Математика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 09.01.2012 |
Размер файла | 230,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского»
Механико-математический факультет
Кафедра теории функций
Курсовая работа на тему
«К вопросу о симметричной задаче Лидстона»
Исполнитель:
студентка группы 643
Ушакова А.С.
Руководитель:
Доцент Андрианов В.Л.
Нижний Новгород
2011 г.
Содержание
Введение
1. Некоторые необходимые теоретические факты
1.1 Преобразования Э. Бореля
1.2 Формулы Ю.В. Сохоцкого
2. Предложения общего характера о полноте систем
2.1 Предложение 1 и критерий полноты С. Банаха
2.2 Предложение 2 и теорема Шаудера-Тихонова
2.3 Предложение 3 и пример
3. Симметричная задача Лидстона
Список литературы 15
Введение
Данная работа примыкает к статье Юрия Алексеевича Казьмина “Об одном геометрическом признаке полноты” из математического сборника от 1976г. В котором доказаны два следующих утверждения:
1) Система функций (1) , полна в , если .
2) Если выпуклый компакт , то система (1) неполна в .
множество аналитических функций в односвязной области D. дважды симметричные множества, т.е. симметричное множество S при несимметричном отображении w переходит в симметричное множество.
Хорошо известна задача Лидстона:n ребуется восстановить функцию , удовлетворяющая условиям ; которой занимались такие ученые как Боас, Гельфонд Казьмин.
В своей работе рассмотрела конечноразностный аналог этой задачи: . Представленная мной задача представляет интерес т.к. от соизмеримости параметра h и точек решение будет изменяться.
1. Некоторые необходимые теоретические факты
1.1 Преобразования Бореля
Функция ее радиус сходимости . Функция называется целой, если она регулярна во всей конечной плоскости, для нее и следовательно .
Целая функция - конечного порядка если , что для , где .Нижняя грань множества называется порядком функции..Если не существует таких , то целая функция бесконечного порядка.
Если имеет порядок , то имеет конечный тип при порядке , если .Нижняя грань множества таких называется типом функции. .Если не существует таких , то имеет бесконечный тип.
Теорема Бореля. Пусть целая функция конечного порядка , ее нули, показатель сходимости последовательности , наименьшее целое число, удовлетворяющее условию .Тогда имеет место выражение , где многочлен, причем .
Целая функция называется целой функцией экспоненциального типа, если или и конечен.
Пусть сходиться при , на границе у существует хотя бы 1 особенность. называется ассоциированной по Борелю.
Свойства 1) , то , где целые функции экспоненциального типа и ассоциированные по Борелю для .
2).
целая функция экспоненциального типа, ассоциированная по Борелю с , тогда выпуклая оболочка множества особых точек функции называется сопряженной диаграммой.
Индикатором имеющей называется функция .Выпуклый компакт , для которого является опорной, называется индикаторной диаграммой.
Пусть целая функция экспоненциального типа, ассоциированная по Борелю с , D сопряженной диаграммой, тогда , где С замкнутый контур охватывающий D.
1.2 Формулы Сохоцкого
Рассмотрим вопрос о существовании предельных значений интеграла типа Коши на контуре интегрирования, а также установить связь между ними и особым интегралом.
Пусть , где удовлетворяет условию Гёльдера. Будем считать контур замкнутым и гладким. В случае, если контур окажется незамкнутым, мы дополним его какой-нибудь кривой до замкнутого, положив на этой дополнительной кривой .
Для исследования предельных значений в некоторой точке контура возьмем функцию Обозначим , предельные значения аналитических функций при стремлении точки изнутри к точке контура, а , - при стремлении извне. (Для незамкнутого контура это соответствует предельным значениям слева и справа.) Чтобы подчеркнуть направление перехода к пределу, будем писать соответственно или . Значения соответствующих функций в точке контура будем обозначать просто , причем будет обозначать особый интеграл понимаемый в смысле главного значения. Исходя из равенств будем иметь
Так как функция непрерывна, то правые части написанных равенств совпадают, т. е. Отсюда окончательно получаем
Эти формулы, полученные впервые в 1873г. русским математиком Ю. В. Сохоцким, называются формулами Сохоцкого.
