Геометрия и искусство

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФГОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И ФИЗИКИ

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

курсовая работа на тему

«Геометрия и искусство»

выполнила: студентка 3 курса

факультета математики,

информатики и физики

отделения математики

Аландаренко О. Н.

Ростов-на-Дону

2011 год

Введение

В настоящее время вновь особую актуальность приобретают вопросы, связанные с воспитанием личности школьника в процессе обучения. Одной из причин, породивших данную тенденцию, является низкий уровень духовной культуры современного учащегося, неотъемлемой частью которой является её эстетическая составляющая. Этой же причиной обусловлена направленность современного математического образования на гуманитаризацию, в связи с чем обучение геометрии приобрело ряд нетрадиционных функций, одной из которых является эстетическая функция, призванная обеспечить процесс эстетического воспитания посредством раскрытия при обучении геометрии.

Кроме того, как отмечают многие математики (Ж. Адамар, Г.Биркгоф, Г.Вейль, А.Пуанкаре и др.) и специалисты в области математического образования (В.Г. Болтянский, В.А. Крутецкий и др.), видение красоты геометрии определяет не только эстетико-ценностную ориентацию личности, но и способствует развитию интереса к ней, а также оказывает весьма значительную помощь в поиске решений геометрических задач, освоении теорий, тем самым заметно влияя на математическую подготовку учащихся.

Интерес к данной теме носит своеобразный "пульсирующий" характер с периодами почти полного забвения (1985-1995) и периодами особой популярности, как, например, в последние шесть лет, обусловленной тенденцией образовательного процесса к его гуманизации и гуманитаризации.

Диапазон мнений по этой проблеме достаточно обширен: часть из них, придерживаясь пассивно-созерцательного подхода, рассматривает эстетически привлекательное геометрическое содержание в качестве эмоционального фона процесса обучения (И.Г. Зенкевич, В.Т. Ковешников, В.Л. Минковский), другая часть развивает активно-действенный подход к реализации эстетического потенциала геометрии в процессе обучения (В.Г. Болтянский, Н.В. Гусева, О.А. Кобалия, Н.Л.Рощина, Н.И.Фирстова). Основой, позволившей рассмотреть эстетические аспекты обучения геометрии на качественно новом уровне, явились результаты психологических исследований проблемы красоты, в частности, гипотеза, выдвинутая известным психологом Р.Х. Шакуровым, о том, что красота - сложное качество, составляемое как статическим компонентом, образуемым обобщенным стандартом, так и динамическим, наполняемым оригинальностью, эмоциональностью и т.д.

В связи с этим в последнее время и среди методических исследований появились работы, содержащие попытки создания научно обоснованной модели красоты геометрического объекта (Г.И.Саранцев и др.). Однако в большинстве работ методистов вопросы, связанные с разъяснением содержания понятия красоты, остаются за их границами. Поэтому выводы и предложения авторов исследований либо тривиальны (любой геометрический объект эстетичен), либо необоснованны.

Тема: «Геометрия и искусство»

Объект: эстетический потенциал математики.

Предмет: эстетический потенциал в геометрии.

Цель: Изучить проявления эстетического потенциала в геометрии.

Задачи:

1. Проанализировать специальную литературу по данной теме .

2. Проанализировать подходы к понятию "эстетический потенциал".

3. Рассмотреть различные проявления эстетического потенциала в геометрии.

4. Рассмотреть различные виды эстетического потенциала в геометрии.

5. Проанализировать различные методики проведения самостоятельных работ.

I. Эстетический потенциал математического объекта

Разные математики предпринимали попытку раскрыть содержание эстетической привлекательности математического объекта. Так Э.Т. Белл это содержание описывает совокупностью следующих характеристик:

- универсальность использования в различных разделах математики;

- продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;

- максимальная емкость охвата объекта рассматриваемого типа [3,с.27].

Указанная совокупность признаков красивого математического объекта, как и другие предполагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполне четко и несколько размыто, что объясняется их “трудной уловимостью” и неполной осознанностью.

