Метод геометрических преобразований при решении геометрических задач на построение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Задачи на построение

2. Методика решения задач на построение

3. Применение метода геометрических преобразований при решении задач на построение

3.1 Метод параллельного переноса

3.2 Метод симметрии

3.3 Метод поворота (вращения)

3.4 Метод подобия

3.5 Метод инверсии

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными.

1. Задачи на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру. Если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение - значит свести её к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом геометрии. Перечень допустимых основных построений, а, следовательно, и ход решения задачи, существенно зависит от того. Какие именно инструменты употребляются для построений. [3, стр.21]

Может оказаться, что какая-либо задача на построение имеет несколько различных решений. Т.е. существует несколько различных фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи. Так, например, к двум данным внешне расположенным окружностям можно провести, как известно, четыре различные общие касательные.

Решить задачу на построение - значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений. Фигуры, удовлетворяющие условиям задачи, могут различаться как формой или размерами. Так и положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того. Предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое расположение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. (пример стр 24)

Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе). При этом даже равные фигуры. Но различно расположенные относительно данных фигур, рассматриваются как различные решения данной задачи. [3, стр.25]

геометрический преобразование построение

2. Методика решения задач на построение

При решении каждой сколь-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи. Чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому ещё в IV в. до н.э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивается на 4 этапа: анализ, построение. Доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построение чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертёж можно выполнять «от руки». Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена». [3, стр.30]

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры. А с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи.

Если вспомогательный чертёж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф₁. Затем подмечают, что построение фигуры Ф₁ сводится к построению фигуры Ф₂ и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф_n, построение которой уже известно. [3, стр.31]

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удаётся непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём. [3, стр.32]

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами. Сходными с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изобразить искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырёхугольник - как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберём при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи. [3, стр.33]

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. [3, стр.34]

Доказательство обычно проводится в предложении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2) можно ли и как построить искомую фигуру. Если изображённый способ нельзя применить;

3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Рассмотрение всех тих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия решимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например. Может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом? [3, стр.35]

Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие. А не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения сколь-нибудь сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1) Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой. То надо заметить. Что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно. Т.е. когда важный шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

2) Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек. Прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек две, если радиус окружности больше расстояния центра от прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

3) Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установит, при каких условиях расположения данных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенства или Равенств).

4) Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения. Если изменить как-либо способ применения? [3, стр.36] Иногда удаётся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование может считаться законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить. Нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур. Которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной. Не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьёзно помогает при решении конструктивных задач.

3. Применение метод геометрических преобразований при решении задач на построение

Искусство решать задачи на построение слагается главным образом из умения читать чертежи, из находчивости в проведении вспомогательной линии и, наконец, равным образом, из знания и умения применять методы. С углублением в дело должна развиваться находчивость уже высшего порядка - он состоит в уменье свести одну задачу на другую и, главным образом, в умении применить к дулу идеи метода. [2, стр.5]

К основным методам решения задач на построение относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Алгебраический метод

3. Метод геометрических преобразований

§ Метод параллельного переноса

§ Метод осевой симметрии

§ Метод поворота

§ Метод центральной симметрии

§ Метод подобия

§ Метод инверсии

В данной курсовой работе будет рассмотрен именно последний из вышеуказанного списка метод - метод геометрических преобразований, который является одним из классических методов решения планиметрических задач. Этот метод отличается от других методов необычайной наглядностью, геометричностью, эффективностью, а также краткостью и своеобразием оформления записей.

Процесс овладения умением решать задачи методом преобразований требует не только знания самих преобразований, но и активного использования общей геометрической и графической культуры, что в свою очередь, оказывает положительное влияние на развитие геометрической интуиции, необходимой при решении любых задач. [8, стр.3]

Рассмотрим применение этого метода по каждому отдельному геометрическому преобразованию.

3.1 Метод параллельного переноса

При решении геометрической задачи на построение часто бывает полезной перенести параллельно отдельные части фигуры и тем самым придать ей более удобный для решения вид. [1, стр. 27]

В этом случае применяется параллельный перенос.

