Методика решения составных задач на пропорциональную зависимость

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Общая характеристика текстовой задачи и методика работы над ней

1.1 Текстовая задача и процесс ее решения

1.2 Виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики

1.3 Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью

Глава 2. Формирование учебной деятельности на уроках математики в процессе решения тестовых задач на пропорциональную зависимость

2.1 Учебные действия как средство решения учебных задач. Виды учебных действий

2.2 Психолого-педагогические особенности формирования учебной деятельности

2.3 Роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

Вторая трудность -- составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

Третья трудность -- это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.

Учитывая все выше сказанное, можно считать выбранную тему актуальной на сегодняшний день.

Цель курсовой работы - исследовать методику решения составных задач на пропорциональную зависимость.

Для достижения поставленной цели подлежат решению следующие задачи:

Рассмотреть текстовую задачу и процесс ее решения.

Охарактеризовать виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики.

Проанализировать особенности методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью.

4. Описать учебные действия, как средство решения учебных задач. Виды учебных действий.

5. Раскрыть психолого-педагогические особенности формирования учебной деятельности.

6. Изучить роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников.

Объектом исследования является процесс обучения решения составных задач с пропорциональной зависимостью.

Предметом исследования являются методы и способы обучения младших школьников решению составных задач на пропорциональную зависимость.

В курсовой работе использовались следующие методы исследования: аналитический, эмпирический, дедуктивный, математический.

Практическая значимость курсовой работы заключается в возможности применения разработок в области решения составных задач на пропорциональную зависимость в практике младшей школы.

задача пропорциональный зависимость математика

Глава 1. Общая характеристика текстовой задачи и методика работы над ней

1.1 Текстовая задача и процесс ее решения

В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Текстовая задача - есть описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами, или определить вид этого отношения .

Решение задач - это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Каждая задача - это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи, необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача - это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин, и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи - это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

- Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

- Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

- Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка.

Понимая роль задачи и её место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и чётко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т.п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями, и для применения уже имеющихся у детей знаний, играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия, имеют корни в реальной жизни, в практике людей.

Задачи выполняют очень важную функцию в начальном курсе математики - они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями.

Решение задач - упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

1.2 Виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики

Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно решает образовательные, развивающие и воспитательные цели. Ю.М. Колягин выделяет основные из них:

«1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умения

- анализировать задачные ситуации,

- строить план решения, с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом вида задачи),

- истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи,

- проверять правильность решения, с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету».

Как я уже говорила в первом параграфе моей работы, существует много видов задач, как простых, так и составных. Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Но именно задачи с пропорциональной зависимостью готовят учащихся к обучению математике в среднем и старшем звене школы.

Среди этих задач методист Н.Б. Истомина выделяет такие основные виды:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление;

3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

В задачах, как мы увидели в учебниках математики третьих и четвертых классов, рассматриваются группы пропорциональных величин: масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, количество вещей, общий расход материи и т.д.

Рассмотрим перечисленные мною виды задач и приведем образцы.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам такого вида относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо и обратно пропорциональные величины при постоянной третьей. В них известно одно значение одной величины и два значения другой, и требуется найти второе значение другой.

Задачи на пропорциональное деление.

К задачам этой группы относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требует разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены ясно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционального. К этой группе относятся следующие виды задач:

- задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

- задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

- задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

«Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности, и числу предметов в другой совокупности)» - указывает А.В. Белошистая.

Существуют и задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

К задачам данного типа относятся задачи, в которых значение некоторой величины нужно разделить на части пропорционально нескольким рядам чисел.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

К задачам данного вида относятся задачи, в которых рассматривается две прямо и обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины, и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами величины.

Исходя из материалов проанализированной мной методической литературы, я могу сказать, что задачи с пропорциональной зависимостью, решаемые в младших классах, имеют следующую классификацию:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление:

- задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

- задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

- задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел;

3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

1.3 Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью

Научить детей решать задачи - значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбрать, а затем и выполнить арифметические действия.

В начальных классах ведется работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида .

Работа над задачами не должна сводится к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, а затем другого и т.д. Главная ее цель - научить детей осознано устанавливать определенные связи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени:

- Подготовительную работу к решению задач;

- Ознакомление с решением задач;

- Закрепление умения решать задачи .

