Дано: - прямая, - точка .

Доказать: , - единственная.

Доказательство

Обозначим через одну из полупрямых прямой с начальной точкой . Отложим от полупрямой угол , равный . Тогда прямая, содержащая луч , будет перпендикулярна прямой .

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку и перпендикулярная прямой . Обозначим через полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом .Углы и равны каждый , отложены в одну полуплоскость от прямой . Но от полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить только один угол, равный .

Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку и перпендикулярную прямой .

Т. д.

4 ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ

Доказательство теорем - постоянный элемент уроков математики, особенно геометрии. Знакомство с содержанием теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных упражнений. Доказательство развивает навыки логических рассуждений, приучает учащихся обосновывать свои рассуждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений, дает возможность осознать дедуктивный характер математики. В ходе доказательства теорем развиваются также умения расчленять рассуждения на отдельные логические шаги, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математической ситуации, и некоторые другие. Все навыки и умения, приобретенные учениками в ходе изучения теорем, совершенствуются при решении задач.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем позволяет учащимся сознательно и глубоко изучать математику на протяжении всего этапа обучения. Естественно поэтому, что методика доказательства теорем на уроке - одно из важнейших звеньев процесса обучения математике и оно требует от учителя особого внимания.

Однако наблюдения за работой отдельных учителей математики, имеющих разный опыт работы, показывает, что в ряде случаев изучение теоремы, ее доказательство носит формальный характер. При этом преобладает синтетический способ доказательства, постоянное применение которого не раскрывает сути теорем; их изложение не дополняется анализом, позволяющим ученикам осмыслить ход рассуждений, понять обоснованность ряда дополнительных построений, не выделяются главные особенности доказательства. Не всегда проводится анализ формулировки теорем, не раскрывается значение каждого из элементов формулировки, не производятся необходимые контрпримеры. Все это ведет к тому, что значительная часть учащихся заучивают доказательство теоремы без достаточного понимания. Процесс доказательства теорем не становится тем основополагающим звеном процесса обучения математике, в ходе которого развивается математическое мышление учащихся, приобретаются умения и навыки, необходимые для осмысленного изучения предмета.

Одна из причин указанных недостатков, как нам представляется, коренится в недостаточно обстоятельной подготовке к таким урокам учителей. Наши методические пособия, давая учителям готовые рекомендации, не нацеливают их на самостоятельный всесторонний методический анализ материала изучаемого на уроке. Ни в одном из широко распространенных методических пособий нет перечня действий, выполнение которых помогало бы учителю анализировать материал при подготовке к уроку. Между тем такой анализ в настоящее время приобретает особое значение в связи с изучением геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова [3]. Чрезвычайная краткость и сжатость изложения материала, основные принципы составления учебника, реализованные в указанном пособии, требуют от учителя большой самостоятельной подготовительной работы к уроку.

Именно поэтому мы хотим привести перечень некоторых основных умственных действий; их выполнение поможет учителю при подготовке к доказательству теорем. Хотя в основном они и знакомы учителю, но, как показывает практика, не всегда реализуются в работе. Для обстоятельного анализа теоремы при подготовке к уроку важно выполнение совокупности всех или большей части из ниже указанных действий. Перечень их дает учителю, особенно начинающему, возможность получить необходимые ориентиры для повседневной работы, более целенаправленно и рационально вести подготовку к уроку.

Приведем основные действия.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение существенности каждого элемента формулировки. Учет ошибок, которые могут допустить учащиеся. Подготовка соответствующих контрпримеров.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значение теоремы в системе теорем раздела и всего курса геометрии и ее приложений.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы. Рассмотрение всех возможных случаев.

6. Выяснение других возможных способов доказательства теоремы.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10. Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

В результате анализа теоремы и ее доказательства необходимо сделать вывод о методике изучения рассматриваемой теоремы на уроке, целесообразности применения тех или иных методов и средств обучения.

Рассмотрим подробнее наиболее важные из перечисленных действий: анализ и исследование теоремы.

Одной из основных составных частей анализа теорем является применение аналитико-синтетического метода доказательства и подготовка аналитического рассуждения, являющегося частью изложения теоремы этим методом.

Анализ доказательства позволяет выделить метод, идею, прием, характерные черты доказательства теоремы. Это помогает учащимся выяснить особенности применяемого метода, возможности использования рассматриваемого метода или приема при доказательстве других теорем и решении задач, т. е. создает условия для переноса знаний. Приведем пример.

Рассмотрим доказательства признаков равенства двух треугольников и [3, § 3]. Метод доказательства всех трех признаков один: на основании аксиомы , утверждаем, что существует третий треугольник , равный треугольнику и определенным образом расположенный относительно луча ; мысленно строим его и доказываем, что он совпадает с треугольником . Схема рассуждений может быть представлена в следующем виде.

Во всех трех признаках равенства треугольников и имеется хотя бы одно условие равенства сторон.

Пусть .

Надо доказать:

1) Выберем полупрямую . По аксиоме существует , такой, что

вершина совпадает с ,

вершина лежит на полупрямой ,

вершина лежит с вершиной в одной полуплоскости относительно прямой .

2) Пользуясь определением равных треугольников, условием теоремы и ранее рассмотренными предложениями, доказываем, что

совпадает с .

