Стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі

Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування. Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню цих задач на побудову. Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню задач засобами пакету GRAN.

Рубрика Математика
Вид дипломная работа
Язык украинский
Дата добавления 26.08.2014
Размер файла 2,1 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Нехай чотирикутник з його діагоналями та являється зображенням даної піраміди (мал. 14). Зрозуміло, що двома точками і та прямою цілком визначається положення січної площини. Таким чином, задача о побудові перерізу на цьому зображенні виконувана. Перейдемо до зображення січної площини.

Позначимо січну площину через .

Так як , , , , то , . Але , і . Тоді . Далі,

1) .

Так як , то площина , яка проходить через ребро , перетне по прямій, яка проходить через точку і паралельній ребру . Тому

2) . Аналогічно

3) , після цього

4) .

Ясно, що чотирикутник задовольняє умові задачі і тому являється шуканим перерізом. Не важко переконатися, що потрібний переріз існує, при тому тільки один.

Зауваження.

Метод відповідності зручно застосовувати тоді, коли слід січної площини у площині основи многогранника або тіл обертання лежить за межами креслення цих фігур. Незручність цього методу полягає в тому, що велика кількість штрихових ліній, які доводиться проводити в процесі розв`язання задачі, викликає помітні труднощі в читанні креслень.

За допомогою цього ж прикладу розглянемо другий тип задач, тобто задач в умові яких обумовлюється (або мається на увазі), що переріз проведено.

Нехай в прикладі 12 сторона основи піраміди дорівнює , а бічне ребро дорівнює . Знайдемо площину перерізу.

Для цього нам треба вияснити форму перерізу (вид чотирикутника ).

Так як за побудовою і , то . - середня лінія трикутника , тобто . Аналогічно , тому , и тоді чотирикутник - паралелограм, причому , . Для знаходження площі паралелограма цих даних, однак, не достатньо, тому уточнимо форму паралелограма . Побудуємо - медіану трикутника . Ясно, що , точка - основа висоти піраміди.

Так як і - проекція відрізка на площину , то (за теоремою о трьох перпендикулярах).

Таким чином, і . Але тоді . (Ми довели, що мимобіжні ребра правильної трикутної піраміди взаємно перпендикулярні).

Далі, так як і , то і , тобто паралелограм - прямокутник.

Таким чином отримаємо:

.

Приклад 3.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник . Ребро перпендикулярно площині основи, . Через середину ребра перпендикулярно до ребра проведемо січну площину і знайдемо площу отриманого перерізу.

Побудуємо зображення.

Нехай чотирикутник з його діагоналями і являється зображенням даної піраміди (мал.).

1) медіана трикутника ,

2) точка - середина ребра ,

3) ,

4) - медіана трикутника ,

5) .

Для того щоб побудувати , спочатку побудуємо . Зазначимо, що в прямокутному трикутнику і тому . Тоді з трикутника , де , знаходимо, що . Таким чином, для того щоб відрізок було зображенням перпендикуляра до ребра , повинна виконуватись рівність:

, або , звідси знаходимо, що , тобто .

Далі ми продовжимо побудову в такій послідовності:

6) точка така, що ,

7) ,

8) ,

9) .

Доведемо, що площина чотирикутника перпендикулярна ребру . Дійсно, , тобто . Крім того, за побудовою . Тоді і . Далі і , тобто . Таким чином, переріз задовільняє умовам залачі і, тому, являється шуканим.

Зрозуміло, що так як січна площина перпендикулярна даній прямій і проходить через дану точку, яка належить поверхні піраміди, визначена цими умовами, існує і при тому тільки одна.

Побудову зображення закінчено, і можна перейти до подальших етапів розв'язання.

Дано:

- піраміда, - вершина, , , , , - переріз піраміди, .

Знайти:

Розв'язання:

Для того щоб розрахувати дану площу, визначимо спочатку вид чотирикутника .

З прямокутних трикутників і маємо відповідно:

і .

Але . Таким чином, .

Оскільки , то - проекція ребра на площину . Але . Тоді і .

З подібності трикутників і

,

звідси .

З подібності трикутників і

,

звідси .

Але , тобто , а тоді .

