Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени НИЗАМИ

Решение неравенств

(методические рекомендации для учителей)

БАКИРОВА А.Ю.

НОРМАТОВ А.А.

Ташкент 2004

Решение неравенств один из самых трудных для понимания и усвоения разделов в курсе школьной алгебры. Вообще для решения неравенств существует множество различных методов, как-то: метод системосовокупностей (с.с.), метод интервалов, графический метод, а также нестандартные методы.

В школе, в лучшем случае, делается попытка научить учащихся решать неравенства методом с.с, что в силу сложности этого метода, очень редко удается. Среди учителей встречается неправильное мнение о том, что неравенства можно решать подобно уравнениям, учитывая при этом область допустимых значений (ОДЗ).

В школьном курсе математики рассматривается метод интервалов для дробно-рациональных неравенств, графический метод рассматривается недостаточно. А о нестандартных методах говорить не приходится. При этом обучение строится по принципу «правило-пример», для выполнения упражнений учащимся достаточно знаний некоторых правил и образца показанного учителем. Такой подход отучает от самостоятельного мышления, не способствует развитию математической деятельности.

Учитывая эти недостатки средней школы, рассмотрим методический подход изучения темы «Неравенства» на более высоком уровне в академических лицеях математического и естественного направления.

Предлагаемый подход позволяет освободить учащихся от необходимости держать постоянно в памяти большое количество второстепенных формул, теорем, методов и тем самым предоставит им возможность для активного восприятия материала, для формирования своей индивидуальной системы знаний.

ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ

1. Метод системосовокупностей

Метод системосовокупностей один из самых распространенных и универсальных методов решения неравенств любого типа, т.к. метод системосовокупностей (с.с.) подчинен законам теории множеств.

Однако бывают и исключения, которые объясняются лишь тем, что какие-то неравенства нельзя решить методами курса математики лицея.

Например,

В дальнейшем будем показано, что такие неравенства решаются методом интервалов.

Системосовокупностью будем называть любое множество уравнений и неравенств с неизвестными связанных между собой логическими знаками (система) и (совокупность). В дальнейшем будем обозначать с.с. большими латинскими буквами .

Решением с.с. называется множество всех таких наборов действительных чисел , каждый из которых удовлетворяет с.с. . Набор удовлетворяет с.с. тогда и только тогда, когда он удовлетворяет хотя бы одной из с.с. и . Таким образом, записи и , а также и имеют одинаковый смысл.

Далее, записи ( равносильно или эквивалентно ) и ( влечет или из следует ) означают соответственно, что или .

Отметим некоторые правила преобразования с.с.

1.1 ;

1.2 ;

1.3. где - логический знак отрицания.

1.4. ;

1.5.

которые основаны соответственно на следующих соотношениях теории множеств:

где - дополнение к .

Отметим также, что если , т.е. , то и , т.к. прим этом и .

Разберем пример.

1.

Для решения этого неравенства используем правило (1.3.).

При решении неравенств методом с.с. исходное неравенство заменяем на равносильную ему с.с., учитывая при этом теоретико-множественные правила, а также функциональное строение неравенства.

Приведем несколько наиболее употребимых переходов от неравенств к эквивалентным с.с.

Начнем с неравенств содержащих знак абсолютной величины.

2.1 ;

2.2. а) ;

2.2 б) ;

Решим несколько примеров.

2.

Ответ:

3.

Ответ:

Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств методом с.с. исходное неравенство сводится к равносильной с.с. рациональных неравенств.

3.1. ;

3.2.;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. .

Примеры.

4.

(т.к.

.

Ответ: .

5. .

Ответ: .

Показательно-степенные неравенства.

В силу монотонности показательной функции переход от неравенства к с.с. будет следующим.

4.1.

Возможны частные случаи, когда и

4.1.а)

4.1.б)

Примеры.

6. .

Ответ: .

7.

.

Ответ: .

Логарифмические неравенства.

5.1

Возможны частные случаи, когда

.

5.1.а)

5.1.б)

5.1.в)

Примеры.

8.

.

Ответ: .

9. .

Ответ: .

10.

.

Ответ: .

11.

.

Ответ: .

12. .

Ответ: .

2. Метод интервалов

Метод интервалов также принадлежит к числу наиболее употребимых методов.

В школьном курсе математики этот метод рассматривается только для дробно-рациональных функций.

Рассмотрим обобщенный метод интервалов - его теорию и применение.

Пусть , где - функции из с областями определения в соответственно.

