Производные и дифференциалы высших порядков
Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.03.2011 |
| Размер файла | 283,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
7
Задание 1
Вычислить пределы функций:
а). , б). , в). , г). .
Решение
а). Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители и сократим дробь.
.
б). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби почленно на
.
в). Для раскрытия неопределенности используем следствие из первого замечательного предела .
.
г). Для раскрытия неопределенность умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное с числителей и сократим дробь.
Задание 2
Найти производные заданных функций
а). ; б). ; в). .
Решение
а). Используем правила дифференцирования суммы функций и сложной функции.
б). Находим производную сложной функции.
.
в). Находим производную сложной функции.
Задание 3
Исследуйте функция и постройте ее график.
.
Решение
1. Найдем область определения функции:
2. Проверим, является ли функция четной или нечетной:
,
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осьюОх: , тогда .
С осью Оу: , тогда .
4. Находим первую производную:
при .
Исследуем знаки производной при переходе через критические точки.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
7
Функция возрастает при. Функция убывает при .. Получаем - точка максимума, - точка минимума.
5. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:
Вторая производная равна нулю при.
Наносим на числовую прямую точку и исследуем знак второй производной на каждом из интервалов.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
7
Рис. 1.
В интервале график функции - выпуклый, в интервале - вогнутый. . Получаем - точка перегиба.
6. Находим асимптоты.
Область определения функции - вся числовая прямая, поэтому вертикальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту ищем в виде: .
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7. Строим график функции (рис. 1):
Задание 4
Найти неопределенные интегралы.
а). ; б). .
Решение
а). Используем способ замены переменной.
.
б). Используем способ интегрирования по частям.
Задание 5
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделайте чертеж.
, .
Решение
Имеем параболу и прямую . Нужно найти площадь выделенной на рисунке 2 фигуры.
Рис. 2.
Найдем пределы интегрирования (точки пересечения графиков функций), решив систему уравнений:
Площадь фигуры равна:
Задание 6
Вычислите по формуле прямоугольников при определенный интеграл, определите погрешность вычислений:.
Решение
функция неопределенный интеграл решение
Формула средних прямоугольников имеет вид:
, где .
Согласно условию, , следовательно, .
Искомый интеграл равен:
.
Для оценки погрешности вычислим точное значение интеграла:
.
Так как полученные значения совпадают, погрешность равна нулю.
Размещено на http://www.allbest.ru
Подобные документы
Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013