Параллельным переносом на вектор называется преобразование плоскости, которое каждую точку A переводит в такую точку A?, что .[4, стр. 5]

Перечислим основные свойства параллельного переноса:

§ параллельный перенос является движением I рода;

§ при у переноса нет инвариантных точек;

§ при перенос является тождественным преобразование (т.е. все точки плоскости совпадают со своими образами) ;

§ прямые, параллельные вектору переноса, инвариантны;

§ любая прямая, не параллельная вектору , переходит в параллельную прямую; [8, стр. 8]

§ любой луч при переходит в сонаправленный луч (т.е. геометрический вектор преобразуется в эквивалентный геометрический вектор) - это признак параллельного переноса;

§ параллельный перенос можно представить в виде композиции двух осевых симметрий с параллельными осями;

§ множество всех параллельных переносов плоскости образует группу, являющуюся подгруппой метрической группы. [8, стр. 9]

Для прямолинейных фигур построение их образов в данном переносе осуществляется по нескольким точкам. Для построения образа данной окружности строят образ её центра и, принимая его за центр, проводят окружность тем же радиусом. [3, стр. 93]

Применение параллельного переноса для геометрических построений называют методом параллельного переноса. Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор. Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, [3, стр. 94] когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных. [2, стр. 83]

Если, например, даны два отрезка и угол, между ними заключённый, и если один отрезок будет перенесён параллельно самому себе так, чтобы один из его концов совместился с одним из концов другого отрезка, то получится треугольник, из элементов которого известны две стороны и угол, между ними заключённый. Этот треугольник легко может быть построен, что может оказаться полезным при решении задачи (см. Пример 1). [1, стр. 27]

Особенно часто этим методом параллельного переноса пользуются для построения многоугольников. Иногда также данный метод оказывается полезным при решении задач на «кратчайший путь» (см. Пример 3). [3, стр. 94]

Пример 1. Построить трапецию по заданным её сторонам.

Подробнее: требуется построить трапецию так, чтобы её основания были соответственно равны данным отрезкам a и b (a>b), а боковые стороны были соответственно равны двум данным отрезкам c и d (cd).

Анализ. Допустим, что ABCD- искомая трапеция, причём AD - её большее основание, BC - меньшее основание, AB и CD - боковые стороны, причём AB=c, CD=d.

Рис. 1

Представим себе перенос, определяемый вектором . Тогда (см. Рис.1) сторона CD преобразуется в отрезок BDґ. Треугольник АBDґ может быть построен, так как все стороны его известны. Чтобы построить искомую трапецию, останется подвергнуть отрезок BDґ переносу на вектор , длина которого известна и который направлен одинаково с вектором .

Построение.

1) Построим треугольник ABDґ по сторонам AB=c, ВDґ=d, и ADґ=a - b.

2) Через точку В проведём луч, одинаково направленный с лучом ADґ.

3) На этом луче построим точку C так, чтобы BC= b.

4) Через C проведём прямую CD параллельно ВDґ до пересечения с продолжением ADґ в точке D. ABCD - искомая трапеция.

Доказательство. AB=c, ВС= b по построению; AD= ADґ+ DґD= ADґ+ ВС=a - b + b = a. CD=BDґ, как отрезки параллельных прямых между параллельными прямыми. [3, стр. 94]

Исследование. Первый шаг выполним при условии:

d - c < a - b < d + c.

При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Заметим также, что треугольник ABDґ, а следовательно, и трапеция ABCD определяются условиями задачи однозначно до равенства. Поэтому при условии d - c < a - b < d + c задача имеет единственное решение. Если же это условие не выполняется, то задача решения не имеет. [3, стр. 95]

Пример 2. Даны параллельные прямые a и b, пересекающая их прямая c и отрезок длины m. Построить равносторонний треугольник со стороной данной длины m, так, чтобы его вершины лежали соответственно на данных прямых.

Решение

Анализ. Пусть искомый треугольник ABC построен: A a, B b, C c и = = = m ( см. Рис. 2). Выполним параллельный переностреугольника ABC, причём|| a. Получим треугольник AґBґCґ со сторонами данной длины m, причём Aґ a, Bґ b.

Так как треугольник AґBґCґ, две вершины которого лежат на прямых a и b, построить не трудно, то на этом анализ можно закончить. Таким образом, задачу можно свести к построению равностороннего треугольника AґBґCґ со стороной длины m, причём Aґ a, Bґ b, а затем к последующему параллельному переносу треугольника AґBґCґ, причём С вектора определяется как точка пересечения прямой || a с данной прямой с. [4, стр. 37]

Рис. 2

Построение (см. Рис. 3.). Выбираем произвольную точку Aґ a. Описываем окружность = (Aґ, m). Находи точку Bґ = b. Описываем окружность = (Вґ, m). Находим точку Сґ = . Через точку проводим прямую k || a и находим точку С = k a. Откладываеми получаем треугольник ABC.

Рис. 3

Доказательство. По построению треугольника AґBґCґ удовлетворяет всем поставленным условиям, кроме условия Cґ с. После параллельного переноса удовлетворяется и это условие. Таким образом, ABC - искомый.

Исследование. При выбранном способе построения число решений задачи зависит, прежде всего, от числа точек Bґ = b.

Если радиус m окружности больше расстояния h между прямыми a и b, то таких точек две.

