Применение производной к решению задач
Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.06.2014 |
| Размер файла | 612,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
- Курсовая работа
- Применение производной к решению задач
- Оглавление
- Введение
- Глава 1. Понятия необходимые для решения задач с помощью производной
- 1.1Определение производной
- 1.2 Предел функции
- 1.3 Понятие интеграла
- 1.4 Понятие дифференциала функции
- Глава 2. Применение производной к решению задач
- 2.1 Исследование функции
- 2.2 Применение производной при решении задач в разных науках
- 2.2.1 Задачи по геометрии
- 2.2.1.1 По аналитической геометрии
- 2.2.1.2 По дифференциальной геометрии
- 2.2.2 Задачи по физике
- 2.3 Вычисление интегралов
- 2.4 Доказательство неравенств
- 2.5 Вычисление пределов (Правило Лопиталя)
- Заключение
- Список литературы
- производная интеграл функция неравенство предел
- Введение
Рассматриваемая тема является одним из разделов курса алгебры и начала анализа. Она имеет широкое применение в таких науках как физика, геометрия и др.
Математический аппарат этой темы помогает при вычислении определенных и неопределенных интегралов и пределов функций, при доказательстве неравенств, помогает в исследовании функций в высшей математике. Кроме того, данная тема имеет свою историю, ей занимались и занимаются такие ученые как Г. Лейбниц, Ж. Лагранж, И. Ньютон, Г. Галилея, Р. Декарта. Подробнее остановимся на изложении исторического аспекта темы.
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французкого слова derive, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736-1813); он же ввел современные обозначения . Такое название отражает смысл понятия: функция происходит из , является производным от . И. Ньютон называл производную функцией флюксией, а саму функцию- флюентой. Г. Лейбнич говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как . Символ Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функции .
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что за долго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции . В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.
Эта тема интересна и мне.
Цель моей работы - расширить свой кругозор и научиться решать задачи по данной теме.
Чтобы достигнуть цели, мне пришлось решить следующие исследовательские задачи.
1. Подобрать и изучить материал по этой теме.
2. Из изученного материала выбрать главное.
3. Систематизировать основной материал в форме реферативно-поисковой работы.
4. Научиться решать задачи по теме.
5. Составить свои задачи по данной теме и решить их.
6. Подобрать и разработать наглядно-иллюстративный материал по данной теме.
Глава 1. Понятия необходимые для решения задач с помощью производной
1.1Определение производной
Пусть мы имеем функцию
y=f(x), (1)
определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.
Пусть аргумент x получил некоторое (положительное или отрицательное- безразлично) приращение Дx. Тогда функция y получит некоторое приращение Дy. Таким образом:
при значении аргумента x будем иметь y=f(x),
при значении аргумента x+ Дx будем иметь y+Дy=f(x+Дx).
Найдем приращение функции Дy:
Дy=f(x+Дx)- f(x) (2)
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
. (3)
Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению,
или
. (4)
Определение 1. Производной данной функции y=f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции Дy к приращению аргумента Дx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. [5, с. 65]
Заметим, что в общем случае для каждого значения x производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от x.
Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например
, .
Конкретное значение производной при обозначается или . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
Пример 1. Дана функция ; найти ее производную :
1) в произвольной точке x,
2) при .
Решение. 1) При значении аргумента, равном x, имеем . При значении аргумента равном x+ Дx, имеем y+Дy=.
Находим приращение функции :
.
Составляем отношение :
.
Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:
.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна
.
3) При получим:
.
Пример 2. ; найти .
Решение. Рассуждая так же как в предыдущем примере, получаем:
; ;
;
; .
Геометрический смысл производной.
Теперь дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке.
Рис. 1. Рис. 2.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т. д.
Если при неограниченном приближении точки , по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то эта прямая называется касательной к кривой в точке .
