Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную , тогда из получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Отсюда вытекает , и , .

Рассмотрим два уравнения

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем и . Подстановкой в убеждаемся в том, что найденные значения переменной являются корнями исходного уравнения.

Ответ: .

Пример 2 Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что и является корнем уравнения.

Пусть теперь , тогда обе части уравнения разделим на и получим уравнение

Если обозначить , то уравнение принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются и .

Рассмотрим уравнения и , откуда следует, что и . Так как , то наиденные значения являются корнями уравнения.

Ответ: , , .

Пример 3 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Положим, что и , тогда из получим уравнение , из которого следует и , . Так как и , то и при этом .

Поскольку и , то . Отсюда получаем систему уравнений

где . Решением системы уравнений относительно является . Так как при этом и , то и .

Ответ: .

Пример 4 Решить уравнение

Решение. Для преобразования левой части уравнения воспользуемся очевидным равенством . Тогда из уравнения имеем

и

Если затем положить , то получим уравнение , корни которого равны и .

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и , т.е. и , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем .

Ответ: , .

Пример 5 Решить уравнение

Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения . Так как , то разделим обе части уравнения на . Тогда получим

Пусть , тогда

и из уравнения следует или . Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что и .

Далее, рассмотрим три уравнения , и . Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 6 Решить неравенство

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства на и обозначим через . Тогда неравенство можно переписать как

и

Решая неравенство с учетом того, что , получаем . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 7 Решить уравнение

Решение. Выполним замену переменных, пусть и . Так как и , тo . Кроме того, имеем .

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

Пусть теперь и , тогда из системы уравнений следует и . Отсюда с учетом того, что , получаем и . Следовательно, имеет место , и .

Поскольку и , то и , где --- целое число.

Ответ: , где --- целое число.

2. Метод тригонометрической подстановки

К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной тригонометрической функцией, например или , а также в замене некоторой функцией от , или .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 8 Решить уравнение

Решение. Поскольку не является корнем уравнения , то разделим обе его части на . Тогда

Если или , то левая часть уравнения будет больше , а правая его часть --- меньше . Следовательно, корни уравнения находятся на отрезке .

Пусть , где . Тогда уравнение принимает вид тригонометрического уравнения

Решением уравнения являются , где --- целое число. Однако , поэтому , и . Так как , то , и .

Ответ: , и .

Пример 9 Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что

Выполним замену , где . В таком случае левая часть уравнения принимает вид

а из уравнения следует тригонометрическое уравнение вида

Сделаем еще одну замену переменных, пусть , тогда и из получаем квадратное уравнение относительно переменной , т.е. , решением которого являются и . Так как и , то и . С учетом того, что , получаем систему тригонометрических уравнений

Из уравнений системы составим квадратное уравнение относительно вида и получаем и . Так как , то и

Ответ: , .

Пример 10 Решить систему уравнений

Решение. Поскольку и , то положим и , тогда и . Тогда и . В таком случае , и система уравнений принимает вид

Из первого уравнения системы получаем . Поскольку , то , Следовательно, получаем систему

Отсюда следует и . Так как и , то и .

Ответ: , .

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Неравенство Коши

Пусть , , ..., , тогда

где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда . В частности, если в положить , то

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в положить и , где , то

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .

Следует отметить, что имеется аналог неравенства для отрицательных значений , а именно, если , то

Данное неравенство превращается в равенство при .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального имеет место

Причем равенство в достигается при или .

Наряду с существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если или , то

если , то

где .

Следует отметить, что равенства в и имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных и имеет место

где .

Причем равенство в достигается в том и только в том случае, когда числа . и пропорциональны, т.е. существует константа такая, что для всех выполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского можно доказать неравенство

которое справедливо для произвольных , и натурального числа .

Задачи и решения

Пример 11 Доказать неравенство

где .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства , т.е.

Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство .

Пример 12 Доказать, что если , то

Доказательство. Введем обозначения и . Тогда и .

Используя неравенство Коши-Буняковского , можно записать . Так как , то и .

Имеет место равенство , из которого следует .

Следовательно, для доказательства неравенства достаточно показать, что или , где .

Пусть . Для доказательства неравенства требуется показать, что , где .

Так как , то корни уравнения являются точками, подозрительными на экстремум функции . Уравнение имеет два корня: , . Поскольку , , , то .

Отсюда следует, что неравенство доказано.

