Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

Знаменною подією в історії розвитку математики була поява класичного твору Евкліда «Начала», де систематично викладено геометрію приблизно в такому обсязі, в якому вона тепер вивчається у середній школі.

Крім того, у ньому розглянуто подільність чисел та розв'язування квадратних рівнянь. У ІІІ ст. до н.е.

Архімед знайшов спосіб визначення площ, об'ємів і центрів, мас різних простих фігур. Наприкінці ІІІ ст. до н.е. Аполлоній написав книгу про властивості деяких чудових кривих - еліпса, гіперболи та параболи.

Але найпопулярнішою та найвідомішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса, значення.

Теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості.

Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень. Використовуючи її, можна обчислити у планіметрії діагональ квадрата і прямокутника, висоту, медіану, бісектрису рівностороннього або рівнобедреного трикутника, висоту рівностороннього трикутника, радіуси вписаного і описаного кіл правильного трикутника, рівнобедреного трикутника тощо.

Теорема Піфагора використовується при розв'язанні трикутників, у теорії площ.

У стереометрії теорема Піфагора застосовується при обчисленні висоти, ребра або апофеми правильної піраміди, при вивченні многогранників, тіл обертання та їх комбінацій.

Перелічити з достатньою повнотою всі випадки, де використовується теорема Піфагора в геометрії, неможливо. Вона має не лише теоретичний характер, а й широко використовується на практиці при розрахунках покрівель дахів, верхніх частин вікон у будинках готичного і романського стилю, паркетуванні підлоги тощо.

З теореми Піфагора випливає чимало наслідків, які є її вінцем, зокрема:

- у прямокутному трикутнику будь - який катет менший від гіпотенузи;

- косинус кута а менше одиниці для будь - якого гострого кута а;

- якщо до прямої з однієї точки провести перпендикуляр і похилі ,то похилі більші перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції; з двох похилих більша та, у якої проекція більша.

Сама теорема Піфагора є наслідком теореми : косинус кута залежить лише від градусної міри кута.

Тому, якщо теорему Піфагора «вплести» у вінок її наслідків, то отримаємо вінок наслідків теореми про косинус кута.

Фалес уже знав властивості подібних фігур, принаймні рівнобедрених прямокутних трикутників. Найбільшим досягненням його в математиці було введення у геометрію ідеї доведення. Геометрія як наука, в якій усі твердження доводились на основі аксіом, починає розвиватися саме в Іонійській школі. У галузі астрономії Фалесу і його учням приписують визначення тривалості року (365 днів), думку про те, що Земля є серединою Всесвіту і має кулясту форму.

ДОДАТОК

Бернуллі Иоганн (1667-1748 р.) Швейцарський математик. Був співробітником Лейбница в розробці диференціального й інтегрального обчислень, в області яких їм був зроблений ряд відкриттів. Дав перший систематичний виклад диференціального й інтегрального обчислень, просунув розробку методів рішення звичайних диференціальних рівнянь, поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів їхнє диференціальне рівняння.

Больцано Бернард (1781-1848 р.)Чеський математик, філософ, теолог. Першим (1817) висунув ідею арифметичної теорії дійсного числа. У його творах можна знайти ряд фундаментальних понять і теорем аналізу, зв'язуються звичайно з більше пізніми дослідженнями інших математиків. В “Парадоксах нескінченного” (изд.1851) Больцано з'явився попередником Кантора в дослідженні нескінченних безлічей.

Даламбер Жан Лерон (1717-1783 р.)Французький математик, механік філософ. Основні математичні дослідження ставляться до теорії звичайних диференціальних рівнянь. Дав (1748) метод рішення диференціального рівняння другого порядку із частками похідними, що виражає малі коливання нескінченної однорідної струни (хвильового рівняння), у вигляді суми двох довільних функцій. Йому належать також важливі результати в теорії звичайних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами й систем таких рівнянь першого й другого порядків. У теорії рядів його ім'я носить широко вживана достатня ознака збіжності. В алгебрі дав перше (не цілком строге) доказ основної теореми про існування кореня в алгебраїчного рівняння. Багато праці вклав в “Енциклопедію наук, мистецтв, ремесел”, для якої він написав всю фізико-математичну частину.

