Метод конформных отображений в механике сплошных сред

При малых можно приближенно положить

или

(63)

К тем же формулам приходит Жуковский, применяя преобразование

где указанное С.А. Чаплыгиным и не отличающееся по существу от преобразования (55) или (57), примененного выше.

Профили, получаемые применением того или другого преобразований к некоторой окружности, соприкасающейся с основной окружностью в особой точке преобразования и заключающей внутри вторую особую точку, получили общее название профилей Жуковского, впервые указавшего на их применение в качестве профилей крыла аэроплана.

Профили Жуковского при заданном расстоянии в плоскости профиля между особыми точками преобразования характеризуются двумя параметрами и, из которых первый характеризует изгиб или кривизну крыла, а второй его толщину.

Формула (62) показывает, что поддерживающая сила обращается в нуль и меняет свое направление, если угол , называемый также углом атаки, принимает значение

Максимальной величины поддерживающая сила достигает при

При получим

или (64)

где

Есть так называемая стрела прогиба кривой дуги Формула (64) выражает теорему Чаплыгина о том, что поддерживающая сила при обтекании без срыва струй круговой дуги потоком, скорость которого в бесконечности параллельна хорде, стягивающей дугу, не зависит при данной стреле прогиба от длины дуги и ее радиуса.

Для вычерчивания профилей Жуковского при заданных параметрах можно применить простой прием. Построив в плоскости соприкасающуюся окружность радиуса (рисунок 22), из которой получается профиль Жуковского после применения преобразования

Рисунок 22 Профиль Жуковского после применения преобразования

Строим вспомогательную окружность , получаемую из путем преобразования инверсии и симметрии

Так как при этом преобразовании окружность переходит в окружность, причем вещественная ось переходит сама в себя, то по свойству конформности окружность будет пересекать вещественную ось под тем же углом, что и окружность , иначе говоря, и будут касаться друг друга в точке через которую проходит ; следовательно, центр окружности расположится на прямой .

С другой стороны, центр , который, заметим, не является соответственной точкой для центра окружности , будет лежать на луче (2), являющемся отражением луча (1) от мнимой оси. Так как точки и пересечения окружностей и с вещественной осью являются соответственными, то вследствие

После необходимых расчетов, построив геометрическую сумму векторов и

вследствие (57), получим соответственную точку профиля Жуковского.

Конформное преобразование плоскости на плоскость представляется равенством

так что при сравнении получаем

Для острой кромки профиля Жуковского

а, следовательно,

Конформный центр тяжести профиля имеет координату , т.е. совпадает с точкой . Проводя через него прямую ,составляющую угол с осью ,получим критическую ось профиля (рисунок 23).

Фокус профиля определится по формуле:

отсюда видно, что направление симметрично с направлением критической оси относительно оси и что расстояние между точками и определяется по формуле

Зная фокус параболы устойчивости и ее директрису - критическую ось профиля, без труда построим эту параболу.

Ее параметр имеет значение

Момент реакции относительно фокуса имеет постоянное значение

Посчитаем еще момент реакций относительно конформного центра тяжести

Ясно, что этот момент обращается в нуль, если или

Таким образом, если поток на бесконечности параллелен оси или , то сила реакции будет проходить через точку и, следовательно, будет направлена по оси или Таким образом, парабола устойчивости касается как прямой , так и прямой.

В частном случае, когда , получаем симметричный профиль, носящий название руля Жуковского (рисунок 24).

Рисунок 23 Профиль крыла аэроплана

Рисунок 24 Руль Жуковского

В этом случае и парабола устойчивости вырождается в точку , лежащую на оси симметрии профиля; совокупность реакций проводится к одной равнодействующей , приложенной при всяком угле атаки к точке , которая является постоянным центром давлений [24, c. 280].

3.5 Метод конформных отображений в теории фильтрации

Для рассмотрения фильтрационных течений на криволинейной поверхности, в частности в грунте с прерывно изменяющейся проницаемостью, которые описываются уравнениями следует представить квадрат элемента дуги поверхности в виде . Последнее представляет собой конформное преобразование поверхности на плоскости. Таким образом, конформное преобразование всей плоскости на всю поверхность позволяет строить фильтрационные течения в слоях, расположенных на поверхности по соответствующим течениям на плоскости.