Некоторые исследователи дополняют перечисленные характеристики новыми:

- высоким контрастом между уровнями сложности выводимого факта и используемых при этом аппаратных средств, достигаемых за счет использования тех или иных эвристических процедур;

- четко выраженной упорядоченностью, гармонией целого и частей, как чувственный (например, через идею симметрии), так и интеллектуальной (например, через осознание стройности математических доказательств) [9].

В качестве примера математического объекта, удовлетворяющего указанным критериям, Э.Т. Белл приводит задачу построения правильных многоугольников, решенную К. Гауссом в конце XVIII века. Она явилась результатом органического синтеза алгебры, геометрии, теории чисел и послужила в прошлом стимулом для многих алгебраических исследований, а внешняя простота, ярко выраженная симметричность, безукоризненная стройность решения побудили исследователей математического творчества назвать эту задачу “настоящим произведением искусства” и “математической поэмой”.

По мнению В.Г. Болтянского [4, с.41], красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданности ее появления. Это утверждение можно подкрепить формулой “математической эстетики” из его статьи [4]: красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность (изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядном представлении). Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или чем проще его наглядная модель.

Наиболее четкая привлекательность математического объекта была дана Г. Биркгофом: , где М - мера красоты, О - мера порядка, а С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [5]. Очевидно, что в случае затраты минимума усилий (а это возможно, когда восприятие объекта укладывается в обобщенный его образ), мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера будет увеличиваться с упорядочиванием структуры объекта, что осуществляется в процессе его преобразования. Сказанное объясняет привлекательность симметричных объектов. Симметрия, являясь самой впечатляющей формой порядка, понимается как гармония отдельных составляющих системы математических знаний. Носителями симметрии являются многие арифметические и алгебраические конструкции и структуры: теория пропорций, различные числовые структуры, множество подстановок корней уравнения, симметрические многочлены и т.д. Содержание симметрии постоянно расширяется и обогащается. Примером может служить создание компьютерных образов на основе фрактальной геометрии.

На важность меры порядка в проявлении эстетического чувства обращают внимание многие математики. Так, А. Пуанкаре видит математические характеристики, которым приписываются свойства красоты и изящества, в элементах, гармонически расположенных таким образом, что ум без усилий может их охватить целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководит [6, с.23]. По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Таким образом, эстетическим потенциалом, основанным на идее симметрии, обладает большой объем даже школьного учебного материала, который должен быть использован при разработке методики обучения математики.

В содержании понятия простота некоторые исследователи выделяют такие признаки, как немногочисленность и общность исходных гипотез, возможность актуализации привычных образных представлений, а также наиболее прямой и естественный ход обоснования гипотез. Ряд математиков утверждают, что простота как эстетическое качество предполагает наличие в числе его характеристик неожиданности, выражающейся в контрасте между очевидностью и естественностью утверждений и трудностью их обоснования. Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из простейших вычислений, однако при их доказательстве часто встречаются большие трудности. В качестве эстетической привлекательности отмечается и обратный контраст между громоздкостью, сложностью условия задачи и простым изящным ее решением.

Перечисленные характеристики красоты математического объекта соотносятся, как легко заметить, либо с внешней стороной, либо внутренней, реализующейся в его исследовании. Указанные виды красоты выполняют разные функции в математической деятельности. Первая из них реализуется созерцанием эстетически привлекательной формулировки изучаемой теоремы, задачи, рисунка. Если же рассматриваемая конструкция выглядит несовершенной, т.е., какие-либо ее элементы или она в целом не соответствуют стереотипным образам, то возникает желание ее исправить, появляется потребность в активной деятельности по гармоничному дополнению структуры математического знания. Познавательный интерес проявляется в ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его стандартную модель, но не укладывается в нее полностью. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове, подчеркивает Р. Х. Шакуров [10]. Интеллектуальная красота постигается в процессе активной творческой деятельности по преобразованию объекта, выбору направления научного поиска, который, в свою очередь, осуществляется под действием эстетических факторов. Учащиеся при решении задачи чаще используют эвристики эстетического характера, ведущие либо к достраиванию рисунка до более симметричного, либо к гармонии целого и части, либо к обобщению или аналогии, либо к рассмотрению частного случая и т.д.

