МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Дипломная работа

Исполнитель

студентка группы М - 61 Цыкунова Т.В.

Научный руководитель

к.ф. - м.н., доцент Ермаков В.Г.

Рецензент

к.ф. - м.н., профессор Мироненко В.И.

Гомель 2004 год

РЕФЕРАТ

Дипломная работа страниц, 43 рисунка, 1 блок-схема, 12 источников, 2 приложения.

Ключевые слова: геометрия, математическое образование, метод обучения, структура учебного материала, структура и содержание курса геометрии, реформа.

Объект исследования: структура и содержание учебного материала в школьном курсе геометрии.

Цель работы: выявление узких мест в строении школьного курса геометрии, построение карты-схемы взаимосвязей между определениями и теоремами данного курса.

Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи:

- проведен анализ структурных изменений в курсе геометрии, инициированных реформами математического образования;

- проанализированы учебные пособия по геометрии, выявлены их недостатки и достоинства;

- составлена карта-схема взаимосвязей определений и теорем в школьном курсе геометрии;

- разработан план специализированного урока, призванный помочь учащимся в восстановлении связей между основными фактами курса геометрии.

Практическое значение полученных результатов состоит в дополнительном привлечении внимания учителей и учащихся к особой роли внутрипредметных связей в курсе геометрии, освоение которых является необходимым условием глубокого и неформального изучения курса геометрии.

ВВЕДЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена исследованию структурных особенностей учебного материала в школьном курсе геометрии.

Вопрос о структуре учебного материала курса геометрии является очень важным по многим причинам, потому что:

1) связан с серьезными проблемами обучения математике (успеваемость, качество обучения, доступность),

2) тесно связан с психологическими аспектами обучения.

Мнения педагогов и методистов о причинах хронически тяжелой обучаемости школьников геометрии, практически не расходятся. В качестве главных причин указываются невысокий уровень пространственного мышления учащихся, а также слабое развитие логического аппарата.

3) косвенным подтверждением этого положения является тот факт, что вопрос о структуре рассматривался в процессе подготовки и проведения неоднократно реформ математического образования.

Например, первый этап реформы датируется 1965 годом, которая в 1968 году подготовила и издала программы по математике для средней школы. Следующий этап реформы 80-е годы. Так была принята программа, в которой был учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и подготовлена концепция школьного математического образования, определяемая новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе (более подробно об особенностях реформы смотри в главе 1).

Одной из общих причин актуальности вопроса о структуре содержания курса геометрии состоит в том, что в математике важны не только отдельные факты, но и связи между ними, причем из-за растянутости процесса обучения во времени эти связи зачастую теряются. Поэтому многие тесно связанные между собой факты, изучение которых разделено во времени, представляют учащимся трудности при изучении материала.

Эффективность обучения геометрии находится в прямой зависимости не только от степени владения логической структурой пособия, но и от уровня усвоения системы всех его внутрипредметных связей, имеющих дидактическую силу. При такой постановке вопроса каждая теорема - это очередная «станция» на пути изучения геометрии, на которую поезд обучения прибывает по четкому методическому расписанию. В противном случае теоремы становятся лишь «остановками» в море геометрии, для освоения которых требуются различные искусственные приемы. Широкое использование механизма внутрипредметных связей в учебном процессе диктуется также требованием бережного отношения к школьному учебнику как к единому целому, все элементы которого взаимосвязаны и взаимообусловлены.

Внутрипредметные связи учебного пособия направлены на развитие логического мышления школьников, для которого геометрия представляет наилучшие возможности. В их основе такие достоинства традиционного со времен Евклида изложения геометрии, как простота и наглядность, доступность и совершенство методического аппарата. В учебном пособии они проявляются ярче, благодаря, с одной стороны строго дедуктивному изложению предмета, а с другой практической направленности курса, т. е. благодаря неразрывному единству теории и практики. Строго дедуктивное изложение предмета позволяет сформировать у учащегося систему логических навыков, помогающих им выстраивать разрозненные геометрические факты в логические цепочки.

И, тем не менее, несмотря на тщательное упорядочение материала в учебниках, разрывы в изложении материала остаются.

В первой главе дипломной работы рассказывается о перестройке школьного курса математики, в связи с проведением реформ математического образования. Во второй главе проводится сравнительный анализ структуры и содержания учебных пособий по геометрии, на примере двух учебных пособий. Структура основных взаимосвязей в системе определений и теорем в курсе геометрии представлена в третьей главе. О подготовке учителя к доказательству теорем на уроке, основные действия при доказательстве теорем рассказывается в четвертой главе.

