Математическое мышление младших школьников

Я сосчитал, а теперь посчитайте вы.

Решение:

Сколько рыбы в корзине первого рыбака? Как обозначим это условие на чертеже?

Отметим на чертеже, сколько рыбы было у 2 рыбака.

Можем ли мы узнать, сколько рыбы составляет половину корзины 2 рыбака? Откуда это следует?

Сколько всего было рыбы у 2 рыбака? А сколько у 1 рыбака?

Способы решения комбинаторных задач.

Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это».

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Условно эти методы можно разделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов… И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Этот метод не только доступен младшим школьникам, но и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.

Задачи, в которых использовать приём полного перебора не целесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).

Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Приведём соответствующие примеры задач:

Расставляя знаки «+» и « - « между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Проводится полный перебор вариантов:

два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем 9+2+4, 9-2-4;

два знака могут быть разными, тогда получаем 9+2-4, 9-2+4.

Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию не целесообразно, поэтому проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами - на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

«При отборе комбинаторных задач нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Мы старались, чтобы задачи не выглядели искусственным, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Желательно, для составления задач использовать практический материал из жизни».

Способы решения математических софизмов.

Софизм - доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскировано. Софизм в переводе с греческого означает хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку.

Ошибки, допущенные в софизме обычно сводятся к следующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была создана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления.

Обнаружить ошибку в софизме - это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Помимо критичности математического мышления этот вид нестандартных задач выявляет гибкость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого строго логичного на первый взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ошибочным и делает ошибочным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность и критическое отношение к тому, что изучается.

Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Докажем, что 2*2=5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

4:4=5:5 (1)

Перепишем его в таком виде:

1*(1:1)=5*(1:1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4=5 или 2*2=5.

Решение: в рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

Или другой софизм с использованием «незаконных» обобщения.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек - отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Единственный сын Ивановых не знает единственного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Верно ли это?

Решение: если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Например, отец Иванов может знать мать и сына Петровых (как заметил ученик экспериментального класса Морозов Саша).

Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет ( по этому эти задачи и называются нестандартными ), однако мы постарались дать ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач разных видов.

Математические ребусы, кроссворды, шарады

Ребус - это загадка, но загадка не совсем обычная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и различных знаков. Чтобы прочесть то, что зашифровано в ребусе, надо правильно назвать все изображенные предметы и понять, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Например, вожди одного племени послали однажды своим соседям вместо письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это означало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мышь, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы осыпям вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Числовые ребусы - это примеры, в которых все или некоторые цифры заменены звездочками или буквами. При этом одинаковые буквы заменены звездочками или буквами. При этом одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. (Л.П.Терентьева Решение нестандартных задач уч.пособие Ч.2002 стр.19)

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

В ходе исследовательской работы нами были выдвинуты следующие задачи:

определить возможности нестандартных задач в процессе развития математического мышления младших школьников;

изучить, как используются подобные задачи в практике работы учителей;

разработать на основе опыта работы передовых учителей методику обучения учащихся поисковой деятельности при решении нестандартных задач.

Руководствуясь перечисленными задачами, наше исследование проходило в несколько этапов.

Первый этап был посвящён изучению психолого-педагогической, математической, методической литературы по данной теме с целью сравнения возможностей нестандартных и типичных задач в качестве средства развития математического мышления.

На втором этапе анализировался опыт учителей МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области по практическому применению нестандартных задач на уроках математики в начальных классах.

На третьем этапе проводилась разработка и апробация методики обучения учащихся решению нестандартных задач.

У них накоплен определенный опыт в составлении и использовании миниатюрных книг по занимательной математике. Первую из них - «Десять задач» - можно было сделать из материала книги В.Н.Русанова

« Математические олимпиады младших школьников». Эксперимент оказался плодотворным. Когда стали собирать и составлять свои книги, то некоторые из них имели вкладыши, из которых можно было сделать мини-книги. Так из «математических сундучков» появились книжечки: «Подарок для смекалистых», «Лакомство для ума» и др.

Такие книги предназначены для увлекательной самостоятельной работы индивидуального характера. Вот почему они снабжены ответами к задачам, решениями и указаниями к ним.