Если m = h окружности касается прямой b, и тогда точка пересечения одна.

Если же m < h, то окружность и прямая b не пересекается. Окружности и всегда имеют общие точки, так как по построению Вґ , Aґ , . Значит, при любом выборе точки Aґ образуется две точки пересечения окружностей и .

Итак, возможны три следующих случая:

1) если m > h, то задача имеет четыре решения (см. Рис. 4 а),

2) если m = h, то задача имеет два решения (см. Рис. 4 б),

3) если m < h, то задача не имеет решений. [4, стр. 38]

Рис. 4.

Пример 3. Между пунктами А и В течёт канал. Где следует выбрать место для моста, чтобы путь от А до В был кратчайшим.

Представим себе берега канала в виде двух параллельных прямых a и b (см. Рис. 5, а), а мост - в виде отрезка MN, перпендикулярного к этим прямым.

Рис. 5

Задача заключается в том, чтобы выбрать такое положение точки M на прямой a (или точки N на прямой b), чтобы ломанная AMNB имела наименьшую длину.

Так как длина отрезка MN постоянная, то условие задачи равносильно требованию, чтобы сумма отрезков AM и NB была наименьшей.

Чтобы связать отрезки AM и NB, перенесём отрезок BN на вектор . Тогда точка N перейдёт в точку M, а точка В - в некоторую точку Bґ, которая легко может быть построена. Так как BN= BґM, то нужно найти такое положение точки M, при котором ломанная BґАM, концы которой известны, имела бы наименьшую длину. Ясно, что это будет в случае, когда точки Bґ, А и M расположатся на одной прямой. [3, стр. 98]

Построение показано на рисунке 5, б. Проводим прямую BС перпендикулярно прямой a и откладываем на ней отрезок BBґ, равны шире канала. Строим прямую АBґ. Прямая АBґ пересекает прямую a в искомой точке M.

Задача всегда имеет решение, притом единственное. [3, стр. 99]

3.2 Метод симметрии

Симметрией плоскости с осью l называется такое преобразование плоскости при котором точки оси l инварианты, а любая другая точка М переходит в такую точку Мґ, что [ММґ]l и точка М₀=[ММґ]l является серединой отрезка ММґ.

Основные свойства осевой симметрии:

§ осевая симметрия S_l является движением II рода;

§ ось симметрии l - инвариантная прямая, состоящая из инвариантных точек;

§ любая прямая, перпендикулярная оси симметрии, инвариантна;

§ любая прямая, параллельная оси симметрии, переходит в параллельную прямую;

§ любая прямая, не параллельная оси симметрии, преобразуется в прямую, пересекающуюся со своим преобразованием в точку, принадлежащей оси l;

множество осевых симметрий плоскости группы не образует, так как композиция двух осевых симметрий представляет собой либо перенос, либо поворот плоскости. [8, стр. 12].

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки. [3, стр. 100].

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи. [2, стр. 77]

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4. Построить квадрат, две противоположные вершины которого лежат на данной прямой l, а две другие - соответственно на данных окружностях и .[4, стр. 52]

Решение

Анализ. Пусть ABCD - квадрат, удовлетворяющий условиям, а именно: вершина A , вершина C , вершины B и D лежат на прямой l (см. Рис. 6 а). Построим окружность =S_l(). Так как диагональ BD квадрата является его осью симметрии, то вершина C квадрата отобразится на вершину A. Но вершина C , и поэтому вершина A .



Рис. 6

Построение. Строим окружность =S_l(), находим точку А=, которую отображаем на точку С=S_l(А). На [АВ] как на диаметре строим окружность и находим точку В=l и D=l.

Доказательство. Так как (АС)l, то при симметрии относительно l прямая АС отображается на себя. Кроме того, окружность симметрична окружности . .[4, стр. 53] Тогда точка C . Далее, отрезок АС - диаметр окружности , точка О=(АС) l - центр окружности , поэтому . Так как далее , (АС)(BD), то ABCD - квадрат. Итак, по построению A, Dl, Bl, а по доказанному C и четырёхугольник ABCD - квадрат.

Таким образом, четырёхугольник ABCD удовлетворяют всем поставленным условиям, т.е. является искомым квадратом.

Исследование. При выбранном способе построения количество решений зависит от количества точек пересечения окружностей и и положения этих точек относительно (АС). Возможны следующие случаи:

1) если окружности и пересекаются, то задача либо имеет два решения (рис. 42 б), либо имеет одно решение (рис. 42 в), либо не имеет решений (рис. 42 г.);

2) если окружности и касаются, то либо имеется одно решение, либо решений нет;

3) если окружности и не имеют общих точек, то решений нет;

4) если окружности и совпадают, то решений бесконечное множество. [4, стр. 54]

Пример 5. Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой a, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и c.

