Теореми Чеви і Менелая та їх застосування

Перемножуючи останні три рівності, маємо (*)

.

Задача 3.17. Трикутник вписано в трикутник : вершини лежать на сторонах відповідно. Довести, що якщо прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в одній точці, то прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в точці .

Оскільки точки лежать на колі, побудованому на відрізку як на діаметрі, то . Опустимо з точки перпендикуляр на пряму . Оскільки , то , тобто пряма симетрична прямій відносно бісектриси кута .

Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри , які опущені з вершин трикутника на сторони трикутника симетричні прямим відносно бісектрис трикутника . Згідно з задачею 3.9 прямі перетинають в одній точці.

Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах трикутника взято точки , так що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що

.

Доведення.

Нехай прямі перетинають пряму, яка проходить через точку паралельно прямій , в точках і .

Оскільки трикутник подібний до трикутника , трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників, то ; . Додавши ці рівності і, враховуючи, що , одержуємо:

.

Далі, трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника .

Тому ; .

Звідси випливає, що . З цієї рівності і рівності безпосередньо випливає, що

.

Задача 3.19 Задано трикутник . Довести, що чевіани , які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай довжини сторін відповідно , тоді число згідно з нерівністю трикутника додатнє і менше .

Нехай точка лежить на стороні і така, що . Зрозуміло, що пряма ділить периметр трикутника навпіл, аналогічно з точками і (можна помітити, що - точки дотику вневписаних кіл трикутника ).

Переконавшись в існуванні потрібних точок, розв'яжемо основну задачу.

Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків.

, , ,

, , .

Зрозуміло, що , отже чевіани перетинаються в одній точці.

РОЗДІЛ 4

ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ НА ПЛОЩИНІ

Означення. Під кутом між двома векторами і будемо розуміти кут, на який необхідно повернути вектор у додатньому напрямку (проти ходу годинної стрілки) до збігу з напрямком вектора (див. рис. 4.1).

Рис. 4.1 До визначення кута між двома векторами

Нехай для визначеності, що . З означення і властивостей функції випливає, що

.

Розглянемо два трикутники: (позначимо його через ) і , вершини і якого лежать на прямих і відповідно; позначимо трикутник через . Зрозуміло, що вектори і коллінеарні; також коллінеарні й вектори . Введемо для коллінеарних векторів і величину , яка дорівнює відношенню довжин векторів і , взятому зі знаком “+” , якщо вектори і співнаправлені, і зі знаком “-“ у супротивному випадку.

Рис. 4.2

Визначимо для трикутників і величину :

(4.1)

Нехай далі - трійка векторів , які коллінеарні векторам (сторонам трикутника ) - трійка векторів , які коллінеарні векторам і . Визначимо для і величину

(4.2)

Лема. (4.3)

Доведення. Спочатку перевіримо, що та одного знака. Легко переконатися, що зміна напрямку одного з векторів , не змінить величини , тому можна обрати напрямок кожного з них певним чином; наприклад, можна вважати вектори , такими, що збігаються за напрямком з векторами , ,і (див. рис. 4.2) .

У цьому випадку кожний з трьох дробів, що входять у вираз має той самий знак, що і відповідний дріб, який входить у вираз .

Наприклад, дроби

і

будуть додатними, якщо точка розташована між точками і , і від'ємними супротивному випадку (див. рис. 4.2, 4.3).

Рис. 4.3

Залишилось довести, що . Маємо

Перемножуючи ці три рівності, одержимо, що . Лема доведена.

Далі буде необхідна рівність, що безпосередньо випливає з означення :

. (4.4)

Сформулюємо тепер теореми Чеви та Менелая.

Теорема Чеви. Для того, щоб прямі і перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.5)

або еквівалентна рівність

(4.5^/)

Теорема Менелая. Для того, щоб точки лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.6)

або еквівалентна рівність

(4.6^/)

Доведення теореми Чеви.

Необхідність. Нехай прямі , перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (4.5) і (4.5^/).

Якщо прямі і перетинаються в одній точці, то або всі три точки і лежать на сторонах трикутника , або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші - на продовженнях відповідних сторін.

У першому випадку всі дроби, що входять у вираз , додатні, а в другому випадку один із трьох дробів, що входить у вираз , додатний, а два інші - від'ємні, так що знову вираз (а отже, і - див. лему) більше нуля.

Доведемо, що (оскільки >0, то з цього буде випливати, що дорівнює одиниці).

