Статистическая обработка результатов измерений
Освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений. Протокол результатов измерений. Проверка гипотезы о виде распределения методом линеаризации. Особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.05.2012 |
| Размер файла | 179,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений
- Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения
- Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений
- Список используемой литературы
Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений
Цель работы - освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений.
Измерения - один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.
Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.
Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.
Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.
измерение статистическая обработка массив
Таблица 1
Протокол результатов измерений
|
7,74 |
7,93 |
7,94 |
8,3 |
|
|
7,75 |
7,87 |
7,38 |
7,92 |
|
|
7,87 |
7,85 |
8,33 |
7,66 |
|
|
7,91 |
7,85 |
8,13 |
8,08 |
|
|
8,16 |
8,31 |
7,68 |
7,79 |
|
|
8,17 |
7,72 |
8,22 |
8,11 |
|
|
8,16 |
8,3 |
7,94 |
8,34 |
|
|
8,37 |
7,93 |
8,06 |
8,17 |
Построим вариационный ряд значений результатов измерений (рис.1).
Xmax = 8,37
Xmin = 7,38
Wn = Xmax - Xmin = 0,99 - размах варьирования.
r = 5 - число интервалов.
h = 0,99/5 = 0, 198 - шаг интервала.
Результаты расчетов представлены в табл.2.
Таблица 2
Таблица данных для построения гистограммы
|
Номер интервала |
Интервал |
Среднее значение в интервале |
Число значений в интервале nk (частота) |
Частость (nk/n) |
||
|
Начало |
Конец |
|||||
|
1 |
7,380 |
7,578 |
7,479 |
1 |
0,0313 |
|
|
2 |
7,578 |
7,776 |
7,677 |
5 |
0,1563 |
|
|
3 |
7,776 |
7,974 |
7,875 |
11 |
0,3438 |
|
|
4 |
7,974 |
8,172 |
8,073 |
8 |
0,2500 |
|
|
5 |
8,172 |
8,370 |
8,271 |
7 |
0,2188 |
Построим гистограмму (рис.2). На ней проведем кривую, сглаживающую гистограмму. Далее рассчитаем теоретическую кривую вероятности попадания результата отдельного измерения в k-й интервал в виде табл.3 и сплошной линии на гистограмме по значениям Pk.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рассчитаем необходимые точечные значения:
= = 255,94/32 = 7,998.
Sx2 = = = 0,058.
Sx = = = 0,241.
= (7,94 + 7,38) / 2 = 7,935.
= 7,87.
= = = 0,043.
Судя по графику нельзя утверждать, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения. Подтвердить или опровергнуть эту гипотезу помогут дальнейшие расчеты.
Таблица 3
Данные для построения кривой теоретических вероятностей
|
Номер границы инт. k |
Значение границы интервала |
Zk = |
Ф (Zk) |
Pk = Ф (Zk+1) - Ф (Zk) |
|
|
1 |
7,38 |
-2,5658 |
0,0051 |
||
|
2 |
7,578 |
-1,7439 |
0,0406 |
0,0354 |
|
|
3 |
7,776 |
-0,9220 |
0,1783 |
0,1377 |
|
|
4 |
7,974 |
-0,1001 |
0,4601 |
0,2819 |
|
|
5 |
8,172 |
0,7218 |
0,7648 |
0,3047 |
|
|
6 |
8,37 |
1,5437 |
0,9387 |
0,1739 |
Проверим результаты измерений на промахи по формулам:
и
= = 1,568
= = 2,607
кр = 2,792.
Поскольку рассчитанные значения меньше критического значения, промахи в измерениях отсутствуют.
Нанесем на график значения фактической и теоретической вероятностей (рис.3).
Ф (Zk) = - интегральная функция нормированного нормального распределения.
Р2 = Ф2 - Ф1
Р3 = Ф3 - Ф2
Р4 = Ф4 - Ф3
Р5 = Ф5 - Ф4
Р6 = Ф6 - Ф5
Р2 = 0,0406 - 0,0051 = 0,0354
Р3 = 0,1783 - 0,0406 = 0,1377
Р4 = 0,4601 - 0,1783 = 0,2819
Р5 = 0,7648 - 0,4601 = 0,3047
Р6 = 0,9387 - 0,7648 = 0,1739
Согласно графикам, предположение о нормальном законе распределения не подтверждается. Поскольку вид распределения установить не удается, определим погрешность результата измерения с помощью неравенства Чебышева:
?.
При = 0,90, = 3,2 * .
Т.е. интервал с вероятностью, большей или равной 0,90, накрывает неизвестное истинной значение. Вместо будем использовать выборочную оценку .
Доверительный интервал будет следующим:
Хист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136. = 0,90. n = 32.
Вид распределения не установлен.
Рисунок 3
Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения
Цель работы - Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения (метод вероятностной бумаги) с помощью критерия Колмогорова и критерия согласия ч2 на примере нормального распределения.
Проверка гипотезы о виде закона распределения заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специальных построенных критериев.
1. Использование вероятностной бумаги.