Остановимся подробнее на каждой ступени.

а) Подготовительная работа к решению задач.

На этой ступени обучения решению задач того или другого вида, должна быть создана у учащихся готовность к выбору арифметических действий при решении соответствующих задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание объектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах.

До решения простых задач ученики усваивают знание следующих связей:

Связи операций над множествами с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл арифметических действий. Например, операция объединения непересекающихся множеств связана с действием сложения; если имеем 4 и 2 флажка, то чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2.

Связи отношений «больше» и «меньше» (на сколько единиц и в несколько раз) с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл выражений «больше на…», «больше в … раз», «меньше на…», «меньше в … раз». Например, больше на 2, это столько же и еще 2, значит, чтобы получить на 2 больше, чем 5, надо к 5 прибавить 2.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий, то есть правила нахождения одного из компонентов арифметических действий по известному результату и другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычитания. Из суммы вычитают известное слагаемое.

Связи между данными величинами, находящихся в прямо или обратно пропорциональной зависимости, и соответствующими арифметическими действиями. Например, если известна цена и количество, то можно найти стоимость действием умножения.

Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых задач, ученики должны усвоить понятия и термины, относящиеся к самой задаче и ее решению (задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи).

Подготовкой к решению составных задач будет умение вычленять систему связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд простых, последовательное решение которых и будет решением составной задачи .

Необходимо отметить, что при работе над каждым отдельным видом задач требуется своя специальная подготовительная работа.

б) Ознакомление с решением задач.

На этой второй ступени обучения решению задач дети учатся устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать арифметические действия, то есть они учатся переходить от конкретной ситуации, выраженной в задаче к выбору соответствующего арифметического действия. В результате такой работы учащиеся знакомятся со способом решения задач рассматриваемого вида.

В методике работы на этой ступени выделяются следующие этапы:

1 этап - ознакомление с содержанием задачи;

2 этап - поиск решения задачи;

3 этап - выполнение решения задачи;

4 этап - проверка решения задачи .

Выделенные этапы органически связанны между собой, и работа на каждом этапе ведется на этой ступени преимущественно под руководством учителя.

Заключительным этапом в работе над задачей является работа после решения задачи. В методической литературе опубликовано немало статей (Царева С.В., Шикова Р.Н.), где описаны виды дополнительной работы над уже решенной задачей.

Многие авторы и методисты уделяют много внимания последнему этапу: работе с задачей после ее решения.

в) Закрепление умения решать задачи.

Для проведения работы над задачей после ее решения используют следующие приемы: преобразование задачи; сравнение задач; самостоятельное составление аналогичных задач; обсуждение разных способов решения задачи.

Для правильного обобщения способа решения задач определенного вида большое значение имеет система подбора и расположения задач. Система должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего, задачи должны постепенно усложнятся. Усложнение может идти как путем увеличения числа действий, которыми решается задача, так и путем включения новых связей между данными и искомым.

Одним из важных условий для правильного обобщения младшими школьниками способа решения задач определенного вида является решение достаточного числа их. Однако задачи рассматриваемого вида должны включаться не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом все реже и реже, вместе с другими видами. Это необходимо для того, чтобы предупредить запоминание способа решения.

Выработке умения решать задачи нового вида помогают упражнения на сравнение решений задач этого вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком-то отношении с задачами нового вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком- то отношении с задачами нового вида. Такие упражнения предупреждают смешение способов решения задач этих видов.

Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.

Решение задач повышенной трудности помогает выработать у детей привычку вдумчиво относиться к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомым. Задачи повышенной трудности следует предлагать в любом классе, имея в виду одно условие: детям должно быть известно решение обычных задач, к которым сводится решение предлагаемой задачи повышенной трудности.

Решение задач разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи создает предпосылки для формирования у ученика умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывает стремление вести «самостоятельно поиск решения новой задачи», той, которая раньше ему не встречалась.