Следовательно .

Таким образом более отчетливо выявляется структура доказательства. Первая часть повторяется во всех трех случаях. Вторая часть различна и зависит от условия теоремы.

Выявление метода, идеи доказательства в отдельных случаях помогает организовать самостоятельный поиск доказательства учащимися.

В качестве примера возьмем вывод формул для вычисления площадей многоугольников: параллелограмма, треугольника, трапеции [3, § 14]. Вычисление площади каждого из этих многоугольников сводится к вычислению площадей многоугольников, для которых уже выведены соответствующие формулы. На примере вывода формулы для вычисления площади параллелограмма ученики знакомятся с применением этого метода. А для треугольника или трапеции можно предложить им самим подумать, как свести вычисление площадей к вычислению площадей многоугольников по уже известным формулах. Наверняка учащиеся предложат несколько различных вариантов вычислений, среди которых могут быть и отличные от имеющихся в учебном пособии. Например, для вычисления площади треугольника использовать формулу площади параллелограмма (рис. 1, а, б) или прямоугольника (рис. 1, в); для вычисления площади трапеции использовать формулы площади треугольника (рис. 2, а), площади прямоугольника, ромба, параллелограмма и формулу площади треугольника (рис. 2, б - г).

Рис. 1

а) б)

в)

Рис. 2

а) б)

в) г)

В некоторых случаях вычисления будут более сложными, чем приведенные в учебном пособии. Сравнивая их, ученики убеждаются, что в пособии выбран наиболее простой и рациональный способ рассуждений.

Элементом доказательства многих теорем является исследование. Опыт ведения уроков показывает, что доказательство теоремы легче осмысливается, если все возможные случаи четко выделены. Элемент исследования имеет место при доказательстве третьего признака равенства треугольников [3, § 3]. После того как на основании аксиомы рассмотрен треугольник , равный треугольнику , и после того доказано, что сторона совпадает со стороной , мы рассматриваем положение вершины . В полуплоскости относительно прямой содержащей , она может занимать следующие положения: а) либо совпадает с , тогда терема доказана; б) либо лежит на одной из полупрямых или , тогда легко доказывается, что в силу равенства и или равенства и вершина совпадает с , и теорема доказана; в) либо не лежит ни на одной из полупрямых и . Последнего случая быть не может, что и доказывается в пособии.

При выводе формул координат середины отрезка и расстояния между точками [3, § 8] важно в начале доказательства четко выделить случаи расположения отрезка , определяемого точками и , относительно осей координат. Иначе, как показывает опыт, частные случаи учащимися, как правило не рассматриваются, и следовательно, доказательство не носит завершенного характера.

Анализ теоремы, выделение приемов доказательства помогают в отдельных случаях найти другой способ доказательства теоремы. В качестве примера возьмем теорему 4.4 [3] о сумме углов треугольника.

Чтобы доказать, что сумма углов треугольника равна , можно использовать такие приемы рассуждений: показать, что сумма углов треугольника может быть сведена 1) к сумме внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых, 2) к сумме смежных углов, 3) к сумме углов, составляющих развернутый угол.

В пособии [3] используется первый прием. Для того чтобы воспользоваться им, и выполняется дополнительное построение (рис. 3).



Затем доказывается, что а) треугольники и равны; б) прямые и параллельны; в) углы и являются внутренними односторонними при соответствующих параллельных прямых, и сумма их равна ; г) угол является суммой углов и ; д) сумма углов треугольника равна .

В статье П. М. Олоничева [9] использован прием доказательства, при котором сумма углов треугольника сводится к сумме углов, составляющих развернутый угол.

Теперь рассмотрим несколько иной вариант доказательства, который основывается на знакомом уже учащимся методе доказательства с применением аксиомы .

Пусть - данный треугольник. Выберем на плоскости полупрямую . По аксиоме существует треугольник , равный треугольнику , такой, что вершина совпадает с вершиной , вершина лежит на полупрямой ; вершину расположим так, чтобы она и вершина лежали в разных полуплоскостях, определяемых прямой . Так как , то вершина совпадает с и рассматриваемый треугольник есть (рис. 4).



Рис. 4

Точки и лежат в различных полуплоскостях относительно прямой , поэтому отрезок пересекает эту прямую. Полупрямая проходит между сторонами угла , значит,

Углы и , по определению, внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей , и так как они равны как соответствующие углы в равных треугольниках и , то

(1)

и

Отрезок в силу выбора точки не имеет общих точек с прямой,и поэтому точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой .

Дальнейшие рассуждения могут быть различными.

I способ. Так как точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , то углы и - внутренние односторонние при параллельных прямых и и секущей . Отсюда , и с учетом равенства (1)

II способ. Рассмотрим полупрямую , дополнительную к полупрямой (рис. 5).

Рис. 5

Точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , поэтому точки и лежат в разных полуплоскостях относительно той же прямой. Углы и - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Следовательно,

(2)

Углы и - смежные, значит, , а тогда, учитывая равенства (1) и (2), получаем, что

Итак, доказательство теоремы о сумме углов треугольника может быть проведено различными способами. Считаем, что было бы желательно познакомить с ними учащихся, проявляющих интерес к изучению математики. Такая работа может быть предложена ученикам и при доказательстве других теорем.

