Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

. (3.19)

Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, то формула (3.19) приводится к виду

.

Геометрия Лобачевского

Убедимся теперь, что геометрия сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве является Двухмерной геометрией Лобачевского. Ограничиваясь лишь одной, например, верхней полой сферы, покажем, что во множестве ее точек и больших окружностей осуществляется планиметрия Лобачевского. Для простоты эти точки можно спроектировать из центра сферы на касательную к ней плоскость в точке N. Кривую пересечения касательной плоскости с изотропным конусом будем называть абсолютом.

При проектировании точки полусферы перейдут во внутренние точки круга, ограниченного абсолютом, а большие окружности - в хорды абсолюта. Очевидно, последние являются линиями пересечения плоскостей больших окружностей с внутренностью абсолюта. Инцидентность точек и прямых понимается в обычном смысле. Ясно, что в системе точек внутренности абсолюта и его хорд аксиомы 1,1 - 3 выполняются. Аналогично аксиомы II порядка и IV непрерывности переходят в истинные предложения геометрии касательной плоскости. Что касается аксиом III группы - аксиом конгруентности, то они также переходят в истинные предложения трехмерной псевдоевклидовой геометрии. При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимого радиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги больших окружностей (углы между большими окружностями).

Выясним теперь, какая выполняется аксиома параллельности: V или V'.

Предположим, что нам дана на верхней полусфере большая окружность и не лежащая на ней точка. В связке прямых и плоскостей, центр которой совпадает с центром сферы, этой большой окружности и точке отвечают соответственно плоскость и прямая a связки.

Очевидно, что через прямую а можно провести бесчисленное множество плоскостей связки, рассекающих полусферу по большим окружностям, не пересекающимися с данной большой окружностью. Таким образом в рассматриваемой модели выполняется аксиома параллельности Лобачевского. Другими словами, плоскостная геометрия Лобачевского совпадает с геометрией сферы чисто мнимого радиуса.

Эти рассуждения позволяют принять следующее общее определение n-мерных неевклидовых геометрий.

Неевклидовыми геометриями n-измерений называются геометрии, которые порождаются на n-мерных сферах, S_n вещественного или чисто мнимого радиуса в (n+1)-мерном евклидовом соответственно псевдоевклидовом пространстве. Предполагается также» что диаметрально противоположные точки этих сфер отождествлены, т. е. такие пары точек считаются за одну точку.

Из этого определения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает совокупность движений, зависящую от n(n+1)/2 параметров.

Очевидно, при n=2 получим эллиптическую плоскость и плоскость Лобачевского. Геометрия, этих плоскостей будет соответственно геометрией сферы евклидова пространства и геометрией сферы чисто мнимого радиуса в псевдоебклидовом пространстве.

Наша ближайшая задача -- вывести основные формулы сферического треугольника (так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами больших окружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений в треугольниках геометрии Лобачевского.

а) Сначала докажем так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дан сферический треугольник с вершинами А(), В (), С (), углами A, В, С и противолежащими сторонами соответственно а, b, с.

Очевидно, эти стороны связаны с радиус-векторами вершин сферического треугольника следующими равенствами

(3.21)

Предположим далее, что касательная плоскость к сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках и . Эти числовые множители, радиусов векторов точек A₁ и B₁ определяются совсем просто, если учесть ортогональность векторов , и , Действительно,

т. е.

.

Отсюда на основании (3.21) следует, что

. (3.22)

Повторяя приведенные рассуждения для другой пары и ортогональных векторов, получим

. (3.23)

Найдем теперь скалярное произведение векторов и . С одной стороны, имеем

,

Где

Следовательно, на основании (3.22, 3.23) имеем

Поэтому

.

С другой стороны,

.

Применяя затем (3.21), (3.22), (3.23), получим

 (3.25)

Сравнивая (3.24) и (3.25), заключаем

Или

. (3.26)

Формула (3.26) не зависит от нашего предположения о точках пересечения А₁ и В₁. Эта формула выражает теорему косинусов сферического треугольника сферы чисто мнимого радиуса: косинус гиперболической стороны сферического треугольника равен произведению косинусов гиперболических двух других сторон без произведения синусов гиперболических этих же сторон на косинус угла между ними.

