Прямая. Плоскость. Кривые и поверхности второго порядка

Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 28.03.2014
Размер файла 259,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1:

Даны вершины треугольника АВС с координатами А (-4; -1), В (8; 8), С (6; -6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СD и ее длину;

4) уравнение медианы АМ и координаты т. К пересечения медианы с высотой;

5) уравнение прямой проходящей ч/з т.К

Решение:

1. Расстояние d между точками М11; у1) и М22; у2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1) и М22; у2) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

- уравнение прямой АВ.

3. уравнение высоты СD и ее длину;

Уравнение высоты, опущенной из точки М00; у0) на прямую Ах + Ву + С=0. представляется уравнением:

Уравнение высоты, опущенной из точки С(6; -6) на прямую АВ:

представляется уравнением:

- уравнение искомой высоты СD

Расстояние d от точки М11; у1) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты СD; С(6; -6);

4. Уравнение медианы АМ т.к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле: В(8; 8), С(6; -6).

;

Следовательно

Найдем уравнение прямой АМ:

- уравнение медианы АМ.

Так как К - точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.

К(1,5; 0)

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ

Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А(х-х1)+В(у-у1)=0.

- уравнение прямой АВ.

Поэтому:

3(х-1,5) - 4(у-0) = 0; 3х - 4,5 - 4у =0

3х - 4у - 4,5 =0

уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.

Задание 2

При каких значениях А и С прямые

а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают.

Решение:

а) перпендикулярны

При любом С и А = 9 прямые перпендикулярны

б) параллельны

При любом С и А = -4 прямые параллельны

в) совпадают

При С = -8 и А = -4 прямые совпадают

Задание 3:

Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой ВС

Решение:

Плоскость, проходящая через точку М00; у0; z0) и перпендикулярная прямой

Имеет нормальный вектор представляется уравнением

Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1; z1) и М22; у2; z2), имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

- уравнение прямой ВС.

- уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору ВС;

Задание 4:

Найти расстояние от т. , до плоскости, проходящей через точки:

Решение:

1) Расстояние d между точками М11; у1; z1) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:

Составим уравнение плоскости

Уравнение плоскости проходящей через три точки М00; у0; z0), М11; у1; z1) и М22; у2; z2), имеет вид:

- уравнение плоскости проходящей через точки:

.

Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на грань АВС

Задание 5

Найти угол между плоскостями

Решение:

А1х + В1у + С1z + D1=0; А2х + В2у + С2z + D2=0

Находится по формуле:

Задание 6

При каких значениях l прямая параллельна плоскости

Решение:

При l = 6 прямая параллельна плоскости

Задание 7

Перейти к каноническим уравнениям прямой:

треугольник прямая плоскость канонический уравнение

Решение:

Найдем координаты любой точки М на данной прямой. Пусть х = 1, тогда можем найти у и z.

Вычислим направляющие коэффициенты:

- каноническое уравнение прямой.

Задание 8

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой:

Подставим их в уравнение плоскости

Подставляем значение в параметрическое уравнение прямой.

Точка пересечения прямой и плоскости (2; -1; 4).

Задание 9

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить его

Решение:

- уравнение окружности с центром в т. (2; -3) и радиусом 3.

Задание 10

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Определите вид кривой. Изобразите кривую. Найдите фокусы и директрисы. Отметьте на рисунке

Решение:

- парабола

Расстояние между фокусами FF/ равно 2c

Следовательно, координаты фокусов:

Вершины эллипса имеют координаты:

А/ А большая ось

В/В и ОВ/ малая ось

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно малой оси эллипса являются директрисами эллипса.

Сделаем чертеж:

Расстояние между фокусами FF/ равно 2c

Следовательно координаты фокусов:

Вершины гиперболы имеют координаты:

ОА и ОА/ действительные полуоси

ОВ и ОВ/ мнимые полуоси

Асимптоты гиперболы:

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно оси ОУ являются директрисами гиперболы.

Сделаем чертеж:

Задание 11

Привести к каноническому виду уравнение поверхности и построить его

Решение:

- двуполостный гиперболоид

- эллипсоид.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.

    контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.

    курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014

  • Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.

    лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010

  • Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.

    учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011

  • Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.

    курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011

  • Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.

    курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

    презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013

  • Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.

    реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011

  • Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

    курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009

  • Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.

    презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.