Анализ содержания и доказательства теоремы, расчленение доказательства на отдельные логические шаги, выделение тех понятий и теорем, на основе которых доказывается данная, помогает учителю осознать содержание подготовительной работы, которая должна быть выполнена перед рассмотрением теоремы. Много внимания такой подготовительной работе при изучении отдельных теорем уделено в пособиях для учителя [7,8].

Рассмотрены лишь некоторые приемы анализа содержания и доказательства теорем, однако и они дают представление о том, каким образом вести анализ отдельной теоремы. Всесторонний и обстоятельный анализ теорем школьного курса поможет учителю глубже раскрыть перед учениками их суть. Такой подход даст возможность развивать не только память учащихся, но и их математическое мышление, сделает процесс изучения теорем более содержательным и интересным, настоящей школой познания математики, а это позволит перенести полученные знания, умения и навыки на решение разнообразных математических задач.

5 ПРОТИВОРЕЧИЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

В произошедшем столкновении разных точек зрения на школьный курс математики, в его перестройке общие, по существу философские установки сказались самым непосредственным образом, хотя они не были во всем ясно осознанны. Более всего это касается курса геометрии. Именно для понимания геометрии философский взгляд представляется особенно существенным, прежде всего, потому, что в этом курсе, в самой геометрии содержится глубокая трудность - внутреннее противоречие.

Исследование противоречия в сущности предмета составляет ядро, главное содержание диалектики.

В данном параграфе рассматривается основной источник статья А. Д. Александрова «Диалектика геометрии» [10].

Курс геометрии начинается с указания примеров геометрических фигур, изображаемых на рисунках. Так, например, пишут: «Посмотрите на рисунок. Вы видите прямую и три точки , , на этой прямой».

Дальше, опять со ссылками на рисунки, вводятся понятия (или представления) о расположении точек на прямой и об отрезках. Затем говорится: «Посмотрите на рисунок. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

В самом деле, посмотрите на воспроизведенный из учебника рисунок. «Прямая » на нем не разбивает плоскость, потому что от точки до можно дойти, огибая нарисованную «прямую». На это, случается, обращают внимание сами ученики. Разбивает плоскость не «прямая» на рисунке, а воображаемая мыслимая прямая, которая «считается» неограниченно продолженной в обе стороны. Каждому понятно, что одно дело то, что видно на рисунке, а совсем другое - то, что «считается».

Аналогичное явление обнаруживается еще раньше в формулировке: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Но если «прямая», как перед этим объясняется, проводится с помощью линейки, то через две точки можно провести много разных «прямых» - одну покороче, другую подлине и т. д.

Понятно, что указанное свойство принадлежит прямой, которая «считается неограниченно продолженной в обоих направлениях». Но это не оговаривается. Однако в жизни каждый понимает прямую как конечную линию, которая может быть или короче, или длиннее, и никто не считает ее неограниченно продолженной в обоих направлениях. Неограниченно - значит и за пределы Солнечной системы, за пределы метагалактики!? Понятно, неограниченно продолженная прямая - это абстракция.

Итак, мы обнаруживаем противоречие в самом начале курса геометриипротиворечие между реальностью, представленной на рисунке, с одной стороны, и мыслимым образом или абстрактным понятием геометрической фигуры - с другой. И если это противоречие конкретного объекта и абстрактного понятия не разъяснено, то оно оборачивается путаницей и внушением учащимся, будто они видят на рисунке то, что на самом деле не видят и видеть не могут. (Понятие прямой отражает реальность, но в идеализированной форме, дополненной представлением о бесконечном продолжении.)

В самом начале школьного учебника показывают на рисунке примеры простейших фигур и тут же говорят, что «фигуры состоят из точек», что «всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек».

Но это не может непосредственно относится к фигурам, как они нарисованы, и к точкам, которые «наносятся остро отточенным карандашом». На самом деле имеются ввиду абстрактные фигуры и идеальные точки без всяких размеров, не наносимые на рисунок никаким карандашом, идеальные прямые без всякой толщины, не проводимые по линейке; подразумевается взгляд на фигуру как на множество точек. Но этот взгляд, представляющий далеко идущую абстракцию, сложился менее 100 лет назад, а до того никто не мыслил себе фигуры, составленные из точек, и теперь математики их так не столько «представляют себе», сколько абстрактно мыслят (что, впрочем, тоже спорно). Так здесь, в самом начале курса, мы вновь обнаруживаем вариант уже указанного противоречия: фигура подается как то, что есть на рисунке, т. е. как нечто материальное, и вместе с тем как множество точек, т. е. как нечто совершенно абстрактное. Если это противоречие не раскрыто, то, «что такое геометрическая фигура» остается неясным.

Другая сторона того же противоречия обнаруживается в доказательствах теорем: требуется, чтобы они проводились путем «чисто логического рассуждения», и вместе с тем они неизбежно опираются на наглядные представления. Иногда в учебниках даже особо подчеркивается, что при доказательстве теорем разрешается пользоваться только теми свойствами фигур, которые указаны в аксиомах или установлены доказанными теоремами; другими свойствами фигур, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

Однако это указание постоянно нарушается прежде всего тем, что ряд понятий и свойств фигур, не оговоренных в аксиомах, в дальнейшем изложении вводится из наглядных соображений. Не доказывается, что точка на отрезке делит его на два отрезка, что треугольник (как фигура из трех точек и соединяющих их отрезков) ограничивает часть плоскости, не определяется, что значит «ограничивает», и др. Все это очевидно и может оставаться в школьном курсе без доказательств и определений, но не согласуется с запрещением ссылаться на очевидность.

