Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Решение. Запишем операторное уравнение



и его решение

.

Из теоремы 2 § 16 следует

;

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

.

Окончательно,

.

Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила . В момент времени точка подверглась удару, несущему импульс . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

,

где - упругая сила; - функция Дирака. Решим операторное уравнение

,

где . При

.

Если (случай резонанса), то

.

По теореме запаздывания

.

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях . Операторное решение в этом случае имеет вид

.

Пусть весовая функция - оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим

. (18.7)

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая

(18.8)

где - начальные значения искомого решения .

Как легко видеть, , и следовательно, .

Таким образом, функция - решение уравнения (18.1) с правой частью , полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем и .

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда , и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен , весовая функция . По формуле Дюамеля

.

Окончательно,

.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

, (18.9)

где - вектор искомых функций; - вектор правых частей; - матрица коэффициентов; - вектор начальных данных.

Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему

, (18.10)

где - Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.

Из (18.10) находим операторное решение

, (18.11)

где ; Е - единичная матрица.

Оригинал операторного решения(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).

Обозначим весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для , где Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь

. (18.12)

При нулевых начальных условиях

. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:

,

где . Тогда

;

.

Окончательно, по формуле (18.12) получим

или

Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:

с начальными условиями .

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь



Запишем решение операторной системы

.

Тогда

.

§ 19. Приложения

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции и связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

,

где - сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

,

где - индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

,

где С - емкость конденсатора; - начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток и операторное напряжение как изображения функций и соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

.

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

,

где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную , называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями и имеем ; и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами и получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс является ограниченной функцией времени, то полюсы функции имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток

,

где ; - чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями; - мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция не имеет кратных полюсов.

Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье . Тогда

;

;,

следовательно,

.

Положим

,

где - амплитуда гармоники с частотой , _k - ее начальная фаза;

; . Тогда

. (19.1)

Функции и называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.

Будем трактовать функции и , как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой , амплитудой а и начальной фазой , то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты с амплитудой и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину. Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение , при котором АЧХ достигает максимума, называется резонансной частотой системы.

Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления , индуктивности и емкости C. Найти резонансную частоту.

Решение. Импеданс контура, его адмитанс . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно

;

. (19.2)

Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если .

Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту , наибольший коэффициент усиления сигнала равен , сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.

Расчет длинных электрических линий. Обозначим - удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; - коэффициент утечки тока; и - ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени . Тогда для участка линии между точками х и по известным законам физики будем иметь

;

. (19.3)

Разделив уравнения (19.3) на х и перейдя к пределу при х 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций и :

;

. (19.4)

Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид

. (19.5)

Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение . Тогда краевые условия запишутся в виде

, (19.6)

где - длина линии.

Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему

, (19.7)

где и - изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в

, (19.8)

где .

Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему

; , (19.9)

где ; ; ; - параметр преобразования Лапласа по переменной х.

В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию .

Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид

,

где .

Возвратимся к оригиналам:

;

. (19.10)

С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем

. (19.11)

Из (19.10) и (19.11) следует, что

;

. (19.12)

При отыскании функций и будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения , откуда и , Следовательно, нули функции - это числа , расположенные в левой полуплоскости . Поэтому, если - ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно

где - чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями.

В частности, если , то , и следовательно, в установившемся режиме

;

.

Примеры для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале -, :

1. 2.

3.. 4..

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23.

24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31.

Задание 2. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале :

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29 30. =

Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами 6

Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.. 14.. 15..

16.. 17.. 18..

Указание. При решении следует воспользоваться формулами

;

;

;

;

;

.

Задание 4. Найти косинус-преобразование Фурье следующих функций:

1. 2.. 3..

4.. 5..

Задание 5. Найти синус-преобразование Фурье следующих функций:

1. 2.

3. 4..

5. . 6. . 7. .

Ответы

Задание 1

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. . 25. .

26..

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

Задание 2

.

2. .

3. .

4. .

5. . 6. . 7. .

8.

.

9. .

10. . 11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. . 17.

18. . 19. .

20. .

21. .

22. . 23. .

24. . 25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

Задание 3

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16. .

17. . 18. .

Задание 4

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Задание 5

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6.. 7..

Рекомендательный библиографический список

Основной:

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.

Дополнительный:

4. Данко П.В. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981.

Оглавление

Введение

Глава 1. Ряды Фурье

§ 1. Векторные пространства

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке -L, L

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке 0, L

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Глава 2. Интеграл Фурье

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

§ 12. Преобразование Фурье

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Глава 3. Операционное исчисление

§ 14. Преобразование Лапласа

§ 15. Изображения простейших функций

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

§ 17. Формула разложения Хевисайда

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

§ 19. Приложения

Примеры для самостоятельного решения

Ответы

Рекомендательный библиографический список