Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

III, 2. Каждое движение Н сохраняет отношение порядка на прямой.

Это означает, как, наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой а можно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когда для точек X и Y прямой а имеет место X < Y, для соответствующих им точек прямой На имеет место HX < HY.

Из этих двух аксиом следует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость в полуплоскость.

III, 3. Движения образуют группу.

Это значит:

а) Сопоставление Н⁰ каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение. Это движение называется тождественным.

б) Если движение Н₁ сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н₂ сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н₂Н₁ и называется произведением движений.

в) Для каждого движения Н существует движение Н^-1 такое, что Н^-1Н=Н⁰. Движение Н^-1 будем называть обратным.

III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка А остаются неподвижными, то все точки полупрямой h остаются неподвижными.

III, 5. Для каждой пары точек А и В существует движение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А

III, 6. Для каждой пары лучей h, k (полупрямых), исходящих из одной точки, существует движение Н, их переставляющее: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Пусть б и в - любые плоскости, а и b - прямые в этих плоскостях, А и В - точки на прямых а и b. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости б, определяемую прямой а, - в заданную полуплоскость плоскости в, определяемую прямой b.

Теорема 10. Пусть б - плоскость, и а - принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую из полуплоскостей плоскости б, определяемых прямой а, в себя и оставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным.

Действительно, тождественное движение Н⁰ обладает указанными в теореме свойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним.

Определим теперь понятие конгруэнтности. Фигуру F₁ мы будем называть конгруэнтной фигуре F₂, если существует движение Н, переводящее F₁ в F₂: HF₁=F₂. Из групповых свойств движения (аксиома III, 3) вытекают следующие свойства отношения конгруэнтности:

1. Каждая фигура F конгруэнтна сама себе.

Действительно, тождественное движение Н⁰ переводит F в F.

2. Если фигура F₁ конгруэнтна F₂, то фигура F₂ конгруэнтна F₁.

В самом деле, если Н - движение, переводящее фигуру F₁ в F₂, то движение Н^-1 переводит фигуру F₂ в фигуру F₁.

3. Если фигура F₁ конгруэнтна F₂, а фигура F₂ конгруэнтна фигуре F₃, то фигура F₁ конгруэнтна F₃.

Действительно, если Н' - движение, переводящее фигуру F₁ в F₂, а Н'' - движение, переводящее фигуру F₂ в F₃, то движение Н''Н' переводит F₁ в F₃.

Впервые подобную систему предложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур.

Спустя ещё десять лет немецкий математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, - 8.12.1955, Цюрих) создал векторную аксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и «вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомы сложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу), аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладывания векторов (в частности, аксиома треугольника: ), аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметрии в ней утверждается: если даны три ненулевых вектора , и , то какой-нибудь из них выражается в виде комбинации двух других: ). При заданных точке А и ненулевом векторе прямая (А, ) определяется как множество всех точек М, для которых вектор пропорционален , то есть найдётся такое действительное число t, что . Далее определяются отрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояние между А и В - как квадратный корень из скалярного квадрата вектора , то есть . Теорема Пифагора легко доказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности - с помощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.

В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.

Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля

2.1 Элементы сферической геометрии

В этом пункте рассмотрены элементы так называемой сферической геометрии - геометрии сферы евклидова пространства. Кратчайшими (геодезическими) или прямыми линиями на сфере являются большие окружности, т. е. такие окружности, плоскости которых проходят через центр данной сферы.

Так как любые два больших круга пересекаются, то в сферической геометрии не осуществляется ни постулат Евклида, ни аксиома параллельности Лобачевского. В этой геометрии не выполняется также ряд других фактов абсолютной геометрии.

Например, прямые в сферической геометрии замкнуты и на них невозможно установить понятие точки, лежащей «между» для трех точек, инцидентных прямой, так как каждую из этих точек на окружности можно считать точкой, лежащей между двумя другими. Две точки на большом круге определяют два отрезка и прямые имеют конечную длину. Таким образом, аксиомы порядка в сферической геометрии должны описывать свойства циклического расположения точек на прямой. И все же, несмотря на указанные различия в сферической геометрии имеется много свойств, аналогичных соответствующим свойствам в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эти геометрии, включая и геометрию достаточно малых кусков сферы, в основных вопросах не противопоставляются между собою, а копируют друг друга.

Возьмем на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС и АС больших окружностей, меньших полуоборота, называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги, АВ, ВС, АС -- его сторонами. Углом А сферического треугольника АВС называется, угол между касательными, проведенными к дугам АВ и АС в точке их пересечения А. Очевидно, этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями больших окружностей АВ и АС. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трехгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трехгранного угла получим сферический треугольник.

