Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕМА, ЩО НЕ ВТРАТИЛА АКТУАЛЬНІСТЬ НАПРОТЯЗІ ТИСЯЧОЛІТЬ

1.1 Теорема Піфагора, історія та різні формулювання теореми

1.2 Доведення теореми Піфагора

РОЗДІД 2. ДЕЯКІ ІМЕННІ ТЕОРЕМИ ТА ФОРМУЛИ МАТЕМАТИКИ

2.1.Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

2.2 Формула Герона в шкільному курсі геометрії

2.3.Теорема Вієта

ВИСНОВКИ

ДОДАТКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАННОЇ ЛІТЕРАТУРИ

теорема формула доказ піфагор

ВСТУП

Сучасний період розвитку суспільства, оновлення всіх сфер його соціального і духовного життя потребує якісно нового рівня освіти, який відповідав би міжнародним стандартам. Учні повинні навчитись отримувати нові знання (у найрізноманітніших формах), застосовувати математику як інструмент для розв'язування прикладних задач.

Дійсність така: всі сходяться на думці, що у ХХІ столітті мета шкільного курсу математики - внести той вклад в розвиток особистості, який здатна внести лише математика.

Математика відіграє унікальну роль, ставлячи такі цілі:

а) забезпечити (враховуючи бурхливий розвиток і входження віртуальних засобів у діяльність особистості) уміння аналізувати ситуації, швидко реагувати на зміни в суспільстві, і в моральному плані математично освічена особистість - це людина, яка сама собі хибити не буде; і культуру роботи з поняттями, і увагу до тексту, і систему мислення, які в математиці даються для загального розвитку;

б) мета соціальна - створити в країні такі можливості, щоб особистість, яка захопилася математикою, могла почувати себе комфортно та могла розвиватися достатньо необмежено - при цьому бути потрібною і морально, і матеріально;

в) змінити ставлення до математики.

Математика вчить мислити, ставить перед людиною складні проблеми, розуміти в чому суть проблем. За нашою, українською, ментальністю, потрібні дуже глибоко мислячі люди, що здатні розв'язувати найскладніші проблеми, які стоять перед країною - їх шукати потрібно серед математиків.

Людям окрім всього іншого необхідно придумати модель, за якою буде існувати людство. Це потребує величезних затрат інтелектуальної сили - елітарної математичної освіти.

Математик - це можливість піддавати сумніву, вагатися, обов'язковість вимог доведення.

Сьогодні інша ситуація. Сьогодні треба навчати так, щоб дитина відчувала розвиток, отримувала задоволення від такого відчуття, що вона переборює складнощі навчання для свого розвитку. Це значно важче, і не кожен готовий або може витрачати значні зусилля для освоєння математики.

Математика - це частина світової культури. Що повинно отримати суспільство від математичної освіти, чого воно недоотримує?

Від математики суспільству не вистачає: культури людських відносин, дослідницької культури. Водночас, математика показує: що таке взагалі дослідження, об'єктивність, справедливість доведень, чуття математичної мови, логіка мислення.

Математичне мислення є частиною загальнолюдського мислення, а тому мова викладу навчального матеріалу повинна відповідати гуманітарному підходу, не виключаючи історичної основи.

Як відомо, геометрія виникла з практичних задач. Часто виникає практична необхідність визначити об'єм чи поверхню об'єктів побуту, дослідити їх взаємне розташування та визначити оптимальні розміри. Встановлено, що кожний десятий винахід робиться із застосуванням геометрії за рахунок вибору зручної форми, вдалого розташування тощо.

Інженерам, архітекторам, будівельникам, дизайнерам, модельєрам необхідні ґрунтовні знання геометрії. Отже, маємо показати реальну користь геометричних знань, використовувати геометричний матеріал для ознайомлення учнів з виявленням їх властивостей у природі, тобто вироблення «геометричного бачення» навколишнього світу.

Дослідження є первинним видом інтелектуальної діяльності людства. Не можна проникнути в суть геометрії, якщо не бачити краси геометричних форм, формул, тверджень.

Математику в число предметів викладання ще в першій половині IV ст. до н. е. ввів старогрецький філософ Платон. Видатний український і російський математик М. Остроградський розумів наскільки важливо для педагога вміти зацікавити предметом. Він писав: «І ми нічим не нехтуємо, щоб прищепити учневі смак, навіть пристрасть до навчання».

Математика займає особливе місце у системі знань людства, виконуючи роль універсального та потужного методу сучасної науки.

Особливе значення для формування і розвитку геометричного мислення мають прийоми діяльності, образного мислення, дослідницької діяльності.

Актуальність вибору теми дослідження зумовлена соціально-педагогічними факторами, бурхливим розвитком нових інформаційних та мультимедійних технологій.

Роль історичної змістової лінії у реалізації прикладної спрямованості навчання математики без перебільшення є визначальною.

Теореми і задачі, пов'язані з ними, сприяють цілеспрямованому розвитку математичного мислення, вдосконалють і збагачують прийоми пізнавальної діяльності.

