Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах

4. Переводим полученные координаты в исходную систему координат: . Это и будут вершины треугольника. ?

Третья группа. Всякая задача на построение дает некоторую фигуру, причем некоторые элементы этой фигуры неизвестны. Инвертируем эту фигуру. Тогда данные искомые отобразятся известным образом, и часто может случиться, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре гораздо проще, чем в основной фигуре. Тогда надо построить отображенную фигуру. Потом инвертировать ее обратно с тем же центром и степенью. В этом и состоит главная идея метода инверсии. Разумный выбор начала инверсии играет существенную роль: вычисления можно сильно сократить. Степень инверсии в этом случае обычно бывает произвольной.

Классическим примером задач этого типа можно назвать задачу Аполлония.

Задача Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

_ Пусть даны три окружности: , и .

Допустим, что мы уже построили нужную окружность . Она, в общем случае, может касаться данных окружностей восемью способами: каждую внутренним или внешним образом.

Таблица 1. Характер касания с искомой окружностью w.

Если у нас есть две касающиеся окружности, то выполним инверсию с центром в точке касания, эти две окружности перейдут в параллельные прямые, и задача сведется к более простой: построить окружность или прямую, составляющую с получающимися параллельными прямыми и еще одной прямой или окружностью угол в 180.

Если же нет касающихся окружностей, то применим так называемый метод расширения. Мы можем изменять наши окружности так, чтобы центры их всегда оставались постоянными, а радиусы менялись, вплоть до нулевого, и касание искомой окружности с данными сохранялось (возможно, выродившись в принадлежание точки окружности). Причем сделаем так, чтобы две из окружностей касались.

Если у нас все окружности одна в другой, как матрешки, то решений, очевидно, нет. Рассмотрим противоположный случай, когда есть хотя бы две окружности не одна в другой. Для определенности, пусть это первая и вторая. Они могут быть только либо пересекающимися, либо вне друг друга.

Сделаем их касающимися следующим образом.

Таблица 2. Новые радиусы для окружностей одна вне другой, чтобы касались.

Таблица 3. Новые радиусы для пересекающихся окружностей, чтобы касались.

Объединим все это в новую таблицу, не учитывая вид касания.

Таблица 4. Итоги.

Итак, первая и вторая окружности стали касаться. Посмотрим, может ли одна из них выродиться в точку.

В первом случае х отрицателен, если окружности пересекаются, но вырождение невозможно, так как это означало бы касание изначальных окружностей внутренним образом. А третья окружность может выродиться.

Во втором случае r₂ точно не ноль, так как окружности не касаются внешним образом, и радиус первой явно положительное число. Но третья может выродиться.

В третьем случае все аналогично. Третья же окружность может выродиться.

Можно сделать вывод, что касающиеся окружности не вырождаются.

Обратим внимание, что искомая окружность тоже может выродиться в общую точку всех трех окружностей - точку касания первых двух. Но третья не будет касаться их в этой точке и не выродится, иначе окружности бы изначально были касающимися. То есть, в случае получающихся трех прямых, нужно учитывать и общую точку.

Вообще, задача свелась к следующей. Найти окружность, касающуюся трех данных, если две из них касаются и не вырожденные, а третья может быть вырожденной.

Выполним инверсию в точке касания. Касающиеся окружности перейдут в две параллельные прямые, а оставшаяся - в окружность (точку) или прямую. Нужно найти прямую или окружность, параллельную получающимся прямым или касающуюся получающейся окружности (проходящей через точку). Причем искомая окружность или прямая не должна проходить через точку касания, иначе она при инверсии перейдет в прямую, а не окружность.

Для начала ищем окружность, касающуюся двух параллельных прямых и еще одной прямой или окружности. Искомая окружность не должна проходить через А. Это вспомогательная задача 1.

Затем ищем прямую, параллельную двум параллельным прямым и еще одной прямой или касающуюся заданной окружности. Искомая прямая не должна проходить через А. Но не забываем и об общей точке трех прямых - бесконечно удаленной, которая при инверсии перейдет в центр инверсии и потом, возможно, станет центром искомой окружности. Это вспомогательная задача 2.

Вспомогательная задача 1. Даны две параллельные прямые и окружность, возможно вырожденная, либо прямая. Найти касающуюся всех трех фигур окружность.

_ Пусть заданы две параллельные прямые и . Центр искомой окружности, очевидно, будет находиться на прямой .

Если задана еще одна прямая , то центр находится также на прямой . Получаем систему из уравнений двух прямых, из которых легко находим центр искомой окружности, если это возможно (то есть они все не параллельны).

. Далее, если возможно, находим из второго условия и проверяем выполнение первого.

Если найден центр, то радиус окружности находится как расстояние от прямой до прямой . Для этого заметим, что точка с координатой лежит на прямой . Тогда расстояние от этой точки до прямой равно = = .

Помним, что если мы изменяли радиусы, то решением является и бесконечно удаленная точка, то есть окружность с центром в бесконечно удаленной точке и нулевым радиусом.

Если задана окружность или точка , которую для простоты будем считать окружностью нулевого радиуса, то перенесем в центр этой окружности начало координат с помощью параллельного переноса . В силу касания получаем либо систему , либо систему , где R - радиус искомой окружности - расстояние между параллельными прямыми и , - образ прямой при параллельном переносе. Обе системы легко решаются. ?