Тогда .

Обозначим также и положим . Пусть , где - множество попарно непересекающихся интервалов, причем такое, что для всякого интервал расположен на оси правее интервала . Кроме того, предполагаем, что каждая из функций сохраняет постоянный знак на каждом интервале из . Это обеспечивается, например, условием непрерывности этих функций на .

Идея излагаемого метода основывается на следующих двух положениях:

1) Функция сохраняет постоянный знак на каждом интервале из .

2) при переходе от интервала к интервалу функция сохраняет (меняет) свой знак, если четное (нечетное) число функций из меняет свой знак при переходе.

В самом деле, знак на интервале определяется количеством функций из , которые отрицательны на и, очевидно, совпадает (противоположен) знаку на интервале , если это количество изменяется на четное (нечетное) число при переходе от к .

Таким образом, решение неравенства , где означает один из знаков , сводится к нахождению множества , т.е. хотя бы на одном из интервалов , и к применению описанной процедуры рассмотрения знаков на все оставшиеся интервалы. Заметим только, что если совпадает с одним из знаков или , то объединение соответствующих интервалов необходимо пополнить множеством .

Итак, применение изложенного метода позволяет, фактически, свести решение неравенства к нахождению областей определения функций и к решению уравнений . Также этот метод позволяет, с одной стороны, значительно расширить круг неравенств, поддающихся простому решению, а с другой - упростить решение многих неравенств. Так, например, когда в рассмотренном произведении стоит всего одна функция, удается избавиться от необходимости соблюдать равносильность в процессе решения соответствующих неравенств, что, в свою очередь, позволяет избежать большого числа распространенных ошибок. В случае, когда в произведении стоит более двух функций, применение обобщенного метода интервалов наиболее эффективно тогда, когда выяснение знаков функций в произведении, стоящих в левой части рассматриваемого неравенства, не составляет труда.

Прейдем к разбору примеров:

13.

Приведем к общему знаменателю, тогда исходное неравенство примет вид

После проверки:

Ответ:

Отметим, что метод интервалов рассматриваемый в школьном курсе математики является частным случаем рассмотренного выше обобщенного метода интервалов.

Рассмотрим пример:

14.

Приведем к общему знаменателю, тогда наше неравенство примет вид:

На числовой прямой отмечаем нули числителя и знаменателя

на одном из полученных интервалов определяем знак

Затем расставляем знаки на интервалах, учитывая при этом кратность нулей.



Таким образом, решением нашего неравенства будем: .

Ответ: .

Также отметим, что в дальнейшем рациональные неравенства будем решать по этой упрощенной схеме.

Необходимо также заметить, что если в рациональном неравенстве поставить вместо переменной какую-либо монотонную функцию от этой переменной, то можно решать неравенство методом интервалов по рассмотренной выше упрощенной схеме.

Например:

15.

Найдем нули

Ответ: .

16.

Проверим являются ли и нулями .

.

После проверки нулем является .

Ответ: .

17. (*)

,

после проверки: .



.

Ответ: .

18.

Решение:

f(x) = sin3x, f₂(x) =, f₃(x) =

F(x) = f(x) f₂(x) f₃(x) D_f = R

x₁, x₂ - нули функции, x₃ - точки разрыва функции: k, n, l Z

т.к. F(x) > 0, когда 0 < x <, то для F(x) на [0;] имеем

Ответ:

2.1 Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности

При решении тригонометрических неравенств учащиеся часто допускают ошибки в окончательном отборе решений.

Опишем методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно разъяснять учащимся с помощью специально составленного алгоритмического предписания.

1. Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части ( например, в правой ) был ноль. T (x) <> 0

2. Определить нули и точки разрыва функции Т (х), стоящей в левой части неравенства.

3. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.

4. Выбрать произвольное число ц ( значение аргумента функции, стоящей в любой части неравенства ), не совпадающей ни с одним из ранее полученных чисел.

5. Провести луч Ох^' под углом ц к координатному лучу Ох.

6. На луче Ох^' получить контрольную точку x_к. Для этого подставить число ц в левую часть неравенства определить знак получившегося выражения.

Если выражение больше нуля, то x_k-это произвольная точка луча o_x, лежащая вне единичной окружности.

Иначе x_k - это произвольная точка луча o_x внутри единичной окружности.

7. Начиная с точки x_k провести плавную линию так, чтобы она пересекала единичную окружность во всех отличительных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки линия должна вернуться в точку x_k.