Из школьного курса геометрии известно, что в трехгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. В геометрии сферы этому предложению соответствует следующая теорема. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

На основании этой теоремы, как и в обычной планиметрии, доказывается, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, обратно, против большего угла лежит большая сторона.

В этой геометрии имеются сферические двуугольники -- фигуры более простые, чем сферические треугольники. Сферический двуугольник, по определению, представляет часть сферы, ограниченную двумя большими полуокружностями, пересекающимися в двух диаметрально противоположных точках.

Симметрия сферы относительно диаметральной плоскости и поворот ее вокруг диаметра на данный угол, очевидно, представляют собой примеры преобразований сферы, при которых расстояния между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Приведем общее определение.

Преобразования сферы, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками, называются движениями. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых движениях сферы.

Полярные треугольники

Всякая плоскость , проходящая через центр сферы, пересекает эту сферу по большой окружности. Концы А, А' диаметра, перпендикулярного плоскости , называются полюсами этой окружности. В этом случае большая окружность называется полярой точек А и А'.

Очевидно, все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное R/2, где R обозначает радиус данной сферы. Ясно также, что если данная точка удалена от двух точек большой окружности на расстояние R/2, то она является полюсом этой большой окружности. Перейдем теперь к определению полярного треугольника.

Если вершины треугольника АВС являются полюсами сторон другого сферического треугольника А₁В₁С₁, то этот последний называется полярным треугольником по отношению к данному.

Таким образом, радиус-вектор перпендикулярен векторам и , т. е.

Аналогично будем иметь

Отсюда следует, что если треугольник А₁В₁С₁ будет полярным к треугольнику АВС, то треугольник АВС в свою очередь будет полярным по отношению к треугольнику А₁В₁С₁.

Таким образом, сферические треугольники АВС и А₁В₁С₁, взаимно полярны друг другу.

Будем обозначать вершины и углы сферического треугольника большими буквами латинского алфавита А, В, С, а противоположные им стороны -- соответствующими малыми буквами того же алфавита а, Ь, с. Вершины и противоположные им стороны полярного треугольника будем обозначать теми же буквами с индексами А₁, В₁, С₁, соответственно a₁, b₁, c₁.

Линейные элементы треугольника здесь и в дальнейших формулах входят в виде отношений к радиусу сферы, поэтому целесообразно ввести следующее понятие приведенной длины. Расстояние между двумя точками на сфере, отнесенное к ее радиусу, будем называть приведенным расстоянием.

Докажем следующее предложение о взаимно полярных треугольниках.

Теорема. Угол одного сферического треугольника и соответствующая ему приведенная сторона взаимно полярного треугольника дополняют друг друга до , т. е.

и т. д. Так как

(*)

То из (*) следует, что

Таким образом, выводим

Аналогично доказываются остальные равенства:

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии.

Формулы прямоугольного треугольника в сферической геометрии

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии. Пусть в евклидовом пространстве нам дана сфера радиуса R. Возьмем на ней прямоугольный треугольник AВС со сторонами a, b, с, которые будут дугами больших кругов соответственно ВС, СА и АВ, причем условимся считать (рис. 2). Последнее означает, что касательные в точке С, проведенные к большим дугам СА, СВ, перпендикулярны. Выясним связь между линейными и угловыми элементами данного прямоугольного треугольника.

Опустим из точки В перпендикуляры ВС₁, и ВА₁ на прямые ОС и ОА евклидова пространства. Из треугольника ОВС₁, имеем

(*)

Аналогично из треугольников OBA₁ и BA₁C₁ следует, что

(**)

Исключая из этих трех соотношений BC₁ и BA₁, получим

 (1.1)

Формула (1.1) показывает, что синус приведенного катета равняется синусу приведенной гипотенузы, умноженному на синус противолежащего угла треугольника.

В предыдущем рассуждении основание С₁, перпендикуляра ВС₁, может совпадать с центром сферы или быть левее его на диаметре ОС. Но можно убедиться, что получаемые ниже формулы, как и формула (1.1), будут всегда справедливы. Кстати отмечу еще раз, что рассматриваются только такие сферические треугольники, которые определяются его вершинами и наименьшими дугами больших окружностей, попарно их соединяющими.