3.5.1 Поток, искаженный прямолинейной щелью

Обтекание круговой каверны единичного радиуса поступательным потоком, скорость которого в бесконечности , в плоскости описывается комплексными потенциалами

Отобразим конформно область вне окружности на всю плоскость с разрезом ширины вдоль действительной оси. Это отображение осуществляется функцией

Исключим из двух последних равенств. Находим комплексный потенциал вида

(65)

который описывает течение, возникающее в результате внесения в поступательный фильтрационный поток щели, заполненной свободной жидкостью. Щель расположена параллельно направлению скорости течения в бесконечности.

Из формулы (65) можно определить потенциал скорости и функцию тока течения, а также составляющие скорости течения. Последние будут принимать бесконечное значение на концах щели (рисунок 25).



Рисунок 25 Линии тока и направление скорости течения

3.5.2 Поток, искаженный непроницаемой заслонкой

Обтекание непроницаемой окружности единичного радиуса поступательным потоком, скорость которого в бесконечности , в плоскости описывается комплексным потенциалом

Отобразим конформно область вне окружности на всю плоскость с разрезом ширины вдоль мнимой оси. Это отображение осуществляется функцией

Исключив из последних равенств, найдем

Полученный комплексный потенциал описывает течение, возникающее в результате внесения в поступательный фильтрационный поток непроницаемой пластинки (рисунок 26). Следует заметить, что в результате нарушения конформности преобразования на концах пластинки имеют место бесконечные скорости течения [24, c. 298].

Рисунок 26 Линии тока и направление скорости течения

3.5.3 Построение течений в прерывно неоднородных средах

Рассмотрим частный случай фильтрационного течения в прерывно неоднородном грунте, расположенном в плоскости , которое описывается комплексными потенциалами вида

(66)

где определен вне окружности радиуса - внутри окружности. Преобразуем плоскость в плоскость при помощи функций



(67)

полагая, что

Тогда совокупность формул (66) и (67) определит течение на плоскости . На рисунке 27 указан эллипс, внутри которого расположена непроницаемая окружность.

Если преобразование от плоскости к плоскости осуществить при помощи соотношения

(68)

где , то совокупность формул (66) и (68) определит комплексные потенциалы течения на плоскости , причем будет определен вне эллипса, -внутри эллипса, и последний будет служить границей раздела сред с различными проницаемостями , на плоскости . Внутри эллипса будет располагаться каверна (рисунок 28).

Рисунок 27 - Линии тока указанного течения

Рассмотренные примеры при использовании



Рисунок 28 Линии тока и каверна внутри эллипса

и

приводят на плоскости к появлению круглых непроницаемых включений или каверн.

Все построенные в плоскости течения можно конформно отобразить на другие поверхности и получить аналоги соответствующих плоских течений. [24, c. 308].



4. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХОТОБРАЖЕНИЙ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД В XXI ВЕКЕ

4.1 Моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями

Это исследование проведено Э.Н. Береславским, Л.А. Александровой и Е.В. Пестеревым в 2010 году в Санкт- Петербургском государственном университете гражданской авиации. Исследование проводилось в рамках двумерной стационарной модели в однородном и изотропном грунте несжимаемой жидкости при использовании закона Дарси с известным коэффициентом фильтрации . Исследовались некоторые фильтрационные течения и под шпунтом Жуковского. В этой работе решение соответствующих много параметрических смешанных краевых задач теории аналитических функций осуществляется с помощью метода конформных отображений областей специального вида. Приводятся результаты численных расчетов и дается подробный гидродинамический анализ влияния определяющих физических параметров моделей на картину течений [4, с. 27].

4.2 О режиме грунтовых вод при фильтрации под гидротехническими сооружениями

Настоящая работа является непосредственным продолжением статьи автора Береславского Э.Н. «Моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями». В ней на основе теории плоской установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном и изотропном грунте рассматриваются следующие задачи , связанные с фильтрационными течениями с неизвестными границами под гидротехническими сооружениями:

1) строится плавный подземный контур заглубленной прямоугольной плотины постоянной скорости фильтрации в том случае, когда водопроницаемое основание подстилается водоупором, который состоит из двух криволинейных и одного (среднего) горизонтального участков, при характерном постоянстве скорости обтекания;

2) исследуется течение жидкости под шпунтом Жуковского через орошаемый грунтовой массив с нижележащим сильнопроницаемым водоносным горизонтом, содержащим напорные подземные воды; левая полубесконечная часть его кровли моделируется непроницаемым включением.

Для изучения этих движений формируются смешанные многопараметрические краевые задачи теории аналитических функций, решение которых осуществляется с помощью полуобратного способа годографа скорости П.Я. Полубариновой - Кочиной и И.Н. Кочиной, метода П.Я. Полубариновой- Кочиной, основанного на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса, а также разработанных способов конформного отображения областей специального вида, которые характерны для задач подземной гидромеханики.