8. выбрать нужные участки, которые образовала проведенная линия. Для этого: если выражение, стоящее в левой части неравенства больше нуля, то выбрать участки, лежащие вне единичной окружности . иначе- выбрать те участки фигуры, лежащие внутри единичной окружности.

9. отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

Проиллюстрируем описанный метод.

Пример 19решить неравенство

ц

Приведем левую часть неравенства к виду

и рассмотрим уравнение

, которое равносильно совокупности уравнений

Первое из уравнений этой совокупности дает Iсерию значений x:

x_I =р/4+ рз/2 , второе - II серию: x_II = р/2+ рз.

Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками. Для I серии достаточно взять з=0,1,2,3. Тогда значение x_I соответственно равны р/4, 3р/4, 5р/4, 7р/4 (при остальных значениях з точки будут повторяться). Значения из серии x_II на единичной окружности можно представить точками рз/2 и 3р/2, которые получены при з=0 и з=1.

Выберем теперь контрольную точку, положив ц=0.

Тогда cos3 * 0 + cos0 = 2 > 0.

Значит, в данном случае луч Ox совпадает с координатным лучом Ox (угол между ними равен 0). Выберем на луче Ox произвольную точку x_k, находящуюся вне единичной окружности.

Соединяем точку x_k со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке.

Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены на рисунке знаком «+». При записи окончательного ответа следует иметь ввиду, что в одной из областей(она показана двойной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению(р/4) прибавить 2р или от большего значения (7р/4) отнять 2р.

Итак, окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:

.

Заметим, что если волнообразную линию знаков после обхода его всех отмеченных на единичной окружности точек не удается вернуть в точку x_k, не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении ошибка, а именно пропущено нечетное количество корней.

Приведенный пример имеет одну особенность. Серии x_I и x_II дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают то будем называть их кратными. Волнообразная линия, идущая от точки x_к, после встречи с точкой нечетной кратности обязана перейти в иную область. Точка четной кратности не дает линии перейти в иную область.

учитывая, что каждая из функций f₁, f₂, f₃ меняем знак при переходе через точки, в которых она обращается она в нуль, что F(0) > 0 и что в точках: и функции f₂ и f₃ обращаются в нуль одновременно, получаем следующее распределение знаков F(x) на отрезке [0; 2 р], так как функция четная и периодическая с периодом 4р, то мы получаем

F(x) 0 <=>

Так же это неравенство можно решить с помощью интервалов на тригонометрической окружности.

Рассмотрим совокупность уравнений:

отсюда

На единичной окружности значения серии х₁ представлены одной точкой р.

х₂ дает

х₃ -

Нанесем все эти точки на единичную окружность, указав в скобках их кратность.

Т.к. F(0)>0, то от точки «0» ведем волнообразную линию ко всем отмеченным точкам.

Т.к. F(x) - нечетная и периодическая с периодом 4р, то:

F(x) 0 <=>

3. Графический метод

Графический метод можно считать представителем стандартного метода решений неравенств, однако в школьной программе он занимает весьма скромное положение, на практике он вообще фактически не изучается. А ведь его по праву можно назвать наиболее эффективным в силу наглядности.

Предположим, на пример, что решается неравенство f(x) g(x), причем графики функций y=f(x) и y=g(x) имеют следующий вид:

Тогда очевидно, решение нашло неравенство - есть интеграл [x₁, x₂], т.е. участок, где график функции y = g(x) лежит «не выше» графика функции y = f(x).

В общем случае, пусть дано неравенство F(x) *, где знак * есть , >, < или

Если после эментарных преобразований неравенство F(x) * приобретает вид f(x) * g(x), функции y = f(x) и y = g(x) легко представлены в графическом виде, то в этом случае для решения неравенства F(x) * 0 можно использовать графический метод.

Пример:

20x² - 7x +12 < | x - 4 |

y = f(x) = x² - 7x +12

y = g(x) = | x - 4 |

Строим графики этих функций.

Находим точки их пересечения:

после проверки

Запишем ответ нашего неравенства:

Ответ:

21

Размещено на http://www.allbest.ru/



Строим график итих функций:

Из рисунка наглядно видно, что решением неравенства является интервал

4. Нестандартные методы

Существуют два типа нестандартных задач: задачи нестандартные по содержанию и задачи решаемые нестандартными методами.