Определение 2. Прямая заданная уравнением
называется касательной к графику функции в точке . [6, c. 134]
Рассмотрим функцию и соответствующую этой функции кривую
В прямоугольной системе координат (рис. 2). При некотором значении функция имеет значение . Этим значениям и на кривой соответствует точка . Дадим аргументу приращение . Новому значению аргумента соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Составим отношение . Из рисунка 1 непосредственно усматриваем, что
. (5)
Если теперь будет стремиться к нулю, то точка перемещаться вдоль кривой, приближаясь к . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . Если при угол стремиться к некоторому пределу , то прямая, проходящая через и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент:
.
Следовательно,
, (6)
т.е. значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .
1.2 Предел функции
Определение 3. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности.
Функция y=f(x) стремится к пределу b(yb) при x, стремящемся к a, если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .
Рис. 3.
Если b есть предел функции y=f(x) при , то пишут:
или при .
Если при , то на графике функции y=f(x) это иллюстрируется следующим образом (рис. 3); так как из неравенства следует неравенство , то значит, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на , точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и . [5, c. 31]
Замечание. Предел функции f(x) при можно определить следующим образом.
Пусть переменная величина x принимает значение так (упорядочена так), что если
,
то есть последующее, а - предыдущее значение; если же
и ,
то есть последующее, а - предыдущее.
Другими словами, из двух точек числовой прямой последующей является та точка, которая ближе к точке a; при равных расстояниях последующая- та, которая правее от точки a.
Пусть упорядоченная таким образом переменная величина x стремится к пределу или .
Рассмотрим, далее, переменную величину y=f(x). При этом будем считать, что из двух значений функции последующем является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента.
Если определенная так переменная величина y при стремится к некоторому пределу b, то будем писать
и говорить, что функция y=f(x) стремится к пределу b при .
Рис. 4.
Замечание. Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют пределом функции в точке a справа (рис.4).
Если x принимает только значения большие, чем a, то пишут и называют пределом функции в точке a справа (рис.4).
Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны, т.е. , то и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке a. И обратно, если существует предел функции b в точке a, то существуют пределы функции в точке a справа и слева и они равны.
Пример 3. Докажем, что . Действительно, пусть задано произвольное ; для того чтобы выполнялось неравенство
,
Необходимо выполнение следующих неравенств:
, , .
Таким образом, при любом для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , значение функции будет отличаться от 7 меньше чем на . А это и значит, что 7 есть предел функции при .
Замечание. Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки a, отличные от a;это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.
Пример 4. Докажем, что . Здесь функция не определена при .
Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что выполняться неравенство
, (7)
если . Но при неравенство (7) эквивалентно неравенству
или
. (8)
Таким образом, при произвольном неравенство (7) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (8) (здесь ). А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4.
Определение 4. Функция стремится к пределу b при , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство . [5, c. 34]
Зная смысл символов , , очевидным является и смысл выражений:
« стремится к b при » и
« стремится к b при »,
Которые символически записываются так:
, .
1.3 Понятие интеграла
Пусть - функция, непрерывная на данном отрезке , где , и - некоторая первообразная при .
Разобьем отрезок на частей
. (9)
Обозначим длину отрезка , через .
Тогда величина
(10)
называется мелкостью разбиения.
Зафиксируем произвольным образом точки ,
и составим сумму
(11)
Суммы вида (11) называются интегральными суммами Римана.
Определение 5. Функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , если существует такое число , что любой последовательности разбиений отрезка , у которой и для любого выбора точки i, выполняется равенство
, (12)
где
. [8, c. 54]
Если выполнены все условия определения 3, то число назовем (Римановым) определенным интегралом функции на отрезке и будем обозначать
. (13)
Таким образом,
,
где ,
или подробно
(14)
Определение 6. Число называется определенным интегралом функции на отрезке , если для : для любого разбиения , мелкость которого меньше , каковы бы ни были точки , то будет выполнено неравенство
где , . [8, c. 56]
Если - первообразная, то под определенным интегралом понимается соответствующее приращение первообразной на , то есть
(15)
(формула Ньютона-Лейбница).
Запишем формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде
,
где и назовем соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Теорема 1. (Основная теорема интегрального исчисления). Пусть непрерывна на и является какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке . Тогда
. (16)
Доказательство:
Положим , но тогда , - две первообразные одной и той же функции, то есть
, ,
то есть
.
