Движение математического маятника
Анализ движения математического маятника без трения в случае произвольных колебаний. Построение численно соответствующих кривых движения при различных начальных условиях. Закон движения маятника в эллиптических функциях, графики его траекторий.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.04.2014 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Кафедра математического моделирования и кибернетики
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: "Движение математического маятника"
Направление подготовки: 010200.62 - Математика и компьютерные науки
Научный руководитель: Беляева Н.А.,
Исполнитель: Ерофеевская Е.П.,
Сыктывкар, 2013
Оглавление
- 1§. Введение
- 2§. Составление уравнения движения математического маятника
- 3§. Решение уравнения
- 4§. Эллиптический интеграл
- 5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)
- 6§. Графики траекторий движения маятника
- 7§. Заключение
- 8§. Список литературы
- 9§. Приложение
1§. Введение
Движение математического маятника - одна из тем изучения по дисциплине "Дифференциальные уравнения". Выявляя траекторию движения, мы увидели, что при разных условиях, например, произвольные или малые колебания, с трением движение маятника или без, различаются уравнения движения математического маятника, способ решения уравнений и графики траекторий.
В своей работе я рассмотрю движение математического маятника без трения в случае произвольных колебаний.
Объект исследования: математический маятник.
Цель исследования: построить численно соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Изучить учебную литературу о колебаниях.
2. Составить уравнение движения математического маятника без трения.
3. Найти закон движения (в эллиптических функциях).
4. Изучить учебную литературу об эллиптическом интеграле.
5. Научиться строить графики траекторий в математической системе Maple.
6. Сделать выводы.
Элементы новизны нашей работы заключаются в том, что мы изучили движения математического маятника при произвольных колебаниях без трения и построили график движения.
По структуре работа представлена в таком виде:
В 1-ом разделе рассказывается об устройстве математического маятника, составлении уравнения движения его.
Во 2-ом разделе - находится поэтапное решение уравнения движения математического маятника.
В 3-ем разделе изучается теория об эллиптическом интеграле.
В 4-ом разделе находится закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию.
В 5-ом разделе строятся численно соответствующие кривые движения при различных условиях.
В приложении будет представлен код построения кривых движения маятника в математической системе Maple. А в заключении будут подведены итоги всей работы.
При написании этой работы я пользовалась следующей литературой:
Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.
Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981. - помогли в выводе и составлении уравнения движения маятника;
Беляева Н.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012 - в решении дифференциального уравнения движения маятника;
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том М.: Наука. 1969. - в изучении теории об эллиптическом интеграле и нахождении закона движения маятника, выраженного через эллиптическую функцию.
движение математический маятник траектория
2§. Составление уравнения движения математического маятника
Пусть материальная точка массы m подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины l (весом которых пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис.). Эта система называется математическим маятником. Выведя маятник из положения равновесия OA в положение OB (б<р/2), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему начальной скорости.
Маятник перейдёт в симметричное положение OB', потом вернётся в положение OB и т.д. Пусть и - угол отклонения маятника от вертикали. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника, т.е. в выяснении зависимости между углом и = AOM и времени t. Для определённости рассмотрим движение точки M по дуге AB, отсчитывая пройденный путь s=АВ=lи от точки А, а время t-от момента прохождения маятника через положение равновесия.
Составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения
mW=F+N, (1)
где F - действующая на точку активная сила, а N - реакция связи.
Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе,
т.е. . (2)
Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде
или mW=F, где W есть ускорение точки.
Итак, уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
или .
В нашем случае получим в проекции на ось t
, где m есть масса маятника.
Также согласно законам механики, угловое ускорение пропорционально моменту силы веса: . Здесь - момент инерции.
Так как (тангенциальное ускорение), отсюда находим
.
Сократим на m и положим , тогда уравнение движения маятника без трения при произвольных колебаниях будет иметь следующий вид:
. (3)
3§. Решение уравнения
уравнение движения математического маятника без трения.
Для решения используем метод понижения порядка.
=p, p=p (и) - делаем замену;
;
- применяем замену;
- разделили переменные;
- проинтегрировали;
- нашли решение по переменной p;
- вернулись к исходным данным;
- разделили переменные.
Интегрируя слева от 0до t, а справа от 0 до и, приходим к искомой зависимости:
- проинтегрировали (4)
Возьмём , то
(5)
общее решения уравнения в явном виде.
4§. Эллиптический интеграл
(5)
общее решения уравнения в явном виде.
Перед нами эллиптический интеграл.
В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.
В современном представлении, эллиптический интеграл - это некоторая функция , которая может быть представлена в следующем виде:
,
где - рациональная функция двух аргументов, - квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями, - константа.
Это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же называют псевдоэллиптическими.
В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R (x,y) не содержит нечётных степеней y. Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
· б - модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );
· - модуль эллиптического интеграла;
· - параметр;
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
, где - эллиптическая функция Якоби;
- амплитуда;
Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что u зависит также и от m. Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:
и
Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
.
Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:
- дополнительный параметр
- дополнительный модуль
- дополнительный модулярный угол
Все эллиптические интегралы с помощью элементарных подстановок - и с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном виде, - приводятся к следующим трём стандартным интегралам:
и ,
где (0<к<1).
Эти интегралы, как показал Луивилль, в конечном виде не берутся. Их Лежандр назвал эллиптическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него, ещё (комплексный) параметр h. Лежандр внес в эти интегралы ещё дальнейшие упрощения, выполнив в них подстановку z=sinц (ц изменяется от 0 до р/2). При этом из них непосредственно переходит в интеграл . (A)
Второй преобразуется так:
,
т.е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу
. (B)
Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в
. (C)
Интегралы (A), (B) и (C) также называются эллиптическими интегралами 1-го,2-го и 3-го рода - в форме Лежандра.