1 ПЕРЕСТРОЙКА СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ В ПРОЦЕССЕ ПРОВЕДЕНИЯ РЕФОРМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Если во времена Клейна речь шла только о знакомстве школьников с некоторыми завоеваниями математики 17 в., то теперь ставится вопрос о перестройке школьного курса в направлении сближения его с духом и буквой современной математики (т. е. математики середины 20 в.). В реформистском движении этого этапа выделяются три основные направления, делающие акцент на:

а) общеобразовательный характер образования,

б) прикладной, политехнический характер образования,

в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе.

Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной. Поэтому попытки разных стран перестроить школьное математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии «классических» «ядра» и «современных» тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу. Дело в том, что очень немногое из «ядра» - традиционного содержания школьного курса математики может быть из нег исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, т. е. математики до 17 в.). Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, т. е. реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.

Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в нашей стране. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента ААН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы:

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей обучение счету - курс математики, т. е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4 - 5 классы - курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием «математика», 6 - 8 классы - систематические курсы алгебры и планиметрия; 9 - 10 классы - курс «алгебра и начала анализа» и систематический курс стереометрии.

3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов, отдельными учебниками; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название но тоже разделен на два этапа: 4 - 5 - пропедевтический курс; 6 - 8 - систематический курс планиметрии, завершающий ее изучение; 9 - 10 - систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня и т. п.).

5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления, некоторые сведения об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой непросто новый дополнительный материал образовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в курсе не как исходные данные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).

7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый - «Дополнительные главы и вопросы математики» - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; и изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, на ближайшее время этот вид занятий имеет целью помочь учителям освоиться с первым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, может в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - «Избранные вопросы математики» (программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендуется, в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составляются так, что они являются продолжением друг друга, образуют некоторую идейнотеоретически законченную систему. Оценка факультативным занятиям вносится в аттестат.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, который начали создаваться начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо себя зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физикоматематические школы-интернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечить приход в науку талантливых людей, разработка содержит и методики преподавания современных вопросов математики.

Курс математики в школах с математической специализацией состоит из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Это предметы и физика являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладным предметов является курс «Программирование и вычислительная математика», но это могут быть и другие приложения математики.

9) В соответствии с содержанием и построением курс математики программы этого этапа реформы предполагают и некоторые новые методы обучения, о которых - пойдет речь в дальнейшем.

Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы 80-е годы. При сохранении всего того ценного что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике, находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки и техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки и т. д.

Так, в 1980 г. была программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализированным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов была подготовлена новая учебная программа по математике. В ней предпринята попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в ней внесены следующие изменения:

1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы; начальная школа - 1 - 4 классы, три этапа средней школы - 5 - 6, 7 - 9, 10 - 11 классы.

2) В структуре программы появились новые разделы («Организация учебно-воспитательного процесса», «Рекомендации по оценке знаний», «Межпредметные связи» и другие), уточняются цели обучения математике на данном этапе. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.

3) Исключены некоторые темы (например, «Координаты и векторы в пространстве», вычисления с логарифмами), хотя такая мера устранения перегрузки учащихся имеет очевидные пределы и может привести к ошибкам (примером такой ошибки, на наш взгляд, является исключение понятий предела и непрерывности).

4) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгружает старшие классы, дополняет линию тождественных преобразований выражений, усиливает вычислительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней креолы.

5) Введен новый курс «Основы информатики и вычислительной техники». Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.

6) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы «Тематическое планирование» разработаны «Обязательные результаты обучения», определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.

Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и на ее основе НИИ СиМЩ АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; ее основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ «Стандарт среднего математического образования».

Исходя из новых целей обучения математике на современном этапе формы, меняются и принципы отбора содержания. Профессор Г.В.Дорофеев формулирует их следующим образом: 1) информационная емкость, 2) социальная эффективность, 3) интеллектуальная емкость, 4) дифференцированная реализуемость, 5) познавательная емкость, 6) диагностико-прогностическая емкость, 7) возможность изучения смежных предметов на современном уровне развития, 8) преемственность.

