Математический анализ
Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.02.2015 |
| Размер файла | 98,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южно-Уральский государственный университет»
ИОДО
Контрольная работа
Математический анализ
Выполнила Козлова Вероника Валерияновна
Проверила Шунайлова С.А
Задание 1. Найдите производные функций
б).
Задание 2. Найдите производные функций.
а)
б)
Задание 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b].
Решение. Находим производную функции: , приравниваем её к нулю и находим критические точки, принадлежащие этому отрезку: .
Находим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
Тогда наибольшее значение: 4 и наименьшее значение (-4).
Задание 4. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: .
Решение.
1. Область определения данной функции D(y):
2. График функции пересекает ось OY в точке .
3. Функция непрерывна при
Следовательно, вертикальных асимптот нет.
4. При исследовании на четность, нечетность найдем y(-x).
Следовательно, функция не является четной, не является нечетной.
Функция не является периодической.
5. Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:
а) найдем производную функции
б) Производная обращается в нуль при
|
x |
-2 |
0 |
||||
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
||
|
y |
убывает |
Min -7 |
возрастает |
Max 1 |
убывает |
5. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
а) найдем производную второго порядка.
б) вторая производная обращается в нуль при х=-1
|
x |
-1 |
|||
|
+ |
0 |
- |
||
|
y |
-3 перегиб |
Строим график функции
Задание 5. Дана функция и точка M0(x0,у0). Найдите градиент функции в точке М0 и производную функции: в точке М0 по направлению вектора.
функция экстремум перегиб возрастание
.
Решение. Градиент функции двух переменных равен
.
Найдём частные производные:
.
Найдём значения частных производных в точке :
.
Производная функции по направлению вектора равна:
где направляющие косинусы вектора .
Находим направляющие косинусы вектора :
Окончательно получим:
Задание 6. Исследуйте функцию на экстремум: .
Решение. Находим стационарные точки. Для этого находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю:
.
Находим частные производные второго порядка:
в точке О (0;0) нет экстремума.
Размещено на Allbest.ur
Подобные документы
Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.
контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Понятие пределов функции, нахождение ее точки экстремума, промежутков возрастания и убывания. Определенный, неопределенный и несобственный интервал. Исследование степенного ряда на сходимость на концах интервала. Решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [116,5 K], добавлен 01.05.2012