Пример 13 Доказать, если , то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли , а затем неравенством Коши , тогда

Пример 14 Решить уравнение

Решение. Используя неравенство Коши , можно записать

т.е. имеет место неравенство

Отсюда и из уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда и .

Следовательно, имеем и .

Ответ: , ; , ; , ; , .

Пример 15 Решить уравнение

Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли , а к правой части --- неравенство , тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения , обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .

Ответ: .

Пример 16 Доказать неравенство

где , .

Доказательство. Непосредственно из неравенства следует . Используя это неравенство и неравенство Коши , получаем неравенство следующим образом:

Пример 17 Доказать, что

где , , --- стороны треугольника, a --- его площадь.

Доказательство. Известно, что , где --- угол между сторонами и . Поскольку , то . Используя неравенство Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника вида . По аналогии с изложенным выше имеет место и .

Тогда .

Отсюда следует справедливость неравенства .

Пример 18 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами , , и диагональю имеет место неравенство

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского , тогда .

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде (теорема Пифагора), то . Отсюда следует справедливость неравенства . Заметим, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 19 Пусть --- точка, лежащая внутри прямоугольника , и --- его площадь. Доказать, что

Доказательство. Через точку , лежащую внутри прямоугольника , проведем и . Обозначим , , и . Тогда , , , , и требуемое неравенство принимает вид

Используя неравенство Коши--Буняковского , можно записать два неравенства

и

Следовательно, имеет место

и

Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство .

4. Методы, основанные на монотонности функций

При решении уравнений типа в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение на отрезке может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция называется возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство (соответственно, ). Если функция является на отрезке возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция возстает, a убывает для и при этом , то корней уравнения среди нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения представляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция является монотонной на отрезке и уравнение (где --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 20 Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются . Рассмотрим функции и . Известно, что функция для является убывающей, а функция --- возрастающей. В этой связи уравнение может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.

Ответ: .

Пример 21 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную . Тогда , и уравнение принимает вид

Уравнение имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения на , тогда

Так как , а , то левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что --- корень уравнения . Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения является .

Ответ: .

Пример 22 Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на , тогда

Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения . Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом .

Если , то , и .

Если , то , и .

Следовательно, среди 2 или корней уравнения нет.

Ответ: .

5. Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

или

где , , --- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений , основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 23 Корни уравнения являются корнями уравнения

Доказательство. Пусть --- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения .

Теорема 24 Если --- возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства

Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что .

Отсюда и из теоремы следует справедливость теоремы .

Следствие 25 Если функция возрастает для любого , то уравнения и равносильны.

Следствие 26 Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения и равносильны.

Более сложным является решение уравнения в том случае, когда на некотором отрезке функция является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы и двух следствий только при условии, что в уравнении число нечетное.

Теорема 27 Если --- убывающая функция на отрезке , --- нечетное и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е.

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , , и т. д.

Так как --- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как --- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы , следует справедливость теоремы .

Следствие 28 Если функция убывает для любого и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Следствие 29 Если функция убывает на своей области определения и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение также имеет не более одного корня.

Если в уравнении --- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 30 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть --- корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть --- корень уравнения , т. е. . Отсюда следует .

Следствие 31 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций и , то уравнения и равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 32 Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и (), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 33 Решить уравнение

где квадратный корень берется раз ().

Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть , тогда уравнение принимает вид функционального уравнения .

Так как при функция возрастает и , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ: .

Пример 34 Решить уравнение

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е.

где .

Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ: .

Пример 35 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

Пусть , тогда уравнение принимает вид

Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию ) уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнение равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение , которое имеет единственный действительный корень .

Ответ: .

Пример 36 Решить уравнение

Решение. Поскольку при всех , то областью допустимых значений уравнения является множество всех действительных чисел.

Положив , и , увидим, что заданное уравнение принимает вид , где и . Так как из следует, что

то функция является возрастающей на области значений функций и . В этой связи уравнение равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня .

Ответ: .

6. Методы, основанные на применении векторов

Вектор в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами , , и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле . Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор , координаты которого вычисляются как (соответственно, ).

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов и справедливо неравенство , т.е.

Формула обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, из равенства в следует, что . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. .

В свою очередь, равенство свидетельствует о том, что векторы , противоположно направлены и . Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле

где --- угол, образованный векторами и .