Таким образом, в области доказательств и определений также обнаруживается противоречие, аналогичное противоречию в представлении о фигурах и их основных свойствах, - противоречие между реальностью и наглядностью с одной стороны, и логической строгостью, соответствующей абстрактности, с другой стороны. Эти противоположности - диалектические, т. е. они взаимосвязаны и взаимообусловлены, они необходимо соединяются в курсе геометрии: в нем невозможно отказаться от наглядных представлений, нелепо не опираться на них, нелепо не применять геометрию к реальным вещам и вместе с тем также невозможно отказаться от логической строгости, требующей отвлечения от наглядности. Когда же эти противоположности либо разрываются, как в запрещении опираться на очевидность, либо смешиваются, как в ссылке на рисунок, где якобы видно бесконечную прямую, то возникает грубое противоречие, путаница.

Соединение указанных противоположностей лежит в самой сущности геометрии. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одного из них, не подлинной геометрии.

В этом состоит в конечном счете противоречие в сущности геометрии: в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применяются к реальным вещам, к практическим задачам. Так оно происходит и в школьном преподавании: аксиомы, определения, теоремы относятся к идеальным фигурам, но поясняются на реальных примерах и применяются в решении реальных задач. Предложения геометрии выражают реальные факты, но в идеальном виде и поэтому могут не вполне соответствовать реальным фактам, а в некоторых случаях вовсе от них отделятся. Вместе с тем очевидно, что, скажем, теоремы о равенстве и подобии треугольников, теорема Пифагора и другие выражают реальные факты.

По поводу же логической строгости выводов геометрии следует заметить, что строгость их, как и выводов всей математики, не абсолютна, тем более в школьном изложении. Абсолютной строгости не бывает вообще; в школьном курсе нужно держаться «достаточного» уровня строгости, не исключающего опоры на наглядную очевидность. Где провести границу, какую опору на наглядность считать допустимой, а какую - нет, это вопрос педагогического такта [10, с. 13].

Таким образом, соединенные в геометрии противоположности взаимно проникают: наглядность входит в доказательства и определения, которые в свою очередь придают наглядности большую точность. Эта диалектика лежит в самом начале, в самых основах курса геометрии. Недостаточное ее понимание ведет, как уже сказано, к тому, что диалектическое противоречие превращается в путаницу, в ошибочные утверждения.

Сделанные замечания о фактах и строгости тоже относятся к диалектике: всякое содержательное утверждение нужно понимать не в абсолютном смысле, а с возможностью его ограничения, с возможностью, что оно не совсем, не абсолютно верно. Нет абсолютной строгости, нет полного соответствия утверждений геометрии реальным фактам.

Внося этот элемент критики, диалектика побуждает к развитию мысли, к углублению понимания, к достижению более глубокой и более точной истины. Эта черта диалектики также имеет существенное значение для преподавания геометрии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Урок - лабиринт

Для создания педагогических ситуаций, стимулирующих познавательную деятельность учащихся, нередко используют игровые приемы и задания, которые способствуют воспитанию у учащихся заинтересованного и созидательного отношения к процессу обучения математике.

Данную игровую форму занятия можно применить на уроках практического повторения с целью систематизации и обобщения материала.

Для тематического повторения отбираются, как правило, самые существенные вопросы раздела. И чтобы завершающий его контроль был максимально продуктивен, можно проводить уроки - лабиринты.

Такое повторение рассматривается, во первых, как формирующее определенные качества личности: познавательную активность, умение логически мыслить и рационально работать;

во-вторых, для закрепления программного материала.

Недостаточно только вводить в повторение новый материал и новые учебные задачи. Надо включить в активную работу максимальное количество учащихся, привлечь их самих к контролю результатов повторения, дать ощущение успеха, достижения трудного. Поэтому мы организуем непосредственное общение детей друг с другом в процессе решения конкретных учебных задач.

Для дифференцированной работы с учащимися можно использовать разноуровневые задачи.

Классу предлагается разделиться на команды по 4 - 5 человек. Оговаривается принцип подбора: в каждой команде должен быть ведущий - ученик, обладающий достаточным объемом знаний по данной теме, и ведомый - тот кому в силу различных обстоятельств (пробелы, стиль мышления и т. д.) не под силу трудные задания. Выбирается капитан, координирующий работу команды. Договариваются, кто будет выполнять роль контролера и знатока в то время, как вся команда не будет непосредственно проходить лабиринт. Устанавливается, что поощряется высказывание любой идеи, какой бы странной на первый взгляд она не казалась. Допускается критика только идей, а не высказавших их учеников. Высоко оценивается оказание творческой помощи партнеру по команде.