Історична змістова лінія математичного матеріалу має великий потенціал у формуванні логічного мислення та дослідницьких умінь учнів.

Зважаючи на те, що дослідницький підхід у навчанні має великий попит у сучасному суспільстві, можна стверджувати, що ця змістова лінія є ефективним шляхом впровадження цього підходу.

Метою дослідження є визначення основних теорем шкільного курсу «Математики», дослідження можливостей формування та розвитку як мислення взагалі, так і окремих його видів, особливостей їх використання у освітній системі для формування інтелектуального розвитку особистості.

Концептуальна ідея дослідження даної проблеми полягає у реалізації прикладної спрямованості навчання математики, забезпеченні цілісності курсу «Математики».

Математика, як наука, виникла із практичних потреб людини, буде змінюватися надалі, пристосовуючись до потреб науки та навколишнього світу.

Використання прикладного змісту іменних теорем для вивчення шкільного курсу «Математики», як об'єкту дослідження, сприятиме розв'язанню низки проблем модернізації особистісно-орієнтованої педагогічної освіти, визначенню чинників, закономірностей та умов формування інтелектуального розвитку особистості у процесі їх навчання, як предмету дослідження.

Основне завдання - розкриття можливостей іменних теорем математики, як засобу дослідження причинно-наслідкових зв'язків, які дозволяють аналізувати процеси і явища, прогнозувати їх поведінку у майбутньому, оптимізувати їхні параметри.

Практичне використання результатів дослідження для організації навчального процесу по вивченню іменних теорем, допоможе розв'язати дидактичні завдання уроку.

Посилення уваги до доведення теорем і розв'язування задач на доведення мотивується тим, що теореми - є логічним стержнем усього курсу геометрії. Така робота над теоремою вимагає від учня тільки запам'ятовування готових даних і не спонукає його до активної розумової діяльності.

Розділ 1. ТЕОРЕМА, ЩО НЕ ВТРАТИЛА АКТУАЛЬНІСТЬ НАПРОТЯЗІ ТИСЯЧОЛІТЬ

1.1 Теорема Піфагора, історія та різні формулювання теореми

Теорема Піфагора є одним із ключових інструментів для розв'язування задач в евклідовій геометрії. В шкільному курсі математики передбачається доведення теореми Піфагора одним із способів. Першочергового розгляду заслуговують стародавні доведення, що дійшли до наших часів.

Теорема Піфагора прийшла до нас через віки. Вона має надзвичайно широке застосування, незважаючи на той факт, що стосується лише прямокутного трикутника і є частинним випадком теореми косинусів. А тому теорема Піфагора не втратила актуальності і сьогодні.

Вивчення різних доведень одніє і тієїж теореми сприяє до свідомого та більш глибокого сприйняття вивченого впродовж курсу геометрії, розвитку логічного мислення та формуванню загальної математичної культури.

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки мистецтва стала Іонія-група островів Егейського моря, біля берегів Малої Азії. Там у сім'ї золотих справ майстера Мнесарха народився син. За давньою традицією Парфеніса, мати немовляти, приймає ім'я Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери.

Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Як і будь-який батько, Мнесарх мріяв, що син буде продовжувати його справу - ремесло золотих справ майстера. Життя вирішило інакше.

Майбутній математик та філософ вже в дитинстві вявив велику здатність до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для покращення пам'яті Гермодамас примушував його вивчати пісні з “Одіссеї” та “Іліади”. Перший вчитель навчив Піфагора любити природу та вивчати її таємниці.

Пройшло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити навчання в Єгипті, у жреців. Потрапити до Єгипту у той час було дуже важко, тому що країну практично закрили для греків. За допомогою вчителя Піфагору вдається залишити острів Самос. Але поки що до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом - другом Фалеса.

У Ферекіда Піфагор навчається астрології, таємницям чисел, медицині та іншим обов'язковим на той час наукам. Піфагор прожив на Лесбосі кілька років. Звідти шлях Піфагора лежить у Мілет - до відомого Фалеса, засновника першої в історії філософської школи.

Піфагор уважно слухає в Мілеті лекції Фалеса, якому на той час було вже 80 років, та його учня Анаксімандра, відомого географа й астронома. Багатьма важливими знаннями оволодів Піфагор за час свого навчання в Мілетській школі. Але Фалес теж радить йому поїхати до Єгипту, щоб продовжити навчання. І Піфагор відправляєтья у дорогу.

Перед Єгиптом він на деякий час зупиняється у Фінікії, де, за легендою, навчається у відомих сідонських жреців. Поки він живе в Фінікії, його друзі добилися того, щоб Полікрат - власник Самоса, не лише вибачає втікача, але навіть посилає йому рекомендаційного листа для Амазіса - фараона Єгипту. В Єгипті завдяки допомозі Амазіса Піфагор знайомиться з мемфійськими жрецями. Йому вдається потрапити в єгипетські храми, куди чужоземців не пускали. Щоб прилучитися до таємниць єгипетських храмів, Піфагор приймає посвячення в сан жреця.