С повышением уровня математической подготовки школьников усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных конкретных ситуациях, что способствует более высокому пониманию математической красоты, которое соотносится с творческой математической деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения задачи. Как отмечал А. Пуанкаре, чувство изящного есть чувство эстетического удовлетворения, обусловленное взаимным приспособлением между математическим объектом и потребностями нашего ума [9]. В силу такого именно приспособления данный объект становится как бы собственностью нашего ума и может служить орудием в дальнейшем познании.

Итак, содержание понятия красоты характеризуется следующими признаками:

o соответствием математического объекта его стандартному, стереотипному образу;

o порядком, логической строгостью;

o простотой;

o универсальностью использования этого объекта в различных разделах математики;

o оригинальностью, неожиданностью.

Учитывая сказанное, в эстетическом восприятии математического объекта можно выделить следующие этапы восприятия:

1) восприятие основано только на совпадении предъявляемых объектов с их образами, сформированными у школьников;

2) восприятие обусловлено тем, что предъявляемый объект не полностью соответствует своему образу, однако его "доведение" до образа как бы подсказывается структурой этого объекта (достроить фигуру, дополнить часть до целого и т.д.);

3) восприятие объекта смещается на его внутреннюю структуру. В частности, если таковым объектом является задача, то ее эстетическая привлекательность заключена в поиске различных способов ее решения, применении аналогии, обобщения, выделении из этих способов наиболее оригинального.

Итак, эффективность математической деятельности во многом обусловлена эстетическими закономерностями. Вместе с тем, эстетический потенциал математики заложен “глубже”, чем в искусстве. Его актуализация требует специальной работы, в основе которой находятся закономерности формирования понятий, изучения теорем, иерархия уровней эстетической привлекательности математических конструкций. Так, в процессе формирования понятий на этапе мотивации введения понятия следует отдавать предпочтения математическим объектам с явными элементами эстетических свойств во внешнем чувственном облике либо в анализе внутренних процессов, зависимостях и отношений. Примером таких объектов являются многогранники, графики, задачи с внешней привлекательностью их условий, в занимательной фабуле задачи, в схемах, рисунках.

Каждому уровню эстетического восприятия можно поставить в соответствие тип задач, в процессе решения которых обеспечивается его формирование:

a) задачи, условия которых реализуют наглядную выразительность;

b) задачи, условия которых представимы такими моделями, которые можно упростить;

c) задачи, решаемые различными способами, либо с неожиданным решением.

Зная, на каком уровне эстетического развития находится каждый ученик, учитель с помощью специальных задач может целенаправленно формировать эстетический вкус школьника. В свою очередь, это дает возможность управлять с помощью эстетических мотивов учебной деятельностью.

Красота помогает организовать конструктивную деятельность школьников, в которой они принимают активное участие, проявляя свою творческую индивидуальность, и обратно, математическое познание, ориентированное на эстетическое воспитание учащихся, является для них самым продуктивным и интересным. А вот чем можно заинтересовать учащихся и вместе с тем показать красоту математики, мы рассмотрим в следующем пункте, где подробно остановимся на составляющих эстетического потенциала математики.

Геометрическая составляющая внешнего аспекта эстетического потенциала математики

Эффективное раскрытие эстетического потенциала математики возможно лишь в процессе творческой деятельности обучающихся. А в этой деятельности ведущая роль принадлежит задаче, “красивой” задаче, ее изящному решению. Рассмотрим понятия симметрии и пропорциональности, которые можно описать геометрически, а также уделим внимание фракталам, которые являются достаточно молодым направлением в геометрии.

Первые находки в открытии математических законов красоты выпали на долю древних греков. Поэтому вселенную они называли словом “космос”, что значит “прекрасно устроенный”. Какие же объективные законы были выбраны в античную эпоху? Прежде всего, это категория меры, включающая в себя как составные элементы понятия симметрии, пропорциональности и ритма, и категория гармонии. Мера характеризует общие принципы строения, целостность предмета, тогда как понятие симметрии, пропорциональности и ритма добавляют к характеристике целого тот или иной специфический оттенок.