Урок-лабиринт проводится в соревновательной форме в три этапа. Продолжительность его обычно ограничивается сдвоенным уроком математики. На первом и втором этапах соревнуются по три различные команды. Остальные в это время или осуществляют роль контролеров при прохождении чужой командой пунктов лабиринта, оценивая добавлением или снятием очков продуктивность участия каждого члена команды, творческую атмосферу при работе, уровень взаимопомощи, или как «знатоки» вместе с учителем работают в «справочном бюро», где не просто подсказываются, а даются указания, советы, консультации, вспомогательные задания. «Знатоки» анализируют черновики решений и ответов, после того как команда прошла пункт лабиринта, чтобы исключить элемент угадывания или подбора ответа. У «справочного бюро» есть право после окончания этапа задать уточняющие вопросы членам команды, а также поощрить или наказать команду очками. Команда, первая из трех закончившая этап, получает весомую сумму очков и объявляется, как правило, победительницей этапа. На третий этап вызываются две лучшие команды предыдущих этапов. Иногда к ним по решению ребят может быть добавлена третья команда, не намного отставшая от них по очкам и показавшая достаточно интересную творческую работу внутри своей группы. Свободные в данный момент от лабиринта учащиеся самостоятельно работают на месте, видя через кодоскоп образцы заданий с каждого пункта и имея возможность сравнить свою скорость решения и ответы с быстротой и правильностью решений участвующих команд и последующим анализом заданий.

Пример одного этапа урока-лабиринта по теме «Теорема Пифагора».

В начале урока активизируется, обобщаются и систематизируются знания по этой теме. Каждая команда предъявляет и защищает свой плакат - опорный сигнал. Это их домашняя работа. На плакате должны найти отражения повторяемые объекты, связи между ними. Опорный сигнал должен быть лаконичным, красочным, позволяющим как повторять по нему материал, так и развивать свое мышление. Подготовительная работа по обучения ребят обобщать и систематизировать материал вообще и по этой теме в частности, по составлению опорных сигналов проводились на предыдущих уроках и консультациях. Опорный сигнал - плод групповой творческой работы.

Предъявленные схемы обсуждаются учащимися, выбирается оптимальный вариант.

Затем команды начинают прохождение лабиринта. Для этого выбираются по 4 парты в трех рядах, как четыре пункта для каждой команды. На каждой парте лежат по 3 карточки с заданиями. Свои места занимают: на первых пунктах - «контролеры», за «столом справок» - «знатоки». Остальные учащиеся, не занятые в лабиринте, контроле и консультациях, располагаются по периметру класса, наблюдая за кадоскопом.

Каждое задание в карточке оценивается в 5, 10 и 20 балов. Задание, которое оценено в 20 балов - задание повышенного уровня сложности.

Команды одновременно подходят к первому пункту и начинают работать. Вариант решения на каждую карточку записывают и сообщают «контролеру».

После каждого из первых двух этапов «справочное бюро», сверившись с «контролерами», объявляет баллы команд и победителя. Перед третьим этапом проводится общее обсуждение для выбора двух или трех команд. После окончания завершающего этапа в конце урока анализируются вопросы, ответы, наиболее каверзные задания, дается оценка работы команд, личного вклада каждого, «контролеров» и «знатоков».

Пункт I

Задание 1. Укажите, какой из рисунков содержит треугольники, к которым применима теорема Пифагора (5 баллов).

а) б)

в) г)

Задание 2. В прямоугольном треугольнике : =13 см, =12 см, =5 см. Найдите (10 баллов).

Задание 3. Из точки к окружности с центром в точке проведена касательная . Отрезок равен 20 см, а - 16 см, тогда длина отрезка равна:



а) 2 см; б) см; в) 12 см; г) 6 см (20 баллов).

Пункт II

Задание 1. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см, тогда его сторона равна:

а) 10 см; б) см; в) 2 см; г) см (5 баллов)

Задание 2. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если проекция наклонной равна 12 см, а перпендикуляр - 5 см, то длинна наклонной равна:

а) см; б) см; в) 13 см; г) см (10 баллов).

Задание 3. В окружности с центром в точке и радиусом, равным 10 см, проведена хорда . Если хорда =16 см, то расстояние от центра окружности до нее равно



а) см; б) 6 см; в) см; г) см (20 баллов).

Пункт III

Задание 1. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см, а его медиана равна:

а) 4 см; б) см; в) 2 см; г) см (5 баллов).

Задание 2. Дан прямоугольный треугольник . В нем гипотенуза =10 см, =0,25. Найдите катет (10 баллов).

Задание 3. Две окружности равных радиусов с центрами в точках и пересекаются в точках и . Одна сторона треугольника равна 13 см, другая - 6 см. Определите расстояние между центрами окружностей (20 баллов).

Пункт IV

Задание 1. Сформулируйте теорему Пифагора (5 баллов).

Задание 2. У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а косинус прилежащего к нему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет (10 баллов).

Задание 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найти высоту приведенную к основанию (20 баллов).

Безусловно, при такой организации урока присутствует и элемент случайности или угадывания ответа, и возможности безделья за счет сильных учащихся. Но урок-лабиринт не является единственной формой организации тематического повторения, он не исключает, а только дополняет другие виды уроков. Контроль непосредственно на пунктах лабиринта самих ребят, проверка наличия необходимых черновых записей, комментарий к ним да и зависимость успеха всей команды от работы каждого, демократичность общения делают практически незначительными негативные моменты.