Приводятся результаты численных расчетов и дается гидродинамический анализ влияния физических параметров моделей на картину течений. Отмечаются предельные случаи этих задач, исследованные ранее в работе Береславского Э.Н. «Моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями» [5, с. 27].

4.3 О течении жидкости из оросителей

Это исследование проведено Э.Н. Береславским, Н.В Лихачевой в 2012 году в Санкт - Петербургском государственном университете гражданской авиации.

В гидродинамической постановке рассматривается плоская установившаяся фильтрация в однородном изотропном грунте из оросителей через почвенный слой с нижележащим сильнопроницаемым напорным водоносным горизонтом при наличии капиллярности грунта и испарения со свободной поверхности. Для ее изучения формулируется смешанная многопараметрическая краевая задача теории аналитических функций, которая решается с помощью применения метода П. Я. Полубариновой-Кочиной и способов конформного отображения областей специального вида, характерных для задач подземной гидромеханики. На базе этой модели разработан алгоритм расчета капиллярного растекания воды и фильтрационного расхода в ситуациях, когда при фильтрации воды из оросителей учитывается капиллярность грунта, испарение со свободной поверхности грунтовых вод, а также подпор со стороны вод нижележащего хорошо проницаемого пласта. С помощью полученных точных аналитических зависимостей и численных расчетов проводится гидродинамический анализ структуры и характерных особенностей моделируемого процесса, а также влияния всех физических параметров схемы на фильтрационные характеристики. Рассматриваются предельные и частные случаи, связанные с отсутствием одного или двух из трех факторов, характеризующих моделируемый процесс: капиллярность грунта, испарение со свободной поверхности, а также подпор со стороны вод нижележащего водоносного сильно проницаемого слоя.

Наконец, результаты расчетов сопоставляются при одинаковых фильтрационных характеристиках с подобной схемой при фильтрации из каналов [6, с. 107].



4.4 Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых пятиугольников с разрезом

В 2010 году для решения задачи о конформном отображении некоторых круговых пятиугольников с разрезом Э.Н. Береславским предлагается воспользоваться специальными методами, приспособленными к классу многоугольников в полярных сетках, которые основываются на нахождении частных решений уравнений фуксового типа в виде линейных комбинаций с неопределенными коэффициентами из известных частных решений некоторых более простых уравнений с тремя особыми точками. Результаты применяются сначала для решения задач о конформном отображении круговых четырехугольников с разрезом, принадлежащих классу многоугольников в полярных сетках, а затем с учетом полученных решений к пятиугольникам более сложной структуры, не являющимися полярными. Во всех случаях дается полное решение задачи о параметрах [8, с.459].

4.5 Построение подземного контура гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания

В 2008 году Э.Н. Береславский проводит построение подземного контура заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, а водопроницаемое основание подстилается водоупором с криволинейной кровлей, характеризуемым постоянством скорости обтекания. Решение соответствующей краевой задачи осуществляется с помощью полуобратного применения метода годографа скорости. Приводятся результаты численных расчетов и дается анализ влияния основных определяющих параметров модели на форму и размеры подземного контура плотины и криволинейного водоупора. Подробно изучаются предельные случаи, когда водопроницаемое основание плотины имеет неограниченную мощность: обтекаемый флютбет с горизонтальной вставкой и обтекаемый шпунт (зуб) [3, с. 103].

4.6 Гидродинамика скручивания наносвитка

В 2009 году С.А. Чивилихиным, И.Ю. Поповым, В.В. Лесничим, В.В. Гусаровым исследуется начальная стадия формирования наносвитков в гидротермальной среде - стадия скручивания двойного слоя под действием внутренних напряжений. В настоящей работе построен аналитический формализм, позволяющий рассчитать поле скоростей жидкости, а также распределение вязких напряжений по поверхности нанотрубки. Указанные поля имеют сингулярность в точке касания нанотрубки и нанопластинки. Для регуляризации этой особенности использован метод молекулярной динамики, примененный к области, примыкающей к особой точке.

В работе исследовано течение жидкости в окрестности скручивающейся нанотрубки и рассчитаны силы вязкого трения, ограничивающие скорость скручивания трубки. Впервые задача о скручивании наряженного слоя в нанотрубку рассмотрена в 2006 году М.Ю. Гуткиным, А.М Кривцовым, Н.Ф. Морозовым, Б.Н. Семеновым «Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород» [11, с. 3].

