Общая схема решения задач на проценты

Размещено на http://www.allbest.ru/

МБОУ “Среднекирменская СОШ”

Секция: Математика

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Выполнил: Мухаметзянов Ильмир Фанисович

С. Средние Кирмени 2022



Оглавление

Введение

1. История возникновения процента

2. Проценты в математике

2.1 Определение процента

2.2 Проценты и дроби

2.3 Три основные задачи на дроби

3. Схема решения текстовых задач

3.1 Задача на смеси

3.2 Задача на работу

3.3 Задача на движение

4. Расчет банковских кредитов. Вывод формул

4.1 Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат

4.2 Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого

4.3 Общая схема решения задач

5. Задачи для самостоятельного решения

Заключение

Литература



Введение

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

Цель:

· научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах;

· обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;

· сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

· облегчить работу по подбору задач экономического содержания

Задачи:

· изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

· познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике;

· углубить знания по теме проценты;

· рассмотреть различные способы решения задач;

· выявить структуру экономических задач на проценты;

· провести анализ решений;

· обобщить и систематизировать способы решения задач.

Объект исследования:

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Предмет исследования: процент задача экономический формула

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

Методы:

· поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

· исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;

· практический метод решения задач;

· анализ полученных в ходе исследования данных.



1. История возникновения процента

Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») - сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег.



2. Проценты в математике

2.1 Определение процента

Процент -- одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille - “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

2.2 Проценты и дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина -- 50%, четверть -- 25%, три четверти -- 75%, одна пятая -- 20%, а три пятых -- 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.



Действия с процентами

Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например:

1% + 37% ? 25% = 38% ? 25% = 13%

70% ? (42% + 3%) = 70% ? 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x - это 100%.	Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x	Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.

Пусть x -- 100%.

Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.

Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.

100% ? 80% = 20%

20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию.

По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

x / y = 100% / 20%

x / y = 5

x = 5y

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз “увеличить и уменьшить на... процентов”

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

на 100% > в 2 раза

на 150% > в 2,5 раза

на 200% > в 3 раза

на 300% > в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

на 75% > в 4 раза

на 50% > в 2 раза

на 25% > в ? 1,33 раза

на 20% > в 1,25 раза

2.3 Три основные задачи на проценты

Различают три типа задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа. Чтобы найти процент от числа, надо проценты перевезти в дробь, а затем число умножить на эту дробь. Задача: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие? Решение: 60 % = 0,6 500 * 0,6 = 300 (насосов высшей категории качества). Ответ: 300 насосов.	2. Нахождение числа по его части. Чтобы найти число по его проценту, надо проценты перевести в дробь. Затем число поделить на эту дробь. Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге? Решение: 23%=0,23 138: 0, 23 = 600(страниц в книге) Ответ: 600 (стр.) -- общее количество страниц в книге.	3. Нахождение процентного отношения двух чисел 1) Найти отношение двух чисел 2) Умножить это отношение на 100 и приписать знак % Задача. Из винтовки было сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Сколько процентов пуль попала в цель? Решение: 1) (попало в цель) 2) Ответ: 90



3. Схема решения текстовых задач

Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи.

3.1 Задача на смеси [2]

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

	Концентрация	m раствора	m вещества
1 раствор	15% = 0,15	4л	0,15*4л = 0,6л
2 раствор	25% = 0,25	6л	0,25*6л = 1,5л
3 раствор	?	4л+6л = 10л	0,6л+1,5л = 2,1л

Концентрация(3р-ра) = = 0, 21 *100% = 21%

Ответ: 21%

Заметим. Что при решении задачи мы не вышли за пределы таблицы.

3.2 Задача на работу [2]

Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объёмом 500 л она заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба?

Решение: Пусть х л/мин пропускает первая труба, тогда занесем данные в таблицу:



	Р (производительность)	t (время)	А (работа)
1 труба	Х л/мин	мин	500 л
2 труба	Х + 5 л/мин	мин	500 л

Так как первая труба, бак объёмом 500 л заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба составим и решим уравнение.

- = 5

500(х+5) - 500х = 5х(х+5)

500х + 2500 - 500х = 5х² + 25х

- 5х² - 25х + 2500 = 0

х² + 5х - 500 = 0

По теореме Виета:

х₁ = 20

х₂ = -25 - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 20 л/мин

3.3 Задача на движение [2]

Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Найдите скорость первого автомобиля, если скорость второго равна 60 км/ч и автомобили встретились через 3 ч после выезда.