Расположим результаты измерений в неубывающем порядке (табл.4).
Построим график, нанеся по оси абсцисс точки с координатами, равными Хi, а по оси ординат - Zi. Расположение точек на графике вдоль прямой, подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений Хi и теоретическими Zi, что свидетельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения. Согласно графика, среднее значение Х - около 8. По расчетным результатам в работе № 1 Хср = 7,988. Поэтому можно сделать вывод о том, что экспериментальные значения не подвержены нормальному закону распределения. Вид распределения не установлен.
Таблица 4
Данные для проверки закона распределения по вероятностной бумаге
|
Номер точки i |
Xi |
Fn (Xi) = Ф (Zi) |
Zi |
|
|
1 |
7,38 |
0,0303 |
-1,8764 |
|
|
2 |
7,66 |
0,0606 |
-1,5497 |
|
|
3 |
7,68 |
0,0909 |
-1,3352 |
|
|
4 |
7,72 |
0,1212 |
-1,1689 |
|
|
5 |
7,74 |
0,1515 |
-1,0300 |
|
|
6 |
7,75 |
0,1818 |
-0,9085 |
|
|
7 |
7,79 |
0,2121 |
-0,7991 |
|
|
8 |
7,85 |
0,2424 |
-0,6985 |
|
|
9 |
7,85 |
0,2727 |
-0,6046 |
|
|
10 |
7,87 |
0,3030 |
-0,5157 |
|
|
11 |
7,87 |
0,3333 |
-0,4307 |
|
|
12 |
7,91 |
0,3636 |
-0,3488 |
|
|
13 |
7,92 |
0,3939 |
-0,2691 |
|
|
14 |
7,93 |
0,4242 |
-0, 1911 |
|
|
15 |
7,93 |
0,4545 |
-0,1142 |
|
|
16 |
7,94 |
0,4848 |
-0,0380 |
|
|
17 |
7,94 |
0,5152 |
0,0380 |
|
|
18 |
8,06 |
0,5455 |
0,1142 |
|
|
19 |
8,08 |
0,5758 |
0, 1911 |
|
|
20 |
8,11 |
0,6061 |
0,2691 |
|
|
21 |
8,13 |
0,6364 |
0,3488 |
|
|
22 |
8,16 |
0,6667 |
0,4307 |
|
|
23 |
8,16 |
0,6970 |
0,5157 |
|
|
24 |
8,17 |
0,7273 |
0,6046 |
|
|
25 |
8,17 |
0,7576 |
0,6985 |
|
|
26 |
8,22 |
0,7879 |
0,7991 |
|
|
27 |
8,3 |
0,8182 |
0,9085 |
|
|
28 |
8,3 |
0,8485 |
1,0300 |
|
|
29 |
8,31 |
0,8788 |
1,1689 |
|
|
30 |
8,33 |
0,9091 |
1,3352 |
|
|
31 |
8,34 |
0,9394 |
1,5497 |
|
|
32 |
8,37 |
0,9697 |
1,8764 |
2. Проверка нормальности по критерию Колмогорова.
Критическое значение наибольшего отклонения эмпирической функции распределения от теоретической для доверительной вероятности Рд = 0,90 равно Dn, кр = 0,22.
Построим график эмпирической функции распределения Fn (Xi) (по данным табл.4) в виде ступенчатой ломаной линии полагая, что функция имеет постоянную величину от измерения до измерения, а в самой измеренной точке Хi имеет рост до соответствующего расчетного значения Fn (Xi).
Рассчитаем данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова (табл.5).
Таблица 5
Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова
|
Номер границы инт. k |
Значение границы интервала |
Ф (Zk) |
Ф (Zk) - Dn, кр |
Ф (Zk) + Dn, кр |
|
|
1 |
7,38 |
0,0051 |
- |
0,2251 |
|
|
2 |
7,578 |
0,0406 |
- |
0,2606 |
|
|
3 |
7,776 |
0,1783 |
- |
0,3983 |
|
|
4 |
7,974 |
0,4601 |
0,2401 |
0,6801 |
|
|
5 |
8,172 |
0,7648 |
0,5448 |
0,9848 |
|
|
6 |
8,37 |
0,9387 |
0,7187 |
- |
Согласно графика во всем интервале значений Xi максимальное значение отклонение наблюдается во 2-м интервале. Оно выходит за пределы нижней границы доверительной полосы. Поэтому гипотеза о нормальности закона распределения отвергается. Вид распределения не установлен.
3. Использование критерия согласия ч2.
Таблица 6
Данные для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона
|
Номер интер-вала |
Интервал |
Число значений в интервале nk (частота) |
Pk |
nPk |
|||
|
Начало |
Конец |
||||||
|
1 |
7,38 |
7,578 |
1 |
0,0354 |
1,13401 |
0,0158 |
|
|
2 |
7,578 |
7,776 |
5 |
0,1377 |
4,40539 |
0,0803 |
|
|
3 |
7,776 |
7,974 |
11 |
0,2819 |
9,01961 |
0,4348 |
|
|
4 |
7,974 |
8,172 |
8 |
0,3047 |
9,74923 |
0,3139 |
|
|
5 |
8,172 |
8,37 |
7 |
0,1739 |
5,56435 |
0,3704 |
|
|
Итого |
1,2152 |
Вычислим ч2 по формуле:
ч2 = = 1,2152.