Выясним связь гипотенузы c с катетами а и b. Из треугольника ОВС₁, имеем

(1.2)

Далее из треугольника ОВА₁ и ОС₁А₁ следует, что

Исключая из полученных трех равенств ОС₁ и ОА₁ будем иметь

. (1.3)

Эта формула выражает теорему Пифагора: косинус приведенной гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведению косинусов приведенных катетов. Аналогичным образом выводятся другие формулы. Например, из прямоугольного треугольника А₁ВС₁ следует, что

 (1.4)

Далее, так как

то из (1.2) имеем

(1.5)

С другой стороны,

(1.6)

Из (*, 1.4- 1.6) вытекает, что

(1.7)

Наряду с этой формулой справедлива также парная формула

(1.7')

Перемножая почленно последние два соотношения, получим

Отбрасывая ненулевые сомножители и применяя теорему Пифагора, окончательно будем иметь

(1.8)

Возьмем теперь другое выражение А₁С₁ через соs A. Так как

то из (**) и (1.5-1.6), имеем

Отсюда следует, что

(1.9)

Из (1.1) вытекает также, что

Последние два равенства дают

Или

 (1.10)

Доказанные формулы прямоугольного треугольника можно выписать, пользуясь так называемым правилом Непера. Чтобы сформулировать это правило, условимся располагать элементы прямоугольного треугольника а, В, с, А, b в указанном на циклическом порядке.

Для каждого из этих элементов предшествующий и последующий элементы называются прилежащими, а остальные два элемента -- противолежащими. Для катета b, например, элементы a, А будут прилежащими, а элементы с, В -- противолежащими. Прилежащими элементами для гипотенузы являются углы A и В, а противолежащими -- катеты а и b.

Сформулируем теперь правило Непера. Косинус любого элемента сферического прямоугольного треугольника равняется произведению синусов противолежащих элементов или произведению котангенсов прилежащих элементов. Если под знаком функции стоит катет, то тригонометрическая функция меняется на смежную - синус а косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Заметим также, что во всех формулах длины катетов и гипотенузы делятся на радиус сферы R.

Формулы косоугольного треугольника в сферической геометрии

Получим сначала теорему косинусов. Пусть АВС произвольный сферический треугольник. Опустим из вершины В высоту ВD. Применяя к треугольнику ВDС теорему Пифагора, получим

,

где d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишем предыдущее равенство, преобразуя второй множитель о формуле косинуса разности:

.(1.11)

Первый и третий множители в первом члене правой части по теореме Пифагора дают . Упростим второй член в правой части. Так как

,

то заменяя по формуле (1.9) на , получим

Таким образом, из (1.11) следует, что

(1.12)

Эта зависимость, выражающая сторону сферического треугольника через две другие стороны в косинус противолежащего угла, называется теоремой косинусов.

Докажем теперь теорему синусов. Из прямоугольного треугольника АВD и ВDС (рис. 6) получаем



Отсюда следует, что

Если опустить теперь высоту из вершины А, то будем иметь

Следовательно

(1.13)

Эти зависимости сторон и синусов противолежащих углов составляют теорему синусов сферического треугольника АВС.

Вторая теорема косинусов

Предположим, что сферический треугольник А₁В₁С₁, является полярным к данному треугольнику АВС. Применяя к нему теорему косинусов, получим

Но в силу формул (см. Полярные треугольники), имеем



Заменяя в предыдущем равенстве стороны и углы только что выписанными выражениями, получим

Или

(*)

Формула и составляет содержание 2-й теоремы косинусов: Косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратным знаком, и сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус приведенной противоположной стороны. Аналогичные две формулы можно получить круговой заменой линейных и угловых элементов данного треугольника АВС.

Из второй теоремы косинусов следует, что в сферической геометрии не существует неравных треугольников с соответственно равными углами. Другими словами, если углы, одного сферического треугольника равны соответствующим углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

В заключение установим лишь совпадение формул сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами с соответствующими формулами евклидовой геометрии.

О сферической геометрии в малом

Пусть линейные размеры а, b, с сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы R. Очевидно, эти условия можно осуществить за счет малости указанных линейных размеров или за счет выбора достаточно большого значения R. Из формулы, выражающей теорему косинусов, следует

Учитывая в этом равенстве члены до второго порядка малости включительно, получим теорему косинусов евклидовой геометрии:

(1.14)

В случае прямоугольного сферического треугольника с углом имеем cos A=0 и формула (1.12) в пределе приводит к соотношению

,

составляющему теорему Пифагора в геометрии Евклида. Это равенство следует также из (1.14) при .

Так как при малых размерах приведенных сторон их синусы в первом приближении пропорциональны аргументам, то из (1.13) следуют две связи

,

выражающие теорему синусов в евклидовой геометрии.

Следовательно, формулы сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами по сравнению с радиусом сферы совпадают с соответствующими формулами евклидовой геометрии. Аналогичный результат получим ниже при рассмотрении формул геометрии Лобачевского.

