Аналитическая геометрия

.

4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка

Существует, как минимум, три определения плоскости:

1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.

А теперь об одной из форм уравнения плоскости.

Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)

Рис.31

Пусть искомая плоскость р проходит через точку М₀ перпендикулярно вектору , тогда

- во-первых, вектор есть результат векторного произведения вектора М₀М₂ на вектор М₀М₁

- во-вторых, вектор перпендикулярен и вектору М₀М₂, и вектору М₁М₂. Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М₀М₂ ( или на вектор М₀М₁) равно нулю. Если точка М₂ имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М₀М₂ должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М₀М₂ определяется как

получаем, что

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору

Пример 30 (получение уравнения плоскости)

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; 1; 1) перпендикулярно вектору

Решение

В нашем случае

А=1, В= 1 и С =1;

x₀ = 2, y₀ = 2, z₀ = 3,

следовательно, уравнение плоскости имеет вид

Или, окончательно,

Ответ

Искомая плоскость определяется уравнением

Общее уравнение плоскости

Вообще, любое уравнение вида

A•x + B•y + C•z + D = 0

определяет плоскость (где А, В и С - координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».

Неполные уравнения плоскости

Пусть плоскость задана своим общим уравнением

A•x + B•y + C•z + D = 0, (*)

тогда

1) если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2) если А = 0, то B•y + C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к. );

3) если В = 0, то A•x + C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к. );

4) если C = 0, то A•x + B•y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к. );

5) А = 0; В = 0, то C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;

6) A = 0; C = 0, то В•y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;

7) B = 0; C = 0, то A•x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;

8) A = 0, B = 0, D = 0, то С•z = 0 - это плоскость Oxy;

9) A = 0, C = 0, D = 0, то B•y = 0 - это плоскость Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, то A•z = 0 - это плоскость Oyz.

Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.

Из общего уравнения плоскости

A•x + B•y + C•z + D = 0

Получается уравнение плоскости в отрезках

Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»

Уравнение плоскости в отрезках

где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями

A₁•x + B₁•y + C₁•z + D₁ = 0 и

A₂•x + B₂•y + C₂•z + D₂ = 0.

Т.е., векторы-нормали имеют координаты

- для плоскости

- для плоскости

И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)

Рис.32

Тогда

Угол между двумя плоскостями

Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами , а как найти угол между векторами мы уже знаем:

если ц - угол между векторами , то это же и угол между плоскостями р₁ и р₂

Откуда два важных следствия (условия)

Условие перпендикулярности двух плоскостей

A₁•A₂ + B₁•B₂ + C₁•C₂ = 0.

Условие параллельности двух плоскостей

Две плоскости параллельны при условии, что

Размещено на http://www.allbest.ru/