Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Пусть A - векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) , определенная на A, удовлетворяющая условием.

1) , причем

2) (л-скаляр)

3) .

Пусть A и B - два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если

, и .

Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A₀ и A₁ - топологических векторных пространства. Говорят, что

A₀ и A₁ совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A₀ и A₁, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A₀ + A₁, и пересечение A₀?A₁. Сумма состоит из всех aU, представимых в виде a=a₀+a₁, где a₀A, и a₁A,

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A₀ и A₁-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A₀?A₁, есть нормированное векторное пространство с нормой

A₀ + A₁, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

При этом если A₀ и A₁ - полные пространства, то A₀?A₁ и A₀ + A₁ также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория у состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A?B.

Если T: A?B и S: B?C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A? C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из у существует морфизм I=I_A, такой, что для любого морфизма T: A?A TI=IT=T

Через у₁ обозначим категорию всех совместимых пар пространств из у.

Определение 2.1. Пусть =(A₀,A₁)-заданная пара из у₁. Пространство A из у будем называть промежуточным между A₀ и A₁ (или относительно ), если имеют место непрерывные вложения.

.

Если, кроме, того T: ? влечет T: A ? A, то A называется интерполяционным пространством между A₀ и A₁.

Более общим образом, пусть и - две пары из у₁. Тогда два пространства A и B из у называются интерполяционными относительно и соответственно и T: ? влечет T: A? B.

Если выполнено

,

В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа и (0?и?1), если

В случае с=1 говорят, что A и B - точные интерполяционные пространства типа и.

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство как множество всех наборов вида

a=(a₁, a₂,…, a_N)

с нормой

.

Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности N x N. Любое множество Q₀={(k_i,l_j): , } будет являться подрешеткой размерности r x m.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом:

r(A)=,

где _k- собственные значения оператора A.

Пусть m ? N, d₁,…,d_m - положительные числа. Через D_m обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AD_m. Если D={(k_i,l_j), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d₁,…,d_m и натуральное число m < N².

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d₁,…,d_m положительные числа, D_m - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Если m ? N, Q₀ -произвольная подрешетка размерности 1 m, то

.

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d₁=…=d_m=d, то есть D_m - множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q₀ -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r² ? m}. Тогда

,

где [m^1/2] - целая часть числа m^1/2.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AD_m

.

Пусть Q₁ -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AD_m, Q₁P(A)Q₀ имеет место представление

А=А₁+А₀, где А₁,А₀D_m, Р(А₁)=Q₁, P(A₀)Q₁\Q₀.

Учитывая, что матрицы А₀ и А₁ неотрицательны, получаем

,

поэтому r(A₀)?r(A).

С другой стороны А₁ - симметричная матрица и следовательно

.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GQ, где Q - решетка размерности nn таково, что, если (k,l)G, то (l,m),(n,k)G для всех n,m{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)G, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)G) имеет место равенство А²=0, т.е. А - нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AD_m. Пусть Q₀ -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q₀P(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть A_d - матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A₀={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i₀,j₀) вне решетки Q₀. Возможны три случая:

1) 1 ? i₀ ? l, j₀ > m;

2) i₀ > l, 1 ? j₀ ? m;

3) i₀ > l, j₀ > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a_1m=0. Получаем:

Используя неравенства

,

имеем:

Пусть z₁=x₁, z₂=x₂,…,z_m= и

,

тогда

где элемент имеет координаты (1,m).

Следовательно

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что a_l1=0. Аналогично первому случаю имеем:

.

Используя неравенства

,

получаем:

.

Пусть z₁=y₁, z₂=y₂,…,z_m= и

,

тогда

где элемент имеет координаты (l,1). Следовательно

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что a_lm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:

где элемент имеет координаты (l,m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Пусть 1 ? p < ?, 1 ? q ? ?. Определим семейство конечномерных пространств:

где невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через -множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M , 1 ? p < ?, 1 ? q ? ?, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

|e| - количество элементов множества e.

При q=? положим

Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].

Будем говорить что {A^N} ? {B^N} если существует константа c, такая что для любого , где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1 ? q <q₁? ?, 1 ? p ? ?, . Тогда имеет место вложение

?

то есть

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

(1)

то есть ?

Теперь рассмотрим случай, когда 1 ? q <q₁< ?, и воспользуемся неравенством (1)

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1?p<p₁<?, 1?q,q₁??. Тогда имеем место вложение

?

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p_{1 :}

?

Получаем:

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1<p<?, 1?q??, M= . Тогда

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от.

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

(2)

Заметим, что

Поэтому

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть . Учитывая выбор имеем.

~

~

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть ?.

Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения:

Тогда

.

Пусть для определенности

.

Возможны следующие случаи:

.

В первом случае получаем, что

.

Во втором случае , следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее - целая часть числа .

Получаем

Заметим, что существует такое, что

Положим Тогда .

.

Таким образом, получаем

Из того, что

Имеем

То есть . Следовательно ? где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств определим интерполяционные пространства аналогично [5] .

Пусть , тогда

где

При q=?

Лемма 4.4 Пусть , d>1. Тогда

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ?p₀<p₁<?, 1<q₀,q₁??, M - произвольная сеть. Тогда

?

где

Доказательство.

Учитывая, что ?нам достаточно, доказать следующее вложение

?

Пусть Рассмотрим произвольное представление a=a₀+a₁, где

 тогда

(3)

Так как представление a=a₀+a₁ произвольно, то из (3) следует

Где Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

лемму 4.4 , получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1?p₀<p₁<?, 1<q₀,q₁??, Тогда имеет место равенство

Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

?

.

Определим элементы и следующим образом

, тогда .

Заметим что

(4)

где

(5)

где

Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

~

где .

Таким образом, получаем, что Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

~

~

~

Таким образом, получаем

где c не зависит от .

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть - матрица , тогда

~

Причем соответствующие константы не зависят от

Доказательство.

Воспользуемся эквивалентными представлением нормы и неравенством о перестановках, получим

~

где - невозрастающая перестановка последовательности

Применим неравенство Гельдера

Учитывая лемму 3, имеем

Обратно, пусть e произвольное множество из M₁, , где

Тогда

В силу произвольности выбора e из M₁ получаем требуемый результат.

Следствие. Пусть - матрица

p₀<p₁, q₀<q₁, тогда

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что

Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем

то есть

С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем

,

Следствие доказано.

Заключение

В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.

Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.

Список использованной литературы

1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491.

4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.

5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.

6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178.

7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107.

8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.