Згідно старовинним легендам, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався з персидськими магами, прилучився до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, які збиралися східними народами протягом багатьох віків: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою. Ці науки у халдеїв у значній мірі спиралися на уявлення про магічні та надприродні сили, вони надали певне містичне звучання філософії та математиці Піфагора... Дванадцять років знаходився у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, прочувший про відомого грека. Піфагору вже 60, він вирішує повернутися батьківщину, щоб прилучити до набутих знань свій народ.

Багато зробив вчений і для геометрії. Доведена Піфагором знаменита теорема носить його ім'я. Достатньо грунтовно дослідив Піфагор і математичні відношення, закладаючи тим самим основи теорії пропорцій.

Піфагорійці вважали, що всі тіла складаються з найменших частинок - “одиниць буття”, які в різних сполученнях відповідають різним геометрчним фігурам. Число для Піфагора було і матерією, і формою всього світу. З цього уявлення виходила і основна теза піфагорійців: “Усі речі - сутність числа Піфагор з його наслідувачами своїми працями заклали основу однієї дуже важливої області математики - теорії чисел.

ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

Теорема Піфагора -- одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

Теорема звучить наступним чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Класичне формулювання теореми Піфагора:

Якщо сторони прямокутного трикутника є сторонами квадратів, то площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.



Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

Теорема Піфагора: a² + b² = c²

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

Історія теореми Піфагора

У Франції і деяких областях Німеччини в середні віки теорему Піфагора називали «ослиним мостом», тому що доведення цієї теореми було величезною перешкодою, так званим мостом, перейти який могли тільки розумні учні. У математиків арабського Сходу ця теорема одержала назву «теореми нареченої». Справа в тому, що в деяких списках «Начал» Евкліда ця теорема називалася «теоремою німфи» за подібність креслення з метеликом, що грецькою звався німфою. Але цим словом греки називали деяких богинь, а також наречених. При перекладі арабський перекладач, не звернувши уваги на креслення, перевів слово «німфа» як «наречена», а не «метелик». Так з'явилася назва «теорема нареченої». А відома всім школярам назва «Піфагорові штани» виникла через схожість креслення до Евклідового доведення теореми Піфагора зі штанами.

Піфагор багато подорожував, його ім'я було оточене багатьма легендами, тому тепер важко визначити, що зробив він сам, а що запозичив у інших. Залежність між сторонами прямокутного трикутника була відома ще за 1000 років до Піфагора в Давніх Вавилоні та Єгипті. Піфагору, очевидно, належить доведення цієї теореми і широке застосування її під час розв'язування задач.

Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута чинили так. Мотузок ділили вузлами на 12 рівних частин і кінці зв'язували. Потім мотузок натягували на землі так, щоб утворився трикутник із сторонами 3, 4 і 5 поділок. Звідси і походить назва давніх землемірів - „гарпедонапти” -натягувачі мотузок.

Кут трикутника, протилежний стороні, яка має 5 поділок, був прямий

(З² +4² =5²). Тому прямокутний трикутник із сторонами 3, 4, 5 одиниць називають єгипетським або піфагоровим.

Теорема Піфагора чудова тим, що вона зовсім не очевидна. Із простого споглядання прямокутного трикутника не зробиш висновок, що між його сторонами є таке просте співвідношення: с² = а² +b².

Але це співвідношення стає очевидним, якщо вдало побудувати малюнок. У математичних трактатах давньої Індії часто наводили тільки рисунок, супроводжуючи його лише одним словом: «Дивись!»

Візуальне доведення для трикутника зі сторонами 3, 4, 5 з книги «Чу Пей» 500-200 до н.е.

Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа, знання про відношення сторін в прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутів та доведення теореми.

Мегалітичні споруди близько 2500 до н.е. в Єгипті та Північній Європі, містять прямокутні трикутники із сторонами з цілих чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа були знайдені алгебраїчно.

Написаний між 2000 та 1876 до н.е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619 містить задачу розв'язком якої є числа Піфагора.

Під час правління Хаммурапі Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написана між 1790 і 1750 до н.е містить багато записів тісно пов'язаних з числами Піфагора.

В сутрах Будхаяни, які датуються за різними версіями 8-им чи 2-им століттями до н.е. в Індії, містить Піфагорові числа виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричне доведення для рівнобедренного прямокутного трикутника.

В сутрах Апастамби (близько 600 до н.е.) міститься числове доведення теореми Піфагора з використанням обчислення площі. Ван дер Варден вважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальне доведення теореми і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.

Піфагор, роки життя якого зазвичай вказують 569 -- 475 до н.е. використовує алгебраїчні методи розрахунку Піфагорових чисел, згідно з Прокловими коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 і 485 роками н.е. Згідно з Томасом Гізом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак, коли такі автори як Плутарх або Ціцерон приписують теорему Піфагору, вони роблять це так, наче авторство широко відоме і безсумнівне.

Близько 400 до н. е. згідно Прокла, Платон дав метод розрахунку Піфагорових чисел, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н.е., в Началах Евкліда маємо найдавніше аксіоматичне доведення, яке збереглося до наших днів.