Рис. 7

Анализ. Пусть (см. Рис. 7) ABCD - искомый ромб, AD= r.

Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при зеркальном отражении от прямой а точка В преобразуется в точку С, а следовательно, прямая b - в некоторую прямую bґ, проходящую через точку С. [3, стр. 103] Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и bґ; прямую ВС; точку ОВСа; точка А и D на прямой a, отстоящие от точки О на расстояние . ABCD - искомый ромб.

Доказательство. В виду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи:

1) c|| bґ , решений нет;

2) сbґ, решений бесконечно много;

3) прямые с и bґ пересекаются вне прямой а, одно решение;

4) прямые с и bґ пересекаются на прямой а, решений нет.

Сущность приёма, применённого в последнем примере, состоит в следующем: задача сводится к построению точки, причём эта точка оказывается общей точкой некоторой данной фигуры и фигуры, симметричной другой данной фигуре относительно некоторой оси.

Аналогичный приём применяется также в задачах, решаемых при помощи других геометрических преобразований. [4, стр. 104]

3.3 Метод поворота (вращения)

Поворотом вокруг точки O на угол ' называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку A в такую точку A?, что OA = OA? и угол между лучами OA и OA? (т. е. угол, отсчитываемый против часовой стрелки от луча OA к лучу OA?) равен '. [5, стр. 6]

Основные свойства поворота:

§ поворот является движением I рода;

§ центр О поворота - единственная инвариантная точка;

§ при инвариантных прямых не существует;

§ любая прямая при повороте на угол преобразуется в прямую, образующую со своим прообразом угол, равный или ;

§ любой поворот плоскости можно представить в виде композиции дух осевых симметрий с пересекающимися осями;

§ множество всех поворотов плоскости вокруг одного центра образует группу, являющуюся полугруппой метрической группы;

§ центральная симметрия плоскости с центром О - частный случай поворота (при ).[8, стр. 1]

Вращением (поворотом) также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению. Поясним этот приём несколькими примерами. [4, стр. 107]

Задачи на вращение около точки можно разделить на три группы.

1. Первая группа. В задачах этой группы вращение имеет тот же характер, как и параллельное перенесение, т.е. оно сближает части фигуры в положение, удобное для построения, вводит в чертёж данные, совмещает равные или неравные углы и линии и вообще сводит данную задачу на другую. В задачах этого рода центр вращения непосредственно известен. [2, стр. 92]

2. Вторая группа. В задачах этой группы при данных центре, угле и отношении вращения требуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных прямых или окружностях. Очевидно, если умножить и повернуть прямую (или окружность) на данные угол, то она встретить другую прямую (или окружность) в искомой точке. [2, стр. 95]

3. Третья группа. В задачах этой группы даны две линии и на каждой из них по соответственной точке; требуется определить на тех же линиях по новой соответственной точке так, чтобы они удовлетворяли каким-либо условиям; центр вращения неизвестен. Допустим, что имеется достаточно данных для совмещения данных линий и искомых точек. Тогда можно определить центр вращения. Остаётся заметить зависимость между данными, искомыми и центром вращения. Эта зависимость даст указание на решение задачи. [2, стр. 96]

Пример 6. Даны: точка О и прямые a и b, не проходящая через неё. Из точки О, как из центра, провести такую окружность, чтобы дуга её, заключенная между данными прямыми, была видна из точки О под данным острым углом .

Рис. 8

Анализ. Допустим, что задача решена, - искомая окружность, А и В - концы дуги, заключённой между данными прямыми, АОВ= (см. Рис.8). Если осуществить поворот прямой а около точки О на угол , то точка А попадает в точку В. Следовательно, точка В может быть найдена как пересечение образа прямой а с прямой b. После этого легко строится искомая окружность. [3, стр. 108]

Построение. Повернём прямую а около точки О на угол . Пусть она займёт после поворота положение аґ (см. Рис. 9). Строим общую точку В прямых аґ и b. Окружность (О, ОВ) искомая.

Рис. 9

Доказательство. Допустим ради определённости, что при построении поворот прямой а проводится в направлении движения часовой стрелки. Повернём точку В около центра О на угол в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки. Тогда прямая аґ, а точка В займёт некоторое положение А на прямой а. ясно, что АОВ=, и поэтому окружность действительно удовлетворяет условиям задачи.

