Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

Выполнил: Калинин Максим

Проверил: Агульник Ольга Николаевна

Новосибирск, 2015 г

1. Найти пределы

а) б) в) .

Решение.

Воспользуемся формулами:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23).

- воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на .

.

Поскольку ~, то ~, тогда

.

в)

Ответ: а) , б) 0, в).

2. Найти производные данных функций

б)

г) .

Решение.

Свойства производной:

(24)

(25)

(26)

(27)

.

.

.

- функция задана неявно.

Продифференцируем обе части равенства:

;

;

;

Выразим производную :

;

;

.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её график

Решение. Схема исследования функции

1. Найдем область определения функции: . Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.

функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Пересечение с : точка

Пересечение : .

4. Найдем производную функции и ее критические точки.

, - критические точки.

5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:

, ,

.

, .

Табл.1.

Значит при (-2;2), при и

- точка минимума ; - точка максимума .

6. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.

.

, , .

, , .

, , ,

Табл.2.

В интервалах, где < 0 , то есть при и график функции выпуклый, а где >0 - и - вогнутый.

7. Найдем асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот , где , тогда наклонных асимптот не существует.

Горизонтальная асимптота (ось )

График данной функции имеет вид:

Рис.3.

4. Дана функция . Найти все её частные производные второго порядка

Решение.

Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) - (27). Найдем вначале производные первого порядка.

- считаем постоянной, а - переменной.

- считаем постоянной, а - переменной.

Найдем производные второго порядка:

- дифференцируем по , считая постоянной.

- дифференцируем по , считая постоянной.

- дифференцируем по , считая постоянной.

Ответ: ,

, .

5. Найти неопределенные интегралы

а)б)

в)г).

Решение.

Воспользуемся свойствами интеграла:

 (28)

. (29)

(30) - внесением под знак дифференциала необходимой переменной.

(31)

Воспользуемся формулой понижения степени , тогда

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами

, если (32)

(33).

экстремум дробь монотонность подынтегральный

Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:

получим систему: . Тогда

.

- выполним замену переменной , тогда .

.

Выполним обратную замену, тогда .

Ответ: а) , б) , в) , г) .

Список использованной литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.

2. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.

3. Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель» , 2004 - 495с.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985. - 560с.

6. Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.

Размещено на Allbest.ru