Анализ подготовки и результатов таких уроков показывает не только упрочнение знаний учащихся по данной теме, совершенствование их умений обобщать и систематизировать материал, но и изменение их отношения к математике - доминирующим для них становится сам процесс приобретения знаний и его содержание, а не оценка.

Приложение 2

Материал для учителя

История геометрии - это объяснение того, что геометрию следует считать связной теорией. Она нужна в комплексе, а не обрывками, например, о истории зарождения.

О зарождении математики

Итак, взгляд на математику. Откуда она произошла, когда и где это было? Считается, что не только математика, но и вся наука как единая система знаний, не обязательно непосредственно связанных с практической деятельностью, и как отдельная сфера человеческой деятельности, имеющей своей целью получение новых знаний, возникла в Древней Греции. До того уже имелись научные сведения, подчас немалые. Может быть то, что было до греков, стоит назвать «протонаукой».

У греков эстафету переняли арабы. Это были не только этнические арабы, но и вообще народы исламского мира. Арабский язык, будучи языком Корана, стал языком, который каждый образованный мусульманин должен быть знать. Поэтому он стал международным языком. Научные труды тоже писали по-арабски. Ну а у арабов науку переняли европейцы. Здесь стоит сделать оговорку, что переход от протонауки к науке произошел, пусть не столь отчетливо и несколько познее, так же и в Древнем Китае, и никакого греческого влияния при этом быть не могло. Но если во втором тысячелетии нашей эры различные китайские достижения - порох, ракеты, примитивное книгопечатание, бумага - проникли в Европу, а лет за 500 до того же произошло с шелком и все это оказало немалое влияние на средневековую Западною Европу, то о китайских научных достижениях европейцы узнали тогда, когда они уже в этом не нуждались.

Итак, говоря о зарождении математики, надо сначала сказать о возникновении протонауки, а потом о ее преобразовании в науку.

Протонаука зародилась в Древнем Египте и Древней Месопотамии. Древние греки об этом знали. Но начало этого процесса отстояло от них примерно на столько же, на сколько древние греки отстояли от нас. Интересующий нас период в истории Древней Греции - это, грубо говоря, 500 лет до н. э. плюс-минус двести лет, после чего уже идет эпоха эллинизма. А возникновение первого египетского государства и шумерских государств или протогосударств в Месопотамии - это примерно 3000 лет до н. э. плюс-минус несколько столетий. Примерно тогда же возникла письменность, и, по-видимому, примерно тогда же человечество овладело первыми знаниями, составившими начало протонауки. Значительное развитие первые протонауки - протоматематика и протоастрономия - получили вскоре после 2000 года до н. э., и к середине второго тысячелетия до н. э. они уже определенно сложились. Древнегреческие мыслители, писавшие о зарождении науки, знали, что цивилизации Египта и Месопотамии намного древнее греческой и что довольно многочисленные подчас далеко не простые сведения были там известны задолго до того, как они стали достоянием греков, независимо от того, заимствовали ли греки эти сведения на Востоке или приобрели их самостоятельно. Но эти древнегреческие мыслители не умели читать ни египетские иероглифы, ни месопотамскую клинопись, а теперь это умеют, хоть и не всегда свободно. Греки нередко путешествовали в Египет, реже в Месопотамию, но на западном берегу Средиземного моря тогда имелись греческие города, у которых были связи со многими частями Персидской Империи, в том числе и с Вавилоном, так что и из Вавилона до греков тоже кое-что доходило. Кроме того, в греческую эпоху связи между Вавилоном и Египтом были довольно развитыми, так что вавилонская наука могла доходить до греков и через Египет. Но греческий автор мог узнать только то немногое, что ему во время сравнительно непродолжительного пребывания в Египте или Вавилоне мог сообщить переводчик или что рассказывали приезжие из этих стран. Так что хотя за несколько столетий до н. э. египетские и месопотамские архивы находились в куда лучшем состоянии, чем то, что дошло до нас, положение современных историков отчасти лучше, чем древнегреческих. Должно быть, из-за того, что возможности ознакомления с египетскими и месопотамскими научными сведениями были ограничены, древнегреческие историки науки, насколько известно, не отмечали качественного отличия возникшей у них науки от протонауки Древнего Востока. Т. е. они не осознавали главного достижения своих соотечественников!

Что же все таки говорили древние греки о начальном этапе зарождения науки? Они считали родиной науки Египет, хотя теперь известно, что в Месопотамии она возникла независимо и что в некоторых отношениях уровень вавилонян был намного выше. Это свидетельствует о том, связи с Египтом в Греции были лучше налажены, чем с Вавилоном. Как полагал Аристотель, зарождение математики было связано с тем, что у египетских жрецов было много свободного времени и они размышляли о возвышенных предметах. Другие авторы, и прежде всего Геродот, который сам побывал в Египте, связывали зарождение математики, а точнее геометрии, с практической необходимостью - землемерными работами. (Само название «геометрия» по-гречески как раз и означает «землемерие»). В Египте необходимость в быстром и точном проведении землемерных работ стояла особенно остро. До недавнего времени - до строительства Асуанской плотины - Нил ежегодно, начиная с июня, разливался на несколько месяцев, затопляя значительную часть Нильской долины и принося на затопленные поля плодородный ил. После спадения воды необходимо было восстанавливать границы полей и дороги, а также определять какую часть того или иного участка в этом году в следствии причиненных разрушений использовать не удастся - это было нужно для уточнения размера налога. К этому можно добавить, что землемерие требовалось также при крупномасштабном строительстве, будь то строительство пирамид, храмов, дворцов или ирригационных каналов. В Месопотамии вопрос стоял не столь остро, но все же и там случались наводнения и велись строительные работы, включая ирригационные, так что тоже имелась немалая потребность в землемерных работах.