Написані десь між 500 до н.е. і 200 до н.е., китайська математична книга «Чу Пей», дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу , для трикутника із сторонами 3, 4, 5. Під час правління династії Хань, з 202 до н.е. до 220 н.е. числа Піфагора з'являються в книзі «Дев'ять розділів математичного мистецтва» разом із згадкою про прямокутні трикутники.

Вперше зафіксоване використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема Гугу та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.

Багато дискутується чи була теорема Піфагора відкрита один раз чи багато разів. Бойер (1991) вважає, що знання виявлені в Шульба Сутрах можуть бути месопотамського походження.

З ім'ям Піфагора насамперед асоціюється відома теорема. Її окремі випадки були відомі ще до нього в Китаї, Вавилоні, Єгипті. Одні вчені вважають, що Піфагор першим дав повноцінне доведення цієї теореми, інші ж відмовляють йому й у цьому. Відкриття теореми Піфагора оточено ореолом красивих легенд. Розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика, у деяких легендах один бик перетворився на цілу сотню. Згодом у Греції була випущена поштова марка з нагоди перейменування острова Самос в острів Піфагорейон. На марці надпис: «Теорема Піфагора.Эллас. 350 драхм». Ця красива марка майже єдина серед багатьох тисяч існуючих, на яких зображено математичний факт.

Різні формулювання теореми

Наведемо різні формулювання теореми Піфагора в перекладі з грецької, латинської і німецької мов.

У Евкліда ця теорема звучить так (дослівний переклад на російську мову):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский переклад арабського тексту Аннаіриці (близько 900 р. до н. е. ), зроблений Герхардом Клемонським (початок 12 ст.), в перекладі на російську звучить:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (близько 1400 р.) в перекладі теорема читається так:

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В першому російському перекладі евклідових "Начал", зробленим Ф. И. Петрушевским, теорема Піфагора викладена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В наш час достеменно невідомо, чи була ця теорема відкрита Піфагором. Проте одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Дехто приписує Піфагору доведення, яке Евклід наводить у першій книзі своїх "Начал". З іншого боку Прокл стверджує, що доведення в "Началах" належить самому Евкліду. Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних даних щодо життя Піфагора і його математичної діяльності. Однак важливість і значимість теореми, названої його імям, переоцінити неможливо.

1.2 Доведення теореми Піфагора

Відомо, за різними даними, понад 100 або понад 300 доведень теореми Піфагора. Наведемо ряд із них.

1. Доведення Евкліда

В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

2. Кути CAB і BAG -- прямі; відповідно точки C, A і G -- колінеарні. Так само B, A і H.

3. Кути CBD і FBA -- обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

4. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

5. Оскільки точки A, K і L -- колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB²)

6. Аналогічно міркуючи отримаєм CKLE = ACIH = AC²

7. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC², або AB² + AC² = BC².

2. За подібністю трикутників

Доведення (використання подібних трикутників)

Нехай ABC -- прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: якщо ВС= a, AC=b і AB=c, тоді

і .

Це можна записати у вигляді а² = с •НВ і b² = с •АН.

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо

а² +Ь² = с •НВ+ с •АН= с •(НВ+АН) = с².

Іншими словами, теорема Піфагора: а² +Ь² = с².

3. Алгебраїчне доведення

Доведення

Квадрати утворюються з чотирьох прямокутних трикутників.

Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

1. Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут -- .

3. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої -- сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрату.

4.

Що й необхідно було довести.

4.Основні тригонометричні тотожності

Довести теорему Піфагора, використовуючи основну тригонометричну тотожність.

Дано: ААВС (С = 90°)

Довести: АВ² = АС² + ВС².

Доведення

У трикутнику АВС (С = 90°) АС та ВС - катети, АВ - гіпотенуза. Відомо, що:

sin В =, cos В = , звідки маємо: АС = АВ sin В, ВС = АВ cos В.

В обох рівностях піднесемо обидві частини до квадрата, отримаємо:АС² = АВ² sіп² В, ВС² = АВ² соs² В.

Додамо почленно ці рівності:АС² + ВС² = АВ² sіп² В + АВ² соs² В ,АС² + ВС² = АВ² (sіп² В + соs² В).

Використовуючи основну тригонометричну тотожність sіп² а + соs² а = 1, маємо: АС² +ВС² = А В², що і потрібно було довести.

5. Властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки

Довести теорему Піфагора, використовуючи властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки.

Дано: ААОВ (B = 90°).

Довести: АО²= ОВ²+АВ².

Доведення.

Будуємо коло з центром у точці О і радіусом ОВ. Воно перетне гіпотенузу АО в точці D.



Оскільки АВОВ , де ОВ -- радіус, то це означає, що АВ -- дотична до кола. Пряма АО є січною і перетинає коло в точках D і С.

За властивістю січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки, маємо:

АВ²=АD•АС.(1)

Оскільки АО=ОD+АD, АС = АО+ОС = АО+ОВ ,

то АD=АО-ОD =АО-ОВ .

