Исследование функции
Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.02.2012 |
| Размер файла | 133,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача. Провести полное исследование функции ѓ(х) с помощью производных, построить график функции, найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, b]
производная интеграл дифференциальный уравнение
|
№ варианта |
у=ѓ(х) |
Значения чисел |
||
|
а |
b |
|||
|
10 |
0 |
3 |
1. Область определения функции: D (f) = (). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.
2. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный:
Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.
3 Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:
,
отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.
4. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:
Из уравнения найдем критические точки:
Составим таблицу
|
0 |
2 |
|||||
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
|
4 |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
|
0 |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
|
Возрастает |
убывает |
возрастает |
На интервалах функция возрастает
На интервале - убывает
5. Точка - точка максимума
Точка - точка минимума
6. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:
. Из уравнения найдем точки, подозрительные на перегиб: х = 1.
|
х |
|||
|
- |
+ |
||
|
у |
7. На основании проведенного исследования построим график функции.
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [0, 3].
В этот отрезок попадает точки экстремума х=0 и f(0)=4
х=2 и f(2)=0
Найдем значения функции на концах отрезка
f(0)=4
f(3)=4
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке х=2 и fнаим(2)=0, а наибольшее в точках х= 0 и х=3 и fнаиб=4
Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы
10. а) б) в)
г) д)
а)
б)
в)
По формуле интегрирования по частям:
г)
д)
Задание 2. Вычислить определенные интегралы
10. а) б)
а)
б)
Задача №3. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию)
|
№ варианта |
Уравнение |
Начальное условие |
|
|
10 |
а) |
- |
|
|
б) |
|||
|
в) |
а)
б)
Разделим на
в)
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Задача №4. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения
|
№ варианта |
а |
б |
|
|
10 |
а) |
б) |
а)
б)
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции z и подставим ее в дифференциальное уравнение.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015