Позначимо точку перетину прямих і через (рис. 4.4а).

103

а)

б)

Рис. 4.4

106

Застосовуючи теорему синусів, одержимо

,

Перемножуючи ці рівності, знаходимо , тим самим необхідність доведена.

Достатність. Доведення достатності проведемо методом від супротивного.

Припустимо, що , але прямі , і не проходять через одну крапку (див. рис. 4.4б).

Позначимо точку перетину прямих і через , а через - точку перетину прямих і . Оскільки прямі , і перетинаються в одній точці, то

Але за умовою

,

звідки . Так як і точка і точка лежать на прямій , то з цього випливає, що точки та збігаються.

Теорема Чеви доведена.

Доведення теореми Менелая

Необхідність. Відомо, що точки і лежать на одній прямій. Необхідно довести рівності (4.6) та (4.).

Якщо точки і лежать на одній прямій, то або усі вони знаходяться на продовженнях і сторін трикутника , або ж дві з точок знаходяться на відповідних ним сторонах, а третя - на продовженні.

В обох випадках вираження буде від'ємним. Доведемо тепер, що якщо точки - на одній прямій, то (оскільки <0, з цього буде випливати, що ).

Проведемо через точку пряму, паралельну , і позначимо точку її перетину з прямою через (див. рис. 4.5).

Рис. 4.5

Використовуючи подібність, одержимо

Додавши рівність і перемноживши всі три рівності, одержимо, що . Необхідність умов теореми Менелая доведена.

Достатність. Доведення достатності умов (4.6) і (4.) теореми Менелая проводиться аналогічно доведенню достатності умов (4.5) і (4.) теореми Чеви.

Теорема доведена.

ВИСНОВКИ

Розв'язок задач складає суттєву сторону процесу навчання математиці: рівень математичної підготовки в більшості визначається глибиною навиків у розв'язанні задач.

Ці обставини спонукають з особливою увагою відноситись до організації в середніх школах, гімназіях та ліцеях ретельно продуманих занять, які мають за мету надати учням не тільки теоретичні знання в області геометрії, але й навчити їх вільно застосовувати здобуті знання до розв'язання нестандартних задач середньої та підвищенної складності.

Останнім часом у варіантах вступних іспитів все частіше зустрічаються задачі, розв'язок яких суттєво спрощується за допомогою теорем Чеви та Менелая.

Дипломна робота присвячена вивченню теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведенню нетривіальних наслідків цих теорем та розв'язанню задач за допомогою цих теорем.

Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших) та розв'язанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. В роботі наведено багато задач, розв'язаних двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая, при цьому останній спосіб розв'язання задач виявляється більш раціональним (розв'язок задачі займає всього кілька рядків). Зазначимо, що при розв'язку задач найскладнішою справою є пошук трикутника, до якого слід застосувати теорему Менелая.

Теореми Чеви використовується при розв'язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці.

В роботі також розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі.

Наведені в дипломній роботі задачі (розв'язано 50 задач) можуть бути використані при позакласній роботі з учнями (на заняттях гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. 1 часть. Планиметрия. - М.: Сантакс-Пресс, 1997. - 304 с.

2. Буник І. Теорема Менелая // Математика. - №15(315), квітень, 2005. - с.17-21.

3. Габович И. Теорема Менелая для тетраэдра // КВАНТ, №6, 1996, с. 34-36.

4. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна - решения разные.-К.: Рад. шк.-1988.-173с.

5. Егоров А. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 2004, с.35-38.

6. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. - М., - 1962. - С. 151.

7. Карп А.П. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.

8. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. - М.: Наука, 1978. - 223 с.

9. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // КВАНТ, №7,1992.-с.46-50

10. Орач Б. Теорема Менелая // КВАНТ, №3, 1991, с. 52-55.

11. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.1. - М.: Наука, 1986. - 272 с.

12. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.2. - М.: Наука, 1991. - 240 с.

13. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии.-М.: Наука, 1989. - 288 с.

14. Скопец З.А., Жаров В.А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия). - М., 1962. - 162 с.

15. Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. - Ярославль, 1974. - 239 с.

16. Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Пер. с польск. Ю.А. Данилова под ред. В.М. Алексеева. - М.: Мир, 1978. - 338 с.

17. Шарыгин И. Ф. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №11, 1976.

18. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. - М.: Наука, 1986.

19. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы планиметрии. - М.: Наука, 1967.

20. Эрдниев Б., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 1990, с. 56-59.