Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ

(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра математики

Учебный курс: «Высшая математика»

Курсовая работа

Выполнил

Студент гр МЭ-03-2

Меньшиков И.Ф.

Проверила

Дьяченко О.Н.

Москва 2005

Введение

Данная курсовая работа является продолжением углубленного изучения высшей математики. В этой работе мы разберем ряд задач, связанных с приложениями двойных и тройных интегралов, разложим функцию в ряд Фурье по синусам, найдем наибольшее и наименьшее значение функции. Также в работе будут применены геометрический и симплекс методы для отыскания оптимального решения задачи; рассмотрим линейное функциональное пространство, операции в котором аналогичны операциям над векторами, только в данном случае они производятся над функциями. В работе кратко изложена теория (определения, теоремы, правила и формулы), благодаря чему, можно ответить на ряд вопросов: как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд и т.п.

Задание №1

Теоретическая часть:

Необходимое условие наличия экстремумов:

Если точка (x₀;y₀) является точкой экстремума функции f(x,y), то частные производные функции, если существуют, то равны нулю:

Нахождение точек, в которых выполнено необходимое условие наличия условного экстремума функции методом множителей Лагранжа:

1) Составляется функция 3-х переменных

F(x, y, ) =

2) Для функции F находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции:

Практическая часть

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ѓ(x,y) = x² + y² - xy в замкнутой ограниченной области D: x² + y² ? 25, y ? x.

Рисуем область ограничения D

2) находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов.

точка (0;0) области D

Находим на границе области наибольшее и наименьшее значения

Находим точки пересечения линий:

и

Находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия условного экстремума функции с помощью формулы Лагранжа.

F(x,y,) = x²+ y² - xy + (x²+y² - 25)

Ответ:

Задание №2

Фирма закупает удобрения двух видов. В единице массы удобрения вида Р содержатся 3 у.е вещества А, 2- вещества В и 1- вещества С; в единице массы удобрения М содержится 1 у.е. вещества А, 1- вещества В и 1- вещества С. На один акр почвы необходимо внести не менее 9 у.е вещества А, 8 - вещества В и 6 - вещества С. Составить наиболее экономичный план закупки удобрений в расчете на 1 акр, если цены удобрений на единицу массы составляют: для удобрения вида Р-$3, а вида М- $2. Решить задачу двумя способами(геометрическим методом и симплексным методом).

Геометрический метод

Теоретическая часть:

Применяется, как правило, для задач линейного программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического метода сводится к следующему:

1) На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решений ЗЛП.

2) Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

Также нужно отметить, что градиент имеет в данном случае координаты, представляющие собой коэффициенты при соответствующих переменных в целевой функции.

3) Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

4) Возможны два варианта:

а)Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

б)Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

Практическая часть

Вид удобрения	Содержание условных единиц веществ	Цена,$
	А	В	С
Р	3	2	1	12
М	1	1	1	20

x₁- единица массы удобрения вида Р

x₂ - единица массы удобрения вида М

Целевая функция:

ѓ=3x₁+2x₂min

Строим линию уровня 3x₁+2x₂=18

Минимальное значение достигается на пересечении (2)и (3) ограничений.

Решаем систему, состоящую из (2) и (3)-ого уравнения

Получим

Подставим в целевую функцию

ѓ(2,4) = 3*2+2*4=14

Т.е., наиболее экономичный план закупки удобрений в расчете на 1 акр, в 320$ будет достигаться, при 20 ед. массы удобрения вида Р и 4 ед. массы удобрения вида М.

Симплекс- метод

Теоретическая часть:

Симплекс-метод в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в задачах с практически любым конечным числом переменных. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Ограничения задачи могут иметь вид: В случае () вводятся дополнительные переменные u_i: ; в случае () вводятся фиктивные переменные w_i:; в случае () одновременно вводятся дополнительные переменные u_i и фиктивные переменные w_i;.Целевая функция дополняется членами ,содержащими w_i c большим по модулю отрицательным коэффициентом .Симплекс-метод состоит в процедуре последовательных переходов от одного опорного решения к другому, причем на каждом шаге значение целевой функции должно увеличиваться. Процедура заканчивается тогда, когда переход к новым опорным решениям не приводит к увеличению целевой функции

Практическая часть:

Умножаем целевую функцию на -1, чтобы решать задачу на максимум и приводим ее к каноническому виду.Для этого вводим дополнительные переменные u₁, u_2, u₃ и фиктивные переменные w₁, w₂, w₃.