б) Переходим теперь к выводу теоремы синусов. Вычислим для этого квадрат отношения . На основании (3.26), имеем

. (*)

Видим, что числитель правой части является симметричным выражением относительно переменных а, b, с. Нетрудно убедиться, что такой же симметричностью относительно этих переменных обладает и знаменатель. В самом деле

(3.27)

Таким образом, квадрат искомого отношения симметричен относительно сторон а, b, с. Это означает, что заменяя обозначения сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке в (*) получим отношения , , равные . Извлекая из этих отношений квадратные корни, получим формулы

, (3.28)

выражающую теорему синусов сферического треугольника в геометрии сферы чисто мнимого радиуса: синусы гиперболических сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

в) Заметим, что формулы (3.26) и (3.28) геометрии сферы чисто мнимого радиуса r = ki в псевдоевклидовом пространстве можно получить из соответствующих формул сферического треугольника в евклидовом пространстве, заменяя на , на , на .

Применяя это правило, получим вторую теорему косинусов для сферического треугольника в случае сферы мнимого радиуса:

 (3.29)

Иначе, косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух других углов на косинус гиперболической стороны между этими углами без произведения косинусов двух других углов.

Отсюда следует, что если углы одного сферического треугольника равны соответствующим углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

Формулы прямоугольного треугольника

Предположим, угол С треугольника AВС является прямым. Применяя теорему косинусов (3.26), получим

. (3.30)

Это равенство выражает теорему Пифагора в геометрии Лобачевского: косинус гиперболической гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведению косинусов гиперболических катетов. Применяя формулу (3.28) будем иметь:

, (3.31)

. (3.32)

Полученные формулы можно выписать по мнемоническому правилу, аналогичному правилу Непера в сферической геометрии.

В этих формулах связываются пять элементов прямоугольного треугольника, которые можно рассматривать в циклическом порядке . Для каждого элемента предшествующий и последующий элементы называются прилежащими, а остальные два элемента - противолежащими элементами. Мнемоническое правило формулируется следующим образом.

Косинус элемента прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского равняется произведению синусов противолежащих элементов или произведению котангенсов прилежащих элементов.

Если под знаком функции входит угол, то функция понимается в тригонометрическом смысле. Если же входит длина, то она делится на радиус кривизны и их функция понимается в гиперболическом смысле. Наконец, в случае, когда под знаком функции стоит катет, функция меняется на смежную: синус -- на косинус, тангенс -- на котангенс и наоборот.

Пользуясь приведенным правилом, получим для каждого элемента соответствующие выражения через прилежащие и противолежащие элементы прямоугольного треугольника:

(3.33)

Основная формула Лобачевского

Пусть дана на плоскости Лобачевского прямая a и точка A, не инцидентная ей. Опустим из точки А перпендикуляр АВ на прямую а (рис. 19). Проведем также через точку А прямую АО, параллельную прямой а в каком-нибудь направлении. Угол , как указывали выше, называется углом параллельности, а ответствующим отрезку АВ. Для получения основной формул Лобачевского, связывающей угол параллельности ВАО = П(p) с отрезком p=АВ, возьмем на луче ВО какую-нибудь точку С. Для прямоугольного треугольника AВС, имеем

Будем удалять теперь точку С по лучу до бесконечности, стремится при этом к 1 и в пределе, получим

Отсюда следует, что

Вставляя в последнее равенство

окончательно получим

Эта формула, связывающая угол параллельности П(р) с соответствующим отрезком р, называется основной формулой Лобачевского. Из нее следует, что угол параллельности является монотонно убывающей функцией. Если отрезок параллельности р стремится к нулю, то угол параллельности стремится к прямому углу, если же р стремится к бесконечности, то угол П(р) стремиться к нулю.

Геометрия сферы пространства Лобачевского

Возьмем в трехмерном пространстве Лобачевского сферу радиуса R с центром в некоторой точке О. На этой сфере индуцируется некоторая сферическая геометрия. Получающаяся совокупность предложений называется геометрией сферы в пространстве Лобачевского. Рассмотрим в этой геометрии прямоугольный треугольник AВС, образованный из дуг АВ = с, АС = b, ВС = a больших кругов. Дуги больших кругов здесь, как и в сферической геометрии обычного пространства являются кратчайшими для достаточно близких точек на сфере. Углы между большими кругами понимаются как линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями больших кругов. Предположим, что угол С данного треугольника прямой. Опустим далее из точки В перпендикуляры ВА₁ и ВС₁ на радиусы ОА и ОС соответственно. Применяя известные формулы к прямоугольному треугольнику ОВС₁ (рис. 20), получим