2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости

Были показаны простейшие факты сферической геометрии, в которой всякие две прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Для того, чтобы освободиться от указанного недостатка и прийти к новой геометрии, в которой прямые имели бы не более одной общей точки, условимся считать всякую пару диаметрально противоположных точек сферы за одну точку. Полученную новую поверхность после такого отождествления пар точек сферы будем называть эллиптической плоскостью и обозначать символом S₂.

Ясно, что получим ту же плоскость, если будем строить фактормножество множества векторов евклидова пространства отношению эквивалентности в которой тогда и только тогда, когда векторы и непропорциональны.

Прямые эллиптической плоскости получаются из больших кругов в результате указанного отождествления пар точек и будут по-прежнему замкнутыми линиями. Но построенная плоскость S₂ стала принципиально новым объектом математического исследования.

Оставаясь замкнутой поверхностью, она утратила свойство двухсторонности. Эллиптическая плоскость является односторонней поверхностью, то есть, раскрашивая какую-нибудь одну сторону этой поверхности, раскрасим ее с обеих сторон. В эллиптической геометрии отсутствует понятие точки, лежащей между двумя другими, если они инцидентны прямой, так как две точки на прямой определяют два взаимно дополнительных отрезка. В этой геометрии можно установить понятие разделения двух пар точек А, В и М, N, инцидентных прямой. Пара A, B разделяет пару М, N, если точки М, N лежат в разных отрезках, определенных на данной прямой точками А и В. Можно убедиться, что пара точек A, В разделяет пару М, N тогда и только тогда, когда двойное отношение

(АВМN) = АМ/ВМ:АN/ВN

четырех точек А, В, М, N отрицательно.

Разумеется, эллиптическую плоскость можно представить себе также в виде полусферы, у которой диаметрально противоположные точки экватора считаются за одну точку. Объекты новой модели находятся в определенных сопоставлениях с объектами известной модели на сфере. Благодаря этому без обращения к аксиомам выводим, что эти две модели реализуют одну и ту же геометрию.

Проектирование из центра О евклидова пространства на плоскость, касательную к сфере в точке С, где ОС, переводит прямые эллиптической плоскости в прямые евклидовой плоскости . Если к точкам касательной плоскости присоединить несобственные точки, то построенное центральное проектирование будет взаимно однозначным отображением всех точек эллиптической плоскости на все точки расширенной евклидовой (проективной) плоскости. Не будем выписывать систему аксиом эллиптической геометрии и заметим лишь, что ее можно получить из аксиом проективной геометрии и аксиом конгруентности.

Все понятия плоскости S₂ переводятся по отображению в некоторые понятия двухмерной проективной геометрии. Сопоставление соответствующих геометрических образов полученной проективной модели характеризуется следующей таблицей:

«точка»	точка проективной плоскости
«прямая»	прямая проективной плоскости
«равенство отрезков»	равенство прообразов отрезков

Большое достоинство проективной модели состоит в том, что точки и прямые в ней изображаются привычными для нас образами. Однако, при изучении свойств конгруентных фигур сферическая модель становится более удобной.

Заметим также, что прямые и плоскости связки О евклидова пространства определяют новую модель плоскости S₂, соответствующие геометрические образы которой представляются следующей таблицей:

S2	Связка прямых и плоскостей в Е3
«точка»	Плоскость связки
«разделение двух пар точек»	Разделение двух пар прямых одного и того же пучка прямых
«расстояние между двумя точками»	Величина, пропорциональная углу, между двумя прямыми связки

Реализация эллиптической плоскости в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены, позволяет на этой плоскости ввести координаты (х, у, z), связанные соотношением

x²+y²+z²=R²;

где R называется радиусом кривизны, а обратная величина квадрата радиуса -- кривизной. В этих координатах расстояние а между двумя точками А (х₁, у₁, z₁) и В(х₂, у₂, z₂ ) определяется по формуле

. (2.1)

Отношение расстояния между точками к радиусу кривизны называется приведенным расстоянием. Две точки плоскости S₂ называются полярными, если соответствующие этим точкам прямые трехмерного евклидова пространства ортогональны. Другими словами, полярные точки характеризуются тем, что приведенное расстояние между ними равняется . Отрезок прямой, ограниченный полярно сопряженными точками, называется полупрямой. Прямая состоит из двух полупрямых и имеет длину, равную . Очевидно, геометрическое место точек, полярных данной точке А (х₁, у₁, z₁), образует прямую

 (2.1')

Эта прямая называется полярой точки A, а точка А - полюсом прямой (2.1').