Теорема. Пусть - гладкий контур (замкнутый или незамкнутый) и -функция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера. Тогда интеграл типа Коши имеет предельные значения во всех точках контура , не совпадающих с его концами, при приближении к контуру слева или справа по любому пути, и эти предельные значения выражаются через плотность интеграла и особый интеграл по формулам Сохоцкого (1).Вычитая и складывая формулы (1), получим пару равносильных им формул и . Известно, что является необходимым для представления кусочно аналитической функции интегралом типа Коши. Легко вывести, что оно является также и достаточным. В самом деле, пусть - краевые значения кусочно аналитической функции, удовлетворяющие условию Гёльдера. Тогда, взяв плотность интеграла типа Коши в виде , на основании формул Коши ( если аналитическая в и непрерывная в если же аналитическая в и непрерывная в то ) и с учетом будем иметь
2. Предложения общего характера о полноте систем
2.1 Предложение 1 и критерий полноты С.Банаха
Критерий полноты С. Банаха. Необходимым и достаточным условием полноты последовательности в А(D) является единственность решения в следующей бесконечной системы уравнений
Предложение 1.Система функций (1)
полна в А(D),если
Доказательство (от противного)
Предположим что система (1) неполна в А(D),несмотря на то, что .Тогда согласно критерию полноты С.Банаха существует
, такая, что. (2)
Пусть . Из (2) следует соотношение
(3)
Обозначим через множество особенностей функции . Заметим, что ввиду четности или нечетности , всегда компакт , и по крайней мере один из компактов , не пуст.(так как по крайней мере одна из функций отлично от тождественного нуля.) Равенство (3) эквивалентно (4)
Где Z(w)-функция, обратная к W(z), а контуром интегрирования служит любая замкнутая жорданова кривая Г, обладающая свойствами Представим функцию в виде где голоморфна в , а голоморфна в и обращаются в нуль на бесконечности. Тогда из (4) следует (5)
Функция Z'(w) не обращается в нуль в области D. Поэтому множество особенностей функции таково: Соотношения (5) говорят о том, что является четной функцией, а поэтому Так как по крайней мере хотя бы один из компактов не пуст, следовательно , что противоречит условию. Предложение доказано.
2.2 Предложение 2 и теорема Шаудера-Тихонова
Теорема Шаудера-Тихонова В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение выпуклого компактного множества K в себя имеет неподвижную точку.
Предложение 2. Если существует выпуклый компакт, то система (1) неполна в A(D).
Доказательство.
Пусть существует выпуклый компакт. Покажем что, система (1) неполна в A(D). Возьмем любое . Тогда точка тоже принадлежит K(так как ), а точка принадлежит образу W(K), который тоже принадлежит S, ввиду того, что согласно сделанному предположению . Но тогда отображение (6)
является непрерывным отображением выпуклого компакта K в себя. По теореме Шаудера-Тихонова в этом случае существует, по крайней мере одна неподвижная точка отображение (6). Но тогда в необходимо выполнено соотношение (7)
Если то из (7) следует, что W(0)=0. Поэтому функция , очевидно, удовлетворяет равенствам , n=0,1,2,..Если же то для функции справедливы соотношения
Ибо согласно (7), Поэтому и в том, и в другом случаях в рассматриваемой ситуации существует являющаяся не тривиальным решением бесконечной системы линейных уравнений (2). Но тогда система (1)неполна в А(D) по критерию полноты С.Банаха. Предположение 2 доказано.
2.3 Предложение 3 и пример
Предложение 3. Если W(z) принимает действительные значения при и существует компакт такой, что выпуклое множество, то система (1) не полна в А(D)
Доказательство. Аналогично предложению 2.
Хорошо известно, что любая целая функция экспоненциального типа F(z) представима в виде (8)
где функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, а контур интегрирования Г в (8) есть любая замкнутая жорданова кривая, выбранная так, что множество особенностей функции (всегда компакт) лежит в области . Обозначим через класс целых функций экспоненциального типа, определяемый соотношением
что очевидно эквивалентно следующему . Таким образом левые части (2) могут быть рассматриваемы как значения линейных функционалов над . И с этой точки зрения предложения 1-3 могут быть трактованы, как соответственно теоремы о единственности и не единственности решения интерполяционной задачи (9)
В классе целых функций , что будет использовано ниже. Сказанное в равной мере относиться и к интерполяционным задачам вида (9), рассматриваемым в классах целых функций , представляемых в виде
где - функция сравнения (), а
Пример. Рассмотрим вопрос о полноте в полосе системы экспонент В этом случае функция конформно и однолистно отображает полосу на правую полуплоскость . Очевидно, что . Согласно предложению 1 система , полна в . Отсюда используя соображения заключительной части раздела 1, приходим к выводу, что любая , обращающаяся в нуль в целых точках, тождественно равна нулю. Вместе с тем, если разрешить функции , ассоциированной по Борелю с целой функцией экспоненциального типа F(z), иметь особенности на множестве , то пример функции (множество особенностей ассоциированной с ней по Борелю функции состоит из точек ), обращающейся в нуль при любом , показывает, что в этом случае единственности нет. Вместе с тем компакт лежит в полосе , а является выпуклым множеством, что согласно предложению 3 говорит о том что, система , не полна в при .
