Методика обучения решению задач на построение в 7 классе с использованием математического конструктора Geogebra

· формирование навыков исследовательской, творческой деятельности при решении задач на построение.

воспитательные:

· воспитывать ответственное отношение к труду

· воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Тип урока: урок открытие нового знания, урок моделирования способов решения проблемных задач.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, учебник «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С. и др.

Структура:

1) Организационный этап

2) Постановка цели и задач

3) Актуализация знаний

4) Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

5) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

1. Организационный этап

Таблица 1

Деятельность учителя	Деятельность ученика
Добрый день, ребята! Посмотрите друг на друга и улыбнитесь! Желаю Вам хорошей и продуктивной работы! [отмечает присутствующих, проверяет готовность учащихся к уроку]	Здороваются с учителем.

2. Актуализация знаний

Рисунок 2



3. Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

Рисунок 3

Построить прямую по двум данным точкам А и В.

· выбираем объект «Точка» на панели объектов

· отмечаем на полотне две точки А и В

· выбираем объект «Прямая» на панели объектов

· проводим прямую через данные точки (указав эти точки)

В тетрадях:

· отмечаем две точки, в тетради

· проводим прямую с помощью линейки и карандаша.

Построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. (Рис. 5)

· выбираем объект «Точка» на панели объектов (она будет являться центром)

· отмечаем точку на полотне

· выбираем объект «Отрезок с фиксированной длиной» на панели объектов

· строим отрезок (указав один из концов отрезка и задав длину)

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу»

· строим окружность указав центр окружности и задав величину радиуса (для этого можно указать название отрезка)

Рисунок 4. Построение 1

В тетрадях:

· чертим отрезок (любой длины) при помощи линейки и карандаша

· отмечаем в тетради точку (центр окружности)

· берём раствор циркуля равный данному отрезку

· строим окружность с центром в данной точке

Дана прямая, с помощью циркуля и линейки отложить на прямой отрезок равный данному.

· выбираем объект «Прямая» на панели объектов

· строим прямую (указав две точки на полотне)

· выбираем объект «Отрезок» на панели объектов

· строим отрезок (указав концы отрезка на полотне)

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу»

· строим окружность (указав центр [любая точка на прямой] и задав радиус окружности для этого указываем название отрезка)



Рисунок 5. Построение 2

В тетрадях:

· чертим прямую и отмечаем на ней точку, и чертим отрезок (любой длины)

· берем раствор циркуля равный данному отрезку

· строим окружность на прямой с центром в отмеченной точке

· отрезок соединяющий центр данной окружности с любой из точек пересечения окружности с прямой, даст данный отрезок

Отложить от данного луча угол, равный данному. (Рис. 5)

· выбираем объект «Угол» на панели объектов

· строим угол (указав на полотне три точки), достраиваем угол с помощью объекта «Отрезок»

· выбираем объект «Луч» на панели объектов

· строим луч (указав начало луча и точку, принадлежащую лучу)

· выбираем объект «Окружность по центру и точке»



Рисунок 6. Построение 3

· строим окружность1 (указав центр окружности и точку на ней [за центр окружности возьмем вершину угла, а вторую точку отметим на одной

· выбираем объект «Пересечение» на панели объектов

· отмечаем точку пересечения окружности с второй стороной угла

· выбираем объект «Отрезок» на панели объектов

· строим отрезок* взяв за концы отрезка точки пересечения окружности с сторонами угла

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу» на панели объектов

· строим окружность2 (указав центром начало луча и радиус окружности равный радиусу окружности1)

· строим окружность3 (указав центром точку пересечения окружности2 с лучом, радиусом равным отрезку*

· выбираем объект «Пересечение» на панели объектов

· отмечаем одну из точек пересечения окружности2 с окружностью3 В тетрадях:

· чертим луч и произвольный угол

· проводим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла (окружность пересечет стороны угла в двух точках, которые образуют отрезок (*))

· далее, проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча (окружность пересечёт луч в точке (**))

· строим окружность с центром в точке (**) и радиусом равным отрезку (*)

· окружности пересекутся в двух точках, мы получим искомый угол Действительно, если мы будем рассматривать треугольники, в которых

содержаться наши углы, то они будут равны по трём сторонам.

Рис.5 Построение 4

Далее пункты построения будут рассматриваться подробно, в том случае если объект еще не использовался.

Построение середины данного отрезка. (Рис 6.)