Решение: Пусть х км/ч-скорость первого автомобиля, тогда занесем данные в таблицу

	U (скорость)	T (время)	S (путь)
1 автомобиль	х км/ч	Встретились	390 км
2 автомобиль	60 км/ч	через 3 часа	390 км

U сближения = 60+х км/ч,

Так как автомобили встретились через 3 часа, составим и решим уравнение.

= 3

180+3х = 390

3х = 210

х = 70

Ответ: 70 км/ч

Проанализируем решения задач. Все таблицы составлены таким образом, что элементы третьего столбика мы получаем умножением элементов первого и второго столбиков. Элементы первого столбика путем деления элементов третьего столбика на второй, а элементы второго столбика путем деления элементов первого столбика на первый.

При этом в третьем столбике записываем в задачах на смеси и сплавы « m вещества», в задачах на движение «S (путь)», в задачах на работу «А (работа)».

Именно так записываем по той причине, что элементы трех столбиков во всех задачах связаны между собой формулами.

В задачах на смеси:

В задачах на работу:

В задачах на движение:

Все три типа задач решаем по одной схеме.

4. Расчет банковских кредитов. Вывод формул

В этом разделе будут рассмотрены задачи на вычисления связанные с кредитованием, а именно нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, количество лет. Данные подсчеты экономически целесообразны в связи с тем, что каждый человек при заключении договора определяет наиболее выгодные для себя условия.

Такие задания классифицируются на простые, решения которых ограничиваются одной формулой, и сложные решение которых требует составления систем, решение неравенств и т.д.

Для многих задач данного типа удобно использовать формулы, выведение которых представлено ниже.

Рассмотрим основные элементы, которые встречаются в задачах, и дадим им характеристику:

• S - сумма, которую берут в кредит

• r - годовая/месячная ставка

• k - число, показывающее во сколько раз увеличивается сума S перед банком (k = 1+0,01*r)

• x - выплата

• n - количество лет/месяцев, за которое необходимо выплатить кредит

• F - сумма, которую в итоге придется вернуть банк

• P - переплата, равная F - S

4.1 Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат

Первая формула на нахождение суммы долга, обычно в задачах условия кредитования следующие: в банке берется кредит и увеличивается на r процентов, затем вносится выплата, и сумма оставшегося долга увеличивается на r процентов, и так через n лет происходит погашение кредита.

Задача1. [6] В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

1. Составим краткую запись:

S = 6 409 000 рублей

r = 12, 5% k = 1+0,01r = 1,125 =

х = ? рублей

n = 2 года

2. Проиллюстрируем процесс кредитования на спирали:

Заметим, что кредитование похоже на цикл, в котором можно выделить три этапа: долг перед банком, выплата, остаток. Перенесем все данные в таблицу.

3. Перенесем данные в таблицу:

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
k(Sk-x)	x	k(Sk-x)-x

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
6 409 000 *	x	6 409 000 *-x
* (6 409 000 *-x)	x	* (6 409 000 *-x) - x

4. Составим уравнение, где последний остаток равен нулю, чтобы узнать размер выплаты

* (6 409 000 *-x) - x = 0

6 409 000 * - х - х = 0

- х = -

x = *

x = 3 817 125 (рублей)

Ответ: 3 817 125 рублей

Рассмотрим вторую задачу такого же типа.

Задача 2. [6] В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей

Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение.

Так же запишем краткую запись:

S = ? млн рублей

r = 20%

k = 1, 2

x = 2, 16 млн рублей

n = 3 года

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
k(Sk-x)	x	k(Sk-x)-x
k(k(Sk-x)-x)	x	k(k(Sk-x)-x)-x

Раскроем скобки

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk2-kx	x	Sk2-kx - x
Sk3-k2x - kx	x	Sk3-k2x - kx - x

Sk³-k²x - kx - x = 0

Sk³ =k²x + kx + x

Sk³ = х (k²+ k + 1) (сделаем замену числа k)

S*1, 2³ =х (1,2²+ 1,2 + 1) (сделаем замену числа х)

S =

S =

S = 4, 55 (млн рублей)

Ответ: 4,55 млн рублей

Заметим, что обе задачи решаем по одной схеме. Различия в том, что в первой задаче ищем размер выплат, а во второй задаче - сумму, взятую в кредит. В обеих задачах приходим к одной формуле.

Задача 1. k(Sk-x)-x=0(последний остаток равен 0), отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 2. (последний остаток равен 0), отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 3. [5] 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)

Решение. Снова нарисуем спираль.

Решение.