Декарт Рене (1596-1650 р.)Французький філософ, математик, фізик. Він є одним з основоположників аналітичної геометрії. У його головній математичній праці “Геометрія” (1637) уперше уведена поняття змінної величини, створений метод координат (декартовы координати), уведені загальноприйняті тепер значки для змінних величин (x,y,z,...) буквених коефіцієнтів (a,b,c,...), ступенів (x3, a5,...). Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь; сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних корінь (правило Декарта); порушив питання про границі дійсних корінь і висунув проблему приводимости (подання цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді добутку двох функцій такого ж роду); указав, що рівняння третього ступеня розв'язно у квадратних радикалах і його коріннях перебувають за допомогою циркуля й лінійки, коли воно приводимо.

Дирак Поль Адриен Моріс (1902-1984 р.)Англійський фізик-теоретик, один із засновників квантової механіки. Основні праці в математику по функціональному аналізі й математичній фізиці (рівняння Дирака, функція-дельта-функція Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелівська премія (1933).

Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 р.)Німецький математик. Основні праці по теорії чисел і математичному аналізу. Уперше точно сформулював і досліджував поняття умовної збіжності ряду (так звана ознака Дирихле), дав (1829) строгий доказ можливості розкладання в ряд Фур'є функцій, що має кінцеве число максимумів і мінімумів.

Лейбниц Готфрид Вільгельм (1646-1716 р.)Німецький математик, фізик, філософ, винахідник, історик, мовознавець. У математику його найважливішою заслугою є розробка (поряд з Ньютоном) диференціального й інтегрального обчислення. Дав визначення диференціала й інтеграла, розробив правила диференціювання суми, різниці, добутку, частки будь-якого постійного ступеня, дав визначення екстремальних крапок і крапок перегину, установив взаємно зворотний характер основних операцій аналізу - диференціювання й інтегрування. Заклав основи теорії рядів і теорії диференціальних рівнянь. Їм запропоновані математичні символи й терміни, що ввійшли в загальне застосування - функція, диференціал, диференціальні рівняння, алгоритм, координати, алгебраїчні й трансцендентні криві, модель і ін. Винайшов рахункову машину й перший інтегруючий механізм, передбачив деякі ідеї матлогики, виклав початку теорії визначників.

Лобачевский Микола Іванович (1792-1856 р.)Російський математик. Творець (1826) неевклідової геометрії. Дав (1834) метод наближеного рішення алгебраїчних рівнянь вищих ступенів; вніс значний вклад у теорію визначників. В області аналізу Лейбниц одержав нові результати в теорії тригонометричних рядів. Їм же встановлений один з найбільш зручних методів наближеного рішення рівнянь (метод Лобачевского).

Ньютон Исаак (1643-1727 р.) Англійський фізик, математик, механік і астроном. Одночасно з Лейбницем, але незалежно від нього, розробив диференціальне й інтегральне обчислення. Створюючи математикові безперервних процесів, Ньютон в основу поняття флюксии (похідній) і флюенты (інтеграла). У роботі “Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченним числом членів” (1669, опубл.1711) даний метод обчислень і обчислень функцій - наближення нескінченними рядами, що мав згодом величезне значення для всього аналізу і його додатків. У цій же праці викладений метод чисельного рішення алгебраїчних (метод Ньютона). Найбільш повний виклад диференціального й інтегрального обчислення втримується в трактаті “Метод флюксий і нескінченних рядів” (1670-71, опубл.1736), у якому в механічних і математичних вираженнях сформульовані обидві взаємно зворотні завдання аналізу, застосований метод флюксий, до многим геометричних завдань, вирішені завдання інтегрування звичайних диференціальних рівнянь шляхом подання рішення у вигляді нескінченного статечного ряду, дана формула (біном Ньютона) для будь-якого дійсного показника.

Репетуємо Никола (близько 1323-1382 р.) Французький математик, фізик і економіст. Довів (ок.1350) расходимость гармонійного ряду. В 1368 р. виклав вчення про ступінь із дробовими показниками. Написаний ним “Трактат про сферу” зіграв значну роль у розробці французькій наукової (астрономічної й географічної) термінології.