Книги из этой серии используются во фронтальной внеклассной работе, например. На занятиях кружка, посвященных знакомству с математической литературой.

В практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Но из-за использования только типовых задач это учебное время используется неэффективно, что отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом.

Известный педагог-математик Д. Пойа так высказался по этому поводу: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Общепризнанна связь мышления и процесса решения задач: «мышление психологически выступает как деятельность по решению задач». И хотя мышление не отождествляется процессу решения задачи, можно утверждать, что формирование мышления эффективнее всего осуществляется через решение задач. Учитывая, что «задача - это осело, на котором оттачивается, шлифуется мысль ребёнка, мысль связанная, последовательная, доказательная», в ходе решения математической задачи можно формировать у школьников элементы творческого математического мышления вместе с реализации основных целей обучения математике. Но осуществить это можно в том случае, если в школьном курсе математики будет содержаться методическая система нестандартных задач, процесс решения которых формирует у учащихся познавательный интерес, и самостоятельность, развивает математические способности.

Для настоящего времени характерна тенденция к повышению роли проблемного обучения, поэтому решение нестандартных задач занимает всё более ведущее место в обучении математике, в котором основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития.

Такой огромный и ещё до конца не изученный потенциал нестандартных задач уже используется многими учителями МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области . Но чаще всего в своей деятельности они применяют логические задачи и задачи-шутки не замечая развивающих свойств других видов нестандартных задач: числовых ребусов, головоломок на смекалку, задач на взвешивание и переливание, математических софизмов, комбинаторных задач.

Одной из особенностей нестандартных задач является то, что в их решении нельзя «натаскать» учеников, заучить с ними последовательность операций, которая лежит в основе решения определённых видов нестандартных задач, что не исключается при решении задач типовых. Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная нами методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;

умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;

умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;

умения записывать ход решения и ответ задачи;

умения проводить дополнительную работу над задачей;

умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Сформированность у учащихся этих умений обеспечивает их продуктивную работу в ходе решения нестандартных задач и тем самым влияет на развитие уровня математического мышления.

«Уровень мышления - это сложное понятие, включающее определённый уровень общности, абстракции и строгости обоснования и изучаемого материала, определённые логические структуры».

А. А. Столяр выделил уровни математического мышления.

1 уровень. Число неотделимо от множества конкретных предметов, которое оно характеризует, а операции проводятся непосредственно над множествами предметов.

2 уровень. Числа определены от конкретных объектов, которые они характеризуют; при этом оперируют с числами, записанными в определённой системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно.

3 уровень. Переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям. Осуществляется «локальное» логическое упорядочение свойств чисел и операций.

4 уровень. Выясняется, возможность дедуктивного построения всей математики.

5 уровень. Отвлекаются от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций и строят математику как абстрактную дедуктивную систему.

Раньше считалось, что учащимся начальных классов доступны только два первых уровня развития математического мышления. Но современные исследования показали, что «дети этого возраста обладают значительно более широкими возможностями в усвоении знаний, нежели это предполагалось ранее, что у них можно сформировать более высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на который ориентировалось традиционное преподавание» Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. - М., 1969. - С. 3..

Следовательно, традиционные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на более высокий уровень. Как же решает эту проблему нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение нестандартных задач?

Во-первых, развивается гибкость мышления. Ученик учится ориентироваться в новых условиях, перестраивать систему усвоенных знаний. Например, необходима гибкость мышления при решении следующей задачи: «В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?».

Ученик, который мыслит косно и шаблонно будет вычислять так: 4 кошки в углах, по 3 кошки против каждой - это ещё 12 кошек, да на хвосте каждой кошки по кошке, значит, ещё 16 кошек. Всего 32 кошки. Выходит, что пока мысль движется в привычной колее, решение будет неправильным.

Влияют нестандартные задачи и на глубину мышления, то есть на умение выделять существенное в задаче, её скрытые особенности.