Исследование. Так как условием задачи направление вращения не предусмотрено, то прямую можно повернуть около точки О на угол как по часовой стрелке, так и в противоположном направлении. Поэтому прямая может занять после поворота два различных положения аґ и аґґ. Так как угол , по условию, острый, то аґ не параллельна аґґ (угол между ними 2). Возможны следующие случаи:

1) аґ и аґґ пересекают b; задача имеет два решения;

2) аґ (или аґґ) параллельна b; одно решение;

3) аґ (или аґґ) совпадает с b; решений бесконечно много. [3, стр. 109]

Пример 7. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка.

Рис. 10

Анализ. Пусть ABCD - искомый квадрат, О - его центр, М - и N - данные точки соответственно на сторонах АВ и CD (см. Рис. 10).

Если повернуть квадрат на около его центра О, то точка М займёт некоторое положение Мґ на стороне CD, а точка N - некоторое положение Nґ на АВ. После этого нетрудно уже восстановить искомый квадрат.

Построение.

1) Строим точку Мґ, симметричную М относительно О, и точку Nґ, симметричную N относительно О.

2) Строим прямые МNґ и NМґ.[3, стр. 111]

3) Повернём построенные прямые около точки О на .Четыре построенные прямые ограничивают новый квадрат.

Доказательство опускаем.

Исследование. По смыслу задачи невозможен случай, когда точки М и N располагаются с точкой О на одной прямой, но не симметричны относительно О. Если точки М и N симметричны относительно О, то задача становится неопределённой. В остальных случаях задача имеет единственное решение. [3, стр. 112]

Пример 8. Даны три концентрические окружности , , , и точка А на окружности . Построить равносторонний треугольник АВС, так, чтобы его вершины В и С лежали соответственно на окружностях и .

Решение

Анализ. Пусть треугольник АВС (см. Рис. 11) удовлетворяет заданным условиям. Повернём окружность вокруг точки А на ОАОґ=. Тогда окружность отразится на ґ, точка В - на точку Вґґ. Так как ВАС= и , то вершина В отобразится на вершину С, т.е. Вґ=С. [4, стр. 45]

Рис. 11

Но вершина С, следовательно С=. Зная положение вершины А и С треугольника АВС, не трудно построить и сам треугольник АВС. Таким образом, задачу можно свести к построению точки С=, причём радиус окружности ґ известен (он равен радиусу окружности ), а центр Оґ окружности ґ, как ясно из рисунка 34, удалён от точки А на расстояние, равное , и лежит на окружности .

Построение (рис. 34). Строим Оґ, строим окружность ґ путём поворота окружности вокруг точки А на угол, равный . Точку С= поворачиваем вокруг точки А на угол, равный - , получая прообраз точки С, - это и будет вершина В треугольника АВС.

Доказательство. По построению и САВ=, откуда следует, что . Таким образом, АВС - искомый.

Исследование. При выбранном способе построения треугольника АВС количество решений зависит от числа точек пересечения окружностей с центром в точке А радиуса с окружностью и от числа точек пересечения окружности ґ с окружностью . Но так как точек пересечения окружностей и всегда две (помимо поворота вокруг точки А на угол , можно осуществить и поворот на угол - ), то возможны следующие случаи:

1) если окружности ґ и пересекаются в двух точках, то задача имеет четыре решения (рис. 35);

2) если окружности ґ и касаются, то задача имеет два решения;

3) если окружности ґ и не имеет общих точек, то решений нет. [4, стр. 46]

3.4 Методом подобия

Основная идея метода подобия состоит в следующем. Сначала строят фигуру, подобную искомой, так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, как фигуру подобную построенной и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные - либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была не только подобной искомой, но и подобно расположена ей, успех решения существенно зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто полезно воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c, … фигуры Ф соответствуют отрезки aґ, bґ, cґ, … подобной фигуры Фґ, то коэффициент подобия равен также отношениям

, , и т.д. [3, стр. 134]

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k, отличным от нуля, называется преобразование, переводящее каждую точку A в точку A?, лежащую на прямой OA и удовлетворяющую условию OA? = kOA. При k > 0 точки A и A? лежат по одну сторону от точки O, при k < 0 по разные. [5, стр. 14]

Пример 9. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме основания с высотой.

Анализ. Искомый треугольник должен удовлетворять трём условиям:

1) он должен быть равнобедренным;

2) угол при вершине должен быть равен данному углу ;

3) сумма основания и соответствующей высоты должна быть равна данному отрезку l.

Замечаем, что легко построить треугольник, удовлетворяющий первым двум условиям. Таких треугольников существует бесконечно много. Пусть мы построим один из них - треугольник ВґАґС (рис. 131), причём ВґАґС=.

Искомый треугольник, удовлетворяющий условиям 1)-3), будем искать среди треугольников, гомотетичных треугольнику ВґАґС относительно какого-либо центра подобия, например относительно точки А. Пусть ВАС искомый. Ясно, что ВС||ВґС (или ВСВґС). [3, стр. 134] Пусть АРґ - высота треугольника ВґАґС, Р - точка пересечения ВС и АРґ. Ясно, что АР - высота треугольника ВАС.