Интересно, что некоторыми учеными на Западе - также формулируется новая концепция математического образования, согласно которой:

а) математика должна рассматриваться как деятельность человека, а не как готовый предмет;

б) математика должна внедряться, а не навязываться;

в) обучение должно происходить в форме повторного открытия, а не простой передачи идей;

г) реальность должна быть в большей мере источником математических идей, чем областью их приложений;

д) особое внимание должно быть уделено связям между математическими идеями, а не изолированным фактам;

е) следует обращать внимание на богатство содержания курса, а не на наборы задач;

ж) следует добиваться создания у учащихся мысленных образов предметов, а не достижения концепций;

з) следует искать многосторонние подходы к новым концепциям, а не рассматривать многообразные воплощения этих концепций;

и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.

2 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

Эффективность преподавания геометрии, как и любого предмета в школе, зависит от многих факторов, но в первую очередь - от обучающих возможностей учебника, с одной стороны и степени их реализации в ходе учебного процесса, с другой. Сказанное в полной мере относится к пособию «Геометрия 7 - 11», созданному академиком А.В. Погореловым, преподавание по которому в школах началось с 1982 г.

До сих пор разговор об особенностях данного пособия касался в основном вопросов, связанных с аксиоматическим построением школьного курса геометрии. При этом, все внимание уделялось изложению теоретического материала. О системе упражнений пособия и ее роли в развитии логического мышления школьников вопрос ставился только в общих чертах. А ведь это - неотъемлемая составляющая часть пособия А.В. Погорелова.

2.1 Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрии А.В. Погорелова

Чтобы полнее выявить достоинства рассматриваемого учебного пособия, надо сначала понять его особенности. Основные из них следующие: 1) традиционное содержание и аксиоматическое построение, 2) экономное изложение и организующая роль вопросов для повторения, 3) единство теории и практики. Остановимся на каждой из названных особенностей.

1. На протяжении двух тысячелетий образцом изложения геометрии была система Евклида, реализованная в знаменитых «Началах». Их геометрическое содержание получило всеобщее признание и послужило основой для написания многочисленных учебников для геометрии.

Имевшие место в прошлом попытки отступить от Евклида себя не оправдали. Так алгебраизированный курс начальной геометрии М. В. Остроградского в трех частях с общим объемом 750 с., увидевший свет в 1855 - 1860 гг., не нашел сочувственного отношения в учительских кругах, хотя и обладал несомненными научными достоинствами. Объяснялось это тем, что выдающийся ученый в вопросах преподавания стаял на позициях, правильность которых не была подтверждена школьной практикой, в результате чего дидактика вступила в противоречие с логикой. В частности М. В. Остроградский придавал второстепенное значение чертежам, считая их только средством сокращения речи.

Следует подчеркнуть, что сохранение «разумных и глубоко продуманных основ» не является простым возвратом к традиционной системе, т. е. шагом назад, наоборот автор делает существенный шаг вперед, поднимая традиционный курс геометрии на качественно новую высоту, чего он достигает с помощью аксиоматического построения на основе оригинальной системы аксиом. Особая важность этого последнего обстоятельства заключается в том, что во всей современной математике аксиоматический метод изложения стал доминирующим и поэтому значение логического доказательства выходит далеко за рамки геометрии, приобретая общенаучный характер.

Оригинальная система аксиом автора позволяет строго дедуктивно построить весь курс элементарной геометрии. Но в учебном пособии она «работает» в полную силу не по всем направлениям, а только по основным. К основным относятся центральные вопросы курса, играющие фундаментальную роль в его дедуктивном построении: углы, равенство треугольников; параллельные прямые, теорема о сумме углов треугольника, параллелограмм, теоремы Фалеса и Пифагора, подобие треугольников и др. И наоборот, периферийные вопросы, находящиеся в основном на стыке элементарной и высшей математики (длина окружности, площади фигур, объемы тел и площади их поверхности), которые являются конечными результатами дедукции и имеют лишь прикладное значение, излагаются с привлечением наглядных соображений. Естественность такого решения вопроса о строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова очевидна; не признать последовательность и целесообразность этого просто невозможно.

2. Д. Гильберт, выдающийся ученый, сумевший глубоко и убедительно раскрыть существо аксиоматического метода, говорил: «Будет большой ошибкой думать… что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств». В свете этого высказывания становится до очевидности понятным, что экономность изложения в новом учебном пособии не является чем-то инородным. Наоборот, она есть прямое следствие традиционности содержания и аксиоматичности построения курса. Короче говоря, экономность в изложении является выражением лаконизма мысли.

