Топологические пространства

22

§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1.1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х>Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f -¹(О) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X>Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X>Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f -¹(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X>Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f -¹(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f -¹(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f -¹(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X>Y непрерывное по определению.

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О₁ О₂.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О₁ и О₂, не имеющих общих точек, то О₁ = CO₂ и O₂ = CO₁. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

существуют непустые открытые множества О₁ и О₂, для которых О₁ ? О₂ =  и О₁  О₂ = Х;

существуют непустые замкнутые множества F₁ и F₂, для которых F₁ ? F₂ =  и F₁  F₂ = Х;

в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

существует непрерывная сюръективная функция ц : Х {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О₁ и О₂ непустые открытые множества, для которых О₁ ? О₂ =  и О₁  О₂ = Х. Рассмотрим множества F₁ = СО₁ и F₂ = СО₂. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F₁ ? F₂ =  и F₁  F₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F₁ и F₂ непустые замкнутые множества, для которых F₁ ? F₂ =  и F₁  F₂ = Х. Рассмотрим множество G = F₁  Х. Множество F₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F₂ (F₁ = CF₂). Поэтому множество G = F₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию ц : Х {1, 2}, при которой

ц(х) =

Функция ц является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть ц : Х {1, 2} - непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. ц(Х) = М. Множества A  = {1} и B = {2} - непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция ц сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = ц -¹(М) = ц -¹(А  В) = ц -¹(А)  ц -¹(В),

причём ц -¹(А) и ц -¹(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция ц непрерывная, множества О₁ = ц -¹(А) и О₂ = ц -¹(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О₁  О₂ .

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F₁ и F₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F₁  F₂. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F₁, либо в F₂.

Доказательство. Пусть F₁ и F₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М  F₁  F₂. Тогда

М = (М ? F₁)  (M ? F₂).

Так как множества F₁ и F₂ замкнутые в Х, то множества М ? F₁ и M ? F₂ замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ? F₂, пустое. Тогда

М = М ? F₁  F₁.

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О₁ и О₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х>Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O₁  O₂.

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G₁ = f -¹(O₁) и G₂ = f -¹(O₂) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности.

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А.

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х>Y - непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.

Доказательство теорем 1.6 - 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х>Y - непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yY прообраз f -¹(U) называется трубкой (над U), а прообраз f -¹(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х>Y называется несвязным над точкой yY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f -¹(U) является несвязной над каждой окрестностью U  Oy точки y.

Определение 15. Отображение f : X>Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F  Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f : X>Y называется замкнутым над точкой yY, если для всякой окрестности О слоя f -¹(y)  Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f -¹(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f -¹(y):

f -¹(y)  f -¹(Oy)  О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X>Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yY.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X>Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y  Y и рассмотрим окрестность О множества f -¹(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ? f -¹(y) = . Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y  f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f -¹(Oy) ? F = , следовательно, f -¹(Oy)  О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y  [f(F) \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f -¹(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f -¹(Oy)  X \ F. Но тогда Oy ? f (F) =  и поэтому точка y  [f (F).

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто.

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X  Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) - замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X  Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) - замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f  -¹ является непрерывным, следовательно, f - гомеоморфизм.

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X  Y замкнуто над точкой y  Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |_Z : Z  Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y  Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y  Y и рассмотрим окрестность U  Z слоя g-¹(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U такое, что U = U  Z. Множество O = U  (X \ Z) будет окрестностью слоя f -¹(y) . Отображение f замкнутое над точкой y  Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f -¹(Oy)  O. Тогда g-¹(Oy)  Z  O = Z  U = U.

В силу произвольности выбора точки y  Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y  Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y  Y.

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X Y замкнуто над точкой y  T  Y, где T - произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f | : f -¹(T)  T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y  T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y  T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y  T  Y и некоторую окрестность О слоя g-¹(y) = f -¹(y), такую что

O = O'  f -¹(T),

где О - открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f -¹(O'y)  О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy'  T, и f -¹(Oy) = g-¹(Oy)  O'  f -¹(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y  Y.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X>Y замкнуто над точкой y  Y и слой f -¹(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y  Y.

Доказательство. Поскольку слой f -¹(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f -¹(y) множества О₁ и О₂, что О₁ ? О₂ =  и О₁  О₂ = f  -¹(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q₁ и Q₂ такие, что

O₁ = Q₁ f  -¹(y), O₂ = Q₂  f -¹(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х. Их пересечение есть замкнутое множество, и F  f  -¹(y) = (т.к. О₁ и О₂ замкнутые в f -¹(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q₁ Q₂) \ F открыто в Х, причём f -¹(y)  О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f  ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f  -¹(Oy)  О. Пусть G₁ = f  -¹(Oy)  Q₁ и G₂ = f  -¹(Oy)  Q₂ - открытые в f  -¹(Oy) множества. Так как

  Х \ f  -¹(Oy),

то G₁ ? G₂ = . Тогда f -¹(Oy) = G₁ G₂. Следовательно, трубка f -¹(Oy) несвязна.