-3x₁ - 2x₂

-3x₁ - 2x₂ + 0u₁+0u₂+0u₃-Mw₁-Mw₂-Mw₃

3x₁ + x₂ - u₁ + w₁ = 9

2x₁ + x₂ - u₂ + w₂ = 8

x₁ + x₂ = 6

Оптимальное решение x₁ =2 ; x₂ = 4; f_min= 14

Ответ: 2 единицы удобрения вида Р

4 единицы удобрения вида М

Задание №3

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Теоретическая часть:

Определение. Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a₀, a_n, и b_n (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если дана периодическая функция f(x) с периодом 2р, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-р, р):

.

При этом коэффициенты Фурье находят по формулам:

, , -

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если - четная функция, то , т.к. . Если - нечетная функция, то .

Если в ряд Фурье разлагается функция , то произведение есть функция нечетная, а - четная; Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если же в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение есть функция нечетная, а - четная и, следовательно, ряд Фурье содержит «только косинусы».

Ряд Фурье для функции с периодом

Если f(x) периодическая функция с периодом 2l, отличным от 2, то при разложении ее в ряд Фурье получим:

Коэффициенты принимают вид:

Практическая часть:

Разложим исходную функцию f (x) в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 3].

;

Ответ:

а) Нарисовать график функции ѓ(x) на отрезке [0;3]

Теоретическая часть :

Определение. Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Практическая часть:

б) Написать, к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0,3].

Теоретическая часть:

Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если: функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода; функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2р удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x₀ разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x₀ слева и справа, т.е.:

S(x) = 0,5[f(x₀ + 0)+f(x₀ - 0)]

Практическая часть:

Ряд сходится к, т.к

S(0)=S(3)=

c) Нарисовать график суммы ряда наотрезке

Практическая часть:

d) Пользуясь равенством Парсеваля найти сумму:

.

Теоретическая часть:

Для функции f(x), такой, что f²(x)L(-;), справедливо равенство Парсеваля:

Практическая часть:

Ответ : 0.75

Задание №4

Найти линейную комбинацию функций, дающую наилучшее приближение по норме функции на отрезке [-1,1].

Теоретическая часть:

Бесконечная система функций ц₁(x), ц₂(x), …, ц_n(x) называется ортогональной на отрезке [a, b], если при любых n ? k выполняется равенство



при этом предполагается, что

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [a, b], такова, что:

При этом:

Коэффициенты c_n, вычисленные по данной формуле называются коэффициентами Фурье функция f(x) по системе ортогональных функций. А ряд из первой формулы называют рядом Фурье по системе функций.

Практическая часть:

Ортогонализируем систему исходных функций



Ответ :

Задание №5

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Теоретическая часть:

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z)0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом (2) и называется тройным интегралом.

Если подынтегральная функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Цилиндрические координаты:

Пусть

Здесь - угол между положительным направлением оси 0X и лучом , (- проекция точки М на плоскость X0Y), ; r - радиус-вектор точки,

Тогда интеграл вычисляется по формуле

Сферические координаты

В сферических координатах положение точки Р в пространстве определяется тремя числами и, , ц, где - расстояние точки от начала координат, так называемый радиус-вектор точки, ц - угол между радиус-вектором и осью ОZ, и - угол между проекцией радиус-вектора на плоскость ОXY и осью ОX, отсчитываемый от этой оси в положительном направлении ( т.е. против часовой стрелки). Для любой точки пространства имеем 0 < < +?, 0 < ц < р, 0 < и < 2р.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рисунка легко устанавливаются выражения декартовых координат через сферические:

I(якобиан преобразования) = ²sinи.

Тогда в сферических координатах объем тела вычисляется по формуле:



Практическая часть:

В данном задании объем тела проще найти с помощью двойного интеграла. Получаем:

Ответ:

Задание № 6

Найти массу тела, ограниченного поверхностями: 2z = x² +y² , x² + y² + z² = 3,(z.> 0), если его плотность распределения массы в каждой точке численно равна сумме квадратов координат этой точки.

Теоретическая часть:

Для вычисления массы тела применяем приложение тройного интеграла.

В данном случае удобно применить переход к цилиндрическим координатам.

Практическая часть:

Уравнение верхней части поверхности z = ,

Уравнение нижней части поверхности z =

Плотность распределения массы в каждой точке равна x² + y² + z²

Перейдем к цилиндрическим координатам

x² + y² + z²

интеграл геометрический функция ряд фурье

Находим массу тела:

Ответ:

Список литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1985г.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Астрель АСТ, 2002г.

3. Н.С.Пискунов «Дифференциальное исчисления», том 2

Размещено на Allbest.ru