Кто же прав, Аристотель или Геродот? В известной степени правы оба. В более общем духе можно сказать, что речь идет о задачах практического происхождения и о развитии математики, а отчасти проматематики, под действием внутренне присущих ей причин. Оба фактора действуют и в наши дни, только надо пояснить, что теперь для самой математики «практический» характер имеют и ее применения в других науках, даже если поначалу при этом речь идет о внутреннем развитии этих наук, а не об их практическом применениях. Вопрос может стоять только о взаимном балансе этих двух факторов - была ли их роль в том или ином случае более или менее равноправной или же роль одного из них была ведущей.

Применительно к самому началу, видимо, прав Геродот. Древнейшие, дошедшие до нас математические тексты являются учебниками, адресованными не жрецам, а писцам. Как указывают историки, в то время вообще не было отдельного сословия жрецов, а их обязанности при случае выполняли уважаемые граждане, миряне, возвращаясь за тем к своим обычным занятиям. Писцы же были государственными служащими, которые должны были распределять заработанную плату, подсчитывать налоги, вычислять, сколько зерна надо для приготовления такого-то хлеба или пива, вычислять площади и объемы, переводить одни меры в другие. Для этого надо уметь производить вычисления, в том числе и с дробями, чему писцы учились на примерах, содержащихся в их учебниках.

Автор папируса обращается к реальному или вымышленному писцу, который занимает высокое положение, но в действительности некомпетентен и который, похоже, имеет возможность эксплуатировать автора:

«Я хочу объяснить тебе, что это значит, когда ты говоришь: «Я писец, отдающий приказы в армии». Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: «Сосчитай мне это». Ты оставляешь свою работу, а на мои плечи сваливается задача - учить тебя как ее выполнять. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе - его царскому писцу … мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Надлежит сделать насыпь для подъема в 750 локтей длины и 55 локтей ширины, состоящую из 120 отдельных ящиков и покрытую перекладинами и тростником. На верхнем конце ее высота 60 локтей, а в середине 30 локтей, уклон ее - дважды по 15 локтей, а настил - 5 локтей. Спрашиваю у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все надеются на тебя и говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай нам это поскорей. Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого кирпичей?»»

Из этого отрывка видны некоторые из обязанностей писца. Речь идет не о каких-то мистических тайнах мироздания, или, что то же, богов, чего можно было ожидать от жрецов, а о весьма прозаических делах, требующей определенной квалификации. Видно также, что уже три с половиной тысячи лет назад объективно прогрессивный процесс разделения труда дошел до того, что видный организатор науки (протонауки) мог быть не очень в ней силен.

На более позднем этапе (и может быть, более в Вавилоне, чем Египте), видимо, сыграли свою роль и «высокие» мотивы вместе с соответствующими возможностями в смысле досуга, о чем говорит Аристотель. Жрецы тоже могли выступить на сцену. Им не приходилось подсчитывать число кирпичей, но они, может быть, занимались астрономией ради астрологических предсказаний. Тогда не могло быть речи о составлении гороскопов, требующем знания положения планет на небе, начиная с момента рождения того лица, для которого составляется гороскоп, и на много лет после того. Но тогда была, так сказать «протоастрология», делавшая предсказания на более короткие отрезки времени на основании более ограниченных данных о виде неба. С развитием астрономии в ней появилась немаловажная вычислительная сторона, требовавшая некоторой математики. Впрочем, насколько во всем этом участвовали жрецы - неизвестно. Известно, что заведомо существовали астрологи-профессионалы, которые не были жрецами.

В вавилонской протонауке уже определенно происходил переход к науке. В клинописных текстах рассмотрено много задач, не имевшим отношения ни к кирпичам для насыпи, ни к другим видам практической деятельности. Фактически, там решаются квадратные уравнения и даже отдельные уравнения более высоких степеней - и это без алгебры! Вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора и теорему, обратную ней. Это как раз могло иметь отношение к землемерию, потому что позволяло с помощью веревки построить прямой угол. В более позднюю эпоху, когда в Греции уже зародилась наука в нашем смысле слова, какие-то геометрические построения на местности с помощью веревки уже определенно производились. На сей счет имеется прямое свидетельство Демокрита, который с гордостью заявил: «В построении линий с доказательствами я никем не был превзойден, даже так называемыми египетскими гарпедонавтами (греческое слово «гарпедонавт» означает «натягивающий веревку»)». В словах Демокрита удивительно упоминание о доказательствах. Ни в одном египетском или вавилонском тексте ничего похожего на доказательства нет. Но, с другой стороны, часть вавилонской протонауки достигла уже того уровня, когда соответствующие результаты невозможно было получить без каких-то рассуждений, может быть и не дающих исчерпывающе строгого доказательства, но приближающегося к нему. А Демокрит состязался с гарпедонавтами в довольно позднее по масштабам древнеегипетской науки время. Увы, повторяю, что ни одного текста с доказательствами до нас не дошло. Уверенно реконструируется благодаря более поздним индийским источникам только одно-единственное рассуждение - доказательство теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть и - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза. Построим квадрат со стороной и возьмем на его сторонах , , , такие точки , , , соответственно ,что .