Прямые, перпендикулярные прямой, пересекаются в ее полюсе. Обратно, всякая прямая, проходящая через полюс данной прямой, будет перпендикулярной к этой прямой. Отсюда следует, что через каждую точку плоскости, отличную от полюса данной прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Эти свойства непосредственно вытекают из определения полюсов и поляр.

В геометрии S₂ можно построить взаимно однозначное отображение между точками и прямыми, при котором каждой точке соответствует ее полярная прямая, а каждой прямой - ее полюс. Такое отображение называется полярным отображением. В эллиптической плоскости единичной кривизны полярное отображение переводит две прямые а, b в такие точки А, В, что расстояние между этими точками равняется углу между данными прямыми. Отсюда вытекает так называемый принцип двойственности в эллиптической планиметрии: если в какой-нибудь теореме эллиптической геометрии заменить слова «точка», «прямая», «расстояние» и «угол» соответственно на слова «прямая», «точка», «угол» и «расстояние», то в результате получим также справедливое предложение в этой геометрии. Примером двойственных предложений, т. е. предложений, получающихся одно из другого, указанного правила является следующее: любые две точки определяют прямую, им инцидентную; любые две прямые определяют точку, им инцидентную.

Найдем теперь расстояния между двумя бесконечно близкими точками М (х, у, z) и M' (х + dх, у + dу, z + dz). Из формулы (2.1) следует, что

. (2.2)

Откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка включительно имеем

ds=-2(xdx+ydy+zdz).

Учитывая, что координаты точки (х + dх, у + dу, z + dz) удовлетворяют равенству

(х + dх)² +(у + dу)²+ (z + dz)² =R²,

будем иметь

2(хdх + уdу + zdz) + dx² + dу² + dz² = 0.

ds² = dx² + dу² + dz². (2.2')

Полученная формула приводит к очевидному выводу о том, что в малом геометрия эллиптической плоскости совпадает со сферической геометрией. В частности, формулы (1.12) и (1.13) выражающие соответственно теорему косинусов и синусов, справедливы и в эллиптической геометрии. Формула 2.2' показывает также, что движения эллиптической плоскости S₂ представляются вращениями и отражениями евклидова пространства E₃ вокруг начала координат. Указанные движения определяются ортогональными матрицами. Так называются матрицы, у которых сумма квадратов элементов каждого столбца равняется единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равняется нулю. Так как матрицы, отличающиеся знаками, индуцируют одно и то же движение в эллиптической плоскости, то группа движений последней связана.

Площадь треугольников в эллиптической геометрии

Пусть в эллиптической плоскости дан треугольник AВС, обозначенной на рис. 8 номером I. Как известно, на данной плоскости порождаются еще три треугольника с теми же вершинами. Эти треугольники обозначены на рисунке номерами II, III, IV. Так как вcя эллиптическая плоскость конечна и имеет площадь, равную 2R² , то площадь части плоскости, ограниченной вертикальными углами А треугольника I, равняется

Аналогично, площадь частей эллиптической плоскости, ограниченных вертикальными углами В и С треугольника AВС, равны 2R²B, 2R²С. С другой стороны, сумма всех трех найденных площадей составляет площадь всей эллиптической плоскости с добавленной удвоенной площадью S_АВС данного треугольника АВС. В результате получаем

.

Отсюда вытекает, что

S_АВС = R²(A + B + C - ). (2.3)

Эта формула показывает, что площадь треугольника пропорциональна его дефекту. Можно доказать, что в геометрии Лобачевского площадь треугольника АВС определяется по формуле, аналогичной (2.3),

S_АВС = k²( - A - B - C ),

где k -- радиус кривизны.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек М(х, у, z), отстоящих от данной точки А(х₁,у_1,z₁) на данное расстояние r. Точка A называется центром окружности, r - ее радиусом.

К понятию окружности можно прийти другим путем, отправляясь от пучков прямых и соответствующих точек на прямых данного пучка. Эти вспомогательные понятия здесь вводятся так же, как в геометрии Лобачевского. Совокупность прямых, пересекающихся в данной точке A, называется пучком прямых первого рода. Точка А называется центром пучка. Пучком прямых второго рода называются прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой а. Нетрудно убедиться, что эти пучки двойственны друг другу. В самом деле, поляра центра пучка прямых первого рода ортогонально пересекает все прямые пучка и рассматриваемая совокупность прямых является пучком прямых второго рода. Обратно, прямые пучка второго рода проходят через полюс оси пучка и составляют пучок прямых первого рода. Таким образом, всякий пучок прямых одновременно является пучком первого и второго рода. Предположим, что точки М и N лежат соответственно на прямых тиn данного пучка прямых. Эти точки М, N называются соответствующими, если отрезок МN образует равные односторонние углы с прямыми т и n. Простейшая кривая здесь определяется так же, как в планиметрии Лобачевского. Эта кривая по определению является множеством точек, соответствующих точке М на прямой т данного пучка. Полученная таким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса r с центром в точке А и эквидистантой с высотой r' = R/2 -- r. Можно установить, что окружность ортогонально рассекает прямые своего пучка.