Эта особенность пособия позволяет создать учащимся благоприятные условия для самостоятельной работы с ним. Действительно, как показывает опыт, в пространном тексте ученики не умеют выделить существенное, не могут отделить главное от второстепенного, что отрицательно сказывается на всем процессе обучения; в данном случае это исключается, так как на домашнее задание в среднем на один урок приходится 1/3 страницы текста.

Отмеченный педагогический эффект нового пособия значительно усиливается организующей ролью вопросов для повторения. Обеспечивается она тем, что, с одной стороны, на каждый вопрос в тексте имеется прямой ответ, а с другой - все вопросы образуют систему, охватывающую его содержание в целом. В связи с этим появляется реальная возможность давать домашние задания по теории не по разделам, а по вопросам, что в сочетании с экономностью изложения создает, пожалуй, оптимальные условия для самостоятельной работы учащихся с учебником, способствуя сознательному усвоению изучаемого материала.

Последовательное развитие разумных и глубоко продуманных основ традиционной системы изложения материала с необходимостью привело автора к созданию принципиально нового пособия - пособия для ученика, с которым он работает самостоятельно после предварительного объяснения учителем нового материала на уроке.

3. Теоретические знания, не подкрепленные практическими упражнениями, по словам английского философа Г. Спенсера, отлагается в мозгу как жир. Поэтому единство теории и практики, выражающееся в полном соответствии заданного и теоретического материала, служит обязательным условием превращения знаний в «умственные мышцы». При этом активное владение предметом является определяющим, ведущим по сравнению с пассивным накоплением знаний. Именно такую возможность - установление единства теории и практики - создает новое учебное пособие по геометрии.

Задачи полностью соответствуют духу учебного пособия как по содержанию, так и по методам решения. Более того, в решения задач, основной материал курса повторяется многократно, причем в самых разных вариантах, что создает благоприятные условия для закрепления изучаемых теорем.

Не менее важной является и возможность формирования понятий на основе решения задач. Недооценка ее приводит к непроизводительной трате времени урока, так как «отработка» понятий на специальных упражнениях мало что дает учащимся для решения настоящих задач, а времени забирает много. Искусственные упражнения только отвлекают внимание учащихся от основного содержания пособия, снижая эффективность учебного процесса. Чтобы умение было связано со знанием, надо решать содержательные задачи, и чем больше, тем лучше.

В свете сказанного становятся понятными программные требования автора, заключающиеся в том, что учащиеся в итоге должны:

1) давать четкие и безупречные ответы на все вопросы для повторения, включая доказательства теорем и вытекающих из них следствий;

2) уметь применять свои теоретические знания к решению задач;

3) решить все или почти все задачи из пособия, причем половину из них в классе вместе с учителем.

Это и есть единство теории и практики на деле.

Далее остановимся на сопоставлении отмеченных особенностей учебного пособия А. В. Погорелова и принципов обучения в современной общеобразовательной школе.

Принцип научности обучения в новом учебном пособии реализуется с наибольшей полнотой, чему способствует аксиоматическое построение курса геометрии. В полном соответствии с этим принципом находятся и требования автора к знаниям, умениям и навыкам учащихся, предлагающие строгое соблюдение в ходе обучения всего объема требований учебных программ и в их теоретической, и в практической части. С принципом научности органично сочетается и принцип доступности. Доступность изложения обеспечивается прежде всего простотой и наглядностью изучаемых объектов. Но несмотря на простоту изучаемых объектов, изложение в учебном пособии ведется на высоком научном уровне.

Как известно, в педагогике важной задачей издавна считается возбуждения у учащихся потребности в знаниях, формирование у них познавательного интереса. Новое учебное пособие создает самые благоприятные условия для реализации принципа стимулирования положительного отношения школьников к учению. Решающим при этом оказывается сам аксиоматический метод, выступающий как форма представления учебных требований: доказывать все без исключения.

В силу экономности изложения материала в пособии выделить в нем главное, т. е. ответить на заданные вопросы для повторения, не составит для учащихся большого труда. Кроме того, при таком подходе возникают предпосылки для активного участия всех учеников в учебном процессе, сознательного усвоения ими программного материала и развитие их самостоятельности. Новое учебное пособие укрепляет также и руководящую роль учителя, поскольку теперь содержание каждого проводимого им урока не станет копией текста пособия; оно будет гораздо богаче и даст ему возможность проявить свое педагогическое мастерство, чтобы наилучшим образом подготовить школьников к самостоятельной работе над учебником.