Таким чином, чотирикутник має ту особливість, що в нього

Далі не важко побачити, що трикутники і і тому . Але і , тобто .

Звідси, ,

а тоді, .

Навчання розв`язку задач на проекційному кресленні служить активним та гнучким засобом розвитку просторової уяви. При елементарній старанності у викладанні вдається настільки розвинути просторову уяву всіх учнів, що вони вільно вирішують задачі на уявну побудову.

Практика розв`язання задач на побудову на проекційному кресленні полегшує учням засвоїти стереометрію, розвиває навички на побудову зображень. Знання та вміння, отримані учнями, виявляються корисними для продовження освіти, для застосування отриманих знань у повсякденному житті. Особливо це стосується тієї частини учнів, яка йде на виробництво.

2.3 Комп'ютерна підтримка навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову засобами пакету GRAN

Ефективність засвоєння знань учнями за умов широкого впровадження засобів нових інформаційних технологій навчання (НІТН) при вивченні геометрії в значній мірі залежить від педагогічних програмних засобів (ППЗ), що дозволяють поєднати високі обчислювальні можливості при дослідженні різноманітних геометричних об'єктів з унаочненням результатів на всіх етапах розв'язування задач.

Використання спеціалізованих програмних засобів надає можливість учневі розв'язувати окремі задачі, не знаючи відповідного аналітичного апарату (наприклад, обчислювати об'єми та площі поверхонь довільних многогранників, не знаючи формул для їх обчислення).

На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, орієнтованих на використання при вивченні математики. Це такі програми як DERIVE, GRAN1, GRAN2, GRAN3, Maple, MathCAD, Mathematika, MathLab. Але, програм, призначених для підтримки шкільного курсу геометрії розроблено досить мало. Більшість з наявних програмних засобів означеного типу мають англомовний інтерфейс та розроблені без врахування особливостей програми шкільного курсу геометрії в Україні.

При вивченні в школі курсу алгебри та початків аналізу, а також деяких розділів геометрії, для аналізу функціональних залежностей та статистичних закономірностей доцільно використовувати ППЗ GRAN1, GRAN2, GRAN3, та DERIVE. У нашій роботі розглянуто можливості програми GRAN-3D. ППЗ GRAN-3D надає учням змогу оперувати моделями просторових об'єктів, що вивчаються в курсі стереометрії, а також забезпечує засобами аналізу та ефективного отримання відповідних числових характеристик різних об'єктів у тривимірному просторі.

GRAN-3D не вимагає стійких вмінь роботи з комп'ютером і має зручний україномовний інтерфейс, розроблений з врахуванням сучасних вимог до педагогічних програмних засобів.

Комп'ютерна підтримка вивчення геометрії з використанням програмного засобу типу GRAN-3D дає значний педагогічний ефект, полегшуючи, розширюючи та поглиблюючи вивчення і розуміння методів геометрії на відповідних рівнях в середніх навчальних закладах з найрізноманітнішими ухилами навчання - гуманітарного спрямування, середніх загальноосвітніх школах, гімназіях, ліцеях, класах і закладах з поглибленим вивченням природничо-математичних дисциплін.

Такий підхід до вивчення геометрії дає наочні уявлення про поняття, що вивчаються, що в свою чергу значно сприяє розвиткові образного мислення, оскільки усі рутинні обчислювальні операції та побудови виконує комп'ютер, залишаючи учневі час на дослідницьку діяльність.

Разом з тим очевидною є потреба розвиваючих вправ із залученням традиційних засобів навчання, гармонійного і педагогічно доцільного поєднання нових інформаційних технологій і традиційних методичних систем навчання.

Початок роботи з програмою. Звернення до послуг програми

Активізація програми

Програма GRAN-3D призначена для графічного аналізу просторових (тривимірних) об'єктів, звідки і походить її назва (GRaphic Analysis 3-Dimension).

Програма функціонує під управлінням операційної системи Windows9x. Для встановлення програми слід запустити на виконання файл SETUP.EXE з диску дистрибутива. Після успішного встановлення у вказаному каталозі буде створено файл GRAN3D.EXE - основна програма, та у додатковому підкаталозі HELP буде створено допоміжні файли допомоги. Далі при натисненні кнопки Пуск назва програми GRAN-3D з'являтиметься як пункт меню Програми, при зверненні до якого відбуватиметься запуск ППЗ GRAN-3D.