Краткая запись:

S = 9 282 000 млн

r = 10% (годовые)

k = 1+0,01r = 1 + 0,01*10 =1,1

n = 4 года

х =? Рублей

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk - x
k(kS-x)	x	K(kS-x) - x
k(k(kS-x) - x)	x	K(K(kS-x) - x) - x
K(K(K(kS-x) - x) - x)	x	K(K(K(kS-x) - x) - x) - x

Раскроем скобки

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk - x
k2S-kx	x	k2S-kx - x
k3S-k2x- kx	x	k3S-k2x - kx - x
k4S-k3x - k2x - kx	x	k4S-k3x - k2x - kx-x

*Примечание: на основании этой таблицы, можно вывести формулу

KⁿS - k^n-1x - k^n-2x - k^n-3x - …. - kx -x = 0

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю.

k⁴S-k³x - k²x - kx-x = 0 (подставим вместо k число )

()⁴S = x(()³ + ()² + + 1)

()⁴S = x (+ + + 1)

()⁴S = x

11⁴*Sч10⁴ = 4641xч10³

4641x*10⁴ = 11⁴S*10³

x = 11⁴S*10³ ч 4641*10⁴ (заменим S на 9 282 000)

12

x = 14 641 * 9 282 000 ч 4641

x = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей

Второй способ решения задачи.

Назовем эти задачи А) Задачи на равный размер выплат.

Зная, что мы долг должны погасить четырьмя равными платежами запишем формулу последнего остатка k⁴S-k³x - k²x - kx-x = 0. Отсюда выведем

k⁴S=k³x + k²x + kx+x.

;

Если бы мы искали S, то получили бы формулу ;

На основании решений задач 1, 2, 3 запишем формулы

; ;

4.2 Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого

Следующий тип задач назовем тип Б) Задачи на сокращение остатка на одну долю от целого

Пример решения задачи типа Б:

Задача 4. [5] 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го числа пло14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банке 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Краткая запись:

S =? рублей

r = 3%

k = 1+0,01*3 = 1,03

Сумма x за 12 месяцев = 466,5 тыс. рублей

n = 24 месяца

С каждым месяцем долг будешь уменьшаться в , …. ,, 0

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	Sk -S= S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk - S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk -S= S(k-1)+S	S
Sk	Sk - S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+S	S

Составим уравнение, где сумма всех выплат будет равняться всем выплатам за год кредитования. Найдем сумму кредита.

S(k-1)*(1 + + +++++++++) + S = 466 500

S(k-1)* + S = 466 500 (заменим число k на 1,03)

S(1,03-1)* + S = 466 500

S*(0,03* + ) = 466 500

= 466 500

S =

S = 600 000 (рублей)

Ответ: 600 000 рублей

Запишем общую формулу для решения данной задачи.

-сумма выплат

Применим ее для решения следующей задачи.

Задача 5. [3] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

.

Подставим в формулу наши данные, получим

Сгруппируем ;;;;;

;;.

Получим 9 пар по 1. Поэтому

.

Ответ: 3%

Задача 6. [4] В июле планируется взять кредит на сумму 18 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма после выплат после его погашения составит 27 млн. рублей.

Решение. Снова обратимся к той же формуле

F-сумма выплаченная банку, P-переплата

Подставив в эту формулу найдем

Ответ: 9 лет.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 7.[5] 15-ого января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-ого числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число;

- выплата должно производиться один раз в месяц со 2-ого по 14-е число каждого месяца;

- 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3	0

Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придется выплатить больше 1,5 млн рублей.

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
1 k	K-0,8	0,8
0,8k	0,8k - 0,6	0,6
0,6k	0,6k - 0,5	0,5
0,5k	0,5k - 0,4	0,4
0,4k	0,4k - 0,3	0,3
0,3k	0,3k - 0	0

Теперь составим неравенство, где сумма всех выплат будет строго больше 1,5 млн:

k - 0,8 + 0,8k - 0,6 + 0,6k - 0,5 + 0,5k - 0,4 + 0,4k - 0,3 + 0,3k - 0 > 1,5

3,6k - 2,6 > 1,5

3,6k > 4,1

3,6(1+0,01r) > 4,1

3,6 + 0,036r > 4,1

0,036r > 0,5

r >

r>

r > 13,8(3) => r = 14

Ответ: 14%

Задача 8..[4] В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

- в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом

- с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в танке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

Краткая запись:

S = ? рублей

r = 30%

k = 1, 3 =

x = ? рублей (равные платежи)

n = 3 года

F = S+ 156 060 рублей

Сумма (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk2-kx	х	Sk2-kx - x
Sk3-k2x - kx	x	Sk3-k2x - kx - x

Составим уравнением с последним остатком, чтобы определить размер суммы S:



