Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.05.2010 |
| Размер файла | 84,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задание 1. Найти производные функций
a)
Пусть , , тогда
b)
Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .
Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
По свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:
Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции
Областью определения функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.
Функция нечетная, т. к.
Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
Функция возрастает в промежутке (-?; - 1) U (1; ?)
и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы: максимум - в точке х=-1, минимум - в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-?; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;?) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты графика функции :
1) вертикальная асимптота - прямая х=0
Т.к. и
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. и
3) наклонных асимптот нет,
т. к.
и
Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 - x2 + 2x - y2)
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) - стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0 Следовательно, функция Z = ln (3 - x2 + 2x - y2) имеет экстремум в точке М (1; 0) - максимум, т. к. A< 0.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем методом замены переменной. Положим ,
тогда ,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1972. - 872 с.:ил. - С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким образом, ,
где С=С1+С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5. Вычислить определенный интеграл
Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом,
Библиографический список
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. - М.: Академия, 2003. - 616 с.:ил.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1972. - 872 с.:ил.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. - СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. - 416 с.:ил.
Подобные документы
Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015