II. Различные направления эстетического потенциала математики в геометрии

1. Золотое сечение

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете -- посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий -- свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» -- это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые -- от Пачоли до Эйнштейна -- будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой -- 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое -- все подчиняется божественному закону, имя которому -- «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он -- мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее -- нет, известен. «Золотое сечение» -- это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Леонардо да Винчи написал портрет Моны Лизы, хранящийся сейчас в Лувре. Композиция рисунка, как выяснили ученые, расположена на золотых треугольниках, которые являются частями звездчатого пятиугольника.

На «золотой спирали» расположены основные герои экспозиции «Избиение младенцев», которую написал Рафаэль.

Принято считать, что использование золотого прямоугольника в живописи придает полотну гармонию и умиротворенность, что золотая спираль указывает на бушующие страсти, тревожность и динамизм.

В произведении Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» можно увидеть золотой прямоугольник, здесь соотношение сторон картины близко к числу Ф.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.



Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В биологии особенно часто встречается золотое сечение. Например, в цветке подсолнечника семена закручиваются по спирали, при этом отношение диаметров двух соседних спиралей равно числу Ф. В виде золотой спирали закручивается и раковина головоногого моллюска наутилуса.

Да и само тело человека тоже сотворено в золотой пропорции. Талия делит тело в отношении, примерно равном золотой пропорции, причем у мужчин эта цифра ближе к числу Ф, чем у женщин и т. д. Зная эти особенности, скульпторы древности придавали своим творениям впечатление красоты и совершенства. Одной из известнейших скульптур является статуя Аполлона Бельведерского, которая была выполнена по правилам божественной пропорции.

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) -- деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностьюВ дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (?кспт кб? мЭупт льгпт) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC ? CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда

Золотое сечение и гармония в искусстве.

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.

Многие утверждают, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Обычно такие исследования не выдерживают строгой критики. В любом случае ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения. Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:

- Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

- Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

- Результаты исследования золотого сечения в музыке впервые изложены в докладе Эмилия Розенова (1903) и позднее развиты в его статье «Закон золотого сечения в поэзии и музыке» (1925). Розенов показал действие данной пропорции в музыкальных формах эпохи Барокко и классицизма на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов -- например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

2. Золотой ряд Фибоначчи

«Золотая середина» - она и есть золотое сечение‚ поскольку обладает динамической потенцией развёртывания. В природе широко распространена изящная кривая - логарифмическая спираль (в раковинах моллюсков, побегах растений и прочих формах), тесно связанная с золотой пропорцией.

Археологи нашли «пропорциональные циркули», которыми пользовались старинные зодчие‚ - оказывается, калькулятор для вычисления пропорций был вовсе не нужен: устройство циркулей таково, что их ножки фиксировались как раз на величину отрезков 1:, 1: и т.д. К аналогичным результатам приводило и использование «живых мер» длины - локтей, саженей и прочих, когда метром служили части реального человеческого тела.

Кеплером впервые было записано рекуррентное выражение для ряда Фибоначчи - последовательности целых чисел, происхождение которой связывают с именем купца по профессии, Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи («сын доброй природы»). Говорят, что Леонардо Пизанский пришёл к этому ряду, решая задачу о разведении кроликов. В начале тринадцатого века знание математики было редкостью, и Фибоначчи опубликовал свои открытия в трактате Liber de abacci («Книга об абаке», 1202 г.).

Его задача формулировалась так: сколько пар кроликов мы получим через определённое число месяцев, если в начале имеем 1 пару новорождённых кроликов, размножаться кролики начинают с возраста двух месяцев‚ и приносят в среднем 1 пару приплода в месяц. Решение таково: в первый месяц 1 пара, во второй - всё ещё одна пара, в третий 1+1=2 пары, в четвёртый (1+1)+1=3 пары, в пятый - (1+1)+(1+1)+1 = 5 пар и т.д. В результате получается ряд, где каждое последующее число есть сумма двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… , (2)

это и есть знаменитый натуральный Золотой ряд Фибоначчи.

Если два предыдущих члена последовательности обозначены и , то следующий её член

= + (3).