Підставляємо знайдені вирази для АD та АС у формулу (1):

АВ² =(АО-ОВ) (АО+ОВ),

АВ² = АО² -ОВ²,

АВ² +ОВ² = АО²,

що і потрібно було довести.

Доведення цікаве тим, що дає змогу побачити, як іноді допоміжні побудови допомагають отримати бажаний результат.

6. Площа трапеції

За даними на малюнку довести теорему Піфагора, а саме, що с² = а² +b².



Доведення

На малюнку зображено прямокутну трапецію АВСD з основами СD= b та АВ = а; DА = а + b - висота трапеції.

За формулою площі трапеції маємо:

S_ABCD = (CD+АВ)•АD = (а+ b)•(а + b) =(а + b)². (2)

З іншого боку, трапеція складається з прямокутних трикутників АВК, ВКС, СDК. Тому її площа дорівнює сумі площ цих трикутників, тобто

S_ABC =S_ABK +S_BKC +S_CDK.

Відомо, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів. Отже:

S_ABK = BA•AK = ab, S_BKC = BK•KC = c², S_CDK = CD•DK == ab.

Тоді S_ABCD =ab+ab+c²=ab +c². (3)

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

 (а+b)² =аb+c², (а²+2аb+b²) =аb+c²,

а²+аb+ b²- аb= c², а² + b² = с²,

що й потрібно було довести.

7. Доведення теореми Піфагора з використанням формули для обчислення площі трикутника.

Дано: ААВС (C = 90°), СА = b, СВ = а, АВ = с.

Довести: с²=а²+b².

Доведення

Відомо, що S_ABC =ab.

Впишемо в трикутник АВС (C = 90°), коло з центром у точці О.

З іншого боку, S_{ABC =}pr,де р =(а+b+с) -- півпериметр трикутника АВС, r =(а+b-с) -- радіус вписаного в прямокутний трикутник кола.

З двох рівностей для площі трикутника АВС маємо:

ab =(а+b+с) • (а+b-с),

ab =( (а+b)² -c²),

2аb = а²+2аb + b²-с²,

с² = а² +b²,

що й потрібно було довести.

8. Відстань між точками на координатній площині

Довести теорему Піфагора методом координат.

Доведення

Нехай дано трикутник АВС (С = 90°). Доведемо, що АВ²=АС²+ВС². Виберемо систему координат так, щоб вершина С збігалася з початком відліку, а катети лежали на осях.

Тоді точка С матиме координати (0; 0), точка В -- (х₁; 0) ,

точка А -- (0; у₁). Знайдемо квадрати відстаней між точками А, В, і С:

АВ²=(x₁-0)²+(0-y₁)²=х+_У,

АС²=(0-0)²+(0-y₁)²= _У, ВС² =(0-х₁)² +(0-0)² ==х,

звідки АВ² = АС² + ВС², що і потрібно було довести.

9.Векторний метод

Довести теорему Піфагора векторним методом.

Доведення

Нехай дано трикутник АВС (С = 90°).

Доведемо, що АВ²=СВ² + АС².

На сторонах трикутника побудуємо вектори СВ , АС, АВ.

Тоді, АВ = СВ + АС.

А

Піднесемо обидві частини останньої рівності до квадрата:

(СВ+АС)² = АВ² ,

СВ +2СВ•АС+АС² =АВ².

За умовою СВАС, тому СВ• АС = 0, звідки СВ² + АС² =АВ²,

що й потрібно було довести.

10. Геометричні доведення

Доведення

Нехай у прямокутному трикутнику катети дорівнюють а і Ь, а гіпотенуза с.

Побудуємо два квадрати, сторони яких дорівнюють а + b.



Очевидно, що площі цих квадратів рівні.

У першому квадраті виділимо квадрат, побудований на гіпотенузі (дістанемо квадрат і чотири рівні прямокутні трикутники).

У другому квадраті виділимо квадрати, побудовані на катетах (дістанемо два квадрати і чотири рівні прямокутні трикутники).

Виключаючи трикутники І -- IV, бачимо, що с² = а² +b².

Тепер неважко бачити, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах цього трикутника.

11. Давньоіндійське доведення

Доведення

У книзі «Вінок знання» індійський математик Бхаскара наводить доведення теореми Піфагора у вигляді креслення з підписом «Дивись!» Як дістати з креслення Бхаскари доведення теореми Піфагора?

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі с трикутника, дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата, довжина сторони якого а-Ь. Тобто

с² =4•ab +(а-b)² =2аb+ а²-2аb + b² =а² +b².

Отже, с² = а² + b².

12. Давньокитайське доведення

Доведення

У коментарі до задачі з «Трактату про мірну віху» є посилання на креслення, де квадрат, побудований на сумі катетів а і b прямокутного трикутника, подано як суму площ інших фігур.

а² +b² =4•ab +(а-b)² = 4•ab + с²

Тому

а² + 2аb + b² = 2аb +с²,

с² = а² + b².