При следует, что .
Таким образом
.
Полагая здесь , получим (16). [5, c. 384]
Теорема доказана.
1.4 Понятие дифференциала функции
Пусть функция f дифференцируема в точке x, т.е. пусть ее приращение может быть записано в виде
,
где . Это приращение состоит из двух слагаемых: , пропорционального , и , зависимость которого от сложнее, так как тоже зависит от . Слагаемое называют дифференциалом функции f и обозначают df,
. (19)
Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента.
Дифференциал- от латинского слова differentio- разность.
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке x, причем производная от f не обращается в нуль в этой точке, то дифференциал функции f и ее приращение являются при эквивалентными бесконечно малыми, т.е.
.
Доказательство. Мы имеем и . Так как , то
.
Поскольку дифференциал эквивалентен при приращению функции, причем он в отличие от приращения пропорционален (а не только «почти пропорционален») приращению аргумента, то дифференциал функции является главной линейной частью приращения.
Заметим, что , то дифференциал функции f в точке равен нулю. В этом случае и поэтому приращение является бесконечно малой более высокого порядка, чем :
.
Заметим, что дифференциал может быть и больше, чем приращение функции (это будет иметь место, если ). [2, c. 14]
Пример 5. Найдем приращение и дифференциал функции при x=1, .
Решение. Так как , то .
При , имеем .
Приращение же функции при x=1, равно .
Найдем дифференциал для функции f, где f(x)=x. Так как , то . Поскольку для этой функции f(x)=x, то пишут . Таким образом , считают дифференциал независимой переменной равным приращению этой переменной. В соответствии с этим формулу (17) обычно записывают в следующем виде: . В приложениях функции обычно записывают в виде , обозначая буквой x аргумент, а буквой y- значение функции. При такой записи производную от функции f обозначают или . Соответственно дифференциал функции y=f(x) обозначают , причем употребляют как запись , так и запись .
Из формулы следует, что
.
Запись (или ) используется для обозначения производной функции f .
Глава 2. Применение производной к решению задач
2.1 Исследование функции
Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.
Возрастание и убывание функций.
Как известно функция, заданная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если для любых , таких, что , имеем :
.
Если
,
то функция называется неубывающей на множестве .
Аналогично определяются понятия убывающей и невозрастающей функций.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная положительна на интервале , то возрастает на .
Доказательство. Рассмотрим две любые точки , такие, что . Так как для функции на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа, то
, (18)
где точка лежит между и .
Поскольку оба множителя правой части равенства (18) положительны ( по условию, в силу выбора точек), то
, (19)
а значит, и
.
Итак, и, следовательно, функция возрастает на , что и требовалось доказать. [2, c. 99]
Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна на интервале , то убывает на .
Доказательство этой теоремы аналогично.
Пример 6. Докажем, что функция убывает на всей числовой прямой.
Решение. Имеем
.
Так как при любом выполняется неравенство и, кроме того, равенство выполняется только в одной точке , то на всей числовой прямой , причем в одной точке. Значит, функция убывает на всей числовой прямой. Экстремумы функции.
Определение 7. Пусть функция , заданная на множестве , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Если существует такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ,
то называется точкой максимума (минимума) функции .
Точки максимума называют точками экстремума. [2, c. 85]
Определение 8. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими (иногда точки, где производная равна нулю, называют стационарными). [2, c. 86]
Теорема 5. пусть функция определена в точке и пусть существует , такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервалах , причем производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов.
Если на знаки производной различны, то - точка экстремума, а если совпадают, то не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», то точка - точка максимума, если же производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.
Доказательство. Пусть производная положительна на интервале и отрицательна на . Докажем, что - точка максимума функции.
По условию функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на этом интервале имеем . Значит по теореме 1 функция возрастает на отрезке . Поэтому из неравенства , где , следует . Аналогично устанавливаем, что функция убывает на отрезке , а поэтому из неравенства , где , следует .