Позначення, що використовуються в тексті

Обумовимо позначення, що використовуються. В тексті курсивом виділяються написи та послуги, що належать до інтерфейсу програми. Надалі вказати на деякий об'єкт чи послугу означатиме підвести вказівник мишки до відповідної назви чи зображення та натиснути ліву клавішу мишки. “Звернутися до послуги”, “Активізувати послугу” означатиме встановити вказівник на назву потрібної послуги головного меню програми (за допомогою використання клавіш управління курсором або вказівника мишки) та натиснути клавішу Enter або ліву клавішу мишки. Запис у вигляді “звернутися до послуги Обчислення\Кут\за трьома точками” означатиме “звернутися до пункту головного меню Обчислення, далі до підпункту Кут, і потім до підпункту За трьома точками ”.

Основні елементи інтерфейсу. Звернення до послуг програми

Після активізації ППЗ GRAN-3D на екрані з'явиться головне вікно програми, подане на рисунку. Розглянемо основні елементи інтерфейсу програми.

Зверху під заголовком головного вікна подано головне меню - перелік послуг, до яких можна звернутися в процесі роботи з програмою. При зверненні до певного пункту головного меню з'являється перелік пунктів (послуг) відповідного підменю. Пункти підменю в свою чергу можуть розгалужуватись на підпункти, перелік яких з'являється при зверненні до відповідного пункту підменю.

Під час роботи з програмою у деяких ситуаціях використання певних послуг меню не є коректним. Такі пункти виділятимуться блідішим кольором, а звернення до них не призведе до яких небудь дій. Наприклад, використання послуг пункту головного меню Об'єкт - Змінити чи Вилучити на початку роботи з програмою, поки ще не створено жодного об'єкта, не є коректним, оскільки ще немає чого змінювати чи вилучати.

Якщо необхідно відмовитися від роботи із щойно обраною послугою, слід звернутися до послуги Об'єкт\Припинити виконання операції, або натиснути клавішу ESC.

Звернення до окремих послуг програми (без перебирання пунктів головного меню і підпунктів відповідних підменю) при необхідності можна здійснити за допомогою функціональних клавіш або комбінацій клавіш, вказаних справа біля назв пунктів головного меню.

Панель інструментів

Для активізації деяких послуг можна скористатись кнопками швидкого виклику операцій на панелі інструментів, що розміщена під головним меню програми. Для цього треба натиснути відповідну кнопку (тобто встановити вказівник мишки на позначення кнопки і натиснути ліву клавішу мишки). “Кнопки” оснащено системою оперативної підказки, тому під час знаходження вказівника мишки над певною “кнопкою” на екрані з'являються короткі відомості про призначення даної “кнопки”.

Поле підказки

Під панеллю інструментів розміщено підказку - поле, де виводяться короткі повідомлення про те, яку дію необхідно виконати на поточному етапі роботи

Поле зображення

Поле зображення - частина головного вікна програми, де зображаються створені об'єкти та осі координат. З правого та нижнього краю цього поля розміщено смуги повороту зображення, за допомогою яких здійснюється поворот зображень об'єктів у полі зображення. При змінюванні положення вказівника вертикальної смуги повороту відбуватиметься поворот зображення навколо горизонталі, що проходить через центр повороту (центр повороту може знаходитись у будь-якій точці простору, а його координати можна встановити на вкладинці Загальні вікна Налагодження, а при змінюванні положення вказівника горизонтальної смуги повороту відбуватиметься поворот зображення навколо осі 0Z. Щоб змінити положення вказівника смуги повороту, слід підвести до нього вказівник мишки, далі, натиснувши і утримуючи ліву клавішу мишки, перемістити вказівник у потрібне положення та відпустити ліву клавішу мишки.