Структура рассматриваемого пособия способствует рациональной организации учебного процесса. Она дает возможность выделить на решение задач более половины учебного времени, что резко усиливает практическую направленность школьного курса геометрии. В свете требований принципа прочности и действенности знаний очень важно не упустить эту возможность, расходуя драгоценное время урока не по прямому назначению. Конечно, сказанное не означает полного игнорирования известных методов и приемов обучения. Наоборот, решение главной задачи обучения требует оптимального сочетания всех методов на основе научно-методических достоинств пособия.

2.2 Анализ недостатков учебника «Геометрия 7-9»

Рассматриваемая книга была задумана как учебник, в котором будут устранены недостатки ныне действующих пособий.

Авторы этого пробного учебника отмечают, что в их книге курс геометрии строится дедуктивно на основе аксиоматики, которая не нарушает традиционной системы изложения материала, что они старались упростить терминологию и сократить до минимума число обозначений и символов. Курс геометрии, - считают авторы, пробного учебника, - призван способствовать развитию логического мышления учащихся.

Учебник должен способствовать решению сложной и ответственной задачи, стоящей перед школой в области преподавания геометрии: научить школьников логическому мышлению и в то же самое время развить у них наглядные представления об окружающем пространстве. Повышенное внимание к логической строгости и пренебрежение наглядными представлениями приводит в конечном счете к тому, что теряется мотивировка изложения материала, обучение превращается в формальное заучивание, у школьников возникает путаница и непонимание логических основ геометрии, а в результате они теряют навыки логического мышления. Наоборот, отсутствие четкого логического каркаса в учебнике приводит к непониманию материала, ухудшает геометрическое представление и принуждает школьников к зубрежке.

Требуется разумно сбалансировать строгость доказательных рассуждений с геометрической наглядностью.

Рассматриваемый пробный учебник обладает некоторыми достоинствами. Изложение материала основано на частичном отказе от теоретико-множественного подхода, от применения теории отображений и перемещений. В учебнике использована более простая система аксиом, способ изложения материала более нагляден, чем имеющийся в учебном пособии по геометрии для VII - IX классов под редакцией А.Н. Колмогорова.

Данный пробный учебник отличается запутанностью логической структуры, наличием большого числа ошибок, нечеткостью изложения и громоздкостью формулировок. Его объем очень велик, своей толщиной он отпугивает школьников. Перейдем теперь к конкретному анализу недостатков данного пробного учебника.

I. Самым главным недостатком является большое количество математических ошибок. Сразу же оговоримся: имеется ввиду не должную математическую строгость, которую длительное время требовали от школьных учебников; речь идет об ошибках и неверных утверждениях того уровня строгости, который выбрали сами авторы. Неверные утверждения наносят существенный вред, поскольку полностью дезориентируют учащихся.

II. Существенным недостатком пробного учебника «Геометрия 7-9» является его идейная непоследовательность. Это относится в первую очередь к выбранному авторами уровню сложности. По соседству фигурируют утверждения, из которых одни доказаны на наглядном уровне, в других педантично исследована вся логическая схема доказательства, а третьи вообще оставлены без доказательств. Непонятна разница между аксиомами и теоремами, приведенными без доказательства, некоторые теоремы перенесены в задачи.

III. Чрезвычайно серьезным недостатком является то, что авторы рассматриваемой книги неоправданно много места уделяют разъяснению вводимых понятий. Они ошибочно полагают, что понятия лучше усваиваются, если их долго и подробно описывать в разных вариантах, тратить время на решение специально подобранных упражнений, посвященных закреплению этих понятий. Вредность такого громоздкого изложения в том, что изучение понятий проходит без применения их к решению осмысленных задач, на которых только и можно хорошо освоить понятия. Громоздкие описания понятий превратились в самоцель. Стремление обучить школьников понятиям с помощью длинных описаний привело к неоправданному размножению понятий.

IV. Как уже отмечалось, пробный учебник перегружен методическим материалом. Его авторы ошибочно полагают, что учебник должен содержать наряду с основным материалом и вспомогательный, который необходим учителю для изложения новой темы на уроке. Сюда относятся мотивировки, предварительные наводящие примеры, упражнения на закрепление понятий, замечания к понятиям и способам проведения доказательных рассуждений. Весь этот методический аппарат мешает школьнику в процессе домашней подготовки выделить главное в море второстепенного.