Таким образом, в - окрестности точки для точек , отличных от , выполняется неравенство
.
Это означает, что - точка максимума функции.
Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку ; пусть она отрицательна как слева, так и справа от . Тогда функция убывает как на отрезке , так и на отрезке . В таком случае не является точкой экстремума.
Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана. [2, c. 101] Таким образом, чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из критических точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на данную теорему сделать выводы.
Пример 7. Исследуем на экстремум функцию .
Решение. Имеем
.
Приравняв производную к нулю, находим . При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Имеем .
2.2 Применение производной при решении задач в разных науках
2.2.1 Задачи по геометрии
2.2.1.1 По аналитической геометрии
Пример 8. Найти угол между касательной к графику функции в точке и осью .
Решение. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке , т.е. значение производной этой функции при .
Производная функции равна . По формуле находим , откуда .
Пример 9. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Решение. Значение функции и ее производной в точке равны: . Используя формулу , найдем искомое уравнение касательной:
или .
Пример 10. Доказать, что касательная к параболе в точке с абсциссой пересекает ось в точке .
Решение. Пусть , тогда и .По формулу находим уравнение касательной:
.
Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.
Из равенства находим .
Пример 11. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках
Решение. Имеем ; следовательно,
2.2.1.2 По дифференциальной геометрии
Пример 12. Найти геодезическую кривизну винтовой линии , лежащей на прямом геликоиде
, , .
Решение. Запишем формулу для вычисления :
.
, ,
.
Положим , тогда , . Применяя формулу для вычисления , получим
.
Пример 13. Для кривой , , составить уравнение касательной, главной нормали, бинормали в точке .
Решение. Проверим, лежит ли точка на кривой:
.
Точка лежит на кривой и соответствует значению параметра .
Напишем уравнение кривой в векторном виде: . Тогда , .
В точке : , .
Уравнение касательной в точке имеет вид:
.
Найдем уравнение бинормали, ее направляющий вектор коллинеарен вектору .
,
уравнение бинормали. Найдем направляющий вектор главной нормали:
.
Главная нормаль задается уравнением .
Пример 14. Найти длину дуги одного витка кривой:
, , (где ) между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью .
Решение. Данная кривая пересекает плоскость , если . Отсюда следует, что ; и - значения параметра между двумя соседними точками пересечения с плоскостью .
Тогда
,
, , ,
.
В промежутке , поэтому . Следовательно , длина дуги
.
2.2.2 Задачи по физике
Пусть точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на прямой начало отсчета, положительное направление и единицу измерения. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой. Зависимость называется законом движения точки. Средней скоростью движения называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Если, скажем, точка за промежуток времени от t1 до t2 прошла путь от А до В и вернулась обратно в А, то перемещение равно 0 и средняя скорость vср равна 0. В общем случае имеем
vср =,
или
vср =.
Если положить , то средняя скорость за промежуток времени окажется равной:
vср =.
Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скоростью движения за промежуток , когда . Значит,
vмгн =.
Так как , то мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная координаты (пути) x по времени t. в этом состоит механический смысл производной.
Дифференциал координаты равен , т.е. vмгн . Это путь, который прошло бы тело за промежуток времени , если бы его скорость была постоянной и равнялась мгновенной скорости в момент времени t. Пример 15. Найти мгновенную скорость при свободном падении.
Решение. Закон свободного падения имеет вид . Согласно сказанному выше vмгн = . Значит нужно найти производную функции .
Дадим аргументу приращение . Тогда
.
Главная линейная часть приращения имеет вид , а потому . Итак, vмгн = . Пример 16. Пусть - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени . Решение. Если - промежуток времени, а - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время , то - средняя сила тока за промежуток времени :
Iср=.
За силу тока I в момент времени принимается Iср. Таким образом,
,
т.е. сила тока есть производная от количества электричества, как функции от времени.
Пример 17. Пусть дан неоднородный стержень длины , - масса части стержня длины (один из концов стержня принимается за начало отсчета). Найдем линейную плотность стержня в данной точке .