Для вычисления скалярного произведения двух векторов и , заданных в координатной форме, существует еще одна формула

Из формул и легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами и , т.е

Из формулы следует, что векторы , являются коллинеарными тогда и только тогда, когда .

Отметим, что формулы -- обобщаются на случай векторов и , заданных в -мерном пространстве (где ).

Задачи и решения

Пример 37 Доказать, если , то

где .

Доказательство. Пусть , , ..., , тогда , ,...,. Введем в рассмотрение вектор .

Так как , то вектор имеет координаты и . Поскольку , то неравенство треугольника принимает вид

Если в неравенство подставить выражения для и , то получим требуемое неравенство .

Пример 38 Решить неравенство

Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты , а вектор --- координаты . Тогда имеем и . Пусть , тогда координаты вектора будут вычисляться по формулам и . Отсюда следует, что . Поскольку , то имеет место неравенство треугольника . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство . Отсюда и из следует равенство

Равенство означает, что .

Отсюда следует, что векторы и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение , откуда вытекает .

Ответ: .

Пример 39 Решить уравнение

Решение. Введем в рассмотрение два вектора и . Тогда , и .

Принимая во внимание уравнение , получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

Из уравнения следует, что . Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение , которое имеет следующих три корня: и . Поскольку , то решением уравнения являются и .

Ответ: , .

Пример 40 Найти минимальное значение функции

Решение. Представим функцию в виде

Введем на плоскости векторы , с координатами и , соответственно. Так как и , то из выражения следует, что .

Пусть , тогда координатами вектора являются и .

Так как , то и . Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции достижима, т.е. существуют такие значения и , при которых функция принимает значение .

Если , то , т.е. векторы и коллинеарные. Отсюда следует, что и . Положим , тогда . Если найденные значения и подставить в , то . Следовательно, минимальное значение функции равно .

Ответ: .

7. Комбинированные методы

Задачи и решения

Пример 41 Решить уравнение

Решение. Рассмотрим уравнение с параметром вида

которое совпадает с уравнением при . Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е.

Решением уравнения относительно являются

т.е. и . Поскольку , то получаем два уравнения относительно переменной вида и . Отсюда получаем три корня исходного уравнения , т.е. и .

Ответ: , .

Пример 42 Решить уравнение

Решение. Обозначим , тогда . Известно, что , тогда и из уравнения получаем уравнение относительно переменной вида . Решая последнее уравнение, получаем и . Таким образом, имеет место и . Отсюда следует и .

Ответ: , .

Пример 43 Найти все значения параметра , при которых разрешимо уравнение

Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством . Обозначим , тогда и из получаем

где .

Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных и , вида

(данные неравенства легко доказать самостоятельно).

Следовательно, и из получаем , откуда следует .

Ответ: .

Пример 44 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение согласно известного равенства , где , тогда . Отсюда следует

Если уравнение сложить с уравнением , то получаем . Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то . Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Непосредственной подстановкой в убеждаемся, что найденные значения являются его корнями.

Ответ: , .

Пример 45 Решить уравнение

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения являются . Умножим обе части уравнения на , тогда получаем

Решением уравнения являются , и . Однако --- посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении левая часть уравнения равна , а правая меньше . Так как , то не может быть корнем уравнения . В этой связи --- единственное решение исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 46 Решить уравнение

Решение. Обозначим и , тогда из уравнения получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида

где и .

Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом:

Так как , то . Отсюда получаем или . Рассмотрим две системы

Корнями первой системы являются , и , , а вторая система решения не имеет. Следовательно, или . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной вида и . Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует и . Ответ: , .

Пример 47 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если , то . Тогда уравнение можно переписать как

Поскольку , то из уравнения получаем ; т.е. и .

Так как уравнения и равносильны, то решением уравнения являются и .

Ответ: , .

Пример 48 Доказать неравенство

где и .

Доказательство. Доказательство неравенства будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения и , что и , при которых выполняется неравенство

Из неравенства получаем

Так как , и , то из неравенства следует

Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства .

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что , , , , , , , , , , , и многие другие. Здесь --- натуральное число, , и .

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства , и неравенства с модулями вида .

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе .

Задачи и решения

Пример 49 Решить уравнение

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что . Так как при этом , то из получаем систему уравнений

Решением второго уравнения системы является . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы уравнений и уравнения .

Ответ: .

