Дослідження проблеми комплексних чисел

Рішення

Запишемо шукане число в тригонометричній формі:

.

Тоді

й

.

Перейдемо до рівняння ,

де .Одержуємо квадратне рівняння , де , .

.

Розглянемо 2 випадки:

1. : ,

. Тоді й .

2. :

.

Уведемо функцію . Цікавить випадок, коли одне з корінь квадратного тричлена більше 0, а іншої - менше 0 (Мал. 34).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 34.

Досить вирішити систему нерівностей:

такий випадок неможливий.

Відповідь:

.

Задача 78.

При яких дійсних значеннях a серед комплексних чисел таких, що , немає жодного числа, модуль якого дорівнює 2.

Рішення

Комплексне число з модулем запишеться так: .

Тоді

.

Одержимо рівняння

.

1. Якщо , то рівняння дійсних рішень не має.

2. Нехай :

Вирішуючи систему методом «пелюстків» (Мал. 35), бачимо, що вона несовмісна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 35.

3. : ,

.

Останнє рівняння не має корінь, якщо a задовольняє системі:

Зобразимо графічно рішення в даних випадках (мал. 36).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 36.

Відповідь: .

Задача 79.

Для кожного дійсного числа a знайдіть всі комплексні числа , що задовольняють рівності:

а) ;

б) .

Рішення

а) Нехай , тоді з вихідного рівняння маємо .

Звідси одержуємо систему для знаходження x і y:

з якої треба, що . Підставляючи це значення x у перше рівняння, маємо . Корінь цього рівняння дійсний тоді й тільки тоді, коли його дискримінант є дійсним числом, тобто . Для цих значень a знайдемо причому , те . Нерівність виконується для всіх a із проміжку . Таким чином, вихідне рівняння при має два корені: , при рішень не є.

б) Перепишемо дане рівняння у вигляді . Тому що й a - дійсні числа, то звідси містимо, що число z є чисто уявним числом.

Нехай , тоді з вихідного рівняння знаходимо, що , тобто .

Останнє рівняння рівносильне сукупності двох систем:

Рівняння має два корені: при будь-якому значенні a. Нерівності задовольняє (при будь-якому значенні a) тільки число .

Рівняння другої системи сукупності має дійсні рішення тільки за умови , тобто при . Коріннями цього рівняння при кожному є числа .

Ясно, що при обидва корені й менше нуля, а при - більше нуля.

Таким чином, вихідне рівняння:

при має один корінь

;

при має три корені

, , .

Відповідь:

а) при , те,

б) при , те ;

при , те, , .

Задача 80

Для яких дійсних чисел a не існує комплексних чисел z, для яких виконуються рівності , ?

Рішення

Помітимо, що рівняються відстані між крапками й на комплексній площині. При фіксованому a крапки , для яких , лежать на окружності із центром в і радіусом 2. (Взагалі, множина , для яких , є окружність із центром в і радіусом ). Аналогічна рівність . Дві окружності не мають загальних крапок, якщо відстань між їхніми центрами більше суми або менше різниці радіусів. Таким чином, повинне виконуватися одне із двох нерівностей: або , тобто або .

Відповідь: або .

Задача 81

При яких дійсних чисел a будь-яке комплексне число, що задовольняє рівнянню , задовольняє одночасно й нерівності ?

Рішення

Нехай . Тоді й одержимо рівняння

Якщо , то маємо рівняння окружності із центром у крапці й

. Від нерівності перейдемо до нерівності

Розглянемо ряд випадків залежно від значень a.

1. , тобто . Нерівність (2) виконується при будь-яких парах дійсних значень x і y, у тому числі й при рішеннях рівняння (1).

2. Нехай :

Система рішень не має.

3. Якщо , то одержимо систему

Нерівності системи задовольняють усе пари значень x і y ( ), крім - не є рішенням рівняння системи.

4. Аналогічно переконуємося, що умові задачі задовольняє й .

5. Залишається розглянути наступна множина значень a: .

У цьому випадку й нерівність (2) задає множина крапок комплексної площини, розташованих поза окружністю, заданої рівнянням . (3) (Мал. 37).

Позначимо радіус цієї окружності через r ( ). І досить знайти такі значення a з розглянутої множини, при яких окружність, задана рівнянням (1), розташована поза окружністю з рівнянням (3).

Розглянемо прямокутний трикутник : ; ; ; .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 37.

Одержимо нерівність .

, , таким чином .

Урахуємо множину значень a, на якому ми вирішуємо систему (мал. 38):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 38.

Таким чином, .

Відповідь: .

Задача 82

Знайдіть всі дійсні a такі, що система рівнянь не має рішень

Рішення

1. Якщо , то рішень немає.

2. При , .

3. Якщо :

Кожне з даних рівнянь задає на комплексній площині окружність. Нехай О1 і О2 - центри цих окружностей, r1 і r2 - відповідні радіуси.

Якщо відстань між їхніми центрами задовольняють умовам , то окружності мають хоча б одну загальну крапку. тоді одержимо систему нерівностей

Тому при система рішень не має.

Відповідь: .

3. Висновок

комплексне число алгебраїчне геометричне

У представленій випускній кваліфікаційній роботі отримані наступні результати.

1) Наведений систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами.

2) Наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, вирахування, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладене правило добування квадратного кореня з комплексного числа.

3) Вирішені задачі, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексної площини;

4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

5) Наведені рішення деяких рівнянь 3-й і 4-й ступенів;

6) Вирішені деякі задачі утримуючі комплексні числа й параметри.

Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційній роботі може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивчанням математики або на елективних курсах у школі.

4. Список літератури

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофєєв Г.В., Егоров А.А., Земляків А.Н., Моркович А.Г. Вибрані питання математики. 10 клас. Факультативний курс. - К., 1999.

2. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - К., 2005.

3. Бєляєва Е.С., Потапов А.С. Рівняння й нерівності першого ступеня з параметром. Навчальний посібник. - К, 2001.

4. Болтянський В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.И. Лекції й задачі по елементарній математиці. - К., 2001.

5. Вавилов У.В, Мельников І.І., Олехник С.Н., Пасиченко П.І. Задачник по математиці. Алгебра. Довідковий посібник. - К., 1997.

6. Виленкин Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра й математичний аналіз для 11 класу. - К., 2006

7. Галицький М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчання курсу алгебри й математичного аналізу. - К., 2004

8. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова І.В. Комплексні числа і їхні додатки: Навчальний посібник. - К., 2004

9. Дадаян А.А., Новик І.А. Алгебра й початку аналізу. - К., 2005

10. Звавич Л.І. і ін. Алгебра й початок аналізу. - К., 2004

11. Ципкин О.Г., Пінський А.І. Довідник по методах рішення задач по математиці для середньої школи. - К., 1999.

12. Шклярський Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом І.М. Вибрані задачі й теореми елементарної математики. Арифметика й алгебра. - К., 2004

Размещено на http://www.allbest.ru/