Чтобы решить следующую задачу: Дедушка Коли празднует каждый свой день рождения. В 1988 году он отпраздновал 17-й раз день своего рождения. Когда родился дедушка Коли? - нужно догадаться, что дедушка родился 29 февраля високосного года и только потом выполнять вычисления.

В ходе решения нестандартных задач формируется рациональность мышления, потому что само условие нестандартной задачи заставляет искать оптимально простое решение. Вот подобная задача: На сковороде помещается 2 кусочка хлеба. На поджаривание кусочка с одной стороны требуется 1 минута. Как поджарить за 3 минуты три кусочка хлеба с обеих сторон?

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?

Логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой, активизируется при решении логических задач. Вот одна из них: Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелённую. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Здесь сидит змея».

Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

За четыре года экспериментальной работы нами были изучены способности школьников разных возрастов и уровней подготовки к решению нестандартных задач (с 1 по 4 классы). Можно с уверенностью сделать следующий вывод: детям, начиная с 6 лет уже доступно решение нестандартных задач, конечно, немного упрощённых. В первом классе лучше воспринимаются учениками задачи-шутки. Например: На груше росло 10 груш, а на иве на 2 меньше. Сколько груш росло на иве?

Но не следует считать, что такие задачи носят лишь развлекательный характер, несмотря на свою занимательность, они ещё и развивают гибкость мышления, внимание, память.

Кроме задач-шуток в первом классе можно вводить и другие виды нестандартных задач, но несколько упрощённые к примеру, комбинаторные задачи: Расставить знаки «+» и «-« между числами 9…2…4 и составить все возможные соотношения. Или логические задачи типа: Ребята кидали мяч. Володя кинул дальше Димы, а Серёжа - ближе Димы. Кто кинул мяч дальше - Володя или Серёжа?

В последующих классах данные типы нестандартных задач следует усложнять и вводить новые виды - числовые ребусы, головоломки на смекалку, задачи на взвешивание и переливание, математические софизмы.

Во время исследовательской работы нами были выделены экспериментальный и контрольный классы. С учениками экспериментального класса регулярно решались нестандартные задачи. Учащиеся контрольного класса занимались по типовой программе, без использования нестандартных задач. В итоге наметилась следующая тенденция. Если в течении первого месяца эксперимента заметных различий между этими двумя группами учащихся не наблюдалось, а именно: с решением нестандартных задач справились лишь отдельные учащиеся, то к концу года, а тем более к концу курса начальных классов расхождения заметно усиливаются. В качестве контрольного материала здесь давали нестандартные задачи (см. приложение 1).

Таблица 2

Справились с заданием (в%) Учебный год	Контрольный класс	Экспериментальный класс
	Начало года	Конец года	Начало года	Конец года
2000-2001, 1 класс 2001-2002, 2 класс 2002-2003, 3 класс 2003-2004, 4 класс В среднем	17 20 29 41 27	20 26 35 44 31	17 35 47 56 39	32 44 56 62 48

Ещё одним непосредственным доказательством того, что решение нестандартных задач влияет на развитие математического мышления, является оценки за итоговые годовые контрольные работы (см. приложение 2), проведённые в экспериментальном и контрольном классах.

Таблица 3

Класс и оценки (в%) Учебный год	Контрольный класс	Экспериментальный класс
	5	4	3	5	4	3
2000-2001, 1 класс 2001-2002, 2 класс 2002-2003, 3 класс 2003-2004, 4 класс В среднем	26 26 29 32 28,3	57 55 59 62 58,7	17 19 12 6 13	19 32 36 44 32,8	60 62 64 56 60,5	21 6 - - 6,7

Таким образом, проведённая нами экспериментальная работа подтверждает необходимость введения в курс начальной математики нестандартных задач, их влияние на увеличение числа успевающих по этому предмету учащихся, на общее развитие математического мышления школьников.

Заключение

Проведённое исследование по изучению нестандартных задач как средства развития математического мышления младших школьников поставленных целей и задач достигло.

Нами было проанализировано современное состояние изучения этой проблемы, был обобщён опыт решения нестандартных задач с младшими школьниками в русле соответствующей методики. Кроме анализа уже достигнутого в этой области, мы внесли и свой вклад в теоретическую разработку данной темы - составили классификацию нестандартных задач.