4.7 К теории индукционных явнополюсных машин

При анализе явнополюсных электрических машин в 2009 году записал В. Ф. Самосейко конформное отображение, задающее поле Лапласа в воздушном зазоре машины и позволяющее определить форму ротора, при которой распределение магнитной напряженности на поверхности статора имело бы синусоидальную форму. Найдены основные параметры обмоток машины. Записаны уравнения напряжений для основной гармоники и высших гармоник ряда Фурье, а также выражение электромагнитного момента [29, с. 38].

4.8 Численный расчет распространения импульсного магнитного поля через массивный ферромагнитный экран

В 2010году А.А. Афанасьевым моделируется метод сопряжения конформных отображений процесс прохождения через ферромагнитный экран импульсного магнитного поля, генерируемого высоковольтным разрядом конденсатора на катушку со стальным шихтованным сердечником. Рассматриваются два вида катушек: с прямоугольным и круговым поперечными сечениями. В последнем случае рассчитывается осесимметричное магнитное поле [2, с. 31].

4.9 Об однозначной определенности выпуклых многогранных облас- тей в трехмерном евклидовом пространстве относительными конформными модулями граничных конденсаторов

В 2011 году А. П. Копыловым проводятся исследования по однозначной определенности областей в евклидовом пространстве относительными конформными модулями их граничных конденсаторов [23, с 162].

Метод конформных отображений даёт возможность решать сложные задачи, прямое решение которых математически затруднительно.

Метод конформных отображений позволяет многие сложные физические явления представить в виде наглядных математических моделей для их исследования и решения возникающих проблем. Метод конформных отображений позволяет решать как сложные математические, так и сложные физические задачи [37, c. 104].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над темой диплома были расширены и углублены знания по многим вопросам математического анализа, аналитической геометрии, теории функций комплексного переменного, теории аналитических функций, подробно изучена теория конформных отображений, теория построения римановых поверхностей. Изучена история развития методов теории функций комплексного переменного и их использования в механике сплошных сред.

Результатом проделанной работы явилось исследование метода конформных отображений в механике сплошных сред. Решены конкретные задачи, выполнены необходимые расчёты.

В первой главе рассмотрены общие принципы теории конформных отображений, их основные свойства.

Во второй главе рассмотрены классические примеры расчёта конформных отображений.

В третьей главе рассмотрено применение метода конформных отображений в механике сплошных сред.

В четвёртой главе отмечаются современные практические примеры использования конформных отображений в механике сплошных сред, выполненные в последние годы.

В процессе исследования особое внимание уделялось научному вкладу отечественных учёных.

Итогом работы является следующее: разработан научно-методический подход к данной теме, систематизирован материал.

Дипломная работа может служить учебно-методическим пособием по данной теме.



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Авхадиев, Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи : монография / Ф.Г. Авхадиев. - М. : Математика, 1996. - 216 с.

2 Афанасьев, А. А. Численный расчет распространения импульсного магнитного поля через массивный ферромагнитный экран / А.А. Афанасьев, В.В, Ефимов // Электричество. - 2012. - № 1. - С. 31 - 35.

3 Береславский, Э Н. Построение подземного контура гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания / Э. Н. Береславский // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2008. - № 5. - С. 103 - 112

4 Береславский, Э. Н. Моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями / Э. Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев // Математическое моделирование. - Санкт- Петербургский государственный университет гражданской авиации. - 2010. - С. 27 - 37.

5 Береславский, Э. Н. О режиме грунтовых вод при фильтрации под гидротехническими сооружениями / Э. Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев // Математическое моделирование. - 2011. - № 2. - С. 27 - 40.

6 Береславский, Э. Н. О течении жидкости из оросителей / Э. Н. Береславский, Н. В. Лихачева // Математическое моделирование. - 2012.- С. 107 - 108.

7 Береславский, Э. Н. Об интегралах некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, встречающихся в задачах механики жидкостей и газов / Э. Н. Береславский // Дифференциальные уравнения. - 2012. - № 4. - С. 590 - 594.

8 Береславский, Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых пятиугольников с разрезом / Э. Н. Бересловский // Дифференциальные уравнения. - 2010. - № 4. - С. 459 - 466.

9 Власов, В. И. Аналитико-численный метод конформного отображения сложных областей / В. И. Власов, А. Б. Пальцев // Доклады Академии наук.- 2009. - С. 12 - 14.

10 Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г Араманович. - М. : Физматлит, 2004. - 312 с.

11 Гидродинамика скручивания наносвитка / С. А. Чивилихин [и др. ] // Известия вузов. Физика. - 2009. - № 11. - С. 3 - 6.