Иными словами, от каждой вершин , , , откладывается по отрезку длины в направлении к следующей вершине; «следующей» значит «следующей в порядке ». Наш квадрат разбивается на четырехугольник и четыре прямоугольных треугольника , , , . У каждого из треугольников один катет равен , а другой - . Значит, все эти треугольники равны, так что в частности, . Гипотенуза равна , а площадь треугольника есть . У четырехугольника длина каждой стороны равна , так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например

Итак, - квадрат со стороной , так что его площадь равна . Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е.

Левая часть равна , а правая - , откуда и видно, что . Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора. Теперь его часто используют в школе.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел , , , что

(1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа , , : 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки ? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение - это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде

, , (2)

где - натуральные числа, причем , или в аналогичном виде, в котором и меняются местами. Можно чуть короче сказать, что , , из (2) со всевозможными натуральными и суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки и . Например тройка (3, 4, 5) получается при =1, =2, =1.

Так что при любых натуральных с тройка , определяемая согласно (2), является решением (1)., можно проверить непосредственно путем простого вычисления. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? На самом деле, как это часто бывает, «прокручивая в обратную сторону» рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением. При перестановке и снова получается решение.

По видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить больше решений.) Как его позднее доказывали древние греки - известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах.

Сделаем несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если , и имеют общий делитель , скажем

, ,

где - натуральные числа, то ясно, что тройка снова является решением (1). Обратно, если знаешь какое-то решение , то умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное , то снова получится решение. Поэтому можно ограничится разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у и , был бы общий делитель, то тот бы делитель был и у третьего. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа ( и , и , и ) не имеют общий делитель . Так что если мы интересуемся только взаимно простыми , , , то для них в (2) должно быть =1, и утверждение, которое надо доказать, несколько упрощается: натуральные решения уравнения (1) с взаимно простыми , , с точностью до перестановки и представимы в виде

, , (3)

где - натуральные числа и . Заметьте, вовсе не утверждается обратное: что любые , получающиеся согласно (3) с натуральными , являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа , , не обязательно получаются взаимно простыми. Ведь если у и есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в , и в , и в .

Так что если бы настаивать на обратном утверждении, что любые , получающиеся согласно (3) с натуральными , будут решением (1) с попарно взаимно простыми , , , самое меньшее нужно бы уточнить: с взаимно простыми и . А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет. Ведь если и оба нечетные, то получится нечетным, а в (3) всегда четное. Но если одно из чисел четное, а другое нечетное, то получится нечетным, и общим с у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у и имеется нечетный простой делитель . Раз делится на , то или делится на , а тогда, раз тоже делится на , то и второе из чисел делится на , т. е. и не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые . Но главное, что этого сейчас не нужно. Надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными , , обязательно представимо в виде (3) с какими-то а что при каких-то других могут получится решения с не взаимно простыми , , - это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда ограничиваться решениями с попарно взаимно простыми , , , то одно из чисел и должно быть четным, а другое - нечетным; при этом конечно, нечетно. Действительно, если и оба нечетные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то можно написать, что , с некоторыми натуральными , . Отсюда

Получается, что делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если нечетно, то и на 2 не делится, а если четно, то делится на 4.

Раз одно из чисел и четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно , а четно , - в противном случае просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

,

или, обозначая через и через , в виде , т. е. . и суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь и - натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если

, то . Итак,

(4)

где - взаимно простые натуральные числа. Рассматривая (4) как линейную систему уравнений относительно , решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится , и вычесть второе из первого, откуда получится :

, (5)

Отсюда видно, кстати, что .

Зная, что и - несократимые дроби. Если бы знать, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что этого не знаем; однако о дробях , мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное , что

, , (6)

Допустим, что имеет нечетный простой делитель . Тогда делится на , а раз это простое нечетное число, то или делится на . Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства , и его правая часть делятся на ; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на . Получается, что и , и делятся на , хотя они взаимно просты. Итак, у нет нечетных простых делителей, так что есть степень двойки. Вспомним, что - четное число, . Получается, что , , и если - степень двойки (с ненулевым показателем), то число четное. Тогда хотя бы одно из чисел - четное. Но из следует, что - четное число, и если вдобавок одно из чисел или - четное, то и другое должно быть четным. Снова у и нашелся общий делитель. Остается признать, что =1, а это и означает (3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе исследованы структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии. Рассмотрение этого вопроса актуально потому, что с ним связано серьезное противоречие. Оно выражается в том, что геометрия является значительным по объему, цельным и взаимосвязанным разделом математики, но ее изучение учащимися растянуто во времени, из-за чего учащиеся далеко не всегда удерживают в поле зрения многие важные для данного курса связи между фактами. Данное обстоятельство негативно сказывается и на освоении учащимися курса геометрии в целом.