Топологические пространства
Непрерывные отображения топологических пространств. Связность топологических пространств. Компактность топологических пространств. Связность непрерывных отображений. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.08.2007 |
| Размер файла | 140,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
.
Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной.
Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, - это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17. Пусть Х и Y - топологические пространства с топологиями Х и Y соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X Y с топологией Х Y, образованной семейством всех множеств вида
U V = ,
и их всевозможных объединений, где U Х, V Y и : X Y Х, : X Y Y - это проекции, причём (x; y) = x и (x; y) = y. Множества вида U V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.
Определение 18. Отображение f : X>Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Х образ f (О) является открытым множеством в Y.
Лемма 2.2. Проекции : X Y Х и : X Y Y являются непрерывными открытыми отображениями.
Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества = G Y по определению топологии произведения открыт в X Y. Тогда проекции и будут непрерывными отображениями.
Пусть точка z X Y; Oz - её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность
точки z, где U - окрестность точки , V - окрестность точки . Точка является внутренней точкой множества U, а значит и множества . Аналогично, точка - внутренняя точка множества . Следовательно, множества и открытые, и проекции и - открытые отображения.
Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция : X Y Y является замкнутым отображением.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Y и рассмотрим слой = {(x; y): x X} = X {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x; y) слоя X Y и её элементарную окрестность
G ,
где Ox - окрестность точки x в X, Oy - окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть - это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём О, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть
U = ,
где Оi j = (Gi j). Тогда
О,
т.е. проекция является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением.
Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция : X Y Y является связным отображением.
Доказательство. Пусть х - произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой = = Y {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому слой также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох точки х, что трубка является несвязной для всякой окрестности U Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U. Для неё найдутся непустые открытые в множества О1 и О2, что О1 ? О2 = и О1 О2 = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О1, либо в О2.
Рассмотрим произвольную точку w1 О1. Образ этой точки = х1 U. Слой О1 О2 = , и точка w1 принадлежит множеству О1 и слою , поэтому О1 (т.к. О1 ? О2 = ). Поскольку w1 - произвольная точка множества О1, то . Аналогично, .
Множества О1 и О2 дизъюнктные открытые в и - открытое отображение. Следовательно, (O1) и (O2) - непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O1) (O2) = U. Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция является связным отображением.
Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X Y является связным множеством.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X Y несвязное, т.е. X Y = О1 О2, где О1 и О2 - непустые дизъюнктные открытые в X Y множества.
Возьмём произвольную точку z О1. Образ этой точки (z) = x. Слой О1 О2 связен, и точка х О1, следовательно, О1 (так как О1 О2 = ). В силу того, что точка z - произвольная, получим . Аналогично, . Множества О1 и О2 - непустые дизъюнктные открытые в X Y, и отображение - открытое, следовательно, множества и - непустые дизъюнктные открытые в Y и = Y. Это противоречит связности Y.
Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X Y Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X Y - связное множество.
Определение 19. Отображение f : X Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X Y F пространства Х в топологическое произведение Y F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y F и)
f = prY i,
где prY : Y F Y - проекция на сомножитель Y.
Теорема 2.8. Пусть отображение f : X Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.
Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции prY : Y F Y. Пусть y Y - фиксированная точка и Oy - её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Oy точки у трубка f -1(U) несвязна. Положим f -1(U) = О1 О2, где О1, О2 - непустые дизъюнктные открытые в f -1(U) множества и U Oy - некоторая фиксированная связная окрестность точки y.
Пусть х f -1(y). Тогда х О1 или х О2. Допустим х О1. Найдётся такое открытое в Y F множество G1, что О1 = G1 X. По определению топологии, в Y F найдутся окрестность Vx U точки y и открытое в F множество W такие, что
х = Vx W G1.
Так как множество f -1(y) - связное по условию, то х f -1(y) О1.
Пусть х - произвольная точка из (Vx W) Х. Тогда х О1 и
f -1(f (x )) О1.
Следовательно, О1 содержит всякий слой f -1(y ), где y Vx (в силу послойной связности f ).
Таким образом, для каждой точки х О1 найдётся окрестность Vx U точки f (x), что х f -1(Vx ) О1. Поэтому
.
Следовательно, множество является окрестностью точки y и O1 = f -1(V1). Аналогично устанавливается, что O2 = f -1(V2), где V2 непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V1 V2, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y.
Пример. Если отображение f : X Y связное над точкой y, то слой f -1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X Y Y - проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = Y и слой f -1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) X Y, где х = , y = . Тогда слой f -1(y) \ {z} - несвязное множество. Отображение f = prY при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f -1(U) - линейно связна, следовательно, трубка f -1(U) - связна.
2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20. Пусть f : X Y и g : Z Y - непрерывные отображения. Послойным произведением f g этих отображений называется отображение h : Т Y, где
и
.
Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:
для любой точки y Y.
Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9. Пусть отображения f : X Y и g : Z Y послойно связные. Тогда произведение h = f g также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4. Пусть f, g : X Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Х \ Т.
Возьмём произвольную точку x X \ Т. Тогда f (x) = y1 Y, g(x) = y2 Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что
Оy1 Оy2 = . {*}
Отображения f и g - непрерывные, поэтому множества f -1(Oy1), g-1(Oy2) - открытые в Y и x f -1(Oy1), x g-1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f -1(Oy1) g-1(Oy2) точки х. Предположим, что Ох Т ? , т.е. существует такая точка х1 Ох, что f (x1) = g (x1) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy1, так и окрестности Oy2, что противоречит условию {*}.
Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X Y является компактным множеством.
Доказательство. Пусть х - произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Щ = - открытое покрытие пространства X Y. Рассмотрим слой
= Y {x}.
Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому - компактное множество. Тогда из открытого покрытия
Щ(х) = Щ,
(где U(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие щ(х) = . Объединение
U(x) = (x) (**)
есть открытое множество, содержащее слой , и prX - замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что U(x). Семейство {Оx: x X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство щ = образует конечное подпокрытие пространства X Y.
Теорема 2.10. Пусть f : X Y и g : Z Y - связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f g также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство. По определению послойного произведения, (, - непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f g является связным.
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X Y является хаусдорфовым множеством.
Доказательство. Пусть z1 и z2 - произвольные фиксированные точки пространства X Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 x2 или y1 y2. Пусть y1 y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1 Oy2 = . Проекция prY является непрерывным отображением, поэтому множества и - открытые в X Y и непересекающиеся. Причём, z1 и z2 . Следовательно, пространство X Y - хаусдорфово по определению.
Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f i : T Y отображений f : X Y и i : Y Y, где i - тождественное отображение и множество Т = {(x; y): fprX = iprY = prY}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X Y. Пусть (x1; y1) T - произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = fprX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) Т выполняется неравенство prX (x1; y1) prX (x2; y2) при х1 х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X f (X) X Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т Х, и f = prY. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g-1: X T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X Y, и f = prYd. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению.
Литература.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: «Наука»,1977.
Александров П.С. Геометрия.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. - М.: «Просвещение», 1985.
Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. - Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. - Киров, 1990.
Подобные документы
Понятие и признаки метрического пространства. Свойства топологических пространств. Замкнутые множества: внутренние, внешние и граничные точки. Топологические преобразования топологических пространств. Понятие и содержание двумерного многообразия.
курсовая работа [481,4 K], добавлен 28.04.2011Определение и структурные уравнения аффинной связности. Экспоненциальные отображения в теории пространств. Ковариантное дифференцирование и классические формулировки. Аффинное пространство n измерений. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства.
курсовая работа [167,8 K], добавлен 23.10.2012Основные понятия и теоремы. Свойства метризуемых пространств. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. Метризуемое пространство хаусдорфово. Метризуемое пространство нормально. Выполняется первая аксиома счетности.
дипломная работа [273,3 K], добавлен 08.08.2007Общая теория топологических и векторных пространств, внутренняя логика развития; аксиоматика. Структура построения нормированного пространства; рассмотрение и развитие понятия банахова пространства как определённого типа векторных пространств с нормой.
реферат [14,9 K], добавлен 11.01.2011Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции. Определение общих свойств пространств Лоренца. Понятие нормы и спектрального радиуса неотрицательных матриц. Исследование интерполяционных признаков семейств конечномерных пространств.
курсовая работа [289,9 K], добавлен 12.01.2011Понятие матрицы достижимости и связности. Операция удаления вершины из графа. Алгоритм выделения компонент сильной связности. Разработка и листинг программы на языке Turbo Pascal, осуществляющей вычисление матрицы достижимости по заданному алгоритму.
курсовая работа [584,3 K], добавлен 26.04.2011Клеточные разбиения классических пространств. Важность для геометрии и топологии клеточного разбиения многообразий Грассмана. Гомотопические свойства клеточных пространств. Теорема о клеточной аппроксимации. Доказательство леммы о свободной точке.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.06.2009Определение, свойства, виды и историческое происхождение матриц. Расчет определителя третьего порядка. Правило Саррюса для треугольников. Алгоритм построения и единственность обратной матрицы. Исследование линейных отображений векторных пространств.
контрольная работа [308,2 K], добавлен 12.12.2013Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Общее понятие, основные свойства и закономерности графов. Задача о Кенигсбергских мостах. Свойства отношения достижимости в графах. Связность и компонента связности графов. Соотношение между количеством вершин связного плоского графа, формула Эйлера.
презентация [150,3 K], добавлен 16.01.2015