Sk³-k²x - kx - x = 0

Sk³ = k²x + kx + x

Sk³ = х (k² + k +1)

Sk³ = x(()²++ 1)

Sk³ = x ( + + )

Sk³ =

Sk³ * 100 = 399*х

S =

Определим размер выплаты:

3х = + 156 060

6591х = 3990*х + 342 863 820

2601х = 342 863 820

х = 131 820

Возвращаясь к уравнению из пункта 1, найдем теперь размер суммы S:

S =

S =

S = 3990 * 60

S = 239 400 (рублей)

4.3 Общая схема решения экономических задач

Решив и проанализировав задачи, я пришла к заключению, что большая часть задач сводится к таблице такого вида:



Долг (Сумма*k)	Выплата(Долг-Остаток)	Остаток (Долг- Выплата)

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач, которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

1. Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KⁿS - k^n-1x - k^n-2x - k^n-3x - …. - kx -x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

2. Закономерность изменения выплата при её разном значении:



1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

3. Формула переплаты:

(где P = F - S)



5. Задачи для самостоятельного решения

ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1:.[4] В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июль необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (млн рублей)	S	0,6S	0,3S	0

Найдите набольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей. Ответ: 7 млн рублей

Задача 2:.[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший - не менее 0,6 млн. Ответ: 20%

Задача 3..[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 1,5 млн рублей? Ответ: 16,2 млн рублей

Задача 4..[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? Ответ: 10 лет

Задача 5..[2] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. Ответ: 3%

Задача 6..[2] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 7,5 млн рублей? Ответ: 4года

Задача 7.[6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год - 69 000 рублей. Ответ: 15%

Задача 8. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 66 000 рублей, а во второй год - 58 000 рублей. Ответ: 16%

Задача 9. [6] 15 июля планируется взять кредит на сумму 800 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- 31-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 000 рублей? Ответ: 5 месяцев

Задача 10. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 3,6 млн рублей? Ответ: 5 лет



Заключение

Практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы. Я предположила, что существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала, а также можно самостоятельно вывеси формулы для их решения. С этой целью я занялась исследованием экономических задач. Я изучила теоретические аспекты решения экономических задач и научилась понимать и использовать информацию, представленную в процентах. Познакомилась с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике. Углубила знания по теме проценты. Рассмотрела различные способы решения задач. Выявила структуру экономических задач на проценты. Провела анализ решений. Обобщила и систематизировала способы решения задач. Составила единую схему решения и вывела формулы для решения этих задач. Собрала материал для самостоятельной работы, чем облегчила работу тем, кто будет готовиться к экзаменам по данной методичке.

Решив и проанализировав задачи, я пришла к заключению, что большая часть задач сводится к таблице такого вида:

Долг (Сумма*k)	Выплата(Долг-Остаток)	Остаток (Долг- Выплата)

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач, которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

4. Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KⁿS - k^n-1x - k^n-2x - k^n-3x - …. - kx -x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

5. Закономерность изменения выплата при её разном значении:

1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

6. Формула переплаты:

(где P = F - S)

Так гипотеза, сформулированная нами в начале исследования, подтвердилась.

Проведение данного исследования позволило получить практический материал для обучения математике, который также лег в основу моего личностного развития, как выпускника 2017/2018 учебного года и способствовало продуктивному началу подготовке к сдаче экзамена.

В дальнейшем планируется использование созданного материала на уроках математики в старших классах школы и расширение спектра экономических задач.

Таким образом, понимание процентов, кредитования, крайне полезно и важно, ведь это не только помогает решить задачи профильного уровня ЕГЭ по математике, но и в целом даёт базовое понятие о банковских процессах, что в будущей жизни, несомненно, поможет.

В целом работа по данной теме для меня оказалась плодотворной, а также она может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при исследовании удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.



Список использованной литературы

1. Web -Википедия «Процент»https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82

2. РЕШУ ЕГЭ Образовательный портал для подготовки к экзаменам/ https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1.

3. Самообразование. Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень / http://self-edu.ru/ege2017_36.php.

4. И.В.Ященко «ЕГЭ-2018 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ». М., Национальное образование, 2018г.

5. И.В.Ященко «ЕГЭ-2017 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ». М., Национальное образование, 2017г.

6. А.В. Семенов, И.В.Ященко «КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ МАТЕМАТИКА »-М., Интеллект -центр, 2015г.

7. А. Г. Малкова «МАТЕМАТИКА АВТОРСКИЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ»_ Ростов - на- Дону, Феникс.

Размещено на Allbest.ru