Решение. Если - масса части стержня между точками, расположенными соответственно на расстоянии и от начала отсчета, то - средняя линейная плотность стержня на рассматриваемом участке, а -искомая линейная плотность . Таким образом,
,
т.е. линейная плотность стержня в данной точке есть производная массы стержня как функции от его длины.
Рассмотренные примеры показывают, как используются производная для изучения скорости протекания неравномерных процессов. При этом само понятие скорости понимается в широком смысле. Например, плотность стержня есть скорость изменения массы части стержня как функции его длины.
В общем случае можно сказать так: - средняя скорость изменения функции на отрезке , а - скорость изменения в данной точке.
2.3 Вычисление интегралов
Интегрирование по частям.
Пусть и - дифференцируемые функции от . Тогда .
Интегрируя обе части тождества в пределах от до , получим:
. (20)
Так как , то ; поэтому равенство (20) может быть записано в виде
,
или окончательно
.
Пример 17. Вычислить интеграл .
Решение.
2.4 Доказательство неравенств
При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций.
Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство .
Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную .
Так как при выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае, то функция возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но .
Значит, , т.е. .
Таким образом, , что и требовалось доказать.
Пример 19. Докажем, что при выполняется неравенство
.
Решение. Составим вспомогательную функцию , где
,
и найдем ее производную
.
Из предыдущего примера следует, что , значит, функция возрастает на луче . Но тогда из неравенства вытекает неравенство , а так как , то получаем , т.е.
и, следовательно,
,
Что и требовалось доказать.
Пример 20. Докажем, что если , то .
Решение. Исследуем на монотонность функцию . Имеем
.
если, то, как известно, и тем более . Значит, в интервале выполняется неравенство , а потому функция возрастает на этом интервале. Тогда из следует , т.е. , что и требовалось доказать.
2.5 Вычисление пределов (Правило Лопиталя)
Рассмотрим вычисление пределов дроби , когда x a или x, причем f(x) и g(x) либо одновременно стремятся к нулю, либо одновременно стремятся к бесконечности.
Теорема 6. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), g'(x) отлично от нуля в U, и пусть . Тогда если существует , то существует и , причем эти пределы равны:
= .
в случае, когда и , геометрический смысл этой теоремы состоит в следующем. Графики функций и пересекают ось абсцисс в точке М(a;0), и поэтому уравнения их касательных к этим графикам в точке М имеют вид и Но предел отношения функций и при равен пределу отношения ординат касательных при , а этот предел и равен .
Доказательство. Доопределим функции f и g, положив их значение в точке a равным нулю, f(a)=g(a)=0, то
=,
где точка c лежит между a и x. При имеем и поэтому
=
что и требовалось доказать. [2, c. 135]
Замечание. Условие теоремы 1 выполнены, если функции f и g дифференцируемы в проколотой окрестности точки a, непрерывны в этой точке, причем f(a)=g(a)=0.
Теорема 7. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Если существует , то существует и :
= .
Доказательство. Положим х=. Тогда
,,
, .
Имеем
.
Для вычисления предела воспользуемся теоремой 1. Получим
=.
Теорема доказана. [2, c. 135]
В этих теоремах мы рассмотрели случаи раскрытия неопределенности вида , когда и когда x+. Аналогично обстоит дело и в случае, когда x- или x. Заметим, что проведенные доказательства сохраняют свою силу и в том случае, когда равен или , где a- число или один из символов или .
Теперь мы рассмотрим вопрос о раскрытие неопределенности вида . Начнем со случая, когда x+ (случаи, когда x- или x, рассматриваются аналогично).
Теорема 8. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть .Тогда если существует , то существует и , причем
= .
Доказательство. Возьмем произвольное положительное число е>0. по условию существует ; положим =А. Тогда по определению предела найдется такое число N, что для выполняется неравенство
. (21)
Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что . Применив к отрезку теорему Коши, получим
где .
Так как , то, воспользовавшись неравенством (21), получим
,
откуда
. (22)
Перепишем это неравенство в виде
, (22')
где для краткости через обозначена дробь .
Так как , то и поэтому .