Трудно сказать, правда ли‚ что кролики размножаются подобным образом: мы думаем, задачу про разведение кроликов Леонардо Пизанский изобрёл нарочно с той целью, чтобы продемонстрировать нам этот замечательный ряд чисел. Пришлось ждать до конца шестнадцатого века‚ пока Иоганн Кеплер не привёл строгое доказательство, что отношение соседних членов этой прогрессии при её возрастании сходится к значению золотого сечения ц. Сходится ряд довольно быстро:

если 1:1=1, 2:1=2, 3:2=1.5, то уже 13:8=1.625,

а восемнадцатый член имеет уже шесть десятичных знаков, совпадающих со значением .

Доказательство может быть построено на главном свойстве золотого сечения, которое называется аддитивным: умножение ц на ц эквивалентно прибавлению единицы, возведение в куб - прибавлению единицы уже к двум ц, и т.д. Это вытекает из основного выражения 1 + 1/ ц = ц:

= ц + 1,

= ц (ц + 1) = + ц = 2ц + 1,

= ц (2ц + 1) = 2 + ц = 3ц + 2,

= ц (3ц + 2) = 3+ 2ц = 5ц + 3 и т.д.,

т.е. = ц +, где - число ряда Фибоначчи.

Размножающиеся кролики вновь всплыли в ХХ веке, через семь столетий после доброго Леонардо. Американскому математику Натану Альтшулеру в 1917 г. удалось получить выражение для ц, где оно возникает как предел бесконечного квадратного корня:

Если мы изобразим на клетчатой бумаге изобразить единичный квадрат как соответствующий первому члену =1 ряда чисел Фибоначчи, на его нижней стороне другой такой же квадрат =1, на их общей левой стороне 1+1 квадрат 2х2, отвечающей третьему члену ряда , затем на стороне прямоугольника 2+1=3 квадрат 3x3, отвечающий четвёртому члену и т.д., то получим геометрический аналог последовательности Фибоначчи на плоскости из квадратов и прямоугольников, пропорции которых быстро становятся «золотыми»:



Поскольку каждый последующий «золотой» квадрат со стороной строится на стороне прямоугольника как сумме сторон двух предшествующих по порядку квадратов и - и осуществляя при этом поворот на четверть окружности (р/2) - то ими отмечены четыре (а также восемь) направлений на плоскости. При том заметим, что каждый квадрат (кроме первых четырёх) соприкасается с шестью другими (3+1+1+1), сам являясь седьмым. Это даёт нам параллель шести основным интервалам диатонической гаммы и шести её ступеням с седьмой (единичной) ступенью, а также паттерну тетрактиды (1:2:3:4), образующему фрактальное множество пифагорейских гармонических чисел на промежутке октавы.

3. Симметрия

Симметрия является эквивалентом уравновешенности и гармонии и используется во многих областях науки и искусства. Принципы симметрии являются инструментом для нахождения новых законов природы. Например, распространение электромагнитных волн симметрично во взаимоперпендикулярных плоскостях. Структура молекулы также имеет симметричное строение.

Молекула ДНК - это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, которая построена по принципу комплементарности. А, исследуя симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, можно заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, четко описать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.

Симметрия конуса свойственна растениям. Например, цветок считается симметричным, если каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имеющие парные части, считаются цветками с двойной симметрией.

Симметрия у животных означает соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, которые находятся на противоположных сторонах разделяющей линии.

По принципу двусторонней симметрии построено тело человека. Мозг человека разделен на две половины - два полушария, плотно прилегающие друг к другу, и каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого, Однако, физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Очень немногие люди одинаково владеют обеими руками. Например, женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У женщин хорошо развита интуиция, за которую отвечает правое полушарие, но слабее пространственная функция, логика, воля, самоконтроль. Среди мужчин имеется много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария.

Идеи симметрии часто встречаются в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Зачастую именно язык симметрии оказывается особенно пригодным для обсуждения произведений искусства, даже если последние отличаются отклонениями от симметрии или их создатели стремились умышленно ее избежать.