13.Доведення теореми Піфагора з використанням формули для бісектриси

Доведення



Скористаємось формулою бісектриси: l = bc - b₁c₁ (рис. 1)

Маємо трикутник АВС (С = 90?). Проведемо осьову симетрію відносно катета АС (рис.2). Отримаємо рівнобедрений трикутник АВВ₁ з бісектрисою АС = b. Маємо: АС² = АВ•АВ₁ - ВС•СВ₁, або b² = с•с - а • а, звідки с² = а² + b ².

14. Доведення теореми Піфагора з використанням теореми про суму квадратів діагоналей

Доведення

Доповнимо прямокутний трикутник АВС до прямокутника і скористаємось теоремою про суму квадратів діагоналей.

2(а² + b ²) = 2с², або а² + b ² = с².

15.Доведення теореми Піфагора за теоремою Птолемея

Доведення

Скористаємося теоремою Птолемея: а • а + b • b = с • с,

тобто а² + b ² = с².

16. Доведення теореми за означенням косинуса

Доведення

За означенням косинуса кута соs А = = .

Звідси АВ • АD = AC².

Аналогічно соs B = = . Звідси АВ • ВD = ВC².

Додавши рівності почленно і врахувавши, що АD + DВ = АВ, дістанемо:

AC² + ВC² = АВ •( АD + DВ ) = АВ².

Що й треба було довести.

РОЗДІЛ 2. ДЕЯКІ ІМЕННІ ТЕОРЕМИ ТА ФОРМУЛИ МАТЕМАТИКИ

2.1Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Філософ Фалес Мілетський (625-547 рр. до н. е.), якого називають «батьком грецької науки», один з перших відомих в історії математиків. Саме він почав формування основоположних понять математики - доведення і теорема.

Фалес перший довів ряд теорем геометрії, заклавши основи гоніометрії (від грецьких gфnнa - кут, metron - міра) - частини тригонометрії, в якій розглядалися способи вимірювання кутів.

Він знав, що: в рівнобедреного трикутника кути при основі рівні; вертикальні кути рівні; діаметр ділить круг навпіл. Теорему про вписаний кут, що спирається на діаметр, у Західній Європі іноді теж називають теоремою Фалеса, хоча її знали вавилоняни ще чотири тисячоліття тому.

Теорема Фалеса:

якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

Теорему Фалеса використовують, щоб поділити відрізок на декілька рівних частин. {\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3},}

Теорему про рівність двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами (друга ознака рівності трикутників) Фалес використав для визначення відстані від берега до корабля. Однак теорему про перетин сторін кута паралельними прямими, названу теоремою Фалеса, вчений не знав.

Вважають, що ця теорема названа на честь першого вченого-геометра для збереження його імені в пам'яті майбутніх поколінь.

Фалес викликав захоплення у стародавніх єгиптян власним способом визначення висоти різних піраміди за тінню, з допомогою пропорційного відношення між трьома величинами, які можна виміряти, і шуканою величиною - висотою піраміди.

Вважають, що він був першим грецьким ученим, який для розв'язування геометричних задач на побудову, як основні геометричні інструменти, використовував циркуль і лінійку.

Алгоритм Евкліда

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника (спосіб послідовного ділення) описано в VII книзі «Начал» Евкліда для цілих чисел, а в X - у геометричній формі для знаходження найбільшої спільної міри двох відрізків, тому його назвали алгоритмом Евкліда.

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел при скороченні дробів використано трактаті «Математиці в дев'яти книгах» (Китай, ІІ ст. до н.е.) Французький вчений Ж. Штурм (1829) використав алгоритм Евкліда для знаходення кількості дійсних коренів алгебраїчного рівняння на заданому інтервалі (метод Штурма). Історія не зберегла для нас достовірних відомостей про життя цього видатного вченого. Вважають, що Евклід народився в Афінах близько 325 р. до н. е на запрошення царя Птолемея і на початку ПІ ст. до н. є. прибув до Александрії. Працюючи в бібліотеці Музейону над упорядкуванням математичних манускриптів, Евклід створив славнозвісну працю з математики, яку назвав «Начала».

«Начала» Евкліда складаються з 13 «книг» - сувоїв. Перші шість книг присвячені планіметрії, VП-X кни¬ги - арифметиці і несумірним величинам, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, XI - ХІІ - стереометрії. І книга починається викладом 23 означень і 10 аксіом, причому перші п'ять з цих аксіом називаються «загальними поняттями», а решта - «постулатами» (у різних списках «Начал» є різні кількості аксіом і постулатів). Дальші означення містяться у вступах до інших книг.

Формулюючи постулати, Евклід користується співвідношеннями рівності, які означаються «загальними поняттями» - аксіомами. Під розв'язанням задач Евклід розумів побудову за допомогою циркуля та лінійки. Зокрема, для Евкліда знайти площу або об'єм означало побудувати циркулем і лінійкою квадрат чи куб потрібної площі або об'єму. «Начала» Евкліда закінчувались побудовою за допомогою циркуля і лінійки ребер п'яти правильних многогранників, вписаних у сферу даного радіуса, і дослідженням здобутих несумірних величин.

