Кривые второго порядка

Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 17.05.2011
Размер файла 166,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Международный университет природы, общества и человека "Дубна"

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему:

"Кривые второго порядка"

Выполнил студент 1 курса группы 1082

Иванов Иван Иванович

Руководители:

доцент Арбузова Е.В.

ассистент Павлов А.С.

Дубна, 2005

Оглавление

  • 1. Цель курсовой работы
  • 2. Задача
  • 3. Исходные данные
  • 4. Анализ кривой второго порядка
  • 1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов
  • 2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей
  • 3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()
  • 4. Построение кривой в канонической и общей системе координат
  • 5. Вывод для данной кривой
  • 6. Анализ поверхности второго порядка
  • 1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
  • 2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
  • 3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат
  • 7. Вывод
  • Список литературы

1. Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является закрепление и углубление студентом полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.

2. Задача

Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

1. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.

2. Привести уравнение кривой при параметре равном нулю к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка при параметре равном нулю.

4. Построить кривую в канонической и общей системах координат.

3. Исходные данные

Кривая:

(1.1)

4. Анализ кривой второго порядка

1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением:

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):

Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:

,

,

Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.

В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.

Если - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

Если - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

Если - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной, если .

Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.

Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

1) эллипс;

2) мнимый эллипс;

3) вырожденный эллипс;

4) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;

5) гипербола;

6) две пересекающиеся прямые;

7) парабола.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:

1. Если , то есть, то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I3 = 0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.

кривая второй порядок поверхность

Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при данная кривая (1.1) - центральная.

2. Если , то есть при данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.

3. Для вырожденного эллипса

4. Для мнимого эллипса :

5. Если и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

=> =>

Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.

6. Если и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:

=>

Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).

Если I2 < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.

7. Если и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

Значение параметра

Тип кривой

Мнимый эллипс

Вырожденный эллипс

Две мнимые пересекающиеся прямые (точка)

Эллипс

Парабола

Гипербола

2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей

При = 0 уравнение (1.1) имеет вид:

(1.2)

а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:

Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .

б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Пусть декартовая прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:

(1.3)

Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:

(1.4)

Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:

(1.5)

Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:

Примем , тогда найдем значения и , которые выражаются через по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .

Тогда уравнение (1.5) имеет вид:

Дополним до полных квадратов:

Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:

Получим:
или
То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.

3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()

Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.

(1.6)

Общее уравнение эллипса имеет вид:

Из канонического уравнения (1.6) находим и большую и малую полуоси эллипса соответственно:

Для любой точки Мгиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов () есть величина постоянная и равная 2.

Выберем начало координат в середине отрезка равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты исоответственно. Обозначим через постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .

Находим значение по формуле :

Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:

,

Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:

Директрисой гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии от него.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

. Отсюда ;

Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:

,

то есть и

4. Построение кривой в канонической и общей системе координат

Рис.1. Эллипс в общей системе координат:

Рис.2. Эллипс в канонической системе координат

5. Вывод для данной кривой

второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.

6. Анализ поверхности второго порядка

1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

(2.2)

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка

(2.1)

Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.

(2.2)

То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.

2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений

Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.

1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

(2.3)

Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).

2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

: (2.4)

Запишем уравнение (2.4) в виде:

: (2.5)

Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):

(сечений нет)

(прямая)

(две параллельные прямые)

Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость имеют вид:

: (2.6)

Запишем уравнение (2.6) в виде:

: (2.7)

Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число),

При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):

(сечений нет)

,

.

Построение сечений:

Рис.1. Эллипс (Z=const).

Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).

Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const)).

3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат

Рис.4. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат.

7. Вывод

Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.

Список литературы

1. Копылова Т.В. "Аналитическая геометрия". - Дубна, 1996.

2. Ефимов А.В., Демидович Б.П. "Сборник по математике" (для ВТУЗов) (в четырех частях). - М.: Наука, 1993.

3. Мазный Г.Л., Мурадян А.В. "Офисные информационные технологии" - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 1999.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.

    курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009

  • Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

    курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009

  • Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.

    контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011

  • Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.

    курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012

  • Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.

    курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011

  • Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.

    презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014

  • Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013

  • Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.

    контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014

  • Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.

    реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011

  • Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.

    курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.