3.1 Зеркальная симметрия

Красота тесно связана с симметрией. Об этом говорит, например, в своей книге о пропорциях Поликлет -- ваятель, скульптуры которого служили предметом восхищения древних за их гармоническое совершенство, и Дюрер следует за ним при установлении канона пропорций человеческого тела. В этом смысле идея симметрии никоим образом не ограничивается пространственными объектами; ее синоним «гармония» в гораздо большей степени указывает на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии, чем на геометрические. Образ весов является естественным связующим звеном, которое подводит нас ко второму смыслу, в котором слово симметрия употребляется в наше время: зеркальная симметрия, симметрия левого и правого, столь заметная в строении высших животных и, в особенности, человеческого тела. Здесь зеркальная симметрия -- строго геометрическое и, в отличие от рассматривавшегося до сих пор расплывчатого представления о симметрии, вполне точное понятие. Тело (пространственный образ) симметрично относительно данной плоскости Е, если оно переходит в себя при отражении от плоскости Е. Возьмем какую-нибудь прямую l, перпендикулярную плоскости Е, и на этой прямой -- произвольную точку р (рис. 1). Тогда существует одна и только одна точка р' на прямой l, находящаяся на таком же расстоянии от плоскости Е, что и точка р, но по другую сторону от этой плоскости. Точка р' совпадает с точкой р только в том случае, если она принадлежит плоскости Е.

Отражение от плоскости Е является отображением S: р>р' пространства на себя, переводящим произвольную точку р в ее зеркальный образ р' относительно Е. Отображение определено, если установлено правило, по которому каждой точке р ставится в соответствие ее образ



Из всех древних народов строгая зеркальная, или геральдическа, симметрия была, по-видимому, особенно излюблена шумерами. В этом отношении типичным является рисунок на известной серебряной вазе царя Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э.; на рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями; в когтях у него с каждой стороны по оленю; на оленей в свою очередь нападают львы.

Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных, заставляло, очевидно, удваивать изображения. Несколько позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны, и, таким образом, формальный признак симметрии полностью восторжествовал над принципом подражания природе.

Этот геральдический мотив можно затем обнаружить в Персии, в Сирии, позднее в Византии, а всякий живший до первой мировой войны помнит двуглавых орлов на гербах царской России и Австро-Венгерской монархии.

Низшие формы животных -- мелкие организмы, взвешенные в воде,-- имеют более или менее шарообразную форму. Для форм, живущих на дне океана, направление силы тяжести является важным фактором. Для животных, обладающих способностью самостоятельно передвигаться в воде, в воздухе или по земле, решающее влияние оказывает как сила тяжести, так и то направление (от заднего к переднему концу тела), в котором движется животное.

После установления передне-задней, спинно-брюшной, а тем самым и лево-правой осей произвольным остается лишь различие между правым и левым, и на этом этапе никаких более высоких типов симметрии, чем зеркальная, ожидать не приходится. Действие факторов филогенетической эволюции, стремящихся вызвать в организме наследственное различие между левым и правым, тормозится, вероятно, за счет тех преимуществ, которые животное извлекает из зеркально-симметричного расположения своих органов движения -- ресничек или мышц и конечностей: в случае асимметричного их развития естественно получилось бы винтовое, а не прямолинейное движение. Это может нам объяснить, почему наши конечности подчиняются закону симметрии более строго, чем внутренние органы. В «Пире» Платона Аристофан поведал иную историю о том, как произошел переход от сферической симметрии к зеркальной. Вначале, говорит он, человек был круглым, его спина и бока образовывали круг. Чтобы смирить гордыню людей и лишить их могущества, Зевс рассек их пополам, а Аполлон повернул их лица и детородные члены. При этом Зевс пригрозил: «А если они и после того окажутся дерзкими и не захотят жить смирно -- я опять разрежу их надвое, чтобы они ходили на одной ноге».

Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы. Газообразное и кристаллическое состояния являются двумя четко разграниченными состояниями вещества, которые физике удается сравнительно легко объяснить. Состояния, промежуточные между этими двумя крайностями,-- такие как жидкое и пластичное -- труднее поддаются теории.

В газообразном состоянии молекулы свободно движутся в пространстве, имея независимые случайные скорости и положения. В кристаллическом состоянии атомы колеблются около положений равновесия так, как если бы они были привязаны к ним упругими нитями. Эти положения образуют стационарную правильную конфигурацию в пространстве.

