Прямая линия на плоскости

Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 17.12.2011
Размер файла 124,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция №11. Прямая линия на плоскости

Вопросы:

Общее уравнение прямой;

Каноническое уравнение прямой;

Параметрические уравнения прямой;

Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Общее уравнение прямой

Утверждение 1. Если на плоскости зафиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy то всякое уравнение первой степени с двумя переменными

(1), в которых хотя бы одна из постоянных отлична от нуля, определяет относительно этой системы прямую линию.

Докажем это утверждение. Для того что бы утверждение было справедливым необходимо найти такой вектор который был бы перпендикулярен этой линии в любой ее точке.

Для этого выберем любое (хотя бы одно) решение удовлетворяющее исходному уравнению .

Обозначим эту точку . Координаты произвольной точки, лежащей на исходной линии обозначим как . Покажем, что вектор , если уравнение первой степени линия, всегда ортогонален вектору . Для этого вычтем из исходного уравнения тождество

. Получим эквивалентное уравнение вида:

.

Полученное уравнение не что иное, как условие ортогональности векторов, выраженное через их скалярное произведение. (Векторы ортогональны, если сумма соответствующих координат этих векторов и равна нулю. Имеем в виду:

, ).

Следовательно уравнение (1) есть уравнение прямой.

Уравнение (1) с произвольными коэффициентами и , первые два из которых не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Прямая, определяемая общим уравнением, ортогональна вектору , называемому нормальным вектором прямой.

Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты и не равны нулю. Если хотя бы один из этих трех коэффициентов не равен нулю, уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку начало координат удовлетворяет этому уравнению).

. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси ).

. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси ).

и . Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат).

и . Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат)

Полное уравнение прямой может быть приведено к следующему виду:

.

Этот вид уравнения прямой называется уравнением прямой в отрезках.

Общее уравнение к уравнению в отрезках приводится следующим образом:

, т.е. , .

Уравнение прямой в отрезках имеет простой геометрический смысл (см. рис.2).

Отрезки и определяют точки пересечения прямой осей и .

В этом не трудно убедится положив сначала , а за тем

Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Каноническое уравнение можно получить, если запишем уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Пусть задана точка и направляющий вектор .

Очевидно, что точка лежит на указанной прямой в том случае, если векторы и коллинеарны. Если вектора коллениарны, то . Через координаты это свойство может быть выражено так

.

Соотношение (2) является искомым каноническим уравнением прямой.

В заключении запишем уравнение прямой, проходящей через две данные и отличные друг от друга точки и . Для этого достаточно в каноническом уравнении (2) взять в качестве направляющего вектора . Мы получим при этом уравнении

. (3)

Параметрические уравнения прямой

Параметрическое уравнение прямой вытекает из канонического уравнения (2). Если в качестве постоянной взять переменный параметр , изменяющийся в диапазоне (бесконечная прямая), то

, или окончательно

. (4)

Уравнение (4) является искомым параметрическим уравнением прямой. Эти уравнения допускают наглядную механическую интерпретацию. Если параметр это время, то параметрическое уравнение описывает движение материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью равной

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Введем понятие угла наклона прямой к оси . Пусть прямая не параллельна оси и ее пересекает в точке . Выберем на оси точку лежащую по ту сторону от куда направлена ось . На прямой точку по ту сторону от куда направлена ось . Тогда углом наклона этой прямой к оси называется угол .

Если прямая и ось параллельны, то полагаем, что угол наклона .

Тангенс угла наклона прямой к оси назовем угловым коэффициентом этой прямой и обозначим . И так . Для прямой параллельной оси угловой коэффициент равен нулю.

Введем уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент .

Покажем, что какой бы угол наклона к оси (острый или тупой) не имела прямая линия и в какую бы сторону не был направлен направляющий вектор этой прямой. Угловой коэффициент этой прямой всегда равен отношению координат направляющего вектора.

В случае (Рис. 3, 4) , где угол между направляющим вектором и осью ;

, ;

;

В случае (Рис. 5, 6) ;

.

.

Итак, всегда .

Используя каноническое уравнение (2) можно записать

или .

Обозначив получим

. (5)

уравнение линия отрезок вектор тангенс

Уравнение прямой (5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении b представляет собой отрезок отсекаемый прямой на оси (при см. рис. 7).

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.

    презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014

  • Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.

    презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013

  • Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.

    контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012

  • Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.

    презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016

  • Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.

    презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014

  • Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.

    презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.

    курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014

  • Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

    презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014

  • Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.

    презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012

  • Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.

    шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.