Стремление мотивировать любой шаг в данном пробном учебнике доведено до абсурда. Например, перед каждой вводимой аксиомой авторы ставят вопрос, подвергающий ее сомнению. Это может вызвать у школьников представление о том, что любое вызывающее сомнение утверждение можно принять за аксиому, вместо того чтобы доказать его. К такому представлению об аксиомах приводит и то, что они появляются по мере необходимости.

Понятие аксиомы является основным для геометрии. Его следует четко сформулировать, и не должно возникать путаницы между аксиомами и теоремами.

В заключение отметим, что объем книги очень велик. На три класса (7-9) приходится 470 с. в то время как у Погорелова на те же три класса приходится 170 с., т. е. почти в три раза меньше.

2.3 О практической направленности учебника «Геометрия 7-9»

Критика действующих учебников геометрии направлена в основном на излишнюю теоретизацию курса, на недооценку принципа доступности в обучении математике. Поэтому одной из основных задач в деле совершенствования школьных учебников геометрии является поиск оптимального соотношения между теоретическим и практическим аспектами, формальным и содержательными подходами к изложению материала.

Первые варианты пробного учебника «Геометрия 7-9» выпускались отдельно сначала для шестых, потом для седьмых классов начиная с 1979 г. Тогда же началась их экспериментальная проверка в ряде территорий РСФСР, которая продолжается и поныне. В ходе эксперимента с помощью учителей формируется структура курса и методика его преподавания.

Изложение материала в пробном учебнике строится дедуктивно на основе экономной системы понятий и аксиом; приведены полные и обоснованные доказательства почти всех геометрических утверждений, предлагаемых для изучения. Строгость логического построения курса сочетается с педагогическими требованиями: геометрические понятия вводятся последовательно и постепенно по мере необходимости и сразу «работают». Каждое понятие или теорема подключаются к системе ранее изученных и усваивается в процессе активного использования в последующих темах курса.

Одной из основных методических идей авторов рассматриваемого пробного учебника является мысль о целесообразности наглядного-опытного преподавания школьного курса геометрии, особенно его начальных разделов. В связи с этим в пробном учебнике большое внимание уделяется наглядности изложения: в нем много чертежей и рисунков, снабженных подрисуночными подписями, большое место в книге занимают задания, нацеливающие учащихся на самостоятельное выполнение разнообразных геометрических построений.

Характерной особенностью пробного учебника является его практическая направленность, которая обеспечивается различными средствами:

1. Реальные объекты служат исходным пунктом при введении основных геометрических понятий: точки, луча, прямой и т. д. В учебный текст внесены иллюстрации связей изучаемого материала с жизнью, с трудовой деятельностью людей. Так, в ходе изучения свойств прямой учащиеся знакомятся с практическими приемами провешивания прямых при определении направления прорубаемых лесных просек, при прокладывании дорог и т. п. Вопросы измерения длин отрезков и мер углов сопровождаются описаниями измерительных приборов: рулетки, штангенциркуля, астролябии, теодолита. Определению перпендикулярности прямых сопутствует описание способа построения прямых углов на местности с помощью экера. Использование свойств параллельных прямых демонстрируется на уголковом отражателе.

2. Авторы пробного учебника настойчиво реализуют принцип единства теории и практики. Для школьного учебника геометрии этот принцип прежде всего означает соразмерность теории с решением задач. Общие положения являются голой схемой, пока учащийся на собственном опыте не убедится в том, как они проявляются и применяются на практике, в конкретных задачах. С другой стороны, всякая недооценка теоретического материала создает преграды в решении задач. Перегрузка теоретическим материалом, так же как минимализм в этой области, служат тормозом для развития активности учащихся.

3. В пробном учебнике особая роль отводится практическим заданиям. Они предлагаются почти к каждому параграфу курса геометрии VII-IX классов. В ходе их выполнения учащиеся самостоятельно устанавливают опытным путем наиболее существенные факты.

Практические задания, рекомендующие чертежно-измерительные работы, облегчают первые шаги ознакомления с дедуктивным построением курса геометрии, прививают учащимся интерес к учебе. Кроме того, формирование геометрических понятий на интуитивно-опытной основе позволяет вырабатывать навыки построений и измерений, развивать пространственные представления и логическое мышление учащихся.