12 Голубева, О.В. Курс механике сплошных сред : учебное пособие для педвузов / О.В. Голубева. - М. : Высшая школа, 1972. - 368 с.

13 Гончар, А.В. Практикум по Теории функций комплексного переменного : учебное пособие / А.В. Гончар. - Нижний Новгород : Высшая школа, 2005. - 51 с.

14 Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. / П.Е. Данко. - М. : Оникс, 2005. - Ч.1. - 304 с.

15 Долженко, Е. П. О граничной гладкости конформных отображений областей с негладкими границами / Е. П. Долженко // Доклады Академии наук. - 2007. - С. 155 - 159.

16 Долженко, Е. П. Конформное отображение [Электронный ресурс] // Математическая энциклопедия : офиц. сайт. - Режим доступа: http : // dic. academic. ru. - 17.03.2013.

17 Завьялов, Б. И. Конформное отображение [Электронный ресурс] // Энциклопедия математики и физики : офиц. сайт. - Режим доступа: http : // www. femto. com. ua / index1. html. - 15.03.2013.

18 Иванов, В. И. Конформные отображения и их приложения / В. И. Иванов, В.Ю. Попов. - М. : Едиториал УРСС, 2002. - 324 с.

19 Константинов, Р.В. Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатистики / Р.В. Константинов.- М. : Физматкнига, 2003. - 22 с.

20 Конформное отображение [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http : // mschool. kubsu. ru / tfkp/html/teor/r24-27.htm.- 20.03.2013

21 Конформные отображения. Интегрирование функций комплексного переменного [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://vladimnat. narod.ru/.- 26.02.2013

22 Коппенфельс, В. Практика конформных отображений / В. Коппенфельс, Ф. Штальман. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1993. - 486 с.

23 Копылов, А. П. Об однозначной определенности выпуклых многогранных областей в трехмерном евклидовом пространстве относительными конформными модулями граничных конденсаторов / А. П. Копылов // Доклады Академии наук. - 2011. - № 2. - С. 162 - 164.

24 Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика: в 2 ч. / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М. : Государственное издательство технико-теоретической литературыры, 1963. - Ч. 1. - 557 с.

25 Лаврентьев, М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики : монография / М.А. Лаврентьев. - М. : ОГИЗ госуд. изд-во технико-теоретической литературы, 1989. - 159 с.

26 Лаврентьев, М.А. Методы теории комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2002. - 688 с.

27 Малышева, Н. Б. Функции комплексного переменного : учебник / Н.Б. Малышева. - М. : Физматлит, 2010. - 167 с.

28 Маркушевич, А. И. Конформное отображение [Электронный ресурс] // Большая советская энциклопедия : офиц. сайт. - 26.09.2012. - Режим доступа : http : // omop. su/ article / 7/38175. html. - 24.03.2013.

29 Самосейко, В. Ф. К теории индукционных явнополюсных машин / В.Ф. Самосейко // Электричество. - 2009. - № 11. - С. 38 - 47.

30 Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М. : Наука, 2002. - 320 с.

31 Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. - М. : Наука, 1999. - 480 с.

32 Сильвестров, В.В. Конформное отображение [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http : // www. pereplet. ru/ obrazovanie/stsoros/909.html/.- 24.03.2013.

33 Современные проблемы механики сплошной среды: Сборник избранных трудов Всероссийской конференции памяти академика Леонида Ивановича Седова в связи со столетием со дня рождения / ред. Г.Г. Чёрный. - М. : ТОРУС ПРЕСС, 2009. - 424 с.

34 Фильчаков, П. Ф. Приближенные методы конформных отображений : справочное руководство / П. Ф. Фильчаков. - Киев : Наукова думка, 1994. - 516 с.

35 Финкель, Л. А. Введение в практику конформных отображений, связанных с элементарными функциями : учебное пособие / Л. А. Финкель. - Бишкек: Кырг.гос. нап. ун-т.- 1995. - 79 с.

36 Фукс, Б.А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б.А.Фукс, Б.В. Шабат. - М. : Наука, 1984. - 255 с.

37 Черняк, В.Г. Механика сплошных сред : учебное пособие для вузов / В.Г. Черняк, П.Е. Суетин.- М. : Физматлит, 2006. - 352 с.

38 Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. В 2 ч. / Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2004. - Ч.1 - 336 с.

39 Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. В 2 ч. / Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2004. - Ч.2 - 464 с.

40 Math Help Planet.com : Математический форум [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http : // mathhelpplanet. com/ static. php ?p = konformnyye- otobrazheniya.- 10.03.2013.

Размещено на Allbest.ru