Если в некоторой гомотетии точке Вґ соответствует точка В, то точкам Сґ и Рґ соответствуют точки С и Р. Найдём коэффициент гомотетии, преобразующий треугольник ВґАґС в треугольник ВАС. По условию дан отрезок l, такой, что ВС+АР= l. Кроме того, располагая построенным треугольником ВґАґС, мы можем построить отрезок lґ, равный сумме ВґСґ+АРґ.

Тогда искомый коэффициент гомотетии равен , т.е. .

Итак, треугольник ВАС гомотетичен треугольнику ВґАґС относительно центра подобия А, причём коэффициент подобия равен .

По этим данным искомый треугольник ВАС может быть построен.

Рис. 12

Построение.

1) Строим произвольный треугольник ВґАґС (см. Рис. 12), удовлетворяющий условиям 1) и 2) (так, что ВґА=СґА и ВґАґС=).

2) Строим высоту этого треугольника АРґ и на продолжении отрезка АРґ откладываем отрезок PґFґ=BґCґ так, что AFґ=APґ+BґCґ. Эту сумму обозначим через lґ.

3) Строим на луче APґ точку F такую, что AF= l.

4) Строим ВАС соответствующий ВґАСґ в гомотетии Г{A, }. Для этого последовательно строим FB||FґBґ, BC||BґCґ. ВАС искомый.

Доказательство. Пусть Рґ BґCґАР. Так как ВАС и ВґАСґ подобные, то

.

Поэтому , но АРґ+ВґСґ=lґ по построении. Значит, АР+ВС= l.

Итак, ВАС удовлетворяет условию 3). Очевидно, что он удовлетворяет и условиям 1) и 2). [3, стр. 135]

Исследование. Все шаги проведённого построения однозначно выполнимы. Поэтому данный способ построения даёт единственное решение. Всякий другой треугольник А₁В₁С₁, удовлетворяющий условию задачи, должен быть очевидно, подобен построенному треугольнику АВС. Поэтому для всякого другого решения А₁В₁С₁, полученного каким-либо другим путём, будут выполняться соотношения:

.

Так как АРґ+ВґСґ=АР+ВС, то и В₁С₁=ВС, откуда ясно, что, А₁В₁С₁=АВС. Таким образом, всякий другой приём построения приведёт к тому же решению, так что задача разрешима однозначно. [3, стр. 136]

Пример 10. В данный остроугольный треугольник АВС вписать квадрат так, чтобы две вершины квадрата лежали на основании треугольника, а две - на боковых сторонах.

Анализ. Требуется построить квадрат, удовлетворяющий следующим условиям:

1) две его вершины должны лежать на АВ;

2) одна вершина - на АС;

3) одна вершина на ВС.

Заметим, что легко построить квадрат, удовлетворяющий первым двум условиям. Пусть это будет квадрат KґLґMґNґ (см. Рис. 13).

Рис. 13

Ясно, что при гомотетии с центром А и любым коэффициентом гомотетии квадрат KґLґMґNґ преобразуется в квадрат KґґLґґMґґNґґ, притом также удовлетворяющий условиям 1) и 2). При этом точка Mґґ окажется заведомо на прямой АMґ.

Чтобы решить задачу, нужно среди квадратов KґґLґґMґґNґґ, гомотетичных квадрату KґLґMґNґ, выбрать тот, у которого точка Mґґ лежит на ВС. [3, стр. 136]

В таком случае точка Mґґ окажется точкой пересечения прямых АMґ и ВС. Отсюда вытекает построение.



Рис. 14

Построение.

1) Строим произвольный квадрат KґLґMґNґ, удовлетворяющий условиям 1) и 2) (см. рис 14).

2) Строим прямую АMґ и отмечаем точку М её пересечения со сторонами ВС.

3) Через точку М проводим прямую, параллельную MґNґ, и отмечаем точку N, в которой она пересекает АС.

4) Из M и N опускаем на АВ перпендикуляры ML и NK. Полученный прямоугольник KLMN - искомый квадрат.

Доказательство. В самом деле KLMN - квадрат, ибо по самому способу построения он гомотетичен квадрату KґLґMґNґ. Кроме того, он, очевидно, удовлетворяет всем остальным требованиям задачи.

Исследование. Задача всегда однозначно разрешима. [3, стр. 137]

Пример 11. Построить треугольник по двум данным его углам и и радиусу вписанной окружности r.

Решение.

Анализ. Пусть треугольник АВС построен, САВ=, СВА= и =(О, r) - вписанная в него окружность (см. Рис. 15).