I. Неравенства решаемые нестандартными методами

На практике встречаются неравенства, решить которые можно обычным шаблонным методом, проводя громоздкие выкладки, а можно, проявляя некоторую изобретательность придти к решению интересным и красивым путем, при том гораздо быстрее.

Один из таких путей использование монотонности функции при решении неравенств.

Проиллюстрируем эту идею на примере:

22. Решить неравенство

Запишем его в виде:

Стандартный путь: метод с.с.

Нестандартный способ: функция расположенная в левой части, монотонно возрастает, а правой - убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если х₀ - решение этого уравнения, то при - <x₀ будет , а решением исходного неравенства будет х₀ .

Значение х₀ легко подбирается: х₀ =1

Ответ:

Данное неравенство можно решить еще одним методом, который также отнесем к нестандартным методам: метод замены неизвестного.

Расставим неравенство и сделаем замену , тогда в результате чего исходное неравенство примет вид y² . получим квадратное неравенство y²+y-6 решая данное неравенство получаем, что т.к. в итоге получаем

Ответ:

Рассмотрим еще один нестандартный метод

23.

<=>

решить такое неравенство - это значит на числовой прямой отыскать точки 2x расстояние от которых до 2 меньше расстояния до 1

точка 1,5 середина отрезка

Ответ:

2. Рассмотрим нестандартные по формулировке задачи, связанные с неравенствами.

Для того чтобы понять, какие именно задачи считать нестандартными по формулировке, достаточно просто посмотреть на условие задачи. С первого взгляда ясно, что обычные преобразования, какие-либо алгебраические или тригонометрические формулы не приведут к цели, если на ряду с ними не применить рассуждения иного рода.

Примеры:

24. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству.

Решение: Область определения неравенства .

Значит нам достаточно рассмотреть три значения x:1;2;3

Если х=1, то

Если х=2, то

Если х=3, то

Ответ:

25. найти все целые х, удовлетворяющие неравенству

Решение: рассмотрим функцию

Докажем, что начиная с некоторого х, возрастает. Это можно сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых х, т.е. что

имеем

,

Последнее неравенство выполняется при , т.е. для всех допустимых целых х.

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого или наименьшее, что ;

Далее.

Ответ:

К рассматриваемому типу неравенств можно отнести неравенства, решение которых зависит от параметра

26. Найти все значения параметра а, при которых существует единственное значение х, при котором выполняется неравенство.

Решение: обозначим и перейдем к обоснованию 5.

Получим

Функция от y, расположенная в числителе монотонно убывает.

Нетрудно подобрать значение y, при котором она обращается в нуль:y=2

Если ,то решением неравенства относительно у будет , а следовательно исходное неравенство не может иметь единственное решение.

(неравенство ) при любом а бесконечно много решений).

Значит а>1 и решение относительно у будет

Возвращаясь к х, будем иметь: .

Для того, чтобы существовало единственное значение х, удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчленаравнялось бы 4, т.е.

Ответ: а=2

27. найти все значения р, при каждом из которых множество решений неравенства .

Решением последнего неравенства при данном х относительно р, состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами и -х+2. Но если х меняется от -1 до 1, то х² меняется от0 до3, а при и при данное условие выполняется. (пусть и . Если , то возьмем . При этих и будет )

К не стандартным методам, можно также отнести и решение неравенств с параметрами графическим методом.

Следует выделить две разновидности графического метода решения неравенств с параметрами:

1). Изображение на плоскости (х,а), где х - неизвестное, а- параметр.

2). На плоскости (х,у) рассматривается семейство кривых зависящих от параметра.

Рассмотрим примеры:

28. При любом значении параметра а решить неравенство.

Решение: Рассмотрим плоскость (х ; a) и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Сначала изобразим область, для точек которой имеет смысл . это будет плоскость.

Вне полосы, ограниченной прямыми и , будет, и, следовательно, после потенцирования неравенства получим,

Последнему неравенству соответствует область под параболой (при этом ).

Внутри полосы будет

Заметим, что парабола касается прямой . Ось а точками разбита на шесть участков.

На рисунке областьдля точек которой заштрихована.

неравенство решение системосовокупность тригонометрический графический



На каждом из участков по оси а выписываем решение нашего неравенства. Для этого берем а на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую находим значение х, соответствующие отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.

Например, если, то получим два отрезка концы первого: и (меньший корень уравнения ), второго: и

Таким образом ответ:

1. если ,- решений нет

2. если , то

3. если , то и

4. , то и

5. если , то и

6. если , то

7. если , то и

Размещено на Allbest.ru