Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел

Переходимо до питання про зведення комплексних чисел у степінь і знаходження з них кореня. Для зведення числа a=a+bi у цілу позитивний степінь n досить застосувати до вираження (a+bi) n. Формулу бінома Ньютона (ця формула справедлива і для комплексних чисел, так, як її доказ заснований лише на законі дистрибутивності), а потім скориставшись рівностями i2= - 1, i3= - i, i4=1, відкіля взагалі

i4k= 1, i4k+1= i, i4k+2= - 1, i4k+3= - i.

Якщо число б задано в тригонометричній формі, то при цілому позитивному n випливає наступна формула, називана формулою Муавра:

(1)

тобто при зведенні комплексного числа в ступінь модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент збільшується на показник ступеня. Формула (1) вірна і для цілих негативних показників. Дійсно, через б-n=(б-1) n, досить застосувати формулу Муавра до числа б-1.

Окремий випадок формули Муавра, а саме рівність

дозволяє легко одержати формули для синуса і косинуса кратного кута. Дійсно, розкриваючи ліву частину цього рівності по формулі бінома і дорівнюючи окремо дійсні і мнимі частини обох частин рівності, ми одержимо:

Тут є обічне позначення біноміального коефіцієнта:

При n=2 ми приходимо до відомих формул

а при n=3 до формул

Витяг кореня з комплексних чисел представляє вже багато більше труднощів. Почнемо з витягу квадратного кореня з числа б=a+bi. Ми не знаємо поки, чи існує таке комплексне число, квадрат якого дорівнює б. Припустимо, що таке число u+vi існує тобто, уживаючи звичайну символіку, можна написати:

З рівності

(u+vi) 2=a+bi

випливає

(2)

Зводячи в квадрат обидві частини кожного з рівностей (2), а потім складаючи їх одержуємо:

відкіля

позитивний знак узятий тому, що числа u i v дійсні, і тому ліва частина рівності позитивна. З цієї рівності і з першого з рівностей (2) одержуємо:

Ми приходимо, витягаючи корені, до двох значень для u, що відрізняється друг від друга знаком, а також до двох значень для v. Усі ці значення будуть дійсними, тому що квадратні корені будуть шукаються при будь-яких a і b з позитивних чисел. Отримані значення для u і v не можна комбінувати між собою довільним образом, тому що, через другий з рівностей (2), знак добутку uv повинний збігатися зі знаком b. Це дає дві можливі комбінації значень u і v, тобто два числа виду u+vi, що можуть служити значеннями квадратного кореня з числа б. Ці числа відрізняються друг від друга знаком. Елементарна, хоча і громіздка, перевірка (зведенням отриманих чисел у квадрат, окремо для випадку b>0 і для випадку b<0) показує, що знайдені нами числа дійсно є значеннями квадратного кореня з числа б. Таким чином, витяг квадратного кореня з комплексного числа завжди можливо і дає два значення, що відрізняються друг від друга знаком.

Зокрема, тепер робиться можливим витяг квадратного кореня і з негативного дійсного числа, причому значення цього кореня будуть чисто мнимими. Справді, якщо a<0 і b=0, то , тому що цей корінь повинний бути позитивним, а тоді тобто u=0, відкіля .

Спроби витягу з комплексних чисел, заданих у виді a+bi, коренів більш високого ступеня, чим друга, зустрічаються з невизначеними ускладненнями. Так, якби ми захотіли в такий же спосіб витягти з числа a+bi кубічний корінь, те повинні були б вирішити деяке допоміжне кубічне рівняння. З іншого боку, тригонометрична форма дуже добре пристосована для витягу коренів будь-якого ступеня і, користаючись нею, ми зараз цілком вичерпаємо це питання.

Нехай потрібно витягти корінь n-й ступеня з числа Припустимо, що це зробити можна і що в результаті вийде число тобто

(3)

Тоді, по формулі Муавра, , тобто де в правій частині коштує однозначно визначене позитивне значення кореня n-й ступеня з позитивного дійсного числа r. З іншого боку, аргумент лівої частини рівності (3) є n0. Не можна затверджувати, однак, що n0 дорівнює , тому що ці кути можуть у дійсності відрізнятися на доданок, що є деяким цілим кратним числа . Тому , де до - ціле число, відкіля

Назад, якщо ми беремо число те при будь-якім цілому до, позитивним чи негативної, n-я ступінь цього числа дорівнює б. Таким чином,

(4)

Даючи до різні значення, ми не завжди будемо одержувати різні значення шуканого кореня. Дійсно, при

(5)

ми одержимо n значень кореня, що усі будуть різними, тому що збільшене то на одиницю спричиняє збільшення аргументу на . Нехай тепер до довільно. Якщо k=nq+r, то

тобто значення аргументу при нашому до відрізняється від значення аргумента при k=r на число, кратне , ми одержуємо, отже таке ж значення кореня, як при значенні до, рівному r, тобто вхідним у систему (5).

Опис програми

n-показник степеня кореня;

a,b,f - дійсна, уявна частини та аргумент z;

;

i - номер кореня;

x,y - масиви дійсних та уявних частин коренів.

Нижче наведений приклад програми у роботі:

Програма

uses crt; const dim=20; type ar=array [1. . dim] of real; var a1,b1: real; n1, i1: integer;

x,y: ar;

function sgn(xx: real): integer;

begin

if xx>0 then sgn: =1

else if xx<0 then sgn: =-1

else sgn: =0;

end;

procedure rootcom(a,b: real; n: integer; var x,y: ar);

var c,r,f: real;

i: integer;

begin

r: =a*a+b*b;

if r<>0 then r: =exp(ln(r) /2/n);

if a=0 then f: =sgn(b) *pi/2 else

if a>0 then f: =arctan(b/a) else

if b<0 then f: =arctan(b/a) - pi else f: =arctan(b/a) +pi;

f: =f/n;

c: =2*pi/n;

for i: =1 to n do

begin x [i]: =r*cos(f); y [i]: =r*sin(f); f: =f+c; end;

end;

begin clrscr;

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм ¤i©б­г з бвЁ­г');

textcolor(white);

read(a1);

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм гпў­г з бвЁ­г');

textcolor(white);

read(b1);

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм Ї®Є §­ЁЄ б⥯Ґ­п');

textcolor(white);

read(n1);

rootcom(a1,b1,n1,x,y);

writeln('Љ Ћ ђ … H џ');

for i1: =1 to n1 do

writeln(i1,') ',x [i1]: 1: 2,'+i*(',y [i1]: 1: 2,') ');

readkey;

end.

Контрольні приклади