Рис. 15

Соединим точку О с вершиной А и на прямой ОА выберем некоторую точку О₁ (отличную от точек А и О). Построим окружность =(О₁, r₁), касающуюся сторон АВ и АС треугольника АВС. [4, стр. 59]

При гомотетии , где k=r₁: r, окружность - на касательную В₁С₁ и окружность , причём по свойствам гомотетии (В₁С₁)||( ВС), поэтому С₁В₁А=СВА=.

Итак, построив треугольник АВ₁С₁ с заданными углами и выполнив гомотетию , где =r: r₁.

Тогда (В₁)=В, (С₁)=С. Получим треугольник АВС.

Доказательство. По построению (АВ₁С₁)= АВС, поэтому САВ= и СВА=. Так как коэффициент гомотетии есть =r:r₁, то радиус окружности (в которую преобразуется окружность ) равен r.

Наконец, по построению окружность вписана в треугольник АВ₁С₁, а тогда по свойствам гомотетии окружность вписана в треугольник АВС. Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем заданным условиям, т.е. является искомым.

Исследование. При выбранном способе построения количество решений зависит от существования треугольника, два угла которого равны по величине соответственно и . А именно, если можно построить хотя бы один треугольник АВ₁С₁ с углами , , то решение - треугольник АВС - одно. Но для построения треугольника АВ₁С₁ достаточно условиям +<. Итак, если +<, то решение одно, если +, то решений нет. [4, стр. 60]

Пример 12. В данный треугольник АВС впишем квадрат, две вершины которого лежат на стороне АС, а две другие - соответственно АВ и ВС.

Решение.

Анализ. Пусть DEFM - искомый квадрат D[AB], E[BC], F[AC], M[AC] (см. Рис. 16). Выберем на прямой АЕ произвольную точку Еґ, отличную от точек А и Е, и, приняв k= за коэффициент гомотетии, построим DґEґMґFґ=(DEMF). Тогда DґEґFґMґ - квадрат, причём Dґ(AB). F ґ(AС) и Мґ(AС). Так как квадрат DґEґFґMґ построить не трудно, то задачу можно свести к построению квадрата DґEґFґMґ и к выполнению затем гомотетии .

Построение. Выбираем произвольную точку Dґ(AB). Отпускаем перпендикуляр DґMґ на сторону АС. Откладывает на прямой АС отрезок MґFґ, такой, что (точка Mґ между точками А и Fґ), [4, стр. 60] и находим точку Eґ=(EґFґ)(EґDґ), где (EґFґ)(MґFґ), (DґEґ)(DґMґ). Проводим прямую АEґ и находим точку Е=(АEґ)(ВС). Строим DEFM=(DґEґFґMґ).

Рис. 16

Доказательство. По построению DґEґFґMґ - квадрат. Но четырёхугольник DґEґFґMґ гомотетичен квадрату DEFM, т.е. также является квадратом, причём так как расположение его вершин удовлетворяет условиям задачи, то он является искомым.

Исследование. Задача имеет единственное решение, если один из углов, прилежащих к стороне АС треугольника, острый, а другой не более прямого. [4, стр. 61]

3.5 Метод инверсии

Рассмотрим ещё одно геометрическое преобразование - инверсию, которая даёт возможность решить ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других рассмотренных нами приёмов. Новый способ решения конструктивных задач, который мы здесь рассмотрим, носит название метода инверсии, или метода обращения, или метода обратных радиусов. Заметим попутно, что этот метод значительно «моложе» ранее рассмотренных. Инверсию стали изучать впервые лишь в 30-х годах прошлого веках. [3,стр. 142]

Данный метод даёт возможность заменять фигуры, содержащие окружность, более простыми фигурами. [1,стр. 33] Сущность метода инверсии заключаются в следующем. Наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногда этого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми и данными, которые нужны для решения задачи.

В большинстве случаев решение задачи сводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру, инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии даёт возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.

Недостатком этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнять большое число построений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 13.Через две данные точки А и В провести окружность, ортогональную данной окружности (O, r) (см. Рис. 17).



Рис. 17

Анализ. Если примем окружность за базисную окружность, то при инверсии искомая окружность преобразуется в себя, а точки А и В перейдут в точки Аґ и Вґ на этой окружности. Но окружность вполне определяется. если известны три точки на ней, например А, В и Аґ. Отсюда вытекает построение.

Построение.

1) Строим точку Аґ, инверсную точке А относительно окружности .

2) Строим окружность , проходящую через точки А, В и Аґ. - искомая окружность.

Если точка А лежит на окружности , то точка Аґ совпадает с точкой А и указанный путь решения непригоден. [3,стр. 156] В этом случае нужно провести аналогичное построение относительно точки В. Если обе точки А и В лежат на окружности и отмечаем точку их пересечения О₁. О₁ - центр искомой окружности.