Видатний учений подолав неабиякі труднощі, щоб систематизувати, узагальнити та довести багато складних співвідношень між елементами просторових і плоских фігур, які виражаються деякими числами.

У той час ще не було не тільки буквеної символіки, а навіть знаків дій додавання, віднімання тощо. Усе записували словами та зображували геометричними малюнками.

Тепер, користуючись запровадженою в XVI-ХVІІ ст. буквеною символікою, ми швидко і легко виводимо найрізноманітніші формули, які виражають залежності між різними, у тому числі й геометричними, величинами. Величезне значення діяльності Евкліда у тому, що він підсумував і узагальнив всі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її дальшого розвитку.

Історики вважають, що «Начала» це обробка творів попередніх грецьких математиків X-IV ст. до н. є. Історичне значення «Начал» Евкліда полягає в тому, що це була перша наукова праця, в якій зроблено спробу дати аксіоматичну побудову геометрії.

Аксіоматичний метод, що є провідним у сучасній математиці, своїм виникненням великою мірою зобов'язаний Евкліду. Жодна наукова праця не мала такого великого успіху, як «Начала» Евкліда. З 1482 р. «Начала» витримали понад 500 видань багатьма мовами.

Решето Ератосфена

Старогрецький математик Ератосфен (275-194 рр. до н. е.) прославився працями з астрономії (описував сузір'я з відповідними міфами), філології (досліджував стародавню комедію), географії й математики, успішно займався поезією, музикою, філософією.

Сучасники Ератосфена називали його Пентатл (Багатоборець). У праці «Решето» Ератосфен виклав метод знаходження простих чисел, які не перевищують даного натурального числа. Він полягав у поступовому викреслюванні з ряду натуральних чисел тих чисел, які діляться на 2, на 3, на 4 і т. д.

Учений писав на дощечці, вкритій воском, і послідовно проколював у воску дірочки над числами, кратними 2, 3 ,4,…, внаслідок цього дощечка ставала схожою на решето, крізь яке ніби просіювали складені числа. Цей спосіб знаходження простих чисел назвали решето Ератосфена. Італійський математик П. Катальді (1603) видав першу таблицю простих чисел, менших від 750.

Німецький математик Й. Ламберт (1770) подав таблицю найменших дільників усіх чисел, менших від 102000, які не діляться на 2, 3 і 5. Вчений гарантував безсмертя тому, хто доведе таблицю дільників до 1000000. Як блискучий обчислювач і укладач таблиць простих чисел до ста мільйонів увійшов в історію математики професор Празького університету Я. Кулік (народився у Львові, навчався в Львівському університеті).

Праці «Великий канон дільників усіх чисел, які не діляться на 2, 3 і 5, і простих чисел між ними до 100330201» (а це 4212 сторінок!) автор численних математичних праць присвятив 20 років життя. Удосконалив решето Ератосфена індійський студент Сундарам (1934), склавши таблицю з безлічі арифметичних прогресій, у яких кожний член першої прогресії 4, 7, 10, 13, 16,… починає нову прогресію.

Різницями прогресій є всі непарні числа, починаючи з 3.

Якщо число n є в цій таблиці, то 2n 1 - складене число

(у таблиці є n 4, 2 4 1 9 - число складене). Якщо n у таблиці немає, то

2n 1 - число просте (немає n 2 , отже, 2 2 1 5 - число просте).

Так можна знайти всі прості числа, крім найменшого - 2.

Російський учитель В. Голубєв (1939) для спрощення складання таблиці простих чисел розробив систему «трафаретів», за допомогою яких він майже безпомилково виділив найменші прості дільники всіх чисел одинадцятого мільйона, а у 1941 р. - дванадцятого мільйона. Решето Аткіна - осучаснена версія решета Ератосфена - швидкий алгоритм знаходження всіх простих чисел до деякого цілого числа, створений А. Аткіним і Д. Бернштейном (1990, США) і виконує деяку попередню роботу, а тоді викреслює числа, кратні квадрату простих чисел.

Формула Муавра

Англійський математик А. Муавр юнаком, у зв'язку з переслідуванням гугенотів (так називалась з XVI ст. релігійна конфесія французських протестантів), втік до Англії. Вчений успішно займався комбінаторикою, теорією рядів, терією ймовірностей (довів важливу теорему, названу його ім'ям).

В теорії комплексних чисел А. Муавр (1707) вивів правила піднесення до степеня й добування кореня n-го степеня з комплексних чисел.

Формула Муавра, де n - довільне ціле число, широко застосовується в тригонометрії і алгебрі при розв'язуванні двочленних рівнянь. Інший запис формули (у сучасній символіці подана Ейлером у 1722 р.):

(cos i sin ) n cos n i sin n .