Методика работы над задачей подразумевает несколько этапов. Мы изучали этап работы над задачей после ее решения, на котором одним из видов деятельности является преобразование задач. Используемая нами методика обучения преобразованию задач состоит из трех этапов: подготовительная работа, обучение и закрепление. Мы провели 8 уроков, на которых велась работа по данному направлению. В результате проведенных уроков и последующих контрольных работ мы выяснили, что методика действует, подтверждая выдвинутую нами гипотезу.

Существуют различные виды задач. Среди этого многообразия выделяются наиболее сложные задачи - задачи с пропорциональной зависимостью между величинами.

В задачах с пропорциональной зависимостью, включенных в начальный курс математики рассматриваются, в основном, три процесса - купля - продажа, движение и работа. Первый процесс характеризуется такими величинами, как цена, количество, стоимость; второй - скоростью, временем и расстоянием; а третий - производительностью, временем, объемом работы.

При обучении младших школьников решению задач с пропорциональной зависимостью можно выделить три основных вида:

- на нахождение четвертого пропорционального,

- на пропорциональное деление,

- на нахождение неизвестного по двум разностям.

Глава 2. Формирование учебной деятельности на уроках математики в процессе решения тестовых задач на пропорциональную зависимость

2.1 Учебные действия, как средство решения учебных задач. Виды учебных действий

Учебная деятельность, как и всякая другая, мотивирована, целенаправленна, предметна, имеет свои средства осуществления, свои специфические продукт и результат. Среди всех других видов деятельности учебная деятельность выделяется тем, что ее субъект и предмет совпадают: она направлена на самого обучающегося - его совершенствование, развитие, формирование как личности благодаря осознанному, целенаправленному освоению им общественного опыта. Деятельность обучающегося ориентирована на освоение глубоких системных знаний, отработку обобщенных способов действий и умение адекватно и творчески применять их в разнообразных ситуациях.

Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

Рассмотрим возможный план работы учащихся над задачей:

1. Анализ текста задачи;

2. Схематическая запись условия;

3. Поиск решения; составление плана решения;

4. Осуществления плана решения задачи;

5. Проверка полученного ответа.

Этот план может существенно меняться, если задача решается устно или составлена по иллюстрации.

1. Анализ текста задачи. Основное назначение этапа - осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условие и требования, назвать данные и искомые, выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные).

Прочитаем, например, такую задачу: По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за это время собака?

Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них.

1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)

3. Что означают слова 'за все это время'? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками 'с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'. Поэтому слова 'за все это время' означают 'за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'.)

4. Что в задаче известно о движении каждого из участников его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчик, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Что дальше известно? (В задаче неизвестно, в течение, какого времени второй мальчик догонит первого, т.е. не известно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)

6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участников время движения.)

2. Схематическая запись условия

Составление по условию задачи чертежа, схемы, рисунка и т.д., т.е. интерпретация условия задачи - не самоцель. Она выполняется (учителем, или учащимися под руководством учителя, или самими учащимися - в зависимости от их подготовки, от сложности задачи) только тогда, когда ученики не могут решить данную задачу. Рассмотрим несколько видов интерпретации условия.

Критерием эффективности краткой записи являются признаки: краткая запись наглядно представляет связи между величинами и соответствующими числовыми данными задачи; по ней ученик способен самостоятельно воспроизвести условие задачи.

Учитель должен соблюдать разумную меру в использовании символов для краткой записи условия задачи (скобок, стрелок и т. д.). Такая символика - это язык, усвоение которого требует от учащихся затрат времени и сил, а возможности его весьма ограничены.

Многие задачи можно иллюстрировать чертежом. Он в большей степени, чем краткая запись условия, приближает учащихся к математическому содержанию модели. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величины, а так же при решении задач, связанных с движением.

3. Поиск решения; составление плана решения. Цель данного этапа - завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

На этом этапе ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.

По существу поиск решения задачи начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается даже тогда, когда ответ получен и проверен. Идея нового способа решения может прийти тогда, когда, казалось бы, получен исчерпывающий ответ на вопрос задачи.

4. Проверка полученного ответа.

Проверить решение задачи - значит установить, что оно правильно или ошибочно.

2.2 Психолого-педагогические особенности формирования учебной деятельности

В задачах этого вида даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Использую любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составит шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального (см. Приложения).

Эти задачи можно решить способом нахождения значения постоянной величины, а затем, используя его, найти искомое. Во II классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью, при этом включаются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В IV классе вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние.

Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального должна предусмотреть ознакомление с величинами и связями между ними.

Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождения значения одной величины по данным соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству).

Для закрепления знания связей между величинами надо включать простые задачи для устного решения, при этом полезно выполнять упражнения на составление и решение обратных задач по отношению к данной простой задаче. Кроме того, для письменного решения следует предлагать составные задачи с теми же величинами, например: «К началу учебного года ученик купил 10 тетрадей по 2 руб. и тетрадь для рисования за 8 руб. Сколько всего денег уплатил ученик?». В этих случаях не следует требовать от учеников каждый раз объяснять выбор действия.

Аналогичным образом ведется работа по ознакомлению с величинами других групп и по раскрытию связей между ними. При этом на этапе ознакомления со связями очень важно выполнять предметные иллюстрации, а при выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл арифметических действий, после чего формулируется вывод. На этапе закрепления умения решать простые задачи с пропорциональными величинами учащиеся опираются на усвоенный вывод.

Одновременно с закреплением знаний о связях между величинами в процессе решения простых и составных задач по мере возможности следует наблюдать за изменением одной из трех величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей.

Первыми лучше включить задачи с величинами: цена, количество, стоимость, поскольку дети имеют большой опыт оперировать этими величинами, причем сначала надо рассмотреть задачи I вида. Первые из рассматриваемых задач полезно иллюстрировать рисунком и выполнить краткую запись в таблице. Например, предлагается задача: « Ученик купил по одинаковой цене 6 конвертов без марок и три с марками. За конверты без марок с он заплатил 18 руб. Сколько он уплатил за конверты с марками?» после чтения учитель выполняет на доске рисунок или пользуется готовым.

18 руб.?

Затем под руководством учителя выполняется краткая запись:

Цена	Количество	Стоимость
одинаковая	6 конвертов 3 конверта	18 руб. ?

При повторении задачи дети объясняют, что показывает каждое число: 6 - это количество тетрадей с марками, 18 руб. - это стоимость и т.п.

Полезно до решения задачи сделать прикидку, т.е. установить, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел, и объясни почему. Например, учащиеся устанавливают, что марки с марками будут стоить меньше, чем 18 руб., потому что их купили меньше, чем конвертов без марок, а цена конвертов одинаковая.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление. Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово «каждый».

Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например, 'В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше') или постановкой вопроса (например: На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором?).

При ознакомлении с решением задачи на пропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения. Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них. До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа, и при каких условиях. Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой, количеством и стоимостью - предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи.

Ученики называют величины, подбирают и называют соответствующие числовые данные, формулируют вопрос и решают составленную задачу. Такую схематическую запись можно выполнить на листе бумаги, причем название величин можно записать на карточках и вставить их в верхнюю графу (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса и др.). Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок. Позднее, после рассмотрения задач на пропорциональное деление второго вида и задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить упражнения на преобразование задачи одного вида в другой, а после их решения выполнить сравнение самих задач и решений этих задач.

Приведем пару таких задач:

1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую - 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю? 2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую - 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю. Записав каждую задачу кратко, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем - различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.

Таким образом, задачи на пропорциональное деление - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Задачи этого вида решаются и по действиям и с помощью составления выражений.

Задачи, связанные с движением, рассматриваемые в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу, структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару задач и их решения:

А) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй - 80 км/ч.

Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?

Приведем арифметические и алгебраические способы решения этой пары задач:

280:(80+60)=2 (80+60)*х=240

А) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?

Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?

Эту пару задач можно решить тремя способами:

1-й способ 2-й способ 3-й способ

1) 120:6=20 1)6:3=2 6ч=380 мин

2) 20*3=60 2) 120:2=60 3ч=180мин

1)360:120=3

2)180:3=60

Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Но задачи связанные с движением, традиционно выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Подготовительная работа к решению задач связанных с движением, предусматривает: обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной - скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, ит.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так организовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движения пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояние по 10 м, чтобы удобнее было находить, какой путь прошел каждый ученик. Учитель предлагает идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов транспорта.