· построим отрезок

· построим две окружности с радиусами равными данному отрезку, с центрами являющимися концами данного отрезка

· отметим точки пересечения данных окружностей

· проведем прямую через точки пересечения окружностей

· отметим точку пересечения прямой с отрезком (она и будет являться серединой отрезка)

В тетрадях:

· чертим отрезок

· строим две окружностис радиусамиравными данному отрезку, центры этих окружностей концы отрезка

· проводим прямую, через точки пересечения данных окружностей (точка пересечения данной прямой с отрезком и будет являться серединой)

Рис.6 Построение 5

Построение биссектрисы угла. (Рис.7)

· строим угол

· строим окружность1 произвольного радиуса, с центром в вершине угла

· отмечаем точки пересечения окружности с сторонами

· строим отрезок, с концами в точках пересечения окружностис сторонами

· строим окружность2 и окружность3 с радиусами равными отрезку и вершинами являющимися концами данного отрезка

· отмечаем точки пересечения окружности2 с окружностью3

· проводим луч, выходящий из вершины угла и проходящий через точки пересечения (он будет являться биссектрисой)

В тетрадях:

· начертим произвольный угол

· построим произвольную окружность с центром в вершине данного угла (окружность пересечет стороны угла в двух точках, которые образуют отрезок (*))

· проведем две окружности радиусом, равным данному отрезку (*) и с центрами в концах этого отрезка (*) (они пересекутся в двух точках, одна их точек будет лежать внутри угла)

· проведём прямую (она и будет являться биссектрисой)

Рис.7 Построение 6

Построение перпендикулярных прямых. (Рис. 8)

· проводим прямую и отмечаем на ней точку

· строим на прямой два равных отрезка с началом в данной точке (по разные стороны от неё)

· построим окружность1 и окружность 2 с радиусом равном сумме наших отрезков и вершинами в концах отрезков

В тетрадях:

· чертим прямую и отмечаем на ней точку

· отложим два равных отрезка от этой точки (по разные от нее стороны)

· построим две окружности с центрами в концах отрезков и радиусом равным сумме этих отрезков (они пересекутся в двух точках)

· проведем прямую через эти точки и изначальную точку (они образовали прямой угол)

Рис.8 Построение 7

Итак, мы вспомнили основные, стандартные построения. Мы будем ими пользоваться в дальнейшем.

4. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

5. Рефлексия (подведение итогов занятий)

Содержит самостоятельную работу, в которой ученик при помощи циркуля и линейки выполняет построения. Пример задания (Рис.9): Проведите все возможные прямые по данным точкам.



Рис.9

Следующий урок проводится в кабинете информатики. Каждый ученик имеет персональный компьютер, так же, как и учитель, в данном случае интерактивная доска также служит средством демонстрации, при этом дети параллельно и самостоятельно работают в математическом конструкторе GeoGebra.

Урок № 2 Тема: Решение задач на построение Цель:

1) научиться решать задачи на построение при помощи математического конструктора GeoGebra

2) закрепить пройденный материал

Тип урока: закрепление знаний и формирование ЗУН

Оборудование: интерактивная доска, проектор, персональный компьютер на каждого ученика и учителя, учебник «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С. и др.

Структура:

1) Организационный этап

2) Постановка цели и задач

3) Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

4) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

5) Рефлексия (подведение итогов занятия)

1. Организационный этап



Рис. 10

Но решать задачи мы будем очень интересным способом с помощью компьютера. Спросите, как? Нам на помощь придет математический конструктор, который сделает практически все построения за вас, но ему тоже понадобится помощь, именно ваша! У каждого из Вас на рабочем столе программа GeoGebra, пожалуйста откройте ее!

2. Актуализация знаний

Рис. 11

Данные задания состоят в следующем. Ученику предлагается достроить уже начатое именно, стандартное построение, то что он доказывал дома, и то что строил с помощью циркуля и линейки. В данном случае он пробует это в программе, в файле, вот как он выглядит (Рис.12).

Рис.12

При этом каждому ученику, предлагается подсказка, в случае, если он не справится. В GG можно скрывать объект, что и сделано в данных заданиях, то есть ребенок в любой момент можно открыть «Панель объектов» (Рис.13) и посмотреть, какой же шаг он должен был выполнить.

Рис.13



Как он это поймет? В GG все довольно просто, тот объект, который не отмечен синим кружочком значит и «спрятан».

Рис.14

3. Усвоение и закрепление новых знаний

Рис. 15

На каждой карточке записана задача, что дано, и то что нужно построить.

Первые две задачи решаются фронтально, всем классом обсуждаются и выполняются. Третья задача для самостоятельного выполнения, на оценку. Учащиеся сохраняют все три файла в своей папке, после чего отсылают данную папку учителю на проверку (то есть на уроке учитель не проверяет решение третьей самостоятельной задачи).

Задача. Построить треугольник по трём сторонам.

Таблица 2

	Дано: три отрезка, равные сторонам искомого треугольника AB, CD, EF Построить: треугольник по заданным данным
Построение: Строим прямую Выбираем точку на прямой и откладываем от неё отрезок равный одному из данных (отмечаем концы отрезка) Строим окружность1 с центром в одном из концов отрезка и радиусом равным второму из данных отрезков Строим окружность2 с центром в другом конце отрезка и радиусом равным третьему из данных отрезков Отмечаем точку пересечения окружностей 1 и 2 (она является третьей вершиной искомого треугольника) Достраиваем треугольник с помощью объекта «Отрезок»

Рис. 15



Рис. 16

Итак, следующая задача решается при помощи «Метода вспомогательного треугольника». Суть данного метода состоит в то что мы должны свести данную задачу к ранее уже известной, решенной задаче на построение треугольника по основным элементам. Очень важно, чтобы научиться решать задачи на построение, и другие геометрические задачи осознать, что задачу надо решать с конца. Подумать о том, к чему мы должны прийти в конце и что же для этого требуется. Тогда учащийся сам, не замечая того, проведет анализ данной задачи.