4. В процессе изучения геометрии по пробному учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка особая роль отводится задачам: они иллюстрируют эффективное применение теории и служат мотивом для ее дальнейшего изучения.

Педагогическая практика показала, что наиболее продуктивным планом построения уроков, посвященных изучению нового материала, особенно в VII-IX классах, является следующий: 1) установление учащимися определенной истины опытным путем; 2) подведение школьников к потребности доказать гипотезу; 3) доказательство утверждения или принятие его в качестве аксиомы; 4) организация закрепления теории с помощью решения задач.

5. Практическая направленность курса определяется не только набором задач, но и их систематизацией. Авторский коллектив уделяет большое внимание отработке с и с т е м ы задач учебника. В книгу включены основные виды геометрических задач, традиционно подразделяемых на вычислительные, логического характера (обоснование, исследование, доказательство) и задач на построение.

Главный принцип подбора задач - это постепенное наращивание сложности, чем создаются предпосылки для развития самостоятельности и творчества учащихся. Однако стремление расположить дидактический материал линейно встречается с рядом трудностей. Одна из них связана с необходимостью представить в системе задач все основные их виды в оптимальном объеме и в соответствии с возрастными возможностями школьников. Недооценка какого-либо класса задач - на построение, на доказательство или вычисление - негативно сказывается на результатах обучения.

Авторы стремились к тому, чтобы подбор задач на закрепление начинался с самых простых вопросов, предназначенных для прямого применения изученной теории и требующих одно-, двухшагового решения.

Практика показала, что особую ценность на уроке имеют задачи на готовых чертежах, экономящие учебное время и позволяющие концентрировать внимание учащихся на наиболее существенных моментах текущего материала.

Последующее нарастание сложности в системе задач связано с моделированием ситуаций, в которых новое понятие или суждение переплетается с ранее изученным. Такие задачи особенно полезны для организации сквозного повторения.

Для реализации целей развивающего обучения система задач учебника должна располагать заданиями, мотивирующими дальнейшее математическое развитие, формирующими дальнейшее математическое развитие, формирующими элементы творческого математического мышления. Эту роль в пробном учебнике выполняют дополнительные задачи к главам и курсам, а также задачи повышенной трудности. Обширный набор нестандартных задач используется учителями в работе с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математики.

3 СТРУКТУРА ОСНОВНЫХ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ В СИСТЕМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ТЕОРЕМ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Вопрос о структуре содержания курса геометрии состоит в том, что в математике важны не только отдельные факты, но и связи между ними, причем из-за растянутости процесса обучения во времени эти связи зачастую теряются. Поэтому многие тесно связанные между собой факты, изучение которых разделено во времени, представляют учащимся трудности при изучении материала.

Эффективность обучения геометрии находится в прямой зависимости не только от степени владения логической структурой пособия, но и от уровня усвоения системы всех его внутрипредметных связей, имеющих дидактическую силу. При такой постановке вопроса каждая теорема - это очередная «станция» на пути изучения геометрии, на которую поезд обучения прибывает по четкому методическому расписанию. В противном случае теоремы становятся лишь «остановками» в море геометрии, для освоения которых требуются различные искусственные приемы. Широкое использование механизма внутрипредметных связей в учебном процессе диктуется также требованием бережного отношения к школьному учебнику как к единому целому, все элементы которого взаимосвязаны и взаимообусловлены.

Рассмотрим на конкретном примере структуру взаимосвязей определений и теорем в школьном курсе геометрии для 7 - 8 классов. А именно построение карты-схемы.

КАРТА-СХЕМА (см. плакат)

1. Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: : .

Доказать:

Доказательство

Проведем высоту из вершины прямого угла

Рассмотрим : .

По определению косинуса угла .

Рассмотрим : .,

Отсюда ,

Аналогично , отсюда .

Складывая полученные равенства почленно и, замечая, что , получим

Т. д.

2. Теорема

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Дано: и - прямоугольные треугольники.

Доказать:

Доказательство

Построим , равный . Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.

По теореме о пропорциональных отрезках . А так как по построению:

, то

Т. д.

3. Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Дано: , стороны угла пересекаются параллельными прямыми в точках , и , соответственно.

Доказать:

Доказательство

Докажем равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длинной , который укладывается целое число раз и на отрезке и на отрезке . Пусть и . Разобьем отрезок на равных частей (длины ). При этом точка будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок на равные отрезки некоторой длины . Имеем , мы видим, что

и , значит .