5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)
(5)
общее решения уравнения в явном виде.
Видно, что квадратура в конечном виде не берётся: интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1го рода.
Так как , ,
то
Подставляя этот результат в уравнение (5), получаем:
и положив =к (0< к<1), введём новую переменную интегрирования ц
по формулам , ; (6)
откуда
Кроме того,
при этом изменению и от 0 до б отвечает изменение ц от 0 до р/2. Тогда получим закон движения маятника в виде
(7)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина к называется модулем эллиптического интеграла.
Так как по первой из формул (6) легко выразить ц через и, то зависимость t от и можно считать установленной.
Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля. Желая выразить, наоборот, и через t, мы нуждаемся в обращении эллиптического интеграла
(8)
Если в равенстве (8) рассматривать верхний предел, а как функцию от интеграла u, монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию от ц в промежутке (-; то такая функция носит название амплитуды u (am u) - как её обозначил Якоби - и обозначается так: , или . (9)
А мы обозначим так: , то , или .
Из (8) теперь ясно, что и, значит, .
Беря от обеих частей равенства (9) синус, мы получим:
(10)
Функцию ("синус амплитуды" или "эллиптический синус") обычно обозначают просто через sn u. (Функция sn u,рассматривается как функция комплексного аргумента, является одной из простейших (введённых Абелем и Якоби), так называемых, эллиптических функций.). Итак, окончательно, зависимость и от t выражается равенством
Функция sn u представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (7), u=t, то, переходя в равенстве (10) с помощью формулы (6), найдём закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде
. (11)
6§. Графики траекторий движения маятника
Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию . Задавая угол и промежуток времени, мы строим графики зависимости (). Возьмём =Pi/4 и для точности определения зависимости () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30. При =5 - > () = - 1,2; =15 - > () =1,2 Замечаем, что через каждые 10с, повторяется угол отклонения.
Возьмём =Pi/3 и для точности определения зависимости () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30.
При =5 - > () = - 1,84; =8,44 - > () =1,86 Замечаем, что через почти каждые 3,5с, повторяется угол отклонения.
Таким образом, мы видим, что движение маятника периодическое. За 1 период при увеличении времени угол сначала увеличивается, а потом уменьшается.
7§. Заключение
В данной работе мы выполнили поставленные задачи и достигли заданной цели. Мы познакомились с такими понятиями, как "математический маятник", "эллиптическая функция" и "эллиптический интеграл"… Отметили, как численно строить соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.
8§. Список литературы
1. Беляева Н.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012
2. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том М.: Наука. 1969.
Размещено на Allbest.ru
9§. Приложение
>
>
Ш
Ш
>
>
>
,
>
>
>
>
>
Подобные документы
Вывод уравнения движения маятника. Кинетическая и потенциальная сила энергии. Определение всех положений равновесия. Исследование на устойчивость. Аналитический и численный расчет траектории системы. Изображение траектории системы разными способами.
контрольная работа [344,2 K], добавлен 12.04.2016Формулировка основного закона динамики. Понятие и основные характеристики прямолинейного движения, формы и особенности его задания. Схема формирования и решения дифференциальных уравнений движения. Примеры решения типовых задач по данной тематике.
презентация [1,7 M], добавлен 26.09.2013Принципы и этапы построения математической модели движения неуправляемого двухколесного велосипеда. Условия устойчивого движения. Вопрос гироскопической стабилизации движения. Модель движения велосипеда с гиростабилизатором в системе Matlab (simulink).
статья [924,5 K], добавлен 30.10.2015Понятие движения как преобразования одной фигуры в другую при сохранении расстояния между точками. Характеристика видов движения (центральная и осевая симметрия, поворот и параллельный перенос). Переход фигуры в равную ей фигуру, сохранение углов.
презентация [315,9 K], добавлен 09.03.2012Введение понятия переменной величины. Развитие интегральных и дифференциальных методов. Математическое обоснование движения планет. Закон всемирного тяготения Ньютона. Научная школа Лейбница. Теория приливов и отливов. Создание математического анализа.
презентация [252,6 K], добавлен 20.09.2015Электрические цепи, описывающие их величины. Процесс распространения тепла. Построение ортогонального семейства кривых. Уравнение химической кинетики, скорость реакции. Закон реактивного движения. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде.
курсовая работа [951,1 K], добавлен 24.11.2014Понятие относительного и переносного движения точки, отличие от них абсолютного или сложного движения, их практические расчеты. Решение теорем о сложении скоростей, о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Особенности применения правила Жуковского.
презентация [9,7 M], добавлен 23.09.2013Вычисление траектории на плоскости в случае декартовых координат, ортогональных и изогональных траекторий семейства. Графическое решение дифференциального уравнения первого порядка, построение ортогональных траекторий в задачах картографии, навигации.
курсовая работа [542,6 K], добавлен 25.06.2014Понятие математического анализа. Предшественники математического анализа - античный метод исчерпывания и метод неделимых. Л. Эйлер - входит в первую пятерку великих математиков всех времен и народов. Современная пятитомная "Математическая энциклопедия".
реферат [68,3 K], добавлен 04.08.2010Синтез оптимального управления при осуществлении разворота. Разработка математической модели беспилотных летательных аппаратов. Кинематические уравнения движения центра масс. Разработка алгоритма оптимального управления, результаты моделирования.
курсовая работа [775,3 K], добавлен 16.07.2015