Из (2.1) следует, что уравнение окружности (рис.9) с центром в точке А(х₁,у₁,z₁) и радиусом r < R/2 приводится к виду:

. (2.4)

Наличие двойного знака объясняется тем, что правая часть положительна, а выражение в скобках может иметь значение разных знаков.

Заметим, что множество точек, равноудаленных от двух точек A, В, состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через полюс прямой, определенной данными точками. Одна из этих прямых делит пополам один отрезок АВ, а другая - дополнительный. Отсюда вытекает существование одной и только одной окружности, описанной около заданного треугольника АВС. В частности, три точки, не принадлежащие прямой, определяют на эллиптической плоскости четыре треугольника. Таким образом, через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, можно провести четыре окружности, которые на сферической модели определяются следующими тройками точек: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, где А', В', С' обозначают точки, диаметрально противоположные соответственно к точкам А, В, С.

Рассмотрим вкратце свойства пар окружностей в эллиптической плоскости. В сферической геометрии две окружности, как и в евклидовой плоскости, могут не пересекаться друг с другом, касаться или пересекаться в двух точках. В эллиптической геометрии свойства пар окружностей более многообразны. Чтобы убедиться в этом, предположим, что эллиптическая плоскость интерпретирована в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены. В этом случае, окружность эллиптической плоскости представляется на такой сфере в виде двух окружностей, лежащих в параллельных и равноудаленных от центра сферы плоскостях. Обратно, две окружности, полученные от пересечения сферы симметрическими относительно ее центра плоскостями, изображают в эллиптической геометрии одну окружность. Сделанные замечания позволяют составить представление о новых случаях взаимных положений двух окружностей по сравнению с сферической или евклидовой планиметрией.

2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля

О псевдоевклидовой планиметрии

а) В евклидовой плоскости, как известно, формула квадрата расстояния между двумя точками М(х₁, х₂) и N(у₁, у₂) в декартовой, прямоугольной системе координат представляется в виде

d(M,N)²=(y₁ - x₁)²+(y₂ - x₂)². (3.1)

Угол между векторами ОМ и ОN вычисляется из соотношения

. (3.2)

Первая формула по существу выражает теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными абсолютным величинам и гипотенузой МN. Вторая же формула представляет собою формулу косинуса разности углов, образованных соответственно ОМ и ON c координатным вектором .

Теперь изменим формулы (3.1) и (3.2) и будем определять расстояние между указанными двумя точками и величины данных углов по формулам соответственно

d(M,N)=(y₁ - x₁)² - (y₂ - x₂)² (3.3)

(3.4)

Прежние пары точек теперь будут иметь другие расстояния» а прежние углы - другие величины. Это по существу новая своеобразная двухмерная геометрия.

Чтобы подчеркнуть наличие другой метрики и не путать новые расстояния и величины углов со старыми, условимся называть координатную плоскость (x₁, x₂) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклидовой плоскостью.

б) Для большей аналогии с евклидовой геометрией целесообразно ввести новое скалярное произведение векторов как произведение их длин на косинус угла между ними. Ясно, что это произведение векторов отличается от обычного скалярного произведения тех же векторов, так как длины векторов (расстояние между начальной его и конечной точками) и косинус угла понимается в смысле псевдоевклидовой геометрии.

Не будем далее перечислять следствий из формул (3.3), (3.4) и дадим аксиоматическое определение псевдоевклидовой геометрии. Делается это следующим образом.

Вместо аксиомы IV, 3 вейлевской аксиоматики, в которой говорится о том, что скалярный квадрат вектора неотрицательный, вводится другая аксиома IV, 3' о существовании ненулевых векторов первого, второго, и третьего типов, скалярные квадраты которых соответственно положительны, отрицательны и равны нулю.

Все другие аксиомы Вейля сохраняются без изменения в псевдоевклидовой геометрии. Конечно, предполагаем, что аксиомы размерности III соответствующим образом согласованы. Если речь идет о плоскости, то в аксиоме III, 1 утверждается существование двух линейно независимых векторов, а в аксиоме III, 2 утверждается, что всякие три вектора линейно зависимы.