Предположение о том, что нестандартные задачи развивают математическое мышление школьников было проверено в ходе опытно-экспериментальной работы. Это исследование проводилось с учащимися МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области . Нами были выделены экспериментальный и контрольный классы, математическое мышление учеников которых мы изучали в течение четырёх лет. Оба класса занимались по типовой программе начального обучения, единственным отличием было то, что учащиеся экспериментального класса регулярно на уроках математики решали задачи нестандартного содержания.

Результаты исследования выявлялись в двух направлениях:

как влияет решение задач на развитие математического мышления школьников, которое отражается в итогах годовых контрольных работ. Здесь сложилась следующая ситуация: если в конце первого класса ученики экспериментального класса отразили в контрольной работе знания гораздо слабее, чем учащиеся контрольного класса, то уже к концу второго класса экспериментальный класс показал лучшие результаты, чем контрольный. А в третьем классе в экспериментальной группе не было даже ни одной оценки «удовлетворительно» за итоговую контрольную работу;

второе направление, по которому мы делали контрольные срезы - это развитие умений решать нестандартные задачи. Приобретаются ли эти умения школьниками, которые решают нестандартные задачи регулярно, и теми школьниками, которые подобной деятельностью не занимаются? Результаты проведённых срезов показали, что, оказывается, при постоянной тренировке и с течением времени у школьников накапливается опыт решения нестандартных задач и учащиеся начальных классов уже способны овладеть приёмами решения нестандартных задач при соответствующем обучении. Тогда как контрольный класс подобными приёмами не овладел и к концу четвёртого класса показал те же результаты, что класс экспериментальный, но на втором году обучения.

Проведённые исследования позволяют сделать вывод о том, что нестандартные задачи благоприятно влияют на развитие математического мышления младших школьников.

Кроме того, занимательная форма данных задач содействует развитию интереса учащихся начальных классов к математике, повышению их активности на уроке, предотвращает психическую усталость однообразной деятельностью.

Список использованной литературы

1. Алексеев М. Н. Логика и педагогика. - Народное образование.- 1970. - № 6. - С.133 - 142.

2. Альперович С. А. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики // Начальная школа. - 1979. - № 5. - С.30 - 33.

3. Акимова С. Занимательная математика. - Санкт-Петербург, «Тригон», 1997. - 608 с.

4. Арбатская Л. Ф. Решение задач жизненного содержания // Начальная школа. - 1977. - № 1. - С. 42.

5. Артемов А. К. О развитии математического мышления // Начальная школа. - 1979. - № 5. - С.36 - 38.

6. Байрамукова П. У. Внеклассная работа по математике в начальных классах. - М.: Издат.-школа, «Райл», 1997.

7. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.- 1976.

8. Белокурова Е. Е. Характеристика комбинаторных задач // Начальная школа. - 1994. - № 1. - С.34 - 38.

9. Белокурова Е. Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики // Начальная школа. - 1992. - № 1. - С.20 - 23.

10. Брадис В. М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. Пособие для учителей. Изд. 3-е. - М.: Просвещение.- 1967. - 191с.

11. Волинова В. Праздник числа. - М.: АСТ-ПРЕСС.- 1994. - 304с.

12. Возлинская М. В. Задачник. Нестандартная математика в школе. - М.: Лайда.- 1993. - 96с.

13. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова. - М.: Просвещение.- 1966.

14. Губанова О.В. Олимпийские игры в обучении младших школьников // Начальная школа. - 1995. - №5. - С. 22.

15. Гоноблин Ф.Н., Лезендова Т.Е. О подготовке к уроку по математике. - Л.- 1935.

16. Дедюхин А.М, Сухомлинский В.А. О развитии мышления младших школьников // Начальная школа. - 1984. - №1. - С. 70 - 72.

17. Депман И.Я. Рассказы о математике. - Л.- 1954.

18. Детская домашняя энциклопедия / Под ред. Т.В. Нилова. - М.: Знание.- 1995. - С. 320 - Т. 2.

19. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. - М.: Просвещение.- 1972.

20. Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. - М.: Мир.- 1975.

21. Еленский Щ. По следам Пифагора. - М.: Детгиз.- 1961.

22. Жикалкина Т.К., Бредихина Э.М. Математика. Учебник-тетрадь / №№ 1 - 4 / . - М.: Просвещение.- 1995.

23. Занимательная математика / Сост. Л.М. Кубашина. - Чебоксары.- 1995.

24. Задачник. Нестандартная математика в школе. - М.: Лайда.- 1993.

25. Зак А.З. Задачи для развития логического мышления // Начальная школа. - 1989. - №6. - С. 32 - 33.

26. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. - М.: Наука.- 1982.

27. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. Пособия для учителя. - М.: Просвещение.- 1985.

28. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического кружка. - М.: МИРОС.- 1994. - 128 с.

29. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. - М.- 1980.

30. Комар О. Активизация познавательной деятельности учащихся при изучении мер времени // Начальная школа. - 1994. - №6. - С. 43.

31. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - 3-е изд. - М.: Гостехиздат.- 1956. - 575 с.

32. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. - М.: Учпедгиз, 1958.

33. Король А.Я., Хаперская А.А. Приёмы активизации на уроках математики // Начальная школа. - 1979. - №10. - С. 28.

34. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. - М.: Просвещение, 1976.

35. Лаврова Н.Н. Логические ошибки младших школьников и некоторые причины их возникновения. - В кн.: Дидактика начального обучения. - М.,1977. - С. 66 - 71.

36. Лебедева Л.Л. Для развития познавательной активности. Задачи для 2 - 3 класса // Начальная школа. - 1988. - №6. - С.37 - 40.

37. Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. - М.: Просвещение, 1978.

38. Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в первом классе // Приложение к газете «Первое сентября».- 2001. - №4.

39. Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики во втором классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №12.

40. Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в третьем классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №22.

41. Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в четвёртом классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №39,44

42. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М.: Политиздат.- 1977.

43. Мазаник А.А. Реши сам. - Минск: Народная асвета.- 1980.

44. Махмутов М.И. Проблемное обучение. - М.: Педагогика.-1975.

45. Махров В.П. Решение логических задач // Начальная школа. - 1979. - №2. - С.56.

46. Мельник Н. Б. Развитие логического мышления при изучении математики // Начальная школа. - 1997. - №5. - С.63.

47. Михайлов И.И. Занимательные задачи // Начальная школа. - 1986. - №6. - С.32 - 33.

48. Моро М.И, Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1 - 3 классах. - М.: Просвещение.- 1988.

49. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. - 5-е изд. - М.: Просвещение.- 1988. - 180с.

50. Николау Л.Л. Логические упражнения // Начальная школа. - 1996. - №6. - С. 25 - 26.

51. Основы методики начального обучения математике / Под ред. А.С. Пчелко. - М.: Просвещение, 1965.

52. Павлов Ю.В. Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента. - М., 1972.

53. Педагогическая энциклопедия, Т. 2. - М.- 1965. - С.266.

54. Перельман Я.И. Весёлые задачи. - М.: Пилигрим, 1997

55. Перельман Я.И. Живая математика. - Чебоксары: РИО тип. №1 по заказу ТОО «Арта», 1994. - 200с.

56. Пойа Д. Как решать задачу. Пер. с англ.: Пособие для учителей / Под ред. Ю.М.Гайдука. - М.: Учпедгиз, 1959.

57. Поляк Г.Б. Занимательные задачи. - М., 1953.

58. Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. - М., 1969.

59. Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 77с.

60. Русанов В.Н. Занимательные задачи сказочного характера // Начальная школа. - 1989. - №5. - С.33 - 36.

61. Свечников А.А. Решение математических задач в 1 - 3 классах. - М.: Просвещение, 1976.

62. Столяр А.А. Как мы рассуждаем? - Минск, 1968.

63. Терентьева Л.П. Час интеллектуального развития младшего школьника: Спецкурс. - Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2000

64. Труднев В.П. Методика проведения внеклассной работы по математике. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1975. - 175с.