Біном Ньютона

Формула, названа біномом Ньютона, для натуральних n була відома (частково) в Індії ще в ІІ ст. до н. е. Персидському вченому Омар Хайяму біноміальна формула була відома для будь-якого п (1100), тому послідовність біноміальних коефіцієнтів в Ірані називають трикутником Хайяма. Коефіцієнти бінома до n 8 подано в трактаті китайського математика Чжу Ші-цзе «Дзеркало чотирьох елементів» (1303).

У «Арифметиці» (1527) німецького вченого П. Апіана подано трикутну послідовність біноміальних коефіцієнтів до п=9. М. Штіфель ввів правило утворення біноміальних коефіцієнтів і склав їх таблиці до вісімнадцятого степеня (1544). Праця Н. Тартальї «Загальний трактат про число і міру» (1556) містила таблицю коефіцієнтів, записаних у вигляді трикутної числової таблиці, названої «арифметичним трикутником». У «Трактаті про арифметичний трикутник» (1665) Б. Паскаль подав спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів за таблицею коефіцієнтів розкладу n (a b) для різних показників степеня n, розміщених у вигляді трикутника, який назвали трикутником Паскаля.

Ці коефіцієнти (число комбінацій з n елементів по m), утворені за допомогою повної математичної індукції, Паскаль вперше (разом з Ферма) використав у теорії ймовірностей для обчислення ймовірності події і розподілу ставок між гравцями.

Шотландський математик і астроном Дж. Грегорі майже одночасно з І. Ньютоном і незалежно від нього довів теорему про розклад бінома. Ньютон зробив першу спробу (1669, надруковано в 1711 р.) узагальненого доведення відомої формули бінома для цілого додатного n, узагальнивши її на дробові і від'ємні значення n.

Норвезький математик Н. Абель (1826) строго довів формули і обґрунтував справедливість узагальненої формули для ірраціональних і уявних значень показника n (за певних умов).

2.2Формула Герона в шкільному курсі геометрії

У «Метриці», найважливішій математичній праці Герона Александрійського (І ст.), викладені формули для обчислення площ правильних многокутників, об'ємів зрізаних піраміди і конуса, п'яти правильних многогранників тощо.

В творі подана формула для обчислення площі трикутника за трьома сторонами (формула Герона була відома вже в III ст. до н. е. Архімеду) :

,

де a, b, c - сторони трикутника, р - півпериметр.

Герон вивчав трикутники з цілочисловими сторонами, площі яких теж виражаються цілими числами. Такі трикутники назвали героновими трикутниками.

Задача Герона.

Знайти всі трикутники з цілочисловими сторонами, площі яких також виражаються цілими числами. Серед прямокутних трикутників - це всі трикутники Піфагора, з сторонами 3,4,5; 5,12,13; ...

Формула Герона є окремим випадком теореми Брахмагупти (VII ст.): Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін a,b,c,d і півпериметр p, то його площа S v ( p a)( p b)( p c)с d .

(Брахмагупта не вказував, що ця теорема істинна для чотирикутників, вписаних в коло, хоч розглядав її лише для чотирикутників, діагоналі яких перетинаються під прямим кутом, і рівнобічних трапецій. Для них теорема виконується).

Герон Александрійський (близько I ст.), древньогрецький математик і механік; дав систематичний виклад основних досягнень античності в математиці і механіці.

Формула Герона:

Площа S трикутника зі сторонами a, b, c обчислюється за формулою

,

де

-

- півпериметр трикутника.

Дано:

, , , ,

p - півпериметр .

Довести:

Доведення:

1) Опустимо висоту СН на сторону АВ (, ).

2) Нехай

, , .

3) Із по теоремі Піфагора: ,

Із по теоремі Піфагора: ,

,

,

але

Поділимо обидві части рівності на с:

Додамо:

;

.

Поділимо отриманий результат на 2:

.

4) Підставимо:

але

,

тобто

, , ,

, ,

, .

Отже,

.

2.3Теорема Вієта

Теорема Вієта. Якщо x₁ і x₂ -- корені квадратного рівняння ax² + bx + c = 0, то

;

Доведення.

Нехай D > 0.

Застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння, запишемо:

,

.

Маємо:

Зауваження.

Теорема Вієта є справедливою й тоді, коли D = 0.

При цьому вважають, що

.

Маємо:

,

.

Наслідок.

Якщо x₁ і x₂ -- корені зведеного квадратного рівняння x² + bx + c = 0, то

x₁ + x₂ = - b,

x₁x₂ = c,

тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

ВИСНОВКИ

Математика виникла з потреб людей і розвивалась у процесі їхньої практичної діяльності.

Розвиток математики тісно пов'язаний з тим, що спочатку практика, а потім і теорія, висували перед нею нові завдання.

Для розв'язання практичних або теоретичних завдань, набутих знань не вистачало, доводилося вишукувати нові засоби, створювати нові методи формування знань.

Становлення математики як науки розпочалось у стародавній Греції, де були значні досягнення в галузі геометрії. Саме у Греції, починаючи з ХІІ ст. до н.е., розробляється математична теорія. З науки практичної математика перетворюється на логічну, дедуктивну.