3.2 Орнаментальная симметрия

Если вы свалите в кучу пушечные ядра или круглые бусинки, то они естественным образом примут расположение, представляющее собой трехмерный аналог шестиугольной конфигурации. В случае двух измерений задача состоит в том, чтобы уложить на плоскости по возможности плотно равные круги. Начнем с горизонтального ряда из кругов, касающихся друг друга. Если вы сбросили сверху еще один круг на этот ряд, то он займет место между какими-то двумя соседними кругами нижнего ряда и центры этих трех кругов составят равносторонний треугольник. Таким образом получится второй горизонтальный ряд, состоящий из кругов, лежащих между кругами первого ряда, и т. д. (рис. 49).

Между кругами останутся небольшие промежутки. Касательные к кругу в точках, где он соприкасается с шестью окружающими его кругами, образуют правильный шестиугольник, описанный вокруг этого круга, и если вы замените каждый из кругов таким шестиугольником, то получите правильную конфигурацию из шестиугольников, заполняющую всю плоскость.

В соответствии с законами капиллярности мыльная пленка, обтягивающая данный контур из тонкой проволоки, принимает форму минимальной поверхности, т. е. поверхности с площадью, меньшей площади любой другой поверхности, ограниченной тем же контуром.

Мыльный пузырь, если вдуть в него некоторое количество воздуха, примет сферическую форму, так как сфера ограничивает данный объем при минимуме поверхности. Поэтому уже не кажется удивительным то, что пена, состоящая из двумерных пузырьков равной площади, образует шестиугольный узор,-- ведь среди всех разбиений плоскости на части равной площади шестиугольный узор обладает тем свойством, что сеть, состоящая из его контуров, имеет минимум длины. При этом предполагается, что задача сведена к двум измерениям, так как мы рассматриваем горизонтальный слой пузырьков, например, между двумя горизонтальными стеклянными пластинками. Если пузырчатая пена имеет границу (слой эпидермы, как сказал бы биолог), то мы наблюдаем, что эта граница состоит из дуг окружностей, образующих углы в 120° со стенкой ближайшей клетки и с соседней дугой,-- как это и требуется законом минимальной длины.

Так как пчелы, имеющие приблизительно одинаковые размеры, при постройке своих сот крутятся в них, соты образуют плотнейшую упаковку из параллельных круговых цилиндров, которая в поперечном сечении выглядит так же, как и наш шестиугольный узор из кругов. Пока пчелы работают, воск находится в полужидком состоянии и, таким образом, капиллярные силы, вероятно, большие, чем давление изнутри от пчелиных тел, превращают круги в описанные шестиугольники (углы которых все же сохраняют некоторые остатки круговой формы). О геометрии пчелиных сот было написано много.

Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности. «Мой дом,-- говорит пчела в «Тысяче и одной ночи»,-- построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, изучая геометрию моих сот». Маральди в 1712 г., по-видимому, первый произвел очень точные измерения сот. Он обнаружил, что три ромба, образующих дно ячейки, имеют тупой угол а, равный приблизительно 110°, и что величина угла р, образуемого ими со стенками призмы, имеет то же значение. Он задал себе геометрический вопрос, каков должен быть угол б для того, чтобы в точности совпасть с этим вторым углом в.

Маральди нашел, что б=в = 109°28', на основании чего предположил, что пчелы нашли решение этой геометрической задачи.

Заключение

эстетический математический золотой сечение симметрия

В работе изложены основы эстетического потенциала математики.

Задача данной курсовой работы разработка учебного пособия, которое содержит достаточный теоретический и практический материал.

В данной работе достаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются примерами, которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы.

Материал курсовой работы может быть использован как при изучении соответствующего курса математики, так и для спецкурсов по геометрии.

Приведенный список литературы позволяет при необходимости рассмотреть некоторые более сложные моменты теории сравнений и их приложений.

Список литературы

1. Белл Э.Т. Творцы математики: предшественники современной математики. М.: Наука, 1979

2. Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант. 1973 №5,- С.26-27

3. Биркгоф Г. Математика и психология. М.: Наука, 1977

4. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе 1982, №2.- С.40-43

5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М. Просвещение, 2000

6. Гулыга А.В. Принципы эстетики. М.: Издательство политической литературы, 1987

Размещено на Allbest.ru