Совокупность точек называется псевдоевклидовой плоскостью, если эти точки и их упорядоченные пары (свободные векторы) удовлетворяют аксиомам групп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, векторы псевдоевклидовой плоскости удовлетворяют аксиомам /--///- IV - 1, 2, 3' и образуют двухмерное псевдоевклидово векторное пространство.

В псевдоевклидовой геометрии аффинная часть полностью
совпадает с аффинной частью евклидовой геометрии. Но в метрических вопросах геометрии эти значительно отличаются друг
от друга, метрика пространства по существу определяется аксиомами скалярного произведения векторов и среди них важную роль играет именно аксиома IV, 3'.

в) Скалярное произведение двух векторов , в смысле псевдоевклидовой геометрии будем обозначать символом П. Векторы , называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

По-прежнему число П называется скалярным квадратом вектора ; корень квадратный из П которого называется длиной вектора и обозначается через ||.Таким образом,

,

Ясно, что длина вектора будет положительной, чисто мнимой или нулевой, если соответственно скалярный квадрат П>0, П<0 или П=0. Векторы положительной и чисто мнимой длины называют также соответственно пространственными и временными.

Ненулевые векторы, длины которых равны нулю, называются изотропными.

Введем понятие прямоугольной декартовой системы координат. Прямоугольной декартовой системой координат или просто прямоугольной системой координат псевдоевклидовой плоскости называется такая аффинная система координат, векторы которой единичны или мнимоединичны и взаимно перпендикулярны.

Следовательно, один из координатных векторов псевдоевклидовой плоскости, например, будет единичным, а другой - мнимоединичным. Таким образом, скалярное произведение координатных векторов прямоугольной системы координат определяются равенствами

. (3.5)

Очевидно, скалярное произведение двух векторов

и квадрат длины вектора в прямоугольной системе координат вычисляются по формулам вида

(3.6)

(3.7)

За расстояние между двумя точками M(х₁, х₂) и N(y₁, y₂) определению принимается длина вектора :

d(M,N)²=(y₁ - x₁) - (y₂ - x₂)².

Величиной угла между векторами и называется число, определенное по формуле

(3.8)

В правой части (3.8) числитель положительный, а знаменатель при неизотропных векторах , может быть положительным и отрицательным.

Если векторы , одной природы, т. е. оба множителя в знаменателе одновременно пространственные или временные, то , если же один из векторов пространственный, а другой временный, то .

Нетрудно далее доказать, что числитель в (3.8) не меньше знаменателя. Действительно, если координаты векторов и будут соответственно (х₁, х₂) и (у₁, у₂) в некоторой прямоугольной системе координат, то

.

Следовательно, если векторы , одновременно будут пространственными или временными, то

. (3.9)

Полагая в этом случае , получим

. (3.10)

В псевдоевклидовой плоскости существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора, если направляющий вектор будет пространственным, временным или изотропным, то прямая называется соответственно пространственной, временной или изотропной.

г) Перейдем теперь к определению понятия окружности.

Окружностью в псевдоевклидовой плоскости называется множество ее точек, отстоящих от данной точки, называемой центром на одно и то же расстояние r; величина r называется радиусом окружности. Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре окружности, убедимся, что координаты текущей точки (х₁, х₂) данной окружности удовлетворяют уравнению

.

В этой геометрии существует три типа окружностей - окружности вещественного, чисто мнимого и нулевого радиусов. На рис. 13 окружности нулевого радиуса изображаются с точки зрения евклидовой геометрии биссектрисами координатных углов, окружности вещественного радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох₁ и окружность чисто мнимого радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох₂.

д) В заключение рассмотрим вкратце движения в псевдоевклидовой плоскости. Движение определяется как преобразование, соответствующие точки которого имеют одни и те же координаты относительно исходной и произвольно заданной прямоугольных систем координат. Как и в евклидовой геометрии доказывается, что движение является изометрией и, обратно, всякая изометрия является движением. Изометрия определяется как преобразование, сохраняющее расстояние между двумя произвольными точками. Как и в геометрии евклидовой плоскости, движения можно разделить

на собственные движения - движения с определителем = 1 и несобственные - движения с определителем = - 1. Но теперь каждую из этих совокупностей в свою очередь можно разделить на две совокупности. Чтобы убедиться в этом, отметим предварительно следующие два замечания.

Во-первых, ясно, что пространственные, временные и изотропные векторы при движениях остаются соответственно пространственными, временными и изотропными.

Во-вторых, при непрерывных вращениях вокруг данной точки векторы изотропного конуса отделяют в этой точке временные векторы от пространственных.