Разделим обе части неравенства (22') на . Так как , то при достаточно больших значениях x имеем и , а поэтому
. (23)
Итак, для любого е>0 существует число М, такое, что для выполняется неравенство (23), а это означает, что
=A. [2, c.137]
Замечание. Теорема сохраняет свою силу и в случае, когда .
В этом случае , а тогда и . Отсюда следует, что , т. е.
.
Замечание. Теорема справедлива и в случае , где a- число. Для доказательства достаточно положить . Если , то и теорема сводится к уже доказанной.
Теоремы 6, 7, 8 называются правилом Лопиталя.
Рассмотрим примеры применения правила Лопиталя для вычисления пределов функций.
Пример 21. Вычислим
.
Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать:
Разумеется, используя и в дальнейшем подобную краткую запись, мы предполагаем, что все условия соответствующей данному случаю теоремы выполнены и, в частности, что предел отношения производных существует.
Пример 22. Вычислим
,
а при знаменатель , в нуль. Поэтому поступим иначе. Сначала с помощью правила Лопиталя найдем предел
.
Но тогда, в силу того, что функция ограничена и потому , получаем
.
Иногда при вычисление пределов с помощью правила Лопиталя получается, что снова представляет собой неопределенность вида или . В таком случае, если выполняются условия соответствующих теорем, можно еще раз применить правило Лопиталя, заменив отношение функций и отношением их производных, т. е. выражением .
Пример 23. Вычислим
.
Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Снова получилась неопределенность вида . Условие теоремы 7 выполняются. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопиталя:
.
Итак,
=0.
Во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.
Пример 24. Вычислим
.
Решение. Так как ~ при , то ~ и, следовательно,
.
Имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя, получим
.
Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило Лопиталя. Но, прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что . Получим
Заключение
Изучив материал в количестве 10 источников были решены и поставлены задачи исследования и достигнута цель работы. В представленной работе материал структурирован. Общий объем работы 40 страниц. Работа содержит две главы, в первой главе «Понятия необходимые для решения математических задач с помощью производной» даны понятия производной, предела функции, интеграла, дифференциала функции. Во второй главе «Применение производной к решению задач» описано исследование функции, применение производной при решении задач в разных науках, таких как геометрия, физика, вычисление интегралов, доказательство неравенств, вычисление пределов (правило Лапиталя).
Было решено 24 примера, из них самостоятельно составлено 5 примеров.
Работа по данной теме способствовала формированию поисковых и исследовательских навыков, развитию логического и конструктивного мышления.
Работа по данной теме интересна, и поэтому будет продолжено ее исследование в методическом аспекте.
Список литературы
1.Алимов Ш.А. алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 1992.- 254 с.
2.Виленкин Н.Я. Математический анализ: Дифференц. исчисление. Учебн. пособие для студентов-заочников I курс физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович, Е.С. Куницкая.- 2-е изд., перераб.- М.: Просвещение, 1984.- 175 с.
3.Гусев В.А. Математика: Справ. Материал: Кн. для учащихся. / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.- М.: Просвещение, 1988.-416 с.
4.Колмогоров А.Н. алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. - 2-е изд.- М.: Просвещение, 1991.-320 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. В 2-х т. Т. 1. / Н.С. Пискунов.- М.: Интеграл-Пресс, 2002.-416 с.
6.Рубинов А.М. элементы математического анализа: Учеб. пособие для учителей / А.М. Рубинов, К.Ш. Шапиев.- М.: Просвещение, 1972.-278 сШефель В.Г. Высшая математика. Учебн. пособие для студентов-заочников / В.Г. Шефель, М.В. Грунина, В.Н. Бабин,.- Новосибирск, 2001.-253 с.
7.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц; пред и прим А.А. Флоринского.- М.: ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003.-680 с.
8.Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч. 2.-2-е изд., адаптированное под стандарты II поколения.- Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2003.-267 с.
9.Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч. 1.-2-е изд., адаптированное под стандарты II поколения.- Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2002.-271 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.
курсовая работа [166,4 K], добавлен 11.01.2004Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011