Аналогично из треугольников ОВА₁ и А₁ВС₁ следует, что

Исключая из этих трех соотношений ВС₁ и ВA₁, получим формулу

совпадающую с соответствующей формулой для прямоугольного сферического треугольника в евклидовом пространстве. Выведем теперь теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABС в геометрии сферы в пространстве Лобачевского. Из треугольника ОВС₁ имеем

Аналогично из треугольников ОВА₁ и OA₁C₁ соответственно следует, что

Исключая из полученных трех равенств отрезки ОС₁ и OA₁ выводим

Эта формула совпадает с соответствующей формулой для прямоугольного треугольника обычной сферической геометрии. Указанным способом можно убедиться, что в целом геометрия сферы пространства Лобачевского совпадает с геометрией сферы евклидова пространства.

О геометрии Лобачевского в малом

Предположим теперь, что в треугольнике линейные размеры a, b, c малы по сравнению с радиусом кривизны k пространства. Это предположение заведомо выполняется для треугольников с малыми линейными размерами или в пространстве достаточно малой кривизны 1/k². Разлагая в степенные ряды гиперболические функции в формуле (3.26), выражающей теорему косинусов в геометрии Лобачевского, получим

Учитывая здесь члены до второго порядка малости включительно, будем иметь

a² = b² + c² - 2 bc cosA.

Эта зависимость между элементами треугольника выражает теорему косинусов в евклидовой геометрии. В случае прямоугольного треугольника cosA=0; следовательно,

a² = b² + c²

т. е. справедлива теорема Пифагора. Далее при наших предположениях синусы гиперболические в формуле (3.28) в первом приближении пропорциональны аргументам, поэтому

т. е. стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Последние три равенства позволяют утверждать, что формулы геометрии Лобачевского для фигур с малыми линейными размерами совпадают с соответствующими формулами евклидовой геометрии.

2.4 Различные модели плоскости Лобачевского. Независимость 5-го постулата Евклида от остальных аксиом Гильберта

В предыдущем параграфе познакомились с основными формулами двухмерной геометрии Лобачевского, которые в то же время были формулами геометрии сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.

Эта сфера, по существу, есть одна из возможных моделей плоскости Лобачевского. Другая модель - модель Бельтрами-Клейна. Она получилась из первой модели путем центрального проектирования точек сферы на какую-нибудь ее касательную плоскость. Последняя, очевидно, будет евклидовой плоскостью.

Плоскость Лобачевского в модели Бельтрами-Клейна изображается в виде внутренности круга, причем прямые изображаются хордами. Пересекающиеся прямые изображаются пересекающимися хордами. Если общая точка будет стремиться по одной из прямых к бесконечности, то параллельные прямые будут изображаться хордами, общая точка которых принадлежит абсолюту (ограничивающей внутренность круга окружности). Наконец, сверхпараллельные прямые в рассматриваемой модели изображаются хордами, которые, будучи продолжены, пересекутся в точке, принадлежащей внешней области абсолюта.

Нетрудно убедиться, что пучок прямых первого рода при Данном отображении переходит в совокупность хорд, пересекающихся в общей точке, принадлежащей внутренности абсолюта. Пучок прямых второго рода, т. е. прямых, параллельных друг другу в данном направлении, переходит в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке абсолюта. Наконец, пучок прямых третьего рода отображается в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке вне абсолюта. Точки абсолюта называются бесконечно удаленными точками и точки вне абсолюта - идеальными точками плоскости Лобачевского. Поэтому пучки прямых второго и третьего родов называются иногда пучками с бесконечно удаленными или соответственно идеальными центрами.

Нетрудно убедиться также, что ось пучка прямых третьего рода является полярой полюса - своего идеального центра. В самом деле, допустим, что ось пучка не является полярой идеального центра. Предположим, например, что она не проходит через точку пересечения поляры точки Р с абсолютом. Тогда на плоскости Лобачевского будет существовать прямая СС₁ одновременно перпендикулярная и параллельная к прямой СВ, что невозможно.

Перенося по отображению во внутренность абсолюта основные понятия отображаемой плоскости Лобачевского, в итоге получим так называемую модель Бельтрами-Клейна.

Ясно, что к модели Бельтрами-Клейна можно прийти непосредственной проверкой аксиом Гильберта I-IV и аксиомы параллельности Лобачевского во множестве точек внутренности круга и его хорд, вводя между ними соответствующим образом основные отношения. Точками и прямыми в этой модели являются внутренние точки абсолюта и его хорды без концов. „Инцидентность" точек и прямых, а также „между" для трех точек, принадлежащих одной прямой, понимаются в обычном смысле. Два отрезка (угла) считаются конгруентными, если они будут соответствующими при некотором взаимно однозначном точечном отображении расширенной (за счет добавления несобственной прямой) евклидовой плоскости, при котором абсолют остается неизменными „прямые" переходят в „прямые".