Соболєв Сергій Львович (рід. в 1908р.) Радянський математик. Основні праці по теорії рівнянь із частками похідними, математичній фізиці, функціональному аналізу й обчислювальній математиці. Запропонував новий метод рішення гіперболічних рівнянь із частками похідними, спільно зі Смирновим В.И. розробив метод інваріантних-функціонально-інваріантних рішень для динамічних коливань шаруватих середовищ. Їм почате систематичне застосування функціонального аналізу в теорії рівнянь із частками похідними. Їм же уведений клас функціональних просторів і досліджене співвідношення вкладення для просторів. Увів поняття узагальненого рішення рівняння із частками похідними й дав перше (1935) строге визначення узагальненої функції; за допомогою цих понять розглянув деякі крайові завдання для рівняння із частками похідними. В області обчислювальної математики Соболєв увів поняття обчислювальних алгоритмів, що замикаються, дав точну оцінку норм погрішності кубатурных формул.

Ферма Пьер (1601-1665 р.)Французький математик. Одержав важливі результати в теорії чисел, алгебрі, геометрії, теорії імовірності. Автор ряду видатних робіт. Ферма є одним із творців теорії чисел, з його ім'ям зв'язані велика й мала теореми Ферма. Разом з Декартом є основоположником аналітичної геометрії. В області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання статечної функції, що поширив на будь-які раціональні показники.

Фур'є Жан Батист Жозеф (1768-1830 р.) Французький математик. У праці “Аналітична теорія тепла” (1822р.) вивів диференціальне рівняння теплопровідності й розробив метод його інтегрування при різних

ділянках різними аналітичними вираженнями. Розвив запропонований Даламбером для рішення хвильового рівняння метод поділу (метод Фур'є) змінних для вивчення завдань про коливання струни й теплопровідності стрижня.

Эйлер Леонард (1707-1783 р.) Математик, фізик, механік, астроном. Народився у Швейцарії. Більше 30 років працював у Петербурзької АН. Список його праць містить близько 850 назв, у їхньому числі кілька багатотомних монографій по всіх основних розділах сучасної йому математиці і її додаткам. Заклав основи декількох математичних дисциплін. Перший систематично ввів у розгляд функції комплексного змінного, вивів (1743) формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовими. Эйлер створив, як самостійну дисципліну, теорію звичайних диференціальних рівнянь, і заклав основи теорії рівнянь із частками похідними. Його ім'я носять підстановки Эйлера (1768) при заміні змінних у спеціальних інтегралах, Эйлеровы інтеграли (1731), метод ламаних Эйлера (1768) у чисельному рішенні звичайного диференціального рівняння, Эйлеровы кути (1748) у перетворенні координат, функція й теорема Эйлера (1763) у теорії чисел, пряма Эйлера (1765) у трикутнику, теорема Эйлера для опуклого багатогранника (1758), Эйлерова характеристика різноманіття, завдання Эйлера про Кенигсбергских мости (1736).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Апостолова Г. В. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. - Київ: Генеза, 2005. - 256с.

2.Видатні вчені. Ілюстрована енциклопедія для дітей.- Харків:ТОВ, 2010.-80с.

3.Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф., Єршов С. В. Геометрія 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов. - Харків: АН ГРО ПЛЮС, 2008. - 256с.

4.Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії [Текст] / І. А. Кушнір. - Київ: Факт, 2000. - 280с. - (Серія «Математичні обрії України»).

5.Кушнир И. А. Популярные доказательства теоремы Пифагора [Текст] / И.А.Кушнир. - Харьков: Вид.група «Основа», 2007. - 36 с. - ( Б-ка журн. «Математика в школах України»)

6.Математична хрестоматія для 6-8 класів. Т. 1 [Текст]. - Київ: Радянська школа, 1968. - 320с.

7.Литцман В. Теорема Пифагора [Текст] / В. Литцман; под ред. И.М.Яглома; пер. с нем. В.С. Бермана. - 3-е изд. - Москва: Физматгиз, 1960. - 114 с.

8.Погорєлов О. В. Геометрія: Підручник для 7 - 11 класів середньої школи / О.В. Погорєлов. - Київ: Радянська школа, 1991. - 352с.

9. У світі математики: Збірник наук.-популярних статей/ за ред.М.Й.Ядренка.- К: Школа, 2003.-255с., іл.

10. http://google.com.ua/

11. http://uk.wikipedia.org/

Размещено на Allbest.ru