Вспомогательная задача 2. Даны две параллельные прямые и окружность, возможно вырожденная, либо прямая. Найти касающуюся всех трех фигур прямую.

_ Пусть заданы две параллельные прямые и . Искомая прямая будет иметь уравнение .

Если дана еще окружность или точка, которую для простоты будем считать окружностью нулевого радиуса, то перенесем в центр этой окружности начало координат с помощью параллельного переноса . Расстояние от центра окружности до искомой прямой должно равняться радиусу окружности, то есть в переобозначенных координатах. Отсюда два значения q, но нужно следить, чтобы прямые не совпали.

Если дана прямая, то если она не параллельна двум другим, то решений нет. Иначе решений бесконечно много, только нужно следить, чтобы прямые не совпали. ?

Алгоритм решения задачи Аполлония может быть таким:

1. Если все окружности расположены одна в другой, как матрешки (при одновременном выполнении условий Условия взаимного расположения окружностей даны в источнике [3] на с.88. , и ), то решений нет, иначе:

2. Определяем две окружности не одна в другой (для них не выполняется неравенство ); если они касающиеся (при или ), то принимаем и выполняем следующий шаг один раз, иначе делаем их касающимися, повторяя для каждого х следующий шаг три раза.

3. Изменяем радиусы, делая касание; определяем точку касания (ее координата будет равна для касающихся окружностей S_i и S_j); выполняем инверсию с центром в этой точке; решаем задачи 1 и 2, снова делаем инверсию; выводим и запоминаем результат, если такого еще нет.

4. Проверяем результаты на касание. ?

2.2. Применение инверсии при доказательстве. Здесь снова используется тот факт, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре часто гораздо проще, чем в основной фигуре. Замечательно, если в задаче фигурирует окружность: метод дает возможность заменять фигуры, содержащие окружности, более простыми фигурами.

Теорема Птолемея. Для всякого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, верно .

? Пусть точки A, B, C, D имеют координаты a, b, c, d соответственно.

Примем А за центр инверсии, и пусть степень инверсии равна 1. При этом окружность переходит в прямую. На этой прямой лежат образы точек B, C, D - точки B', C', D', причем порядок точек сохраняется, поскольку по след 5 сохраняется двойное отношение точек В, В, С, D, а это есть простое отношение трех точек В, С, D. По свойству 3 можно записать: , и .

Из-за сохранения порядка точек верно , то есть . Приведем к общему знаменателю: . Это и означает, что . ¦

Обратная теорема. Если для четырех неколлинеарных точек A, B, C, D верно , то они лежат на одной окружности.

? Равенство можно записать как . Ни одна из точек B, C, D не совпадает с А, так как иначе будет коллинеарность. Тогда это равносильно равенству . Получим при инверсии с центром А и степенью 1. Это значит, что B', C', D' должны лежать на одной прямой и центр инверсии - точка А. При этой инверсии прямая могла быть переведена или из прямой, или из окружности. Никакая другая кривая не могла быть прообразом этой прямой, так как, по инволютивности, эта прямая есть также прообраз этой кривой при той же самой инверсии, то есть эта кривая - окружность или прямая, третьего не дано.

Если это прямая, то она та же самая, и центр инверсии на ней. То есть все точки лежат на одной прямой. Противоречие условию теоремы. Значит, это была не прямая, а окружность. На ней лежат точки B, C, D. Но раз прямая переводится в окружность, то центр инверсии, то есть точка А, расположен на этой окружности. ¦

Из этой теоремы следует теорема Пифагора, если четырехугольник является прямоугольником.

Заключение

Необходимо сразу оговориться, что работа не может претендовать на абсолютную полноту изложения данной темы. Однако цели, поставленные в начале работы, достигнуты. Выявлены и систематизированы основные определения и факты, рассмотрены основные виды задач, решаемых с помощью преобразования инверсии.

Интересно было бы рассмотреть симметрию относительно вообще любой плоской кривой, но это уже тема для отдельного исследования.

Дипломная работа может быть полезна студентам и учителям, ведущим факультативные занятия по данной теме. Работа легко может быть преобразована в соответствующую курсовую или дипломную работу по информатике, поскольку необходимые алгоритмы решения задач уже даны, остается только реализовать их на нужном языке программирования.

Библиографический список

1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия [Электронный ресурс]: пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. В 2 ч. Ч. 1. Планиметрия / акад. Ж. Адамар; пер. со 2 издания под ред. проф. Д. И. Перепелкина. - Изд. 3-е. - М.: Учпедгиз, 1948. - 608 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.

2. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение [Электронный ресурс] / И. И. Александров; под ред. Н. М. Наумович. - Изд. 18-е. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.

3. Понарин, Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов / Я. П. Понарин. - М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.: ил. - ISBN 5-94057-152-2.

4. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. [Электронный ресурс] / В. В. Прасолов. - На основе 4-го изд. (М.: МЦНМО, 2001) - М., 2003. - 551 с.: ил. Режим доступа: http://www.mccme.ru.

5. Яглом, И. М. Геометрические преобразования [Электронный ресурс]. В 2 ч. Ч. 2. Линейные и круговые преобразования / И. М. Яглом. - М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1956. - 612 с. - (Серия «Библиотека математического кружка»; вып. 8). Режим доступа: http://www.mccme.ru.