Пусть U  Oy - произвольная окрестность точки y. Тогда и - дизъюнктные множества, открытые в f ^-1(U), и непустые, т.к. О₁   и О₂  . Следовательно, для любой окрестности U  Oy трубка f ^-1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y  Y.

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X>Y замкнуто над точкой y  Y и связно над точкой y. Тогда слой f  -¹(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X>Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y  Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f -¹(U) является несвязной над каждой окрестностью U  Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:

f -¹(U) = О₁  О₂, О₁ ? О₂ = ,

где О₁ и О₂ - непустые открытые в  f -¹(U) множества.

Слой f -¹(y) связен и f -¹(y)  f -¹(U), отсюда, f -¹(y) содержится либо в О₁, либо в О₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х₁О₁. Образ этой точки f (x₁) = y₁  U. По условию, слой f -¹(y₁) связен и f -¹(y₁)  О₁ О₂ = f -¹(U). Поскольку О₁ ? О₂ =  и х₁О₁, следовательно (по теореме 1.4), f -¹(y₁)  О₁. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О₁, то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х₁ произвольная, то О₁ = f -¹( f (O₁)). Аналогично доказывается, что О₂ = f -¹(f (O₂)).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f -¹(Oy)  Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O₁) = g (O₁) и f (O₂) = g (O₂) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O₁)  f (O₂), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U.

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X>Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 - 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X>Y замкнутое, Z  X замкнуто в Х. Подотображение g = f |_Z : Z  Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X>Y замкнутое, T  Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f -¹(T)  T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} - одноточечное. В этом случае отображение f : X>Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] R, для которого f (х) = 0 при любом х  [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f -¹(y) над точкой y = 0 связен. Но f -¹(0) = [-1;1] - связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1]  [2;3]  R задано условием f (х) = 0 для любого х  [-1;1]  [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f -¹(0) = [-1;1]   [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X>Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х>Y непрерывное отображение, f (X) = Y и Х связно, то Y связно.

Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О₁ и О₂, что О₁  О₂ = Х. Допустим, что найдётся точка y  . Тогда в любой окрестности слоя f -¹(y) содержаться как точки множества О₁, так и точки множества О₂. С другой стороны, f -¹(y)  f -¹(U), где трубка f -¹(U) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y) и должна содержаться либо в О₁, либо в О₂ (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

 = ,

т.е. и - непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О₁)  f (О₂) = Y, значит,

 = f (О₁) и  = f (О₂),

т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать.

Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.

Примеры. Пусть отображение f : X>Y непрерывно. Если пространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f не обязано быть связным. А именно, пусть f : R [0; + ], и f (х) = х ² для любого х  R (рис. 1). Расмотрим произвольную точку y  (0; + ). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b)  (0; + ), содержащий эту точку. Тогда трубка

f -¹(U) = 

распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f -¹(U) - несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.

Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy - прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо щ с центром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть pr_X : щ > [- b; b] - проекция этого кольца на ось Ox, где pr_X (x; y) = х  [- b; b] для любой точки (x; y)  щ. Возьмём произвольную точку х  (- a; a)  [- b; b]. Для любой окрестности U  (- a; a) точки х трубка является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция pr_X  - является несвязным отображением.

Может быть и наоборот, отображение f связное, а пространства X и Y - несвязные.

Пусть, например, отображение f : R \ {0}  R \ {0} задано формулой f (х) =  для любого х R \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y  R \ {0}. Для любой окрестности Oy  R \ {0} точки y найдётся связная окрестность U  (0; + ) (или U  (- ; 0)), трубка f -¹(U)  над которой связна (т.к. f -¹(U) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1]  [2; 3]. Рассмотрим проекцию : X  Y  Y (рис. 4), где pr_Y (x; y) = y  Y для любой точки (x; y)  X  Y. Множества X  Y  и Y являются несвязными, но проекция - связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] > R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х  [a; b], где х  х, выполняется только одно из двух свойств: f (x)  f (x ) либо f (x)  f (x ).

Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.

Предположим, что f - не монотонна. Тогда найдутся такие точки х₁, х₂, х₃  [a; b] и х₁ <  х₂ <  х₃, для которых выполняется система неревенств:

.

Положим f (x₁) = y₁, f (x₂) = y₂, f (x₃) = y₃ и y₃  y₁ (или y₁  y₃). Тогда слой f -¹(y₃) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y₃ (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х  [x₁; x₂) и f (x ) = y₃. В силу связности слоя f -¹(y₃), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f -¹(y₃). Но точка (x₂; y₂), где x < x₂ < x₃, не принадлежит прямой y = y₃, поэтому слой f -¹(y₃) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f -¹(y₃) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f - монотонна.

Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно,  f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y  R, что слой  f -¹(y) - несвязен, т.е. f -¹(y) = О₁  О₂, где О₁ и О₂ - непустые дизъюнктные замкнутые в f -¹(y) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x₁  О₁, x₂  О₂ и точка х, где x₁ < x < x₂ и x  О₁, x  О₂, что