2.3 Роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Для построения наиболее эффективного процесса работы над составными задачами можно порекомендовать использовать с учениками определенный алгоритм, составленный в виде памятки. При ознакомлении с составными задачами ученики должны уяснить основное отличие составной задачи от простой - ее нельзя решить сразу, т.е. одним действием, а для ее решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым. С этой целью предусматриваются специальные подготовительные упражнения:

1) Решение простых задач с недостающими данными, например:

а) В гараже стояли грузовые машины и 4 легковые. Сколько всего грузовых и легковых машин было в гараже?

б) На экскурсию поехали мальчики и девочки. Сколько всего детей поехало на экскурсию?

После чтения таких задач учитель спрашивает, можно ли узнать, сколько всего машин было в колхозе (сколько детей поехало на экскурсию), и почему нельзя (неизвестно, сколько было грузовых машин, или неизвестно, сколько было девочек и сколько мальчиков). Далее дети подбирают числа и решают задачу.

Выполняя такие упражнения, ученики убеждаются, что не всегда можно сразу ответить на вопрос задачи, так как может не хватать числовых данных, их надо получить (в данном случае подобрать числа, а при решении составных задач найти, выполнив соответствующее действие).

2) Решение пар простых задач, в которых число, полученное в ответе на вопрос первой задачи, является одним из данных во второй задаче, например:

а) У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика больше. Сколько кроликов у мальчика?

б) У девочки было 3 кролика, а у мальчика 5 кроликов. Сколько кроликов у них вместе?

Учитель говорит, что такие две задачи можно заменить одной: "У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика больше. Сколько кроликов у них вместе?"

В дальнейшем дети сами будут заменять пары подобных задач одной задачей.

3) Постановка вопроса к данному условию.

- Я скажу условие задачи, говорит учитель, а вы подумайте и скажите, какой можно поставить вопрос: "Для украшения школы ученики вырезали 10 красных флажков и 8 голубых". (Сколько всего флажков вырезали ученики?)

4) Выработка умений решать простые задачи, входящие в составную. Надо иметь в виду, что необходимым условием для решения составной задачи является твердое умение детей решать простые задачи, входящие в составную. Следовательно, до введения составных задач определенной структуры надо сформировать умение решать соответствующие простые задачи.

Все эти упражнения необходимо включать при работе над простыми задачами до введения составных задач.

Для ответа на вопрос составной задачи нужно выполнить два и более арифметических действия.

Процесс решения составной задачи проходит в несколько этапов:

- ознакомление с содержанием задачи,

- анализ условия задачи,

- поиск плана решения задачи,

- составление плана решения задачи,

- запись решения и ответа,

- работа над задачей после ее решения .

В начальной школе практикуются следующие формы записи решения составной задачи: по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением, уравнением, с помощью графической или схематической модели. Для более полного понимания школьниками составной задачи учитель может использовать и комбинированную форму записи решения.

В начальном курсе математики текстовым задачам уделяется огромное внимание: практически на каждом уроке школьникам приходится иметь с ними дело. Их можно рассматривать как цель и как средство обучения, т.к. в процессе решения целесообразно подобранных задач у школьников происходит, как формирование умения решать задачи, так и усвоения содержания начального курса математики.

В ходе работы над темой нами была рассмотрена психолого-педагогическая и методическая литература. Проблемой обучения составным задачам в начальных классах занимались такие ученые и методисты, как М.А. Бантова, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой. Большое внимание составным задачам уделяли советские педагоги-математики, и методисты Е.С. Березанская, А.С. Пчелко, Я.С. Чекмарев и др.

Рассмотрели методику работы над различными видами составных задач, специфику этого вида учебных упражнений. Обучение решению составных задач в начальных классах строится на умении решать простые задачи, входящие в состав составной. Работа по решению задач должна вестись целенаправленно и систематически.

Рассмотрели роль моделирования в решении составных задач. Неотъемлемой частью решения составной задачи является построение модели, исследование которой служит средством для получения ответа на требование задачи. Чтобы дети легче прослеживали зависимости между величинами, а выбор действия становился для них осознанным и доказательным, необходимо систематически обучать детей моделированию.

Решая составные задачи, учащиеся знакомятся с понятиями, имеющими важное значение в повседневной жизни, такими как цена, стоимость и др., учатся планировать и контролировать свою деятельность.

