Решим задачу Коши для уравнения

(1)

с начальными условиями

(2)

Идея решения (метод спуска) очень проста: введём дополнительную переменную x₃ и решим задачу Коши для трёхмерного волнового уравнения , но с начальными условиями (2), не зависящими от x₃. Тогда решение u (t,x₁,x₂,x₃) фактически не будет зависеть от x₃ поскольку функция u_z (t,x₁,x₂,x₃) = u (t₁,x₁,x₂,x₃+z) является решением того же уравнения и при любом z и удовлетворяет тем же начальным условиям (2); следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши для трёхмерного волнового уравнения u_z не зависит от z, т.е. u не зависит от x₃. Таким образом, решение задачи Коши (1) существует. Оно единственно просто по теореме единственности, относящейся к трёхмерному случаю, так как решение задачи (1) - (2) можно рассматривать и как решение трёхмерной задачи Коши.

Теперь запишем u (t,x₁,x₂₎ по формуле Кирхгофа. Имеем:

(3)

Преобразуем второе слагаемое в формуле (3), которое мы обозначим и

(4)

Рассмотрим сферу в пространстве по которой происходит интегрирование в (4). Это сфера с центром в точке x и с радиусом at (см. рис. 1). Мы должны проинтегрировать по сфере функцию, не зависящую от y₃ Фактически это означает, что мы дважды интегрируем по проекции сферы на плоскость y₃=0.

Пусть dy₁ d y₂ - мера Лебега на этой плоскости, dS_at - элемент площади сферы в точке у, проектирующийся в элемент площади dy₁ d y_2. Ясно, что dy₁ d y₂=|cos б (y) | dS_at, где б (y) - угол между нормалью к сфере и осью y_3. Но нормаль к сфере пропорциональна вектору y-x= (y₁-x₁, y₂-x₂, y₃) имеющему длину at. Будем интегрировать по верхней половине сферы и затем удвоим результат.

Рис. 1

Тогда из условия |y-x|=at следует, что

Поэтому формулу (4) можно переписать в виде

Решение задачи Коши (1) - (2) задается формулой Пуассона

(5)

Из формулы Пуассона видно, что значение решения u (t,x) в точке x: при n=2 зависит от начальных данных ц (y),?? (x) в круге {y: |y-x|, а не только вблизи его границы. В частности, если ??,ц сосредоточены вблизи точки О, то решение в какой-либо окрестности точки x будет отлично от нуля всё время, начиная с некоторого момента. Таким образом, локализованное возмущение уже не видно как локализованное из другой точки, т.е. волна не проходит бесследно, а оставляет последействие. Иными словами, принцип Гюйгенса при n=2 не имеет места. Найдем ещё фундаментальное решение для двумерного волнового оператора. Аналогично трёхмерному случаю надо решить задачу Коши с начальными данными

Но из формулы Пуассона ясно, что такое решение _{2 (}t,x) имеет вид

(6)

где и (t) - функция Хевисайда.

Легко непосредственно проверить теперь, что функция _{2 (}t,x) локально интегрируема и является фундаментальным решением двумерного волнового оператора. Последнее проверяется так же, как в трёхмерном случае и мы оставляем это читателю в качестве упражнения. Наконец, из формулы Даламбера ясно, что фундаментальное решение для одномерного волнового оператора имеет вид

3. Теорема устойчивости решения задачи Коши

Для любого промежутка времени [0, t₀] и е>0. Найдется д (е, t₀), такое что любые два решения уравнения u_tt = a²u_xx, u₁ (x,t) и u₂ (x,t) будут отличаться меньше, чем на е:

,

если только начальные данные

и отличаются меньше, чем на д:

;

Доказательство:

Оценим разность:

Отсюда получаем:

Что доказывает наше утверждение, если положить:

4. Формулы волнового уравнения

Волновое уравнение в случае одной, двух или трех пространственных переменных записывается так:

=,

= (+),

= (+ +).

Решением формул для волнового уравнения во всех трех случаях являются следующие формулы:

1. Формула Даламбера (одномерное пространство)

Ф(x,t)=+

2. Формула Пуассона (двумерное пространство)

Ф (x,y,t) = [ () + +]

3. Формула Кирхгофа (трехмерное пространство)

Ф (x,y,z,t) =

[ (

t²d) +

t²d]

4.1 Формула Пуассона