Пример 50 Решить уравнение

Решение. Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как , то из уравнения следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ: , .

Пример 51 Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются .

Первоначально покажем, что функция при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ: .

9. Методы решения симметрических систем уравнений

В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида

и

Метод решения системы состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда

заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы , в результате чего получается система уравнений

При решении системы уравнений необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем

Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие . Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы , то получаем две системы уравнений относительно , , вида

Полученные системы уравнений относительно , , допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений , . Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.

Задачи и решения

Пример 52 Решить систему уравнений

Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы прибавить 1, то получаем

Из последней системы уравнений следует

Пусть , тогда

и , , .

Если , то по аналогии с предыдущим получаем , , .

Ответ: , , ; , , .

Пример 53 Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы вычем второе уравнение, тогда . Умножим на обе части последнего уравнения и получим

откуда следует . В таком случае первое уравнение системы принимает вид . Следовательно, .Так как , то

Ответ: , , ; , , .

Пример 54 Решить систему уравнений

Решение. Обозначим и . Тогда из первого уравнения системы следует, что .

Преобразуем второе и третье уравнения системы следующим образом:

Из второго уравнения системы следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1) Пусть . Тогда , а из первого уравнения системы получаем . Так как и , то имеет место система уравнений

из которой следует , , и , , .

2) Пусть , тогда . Если данрое выражение для подставить в первое уравнение ситемы , то получим квадратное уравнение относительно переменной вида , которое имеет два корня и .

Если , то и из первого уравнения системы получаем . В таком случае

и , , , , , .

Если , то , и

Отсюда следует , , , , , .

Ответ: См. выше.

Пример 55 При каких значениях параметра система неравенств

имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств переменные , входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде и , где .

Подставим в любое из неравенств системы , тогда или . Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е. , и .

Ответ: .

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Целой частью действительного числа (или Антье) называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается через . Очевидно, что . Разность называется дробной частью числа (или Мантисса) и обозначается через . Из определения следует, что . Кроме того, справедливо равенство

Например, имеет место , , , и , , .

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа справедливо

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.

Задачи и решения

Пример 56 Решить уравнение

Решение. Поскольку является целым числом, то --- тоже целое число. Следовательно, число также является целым. В таком случае и уравнение принимает вид или . Целыми корнями последнего уравнения являются и .

Ответ: и .

Пример 57 Решить уравнение

Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если , то и , т.е. решением уравнения могут быть только .

Пусть , тогда из уравнения следует, что . Так как и , то получаем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются .

Если , то и . Следовательно, уравнение не имеет корней среди .

Ответ: .

Пример 58 Решить уравнение

Решение. Используя свойство , можно записать

Так как , то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим

Отсюда, принимая во внимание уравнение , следуют неравенства

Поскольку в этом случае следует, что или . Так как --- целое число, то отсюда получаем, что или . Следовательно, имеем .

Из уравнения следует, что --- целое число. Так как , то остается лишь проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями уравнения являются , и .

Ответ: , , .

Пример 59 Решить уравнение

Решение. Из формулы следует, что . В этой связи уравнение можно переписать, как .

Отсюда следует уравнение

Очевидно, что является корнем уравнения . Положим, что . Тогда разделим обе части уравнения на и получим уравнение

Рассмотрим последовательно несколько случаев.

Если , то и . В таком случае .

Если , то и .

Если , то и , тогда .

Если , то , и . Отсюда следует, что уравнение корней не имеет.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 60 Решить уравнение

Решение. Решая тригонометрическое уравнение , получаем

где --- целое число. Из уравнения получаем совокупность двух уравнений или . Левые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случая в первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что . В этом случае получаем уравнение , откуда следует или .

Ответ: .

Пример 61 Решить уравнение

Решение. Левая часть уравнения принимает только целые значения, поэтому число является целым.

Так как , то при любом целом многочлен представляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой оси целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочлен делится на без остатка, т.е. является целым числом.

В этой связи и уравнение принимает вид или

Так как , то корнями уравнения являются , и .

Ответ: , , .

Пример 62 Доказать равенство

для произвольного действительного числа .

Доказательство. Любое число можно представить или как , или как , где --- целое число и .

Рассмотрим два возможных случая.

1) Пусть . Так как , то

и

.

2) Пусть , тогда

и

.

Таким образом, равенство выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаев. Следовательно, равенство доказано.

Заключение