Исследование. Эти построения пригодны, если точки А, В и О расположены на одной прямой. Если при этом точки А и В инверсны относительно окружности , то задача имеет бесконечно много решений: любая окружность, проходящая через точки А и В, ортогональна окружности . [3, стр. 157]

Пример 14. Даны: точка О и две проходящие через неё прямые a и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.

Рис. 18

Анализ. Пусть О (см. Рис. 18) - данная точка, a и b - данные прямые, ОАВ - искомый луч, так что ОАВ=r², где r - данный отрезок.

Инверсия относительно окружности (O, r) переведёт точку А в точку В, а прямую а - в некоторую окружность аґ, проходящую через точку В. Таким образом Bаґb.

Построение. Строим последовательно:

1) окружность (O, r);

2) образ аґ прямой а в инверсии относительно ;

3) точку Bаґb;

4) луч ОВ, который и удовлетворяет условию задачи. [3, стр. 157]

Доказательство. Пусть АОВа. Тогда А - прообраз точки В в инверсии относительно (O, r), так как прямая а - прообраз окружности аґ. Следовательно, по определению инверсии, ОА·ОВ= r².

Исследование. Возможны следующие случаи:

1) окружность аґ пересекает прямую b; два решения;

2) окружность аґ касается прямой b; одно решение;

3) окружность аґ не имеет общих точек с прямой b; решений нет.

Так как искомая точка В обязательно соответственна точке А в инверсии относительно (O, r), то точка В должна быть общей точкой прямой b и окружности аґ. отсюда следует, что других решений, кроме найденных, задача не имеет. [3, стр. 158]

Заключение

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач на построение заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого задача может быть решена.

Чтобы овладеть умением решать задачи методом преобразований, необходимо выработать у себя следующие умения-компоненты метода:

§ умение строить образы фигур рот в каждом требуем преобразовании;

§ умение видеть соответствующие при указанном преобразовании точки на соответствующих фигурах;

§ умение выделять элементы, определяющие то или иное преобразование (ось или центр симметрии, центр и угол вращения, вектор параллельного переноса, центр и коэффициент гомотетии и т.п.);

§ умение строить соответствующие при указанном преобразовании точки на несоответствующих фигурах. [8, стр.35]

Важно учитывать, что при решении той или иной геометрической задачи на построении выбор подходящего преобразования предопределяет особенностями базовой фигуры и отношениями между данными и искомыми элементами, связанными с этой фигурой. А правильный выбор приводит, как правило, к рациональному решению задачи. При этом форма и свойства базовой фигуры играют в подборе преобразования определяющую роль. Так симметрию следует вводить в тех случаях, когда базовая фигура имеет центр симметрии (параллелограмм, окружность и др.) или ось симметрии (равнобедренный треугольник, равнобедренная трапеция, окружность и др.) Вращению отдаётся предпочтение в случае, когда базовая фигура обладает поворотным признаком (правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, окружность и др.) Иногда при использовании в задачах движения полезно рассматривать преобразование не всей фигуры, а некоторой её части (перенесение одной из боковых сторон трапеции или какой-либо её диагонали на вектор, определяемый одним из оснований).

Применение в задачах гомотетии предполагает наличие у двух базовых фигур центра гомотетии (два треугольника с соответственно параллельными сторонами, две окружности разных радиусов и тд.). Следует учитывать, что в задачах на построение с помощью гомотетии или подобия часто применяется такой приём: при проведении анализа отбрасывают данные линейные элементы или пренебрегают той или иной позицией одной из данных фигур (как правило, позицией одной их точек) и рассматривают возможности построения по оставшимся данным фигуры, подобной или гомотетичной искомой фигуре, после чего используют отброшенный элемент, что окончательно определяет путь построения. [8, стр.36]

Преобразование инверсии плоскости, несмотря на её нелинейность, также можно использовать при решении геометрических задач на построение. Основная идея применения инверсии при решении конструктивных задач заключается в том, чтобы как можно более удачно подобрать инверсию, а именно - так, чтобы на преобразованной фигуре задача решалась проще и чтобы после возвращения к данной фигуре получить требуемый результат.

Итак, видим, что применение метода преобразований при решении задач на построение требует тщательного анализа условий и грамотного подхода к выбору преобразования, с которым не рекомендуется торопиться: 1) проанализировав условия и требования задачи, нужно выделить базовую фигуру; 2) наметив то или иное преобразование, проверить предварительно, имеются ли все элементы, которые задают его; 3) вспомнить свойства преобразования и прикинуть, помогут ли они решению задачи. Только после этого следует приступать к решению задачи.