65. Считай, смекай, отгадывай / для учащихся начальной школы / - СПб.: Лань, МИК, 1996. - 208с.

66. Шамова Т. И. Активизация учения школьников. - М.: Знание, 1979.

Приложение 1

Примерная контрольная работа с использованием нестандартных задач за 4 класс, применённая нами в ходе исследования.

Задача 1

Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные дисциплины (химию, биологию и историю) в университетах Москвы, Санкт-Петербурга, Киева.

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге.

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Способ решения, предложенный учеником экспериментального класса Соловьёвым Дмитрием.

Москва Иван химия

Санкт-Петербург Дмитрий биология

Киев Сергей история

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге (стрелки зачёркиваю).

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Москвич преподаёт не историю, следовательно, он преподаёт биологию, т.к. петербуржец преподаёт химию. Тогда киевлянин преподаёт историю.

Дмитрий не проживает в Санкт- Петербурге и не преподаёт биологию, а петербуржец преподает химию. Следовательно, Дмитрий преподаёт историю в университете Киева.

Иван работает не в Москве. Следовательно, он работает в Санкт-

Петербурге и преподает химию.

8) Тогда Сергей преподаёт биологию в Москве, в университете.

Задача 2

Три товарища, Алёша, Коля и Саша, сели на скамейку в один ряд. Сколькими способами они могут это сделать?

Способ решения, предложенный ученицей экспериментального класса Пинариной Надеждой.

Пусть А - Алёша, К - Коля, С - Саша. Тогда возможны варианты: А,К,С; А,С,К; К,А,С; К,С,А; С,А,К; С,К,А.

Алёша, Коля и Саша могут расположиться на скамейке 6 способами.

Задача 3

У Марины было целое яблоко, две половинки и четыре четвертинки. Сколько было у неё яблок?

Ответ: 3 яблока.

Приложение 2

Примерная годовая контрольная работа для 4 класса, проведённая нами во время опытно-экспериментальной работы

1 вариант

Задание 1.Решить пример:

100520-470*50+13980

Задание 2.

Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Один двигался со скоростью 60 км/ч и проехал до встречи 120 км, а другой со скоростью 75 км/ч. Найти расстояние между городами.

Задание 3.

7825:100 320*200

9256:1000 4500:500

3340:20 20760:60

Задание 4.

Длина прямоугольника 120 мм, ширина в 2 раза меньше. Найти периметр и площадь.

2 вариант

Задание 1. Решить пример:

14110+810000:900-7604

Задание 2.

Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Один из них двигался со скоростью 25 км/ч и проехал до встречи 75км, а другой двигался со скоростью 20 км/ч. Найти расстояние между городами.

Задание 3.

6927:100 240*300

8758:1000 4200:700

6020:70 47360:80

Задание 4.

Длина прямоугольника 140 мм, ширина на 30 мм меньше. Найти периметр и площадь прямоугольника.

Приложение 3

Условия и решения отдельных задач на межрайонной математической олимпиаде младших школьников из книжки «Занимательный винегрет для любознательных»

Три брата делили наследство - два одинаковых дома. Чтобы все получили поровну в денежном выражении, братья сделали так: два старших взяли себе по дому, а младшему они заплатили деньги - по 600 рублей каждый. Много ли стоит каждый дом?

Решение: Младший брат получил 600* 2= 1200(р). Такова доля каждого брата. Значит, все наследство составляет 1200 * 3= 3600 (р).

Каждый дом стоит 3600:2= 1800 (р).

Ответ: 1800 р. стоит каждый дом.

Расшифруй пример на сложение трех двузначных чисел:

1А + 2А + 3А=7А. Все четыре буквы А означают одну и ту же цифру.

Ответ: 15+25+35=75

В магазине было шесть разных ящиков с гвоздями, массы которых 6, 7, 8, 9. 10, 11 кг

Пять из них приобрели два покупателя, причем каждому гвоздей по массе досталось поровну.

Какой ящик остался в магазине? Сколько решений имеет задача?

Решение: рассмотрим шесть случаев.