В модели Бельтрами-Клейна длины и углы искажаются, если рисунки 23, 24 понимать в евклидовом смысле.

В рассматриваемой модели через точку А, данную вне прямой а, можно провести прямые, которые пересекают прямую а; прямые АU, АV, параллельные а и, наконец, прямые b - сверхпараллельные, располагающиеся во внутренности заштрихованных вертикальных углов. В этой модели выполняются все аксиомы Гильберта, в том числе и аксиома Лобачевского. Расстояние d(А, В) между двумя точками A, В в модели Бельтрами-Клейна выражаются при помощи проективных понятий. Если хорда АВ пересекает абсолют в точках М, N, то

где (ABMN) обозначает двойное отношение указанных четырех точек (АМ: ВМ): (АN: BN). В самом деде, предположим, что

(4.1)

является уравнением абсолюта в однородных координатах. Кроме того, по условию нам даны точки А(а_i) и В(b_i). Составляя уравнение прямой АВ, получим

(4.2)

Чтобы найти точки пересечения М, N, прямой АВ с абсолютом, решим совместно систему уравнений (4.1) и (4.2) относительно неизвестных . Вставляя из равенства (4.2) в уравнение (4.1), получим

. (4.3)

Развертывая более подробно левую часть (4.3), будем иметь

.

Так как точка А (а_i) не принадлежит абсолюту, т. е. , то решая квадратное уравнение

найдем следующие значений отношения , для искомых точек:

С другой стороны, как известно, двойное отношение четырех точек А, B, М, N равно двойному отношению, составленному из соответствующих значений параметра , поэтому

Но это равенство можно переписать в виде

(4.4)

Вставляя в правую часть (4.4) найденные выражения , и учитывая (3.21), получим

Так как по определению

то предыдущее равенство можно переписать так:

Логарифмируя это равенство, имеем окончательно

(4.5)

Эта формула показывает, что расстояние между двумя точками А и В равняется с точностью до множителя двойному отношению данных точек А, В и точек М, N пересечения прямой АВ с абсолютом.

Угол между двумя лучами а, b, выходящими из точки С, также выражается через проективные понятия комплексной геометрии, Пусть т, n обозначают касательные к абсолюту, проходящие через точку С. Заметим, что прямые m, n необходимо комплексно сопряжены. Аналогично предыдущей формуле имеем



Модель Бельтрами-Клейна примечательна тем, что прямые плоскости Лобачевского в ней изображаются в виде открытых отрезков прямых евклидовой плоскости. Она осуществляет геодезическое отображение плоскости Лобачевского на внутренность круга евклидовой плоскости.

Прежде чем перейти к другим моделям плоскости Лобачевского нужно сделать следующие два важных замечания. Во-первых, к модели Бельтрами-Клейна можно прийти на основе отображения плоскости Лобачевского на предельную поверхность, на которой осуществляется евклидова геометрия. Поэтому аксиомы геометрии Лобачевского здесь выполняются автоматически по отображению. Но приведенное здесь описание по отображению основных понятий позволяет в свою очередь прийти к этой модели самостоятельным образом, на основе доказательства выполнимости последовательно каждой аксиомы I -- IV, V.

Во-вторых, к этой же модели Бельтрами-Клейна можно прийти, очевидно, проектированием в пространстве Минковского сферы чисто мнимого радиуса из ее центра на касательную к ней плоскость, например, в северном полюсе.

Предположим теперь, что абсолют с центром О модели Бельтрами-Клейна является большим кругом сферы. Ортогональное проектирование внутренности абсолюта на одну из полученных полусфер позволяет получить новую модель плоскости Лобачевского на полусфере. Затем стереографическое проектирование этой полусферы на исходную плоскость из полюса S, расположенного в другой полусфере, где отрезок OS перпендикулярен плоскости абсолюта, приводит к модели Пуанкаре внутри круга. Следовательно, в прежнем абсолюте прямыми теперь являются дуги окружностей, ортогонально пересекающие абсолют и диаметры абсолюта. Отношения инцидентности, лежать между и конгруентности углов имеют обычный смысл. Понятие конгруентности отрезков также соответствующим образом переносится из модели Бельтрами-Клейна.