Критическое значение ч2н, кр для одностороннего уровня значимости б = 0,10 и н = r - 3 имеет значение 5,991. Поскольку ч2 < ч2н, кр, поэтому гипотеза о нормальном распределении теоретически принимается.
Согласно различным критериям, рассматриваемые измерения не подчиняются нормальному закону распределения. Установить его невозможно.
Доверительный интервал будет следующим:
Хист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136. = 0,90. n = 32.
Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений
Цель работы - Изучить основные особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.
Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако объединение возможно только при условии однородности и равноточности серий.
Таблица 7. Дополнительный протокол результатов измерений
|
10,01 |
10,09 |
9,72 |
10,13 |
|
|
10,05 |
10,36 |
9,9 |
9,89 |
|
|
9,85 |
10,01 |
9,91 |
10,5 |
|
|
9,76 |
9,9 |
10,17 |
9,91 |
|
|
9,9 |
9,76 |
10,28 |
9,93 |
|
|
9,98 |
9,85 |
9,52 |
10,07 |
|
|
10,11 |
9,69 |
9,88 |
10,27 |
|
|
9,9 |
10,2 |
9,86 |
9,86 |
Рассчитаем оценки параметров распределения:
= = 319,22/32 = 9,976.
Sx2 = = = 0,0425.
Проверим равноточность измерений в сериях (для основного и дополнительного протоколов) по F-критерию на уровне значимости б = 0,05.
F = = = 1,365.
Fкр = 1,84.
Поскольку F < Fкр, гипотеза о равноточности дисперсий принимается.
Рассчитаем объединенную оценку дисперсий:
S2X, об = = = 1,558.
Рассчитаем критерий однородности по формуле:
t = = = 1,978., tкр = 2,04.
Поскольку t < tкр серии являются однородными.
При равноточности и однородности серий объединим их и рассчитаем и S.
= = ,
= .
= = 8,987
==
1,752
Доверительный интервал для объединенных серий будет следующим:
Хист = 8,987 ± 3,2 * 1,752 = 8,987 ± 9,918. = 0,90. n = 64.
Рассчитанный доверительный интервал совпадает с результатами для основной серии.
Вывод: При объединении результатов измерений в общий массив получим более точные и надежные результаты за счет увеличения объема выборки.
Список используемой литературы
1. Методические указания к контрольным работам/ Сост. Ю.Р. Чашкин, А.В. Щекин - Хабаровск: Издательство Тихоокеанского гос. ун-та, 2008. - 36с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Сущность метрологии как науки об измерениях, предмет и методы ее изучения. Разновидности измерений, их отличительные признаки и особенности реализации. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений. Погрешности и пути их минимизации.
курсовая работа [319,2 K], добавлен 12.04.2010Методы определения достоверного значения измеряемой физической величины и его доверительных границ, используя результаты многократных наблюдений. Проверка соответствия экспериментального закона распределения нормальному закону. Расчет грубых погрешностей.
контрольная работа [52,5 K], добавлен 14.12.2010Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Проведение проверки гипотезы о нормальности закона распределения вероятности результатов измерения случайной величины по критерию согласия Пирсона. Определение ошибок в массивах данных: расчет периферийных значений, проверка серии на равнорассеянность.
контрольная работа [1,8 M], добавлен 28.11.2011Измерения физических величин, их классификация и оценка истинного значения; обработка результатов. Понятие доверительного интервала: распределение Гаусса и Стьюдента. Понятие случайной величины и вероятностного распределения; методы расчета погрешностей.
методичка [459,2 K], добавлен 18.12.2014Обработка данных измерений величин и представление результатов с нужной степенью вероятности. Определение среднего арифметического и вычисление среднего значения измеренных величин. Выявление грубых ошибок. Коэффициенты корреляции. Косвенные измерения.
реферат [116,2 K], добавлен 16.02.2016Определение закона распределения вероятностей результатов измерения в математической статистике. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому. Определение доверительного интервала, в котором лежит значение измеряемой величины.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2012Рассмотрение понятия и сущности линеаризации. Изучение способов линейной аппроксимации функции преобразования средств измерений. Поиск погрешностей линеаризации; сопоставление полученных результатов для каждого метода на примере решения данных задач.
контрольная работа [46,4 K], добавлен 03.04.2014Числовые характеристики непрерывных величин. Точечные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Сравнение средних известной и неизвестной точности измерений. Критерий Хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения.
курсовая работа [79,0 K], добавлен 23.01.2012Проведение статистического анализа зависимости массы тела (кг) новорожденных детенышей гамадрилов от массы тела их матерей. Графическое представление экспериментальных данных. Определение границы доверительных интервалов для генеральных средних значений.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 18.01.2011