Рассмотрим такую задачу: «Построить остроугольный равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведенной к ней высоте». Нам даны не только основные элементы, но и вспомогательные (высоты, медианы, биссектрисы, периметри т.д.) в данном случае высота. На этом этапе никаких записей от детей требовать не надо, главное сказать формулировку задачи и начертить рисунок.

Им надо объяснить, что мы хотим получить треугольник по этим данным. Наша задача увидеть, а какой треугольник на чертеже мы уже умеем строить? И важный момент дети должны проговорить алгоритм.

Рассмотрим эту задачу более подробно.

Итак, наша задача построить остроугольный равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведенной к ней высоте. Рассмотрим рисунок, к которому в итоге мы должны будем прийти. Метод вспомогательного треугольника предполагает, что мы должны увидеть и свести задачу к построению уже раннее решенной задачи. Очевидно, что по гипотенузе и катету мы можем построить треугольник. А далее нам остаётся достроить треугольник до искомого, для этого нужно обратить внимание на то, что искомый треугольник равнобедренный. Следовательно, останется продлить сторону, чтобы она равнялась другой стороне и соединить концы сторон для получения третьей стороны треугольника. Задача сводится к ранее решенной задаче: построение треугольника по гипотенузе и катету, и достроению его до искомого треугольника.

Построение:

Для начала мы должны построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Пусть QR и TN данные отрезки. QR > TN - так как является гипотенузой (Рис. 17)).

Рис.17

Мы должны построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной отрезку QR и катетом, равным отрезку TN

· Строим прямую (a)

· Отмечаем на прямой точку (А) (Рис. 18)

Рис.18



· Откладываем отрезок (AB), равный (TN)(Рис. 19)

Рис.19

· Проводим прямую (b), перпендикулярную к (AB) через точку A (Рис.20)

Рис.20

· Строим окружность радиуса (QR) с центром (B) (Рис.21)



Рис.21

Так как BA=TN <QR, то расстояние от точки B до прямой меньше (b) меньше радиуса этой окружности, поэтому прямая (b) и построенная окружность пересекаются.

· Отмечаем одну из точек пересечения окружности с прямой (b) - С (Рис. 22)

Рис.22



· Достраиваем треугольник с помощью отрезков

Рис.23

Мы построили прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе, нам осталось достроить треугольник до искомого. Какой же треугольник мы должны получить? Конечно, равнобедренный.

Строим окружность радиуса (CB) (Рис. 24)

Рис. 24



· Отмечаем точку (D) пересечения окружности с прямой (b)(Рис. 25)

Рис. 25

· Достраиваем треугольник с помощью отрезков

Рис. 26

У программы или как мы его называем математического конструктора GG есть две версии офлайн и онлайн, конечно лучше каждому учащемуся дома установить эту программу на свой компьютер, так как она даёт больше возможностей. Поэтому обратная связь и организована с детьми посредствами почты, чтобы учитель мог проверять файлы GG.



Заключение

Были решены следующие задачи:

Рассмотрены и проанализированы основные положения ФГОС ООО и ПОП ООО предметной области математика и информатика. В основной школе и государственном стандарте общие учебные умения, навыки и способы предполагают повышенное внимание для развития математического образования. Важно опираться на каждый компонент, который помогает достигнуть повышенных результатов учебной деятельности.

Проанализированы возрастные особенности учащихся 7 класса. Рассмотрены такие понятия как мышление, внимание, восприятие, память. Выявлен ведущий вид деятельности в данном возрасте. Сделаны выводы о самом надежном способе повышения эффективности обучения. Рассмотрены особенности возраста со стороны биологических и физиологических систем.

В данном возрасте происходят существенные сдвиги в развитии, и достигнутая степень развития позволяет систематично изучать основы, сравнивать, делать выводы и обобщения.

Описана методика обучения решению задач на построение в 7 классе при помощи математического конструктора GeoGebra. Разработаны и апробированы уроки и дидактические материалы для реализации данной методики.



Список литературы

1. Блинков А.Д. Геометрические задачи на построение / Блинков А.Д., Блинков Ю.А.// 2-е изд., стер. - М.: 2012 - 152 с.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования

3. Примерная основная образовательная программа основного общего образования

4. Кузьмин С.Г., Далингер В.А. Геометрическое образование в российской школе

5. Шеховцева Д.Н. Использование компьютерных технологий для визуализации математического знания

6. Смирнов В.А Наглядная геометрия / Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.// - М.: МЦНМО, 2013. - 272 с.

7. Жданов С.А. Концепция эффективного использования средств ИКТ и ЭОР на уроках математики и информатики, [электронный ресурс]: Материалы для ВКР (С.А. Жданов).

8. Шаповаленко И.В. Возрастная психология (Психология развития и возрастная психология) / Шаповаленко И.В.// -М.: Гардарики, 2005. - 349 с.

Размещено на Allbest.ru