Пусть остался 1-й ящик. Тогда масса гвоздей в остальных ящиках 7+8+9+10+11= 45 (кг). Но 45 не делится на 2. Значит, оставшиеся гвозди нельзя разделить пополам, не вскрывая ящики. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что не могут остаться 3-й или 5-й ящики.

Пусть остался 2-й ящик. Тогда в остальных ящиках гвоздей 6+8+9+10+11= 44(кг). 44:2=22(кг). Однако среди чисел 6,8, 9, 10, 11 нельзя подобрать такие, чтобы их сумма была ровна 22.

Таким жерассуждением устанавливаем, что не может остаться последний ящик.

Пусть останется 4-й ящик. Тогда масса гвоздей в остальных: 6+7+8+10+11=42(кг). 42:2=21(кг; 21=10+11=6+7+8(кг).)

Ответ: остался 4 ящик. Задача имеет единственное решение.

Примечание. Достаточно, если дети решат эту задачу подбором.

Приложение 4

Нестандартный урок математики по теме «Решение задач разными способами. Закрепление» 2 класс (на кануне Дня защитника Отечества)

Урок проходит в игровой форме. Ученики на время урока становятся курсантами. А учитель руководителем учебных сборов., которые проводятся на уроке математики.

На доске обозначен замаскированный маршрут следования, этапы которого соответствовали этапам урока.

Цель:1. закрепить умение решать задачи разными способами;

2.отработать вычислительные навыки сложения и вычитания в пределах 100;

3. развивать логическое мышление;

4. осуществлять дифференцированный подход к обучению учащихся;

5. воспитывать интерес к истории нашей Родины, любовь, уважение к защитникам Отечества, гордость за них;

6. повторить правила дорожного движения.

Ход урока.

Организационный момент.

Учитель обращается к «курсантам»:

-Рота, смирно! Товарищи курсанты, накануне Дня защитника Отечества мы проводим учебные сборы.

Цель учений: отработать тактику решения задач разными способами.

Для выполнения поставленных целей взводу №1 занять свои позиции! Взводу №3 занять свои позиции! (Взводы укомплектованы по уровню способностей.)

1.Минутка чистописания.

-Кодовый номер наших учений число 23 (оно записано на доске.)

- Почему?

Пока дети записывают число 23 в тетрадь, учитель рассказывает о празднике, который отмечается в нашей стране 23 февраля.

- 23 февраля 1918 года только что созданная Рабоче-крестьянская Красная армия вступила в бой с немецкими оккупантами и преградила путь к Петрограду. Этот день стал рождением Красной Армии.

После Великой Отечественной войны наши вооруженные силы стали называться Советской армией, а день 23 февраля - день Советской армии и Военно-морского флота. С распадом Советского Союза с марта 1995 года день 23 февраля стал отмечаться как день защитника Отечества.

Устный счет.

Перед вами карта следования по маршрутам с учебными заданиями.

Цель первая - отработка вычислительных навыков.

Учитель снимает маскировку с первой цели, открывая запись на доске:

63+7

18+9 58-5

Ученики читают выражения, используя изученную математическую терминологию.

Например, первое выражение можно прочитать следующим образом:

а) из числа 70 вычесть 35, получится 35;

б) разность чисел 70 и 35 равна 35;

в) уменьшаемое 70, вычитаемое 35, разность равна 35;

г) число70 уменьшить на 35, получится 35 и т.д.

во время работы над последним выражением едет усложнение задания.

- прочитайте новое выражение и вычислите его значение: 58-5+3

Как надо изменить последнее выражение, чтобы, чтобы его значение стало равно 50?

(Надо поставить скобки: 58-(5+3.) прочитайте полученное выражение.

Учитель заранее выполняет на доске 3 краткие записи задач, в которых говорится про две полки с книгами:

I п. - а кн.

II п. - на b…

2) I п. - а кн.

II п.-…

3) I п.-…} c кн.

II п.-…

- Дополните условия и вопросы задач, чтобы каждая задача решалась вычитанием.

3. Гимнастика для глаз.

Далее на маршруте следования встречается знак «Пункт первой медицинской помощи».

- Для лучшего видения конечной цели наших сборов медицинской сестре (учитель называет фамилию ученицы)