3. Симметричная задача Лидстона
Прежде всего, условимся об обозначениях. Класс целых функций роста не выше порядка типа обозначим символом [;], а пространство функций, аналитических в круге , значком А(). Пусть заданы последовательности комплексных чисел ,и существует функция , удовлетворяющая условиям . Требуется восстановить функцию
Рассмотрим однородную симметричная задачу Лидстона. Напомним оператор конечно разности:
Пусть существует функция , удовлетворяющая условиям . Рассматривается вопрос о полноте данной системы.
Напомним оператор конечно разности:
...
Используем преобразование Бореля для функций экспоненциального типа , где - ассоциированная по Борелю с , . Известно, что регулярна в окрестности , , где -экспоненциальный тип функции . Контур интегрирования содержит внутри себя множество особых точек функции .Тогда однородные интерполяционные условия могут быть записаны в равносильном виде
, (1)
где контур с учетом теоремы Полиа содержится в полосе и содержит внутри себя сопряженную диаграмму искомой функции .
Выполняя замену t на -t . множество особых точек функции симметрично относительно начала координат, значит
Выполняя в интегралах (1) замену , получаем
(2)
(главная ветвь логарифма и функции )
Размещено на http://www.allbest.ru/
где интегрирование ведется по контуру , содержащему внутри образ в сопряженной диаграммы .
Отметим, что все предполагаемые особые точки подынтегральной функции (2) в плоскости с разрезом содержится в . Представим функцию в виде
(3)
функций регулярной внутри и регулярной вне , С учетом интегрально теоремы Коши получаем . Тогда Поскольку особые точки функции содержаться внутри контура то контур можно деформировать в окружность достаточно большого радиуса R. Тогда функция допускает разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, т.к равномерно сходящийся изнутри области . подставим полученное разложение в функцию
Пусть и получим . то. Аналогично для других n, . Откуда следует четная, тогда контур тоже считаем симметричным относительным начала.
Тогда симметричности относительно начала координат, т.е. . По теореме 2 из того что , следует что система не полна и будет существовать не тривиальное решение.
максимальная точка на вещественной оси, , следовательно . Перейдем обратно он w к t
Размещено на http://www.allbest.ru/
симметричная задача лидстон
Список литературы
1. Whittaker J.M. On Lidstone's series and two-point expansions of analytic functions. “Proc. London Math. Soc.”, 2, 36, 451-469,1933-1934
2. Boas R.P. Representation of functions by Lidstone series. “Duke Math. J.”, 10, 239-245, 1943.
3.Казьмин Ю.A. Задача Лидстона и ее обобщения, М., “Вестник московского университета №6”, 40-50, 1996.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М., Гостехиздат, 35-37,97-102, 1958.
5. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., “Наука”,42-52,1983.
6. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., “Гостехиздат”, 240-245, 1959
7.Казьмин Ю.А. Признак полноты, “Математический сборник”, том100(142),1976
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.
реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011Утверждение великого французского математика Пьера Ферма, получившее название "Великая теорема Ферма". Элементарные алгебраические преобразования многочленов. Коэффициенты полиномов Чебышева и формулы Абеля. Система наименьших вычетов по модулю K.
книга [150,6 K], добавлен 07.01.2011Выпуклые множества. Выпуклый функционал или функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал Минковского. Доказательство теорем Хана-Банаха и отделимости.
курсовая работа [501,1 K], добавлен 18.05.2016Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Исторические аналоги современных определений логарифма как средства вычислений. Интегральные методы XVII века, нахождение площади под гиперболой. Современное интегральное определение логарифма. Определение элементарных функций с помощью интеграла.
курсовая работа [255,2 K], добавлен 04.09.2014Логарифм как многозначная функция. Обозначение главного значения логарифма. Свойства логарифма на случай комплексного аргумента. Понятие обратных тригонометрических функций (арккосинуса, арктангенса, арккотангенса), практические примеры их вычисления.
презентация [171,6 K], добавлен 17.09.2013Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.
курсовая работа [265,0 K], добавлен 12.10.2010Способы построения искусственного базиса задачи. Выражение искусственной целевой функции. Математическая модель задачи в стандартной форме. Получение симплекс-таблиц. Минимизации (сведения к нулю) целевой функции. Формы преобразования в задаче равенства.
задача [86,0 K], добавлен 21.08.2010Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010