Т. д.

4. Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки на другой его стороне.

Дано: , - точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, лежит между .

- соответственно точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. .

Доказать:

Доказательство

Проведем через точку прямую , параллельную прямой , т.е. . По свойству параллелограмма , . И так как , то .

- по второму признаку. У них по доказанному. , как вертикальные, а , как внутренние накрест лежащие при параллельных и и секущей . Из равенства треугольников следует равенство сторон .

Т. д.

5. Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны.

Дано: - параллелограмм, .

Доказать: , , ,

Доказательство

Рассмотрим и .

У них , как вертикальные, и , по свойству диагоналей. = (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство сторон и , т. е. .

Точно также из равенства и следует равенство другой пары противолежащих сторон и .

Рассмотрим и .

У них и по доказанному, а сторона - общая = (по третьему признаку).

Из равенства треугольников и следует равенство противолежащих углов и .

Точно так же равенство противолежащих углов и следует из равенства треугольников и .

Т. д.

6. Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы равны.

Дано: и - вертикальные.

Доказать: =

Доказательство

Угол является смежным с углом . Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов и дополняет угол до , т. е. углы и равны.

Т. д.

7. Теорема о сумме смежных углов.

Сумма смежных углов равна .

Дано: и - смежные углы.

Доказать: +=.

Доказательство

Луч проходит между сторонами и развернутого угла. Поэтому сумма углов и равна развернутому углу, т. е. .

Т. д.

8. Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. А



(1) (2)

(3) (4)

Дано: и , , =, =

Доказать: =

Доказательство

Пусть - треугольник, равный , с вершиной на луче , и вершиной в той же полуплоскости относительно прямой , где лежит вершина (рис. 1).

Так как , то вершина совпадает с вершиной (рис. 2). Так как , то луч совпадает с лучом (рис. 3). Т. к. =, то вершина совпадет с вершиной (рис. 4). Итак, треугольник совпадает с треугольником , значит, равен треугольнику .

Т. д.

9. Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: и , =, и =

Доказать: =

Доказательство

Пусть - треугольник, равный , с вершиной на луче , и вершиной в той же полуплоскости относительно прямой , где лежит вершина .

Так как , то вершина совпадает с вершиной. Так как , то луч совпадает с лучом , а луч совпадает с лучом . Отсюда следует, что вершина совпадает с вершиной . Итак совпадает с а значит, равен .

Т. д.

10. Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: и , =, , .

Доказать: =

Доказательство

Допустим треугольники не равны, тогда у них , , . Иначе они были бы равны по первому признаку.

Пусть - треугольник, равный треугольнику , у которого вершина лежит в одной полуплоскости с вершиной , относительно прямой .

Пусть - середина отрезка . и - равнобедренные с общим основанием . Поэтому их медианы и являются высотами, значит прямые и перпендикулярны прямой .

Прямые и не совпадают, т. к. точки не лежат на одной прямой. Но через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Т. д.

11. Первый признак параллелограмма

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник - параллелограмм.

Дано: - четырехугольник, .

Доказать: - параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим и .

У них , как вертикальные, и - по условию, значит =, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей .

По признаку параллельности прямых и параллельны.

Так же доказывается параллельность прямых и с помощью равенства треугольников и .

Так как противоположные стороны параллельны, то по определению этот четырехугольник параллелограмм.

Т. д.

12. Признак параллельности прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Дано: и и - секущая и внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказать: .

Доказательство

Допустим, прямые , а значит пересекаются в некоторой точке . Секущая разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка . Построим , равный , с вершиной в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных , и секущей равны. Так как соответствующие углы треугольников и с вершинами и равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая совпадает с прямой , а прямая совпадает с прямой . Получается, что через точки и проходят две различные прямые и . А это невозможно. Значит, прямые и параллельны.

Если у прямых и и секущей сумма внутренних односторонних углов равна , то, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые и параллельны.

Т. д.

Из теоремы , что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

13. Свойство медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Дано: - равнобедренный, - основание, - медиана.

Доказать: - биссектриса, - высота.

Доказательство

(по первому признаку равенства треугольников). (У них стороны , потому что - равнобедренный, как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона , потому что - середина .)

Из равенства треугольников следует равенство углов: , . Так как , то - биссектриса. Так как и смежные и равны, то они прямые, поэтому - высота треугольника.

Т. д.

14. Теорема

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.