Заключение

При обучении младших школьников решению задач с пропорциональной зависимостью можно выделить три основных вида:

- на нахождение четвертого пропорционального,

- на пропорциональное деление,

- на нахождение неизвестного по двум разностям.

Учитель начальных классов должен сформировать навык у учащихся решения задач. Этого требует программа. А для качественного решения этой проблемы необходимо применять наиболее эффективную методику работы. Нами были выявлены следующие условия, помогающие учителю выполнить эту работу наиболее успешно:

- формировать у школьников знания о задачах, методах и способах решения, о процессе решения, этапах этого процесса, о содержании и целях каждого этапа;

- вырабатывать умения разбиения задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять разнообразные приемы, помогающие понять задачу, составить план ее решения, выполнить его, проверить правильность, осознанно выполнять каждый из этапов решения;

- формировать умения решать задачи последовательно, ориентируясь на такие этапы:

1) подготовительный,

2) ознакомление с определенным видом задач,

3) закрепление умений;

- познакомить учащихся подробно с рассматриваемыми процессами в задачах с пропорциональной зависимостью и величинами их характеризующими;

- использовать в методике обучения решению задач с пропорциональной зависимостью общий подход, который складывается из следующих компонентов:

а) знаний о задачах, структуре задач, процессе и этапах ее решения, методах и способах, приемах решения,

б) умений выполнять каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению;

- процесс решения каждой задачи должен состоять из пяти этапов:

1) ознакомление с содержанием задачи,

2) поиск ее решения (выбор арифметических действий для решения),

3) составление плана решения,

4) запись решения и ответа,

5) проверка решения;

- применять в процессе обучения решению задач интересующего нас вида разнообразные методические приемы, помогающие работать над задачей на каждом этапе процесса ее решения;

- вести работу по формированию навыка решения задач на пропорциональную зависимость целенаправленно и систематически.

Таким образом, решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей.

Во-первых, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека - способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки».

Во-вторых, решение задачи алгебраическим методом - чуть ли не единственный путь для объяснения ученикам того, чем вообще занимается математика, - объяснения метода математического моделирования. Собственная деятельность школьника в этой области протекает именно и только при решении текстовых задач алгебраическим методом. Ученик читает условия, характеризующие некоторую бытовую ситуацию, переводит эту ситуацию на математический язык (составляет уравнения) и затем решает уравнения, уже не думая о данной бытовой ситуации. Он работает с математической моделью. Наконец, он получает результат на языке этой модели и переводит его на естественный язык (осмысление и запись ответа) - получает решение бытовой задачи.

Список литературы

Алмазова, И.Р. Сборник задач и примеров по математике для начальных классов / И.Р. Алмазова. - М.: Просвещение, 2003. - 170с.

Белошистая, А. В. Методика преподавания математики в начальной школе / А.В. Белошистая. - М.: Владос, 2005. - 455с.

Белошистая, А.В. Прием графического моделирования при обучении решению задач / А.В. Белошистая // Начальная школа. - 2006. - №8. - С. 36-39.

Волкова, С.И. Карточки с математическими заданиями 4 кл. / С.И. Волкова. - М.: Просвещение, 1993. - 207с.

Далингер, В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике / В.А. Далингер. - М.: Просвещение, 1991. - 149с.

Демидова, А.Е. Обучение решению некоторых видов составных задач / А.Е. Демидова // Начальная школа: плюс до и после. - 2003. -№4. - С.34-37.

Жиколкина, Т.К. Математика. Книга для учителя. 2 кл. / Т.К. Жиколкина. - М.: Дрофа, 2000. -213с.

Зайцев, В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей и родителей/ В.В. Зайцев. - М.: Владос, 1999. - 307с.

Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений / Н.Б. Истомина - М.: Издательский центр "Академия", 2002. - 512с.

Казько, Е.С. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами/ Е.С. Казько // Начальная школа. - 1998. -№5. - С.28-33.

Колоскова О.П. Формирование учебных умений младших школьников в процессе обучения решению текстовых задач / О.П. Колоскова // Начальная школа. - 2008. - №9.- С.29-32.

Лавриненко, Т.А. Как научить детей решать задачи / Т.А. Лавриненко. - Саратов: Лицей, 2000. - 264с.