Применяя затем дробно-линейное отображение комплексного переменного к внутренней области абсолюта, получим известную модель Пуанкаре на полуплоскости. В этой модели «точками» являются точки верхней полуплоскости, «прямыми» - полуокружности с центром на граничной прямой - абсолюте. К «прямым» причисляются также, полупрямые верхней полуплоскости, перпендикулярные к абсолютной прямой. Отношения инцидентности и лежать между понимаем в обычном смысле. Конгруентность углов в этой модели совпадает с евклидовой конгруентностью. Модель Пуанкаре представляет собою конформное отображение плоскости Лобачевского на евклидову полуплоскость.

Что касается понятия конгруентности отрезков, то оно определяется через движения или расстояние между двумя точками А и В, причем понятие расстояния между точками в последнем случае не предполагает измерения отрезков. По определению оно означает число.

(*)

если точки A, В лежат на полуокружности или число

(**)

если точки лежат на полупрямой, перпендикулярной граничной прямой XX. В этих формулах углы , и ординаты у₁ , у₂ имеют обычный смысл, ясный из рисунка 29,д.

Очевидно, всегда можем предполагать, что обозначение углов символами , и ординат у₁, у₂ для данных точек A, В осуществлено так, что правые части в (*), (**) положительны. Теперь нетрудно определяется конгруентность отрезков. Отрезки АВ и СD конгруентны, если расстояние между концами A, В одного отрезка равно расстоянию между концами С, D другого отрезка.

Подчеркнем еще раз, что к модели Пуанкаре на полуплоскости мы пришли в результате отображения первой модели Пуанкаре во внутренности круга. Поэтому аксиомы Гильберта геометрии Лобачевского выполняются автоматически по отображению.

Приводимые здесь описания основных образов и отношений инцидентности, лежать между, конгруентности отрезков и углов позволяют прийти к этой модели Пуанкаре на полуплоскости самостоятельным образом, путем доказательства выполнимости каждой аксиомы гильбертовской аксиоматики.

В заключение остановимся на вопросе независимости 5-го постулата Евклида от остальных аксиом Гильберта. Согласно общей установке, изложенной в главе 1, достаточно построить какую-нибудь модель, на которой бы выполнялись все аксиомы Гильберта I - V за исключением аксиомы параллельности V. Аксиома эта, эквивалентная относительно аксиом I - IV утверждению 5-го постулата, состоит в следующем. Через точку А, не принадлежащую прямой а, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой А и прямой а, не более одной прямой, не пересекающейся с данной прямой a.

Очевидно, любая модель геометрии Лобачевского, например, Бельтрами-Клейна позволяет доказать независимость аксиомы параллельности от предыдущих аксиом I - IV. Действительно, на этой модели выполняются все 19 аксиом I - IV, а аксиома V не выполняется. Отсюда заключаем, что при помощи аксиом I - IV, Гильберта невозможно доказать аксиому параллельности V. Другими словами, 5-й постулат Евклида нельзя вывести как теорему из предыдущих аксиом I - IV.

Заключение

Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение. Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа И. Канта (1724-1804), родоначальника немецкого классического идеализма. Кант утверждал, что человек упорядочивает явления реального мира согласно априорным представлениям, а геометрические представления и идеи якобы априорны (латинское слово aprior означает - изначально, заранее), то есть, не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, от опыта, а являются врожденными человеческому миру, раз и навсегда зафиксированными, свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому, Кант считал, что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечной истиной. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственно возможное учение о реальном пространстве.

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Список литературы

1. Большая Советская Энциклопедия, Гл. Ред.: А. М. Прохоров, издание 3-е, Москва, Советская Энциклопедия, 1969.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе IX - X классы. Пособие для учителей. Москва, Просвещение 1983.

3. Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского. М: Мир.1986г.

4. Егоров И.П. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям, Рязань, 1973Ефимов Н.В., Высшая геометрия, Наука, М.,1971.

5. Егоров И. П. «Основания геометрии», М., «Просвещение», 1984.

6. Квант №11,№12 Академик АН СССР А.Д. Александров, Интернет-издания.

7. Клайн М., Математика. Утрата определенности, Мир, М., 1984

8. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. Просвещение, 1970.

9. Математика XIX века, Наука, М., 1981.

10. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, Белка, М., 1993.

11. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства, М., Наука,1969.

12. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955.

13. Юшкевич А.П., История математики в России, Наука, М., 1968.

14. Яглам И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия Библиотека математического кружка М: 1963.