Перейдем теперь к дальнейшему разделению на части движений псевдоевклидовой плоскости. Нетрудно видеть, что в формулах

(3.11)

определяющих вращение, величина не обращается в нуль. В самом деле, предположим, что в (3.11) коэффициент равняется нулю. В таком случае пространственный вектор {1, 0} при вращении (3.11), перешел бы в вектор {0, }, который является временным, что невозможно. Таким образом, при изменениях координатных векторов , вызываемых непрерывными вращениями, коэффициент будет знакопостоянным.

Следовательно, все движения делятся на четыре типа в зависимости от значения определителя преобразования = 1 или = - 1 и знака > 0 или < 0.

Представителями этих четырех типов будут, например, движения с матрицами:



Псевдоевклидово трехмерное пространство

а) обобщим построения псевдоевклидовой плоскости на трехмерные пространства. Аксиомы псевдоевклидова трехмерного пространства совпадают с аксиомами Вейля псевдоевклидовой плоскости, за исключением аксиом размерности III. Теперь в аксиоме III-I речь идет о существовании трех линейно независимых векторов, а в аксиоме III, 2 - всякие четыре вектора линейно зависимы.

Скалярное произведение двух векторов , в псевдоевклидовом пространстве будем обозначать, как и в случае псевдоевклидовой плоскости, символом . Векторы , - перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Число называется скалярным квадратом вектора. Длиной вектора называется корень квадратный из скалярного квадрата этого вектора и обозначается через :

.

Подкоренное выражение может быть >0, <0, и = 0. Длины векторов соответственно этим случаям будут вещественные, чисто мнимые и нулевые. Векторы вещественной длины называются также пространственными, векторы чисто мнимой длины -- временными и векторы нулевой длины -- изотропными.

В псевдоевклидовом пространстве вводится прямоугольная система координат. По определению так называется аффинная система координат, векторы которой единичны или мнимоединичны и взаимно перпендикулярны. Будем рассматривать так называемое пространство Минковского, в котором из трех координатных векторов прямоугольной системы координат два единичные, а третий -- мнимоединичный. Будем считать, что

(3.12)

В этой системе координат скалярное произведение двух векторов и квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

И квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

, (3.13)

. (3.14)

За расстояние между двумя точками М(x₁, x₂, x₃) и N(y₁, y₂, y₃) по определению принимается длина вектора , т. е.

. (3.15)

Величиной угла между векторами и называется число, определенное по формуле

.

Если векторы , одной природы, т. е. оба пространственные или временные, то . Более того, , если для х, у выполняется неравенство Коши и , если неравенство это не выполняется. Полагая в последнем случае , получим .

б) В псевдоевклидовом пространстве существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора. Здесь существуют также три вида плоскостей в зависимости от природы ее нормального вектора.

в) Подробнее рассмотрим вопрос о сферах. Сферой псевдоевклидова пространства П₃ называется множество точек этого пространства, отстоящих от данной точки А, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние r. Величина r называется радиусом сферы.

Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре сферы, убедимся в том, что координаты х₁, х₂, х₃ текущей точки сферы радиуса r удовлетворяют уравнению

_. (3.17')

Ясно, что первые два координатных вектора прямоугольной системы здесь предполагаются единичными, а третий вектор -- мнимоединичным.

В псевдоевклидовом пространстве существуют три типа сферы вещественного, чисто мнимого и нулевого радиуса.

Уравнение сферы вещественного радиуса r совпадает (3.17'), в котором величина r вещественная. Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, где k вещественное, то уравнение (3.17') приводится к виду

 (3.17)

Если же сфера будет нулевого радиуса, то из (3.15) следует, что

_. (3.18)

Уравнение (3.18) в евклидовом пространстве является уравнением конуса, а предыдущие два - уравнениями гиперболоидов.

Ясно, что конус (3,18) состоит из асимптот сфер (3.17, 17'), имеющих центр в начале координат. Очевидно, асимптотический конус сферы совпадает с изотропным конусом ее центра. Из уравнения (3.15) следует также, что на сферах псевдоевклидова пространства имеются прямолинейные образующие - прямые целиком лежащие на сфере.

Очевидно, линией пересечения сферы с плоскостью является
окружность. Если секущая плоскость проходит через начало
Координат, то радиус окружности принимает значение, равное
радиусу сферы. Получаемые таким образом окружности сферы называются большими окружностями.

За сферическое расстояние между двумя точками М (), N () сферы принимаем расстояние по большой окружности, соединяющей данные точки. Очевидно, это расстояние равняется произведению радиуса сферы на значение угла, образованного радиусами векторами ,. Следовательно, сферическое расстояние определяется по формуле