Поле характеристик об'єкта

Поле характеристик об'єкта - частина головного вікна, куди виводяться деякі параметри поточного об'єкта: його назва, координати його крайніх вершин, кількість вершин Поле звіту

Поле звіту - частина головного вікна, де фіксується протокол роботи програми та куди виводяться результати усіх вимірювань та обчислень. Для очищення поля звіту потрібно звернутися до послуги головного меню Налагодження\Очистити звіт, або, встановивши вказівник мишки над цим полем, натиснути праву клавішу мишки і у випадаючому меню, що з'явиться, вибрати відповідну послугу.

Поле інформування

Поле інформування - поле (внизу екрану), де виводяться просторові координати точки, що відповідає поточному положенню вказівника мишки у полі зображення (якщо координати такої точки можна визначити однозначно), назва об'єкта, якому ця точка належить, довжина відрізка (якщо вказівник знаходиться на зображенні відрізка тощо. У полі інформування виводиться також коротка інформація про елементи інтерфейсу ППЗ GRAN-3D, над якими знаходиться вказівник мишки.

Створення моделей просторових об'єктів

Загальні відомості

ППЗ GRAN-3D дозволяє створювати та оперувати моделями геометричних об'єктів поданих нижче типів: точка, відрізок, ламана, площина, многогранник, поверхня обертання та довільна поверхня, що визначається рівнянням виду z=f(x,y). При цьому можливе завдання об'єктів у різний спосіб.

Точка задається своїми просторовими координатами x, y та z, відрізок - двома точками або точкою і напрямним вектором, ламана - координатами вузлів або точкою та впорядкованим набором векторів (ламана може бути замкненою чи незамкненою), площина - трьома точками, точкою і вектором нормалі або коефіцієнтами A, B, C, D рівняння площини виду Ax+By+Cz+D=0.

Многогранник задається сукупністю граней, де кожна грань - трикутник, що визначається деякими трьома вершинами многогранника, а кожна вершина задається своїми просторовими координатами.

Поверхня - просторовий об'єкт, що описується сукупністю рівнянь виду z=f(x,y), для кожного з яких вказується область задання у вигляді системи нерівностей виду g(x,y)0 або як многокутник у площині xOy.

Поверхня обертання - поверхня, що утворюється обертанням навколо осі Ox або Oy деякої плоскої кривої чи ламаної, що лежать в площині xOy. При цьому криву можна задати аналітично явною залежністю між змінними x і y у вигляді y=f(x) або ж параметрично у вигляді x=f(t), y=g(t), а ламану можна задати або ввівши координати її вершин, або вказавши вершини на екрані за допомогою мишки.

Створення об'єкта типу Многогранник

Для cтворення об'єкта типу Многогранник потрібно звернутись до послуги меню Об'єкт\Створити\Многогранник, що призведе до появи вікна Конструювання об'єкта з вкладинкою Многогранник.

Засобами ППЗ GRAN-3D можна створити довільний многогранник. Для цього необхідно у відповідних полях вказати кількість вершин многогранника та кількість трикутних граней (не трикутні грані потрібно поділити на трикутники), ввести координати вершин многогранника у таблиці Вершини, а також вказати по три вершини на кожній грані.

Для опуклих многогранників можна не вказувати кількість трикутних граней та номери вершин для кожної грані. Досить спочатку ввести вершини многогранника, а потім скористатися послугою Сформувати грані опуклого об'єкта - кількість граней і відповідні номери вершин для кожної грані буде встановлено автоматично. Для підтвердження введення даних слід натиснути кнопку Виконати.

Графічне завдання об'єктів типу Точка, Ламана, Площина

Об'єкти типу Точка, Ламана та Площина можна задавати з екрана графічно, вказавши точки, що визначають ці об'єкти, безпосередньо у полі зображення за допомогою мишки. Для створення об'єктів вказаних типів описаним способом слід звернутися до послуги меню Oб'єкт\Створити з екрану\Точка, Oб'єкт\Створити з екрану\Ламана або Oб'єкт\Створити з екрану\Площина, в залежності від того, об'єкт якого типу необхідно створити. За відповідним запитом програми, що з'явиться у полі підказки, необхідно у полі зображення вказати (за допомогою вказівника мишки) точки, що визначатимуть об'єкт, після чого у вікні Конструювання об'єкта, що з'явиться (після вказування останньої точки), відкоригувати деякі параметри об'єкта (якщо це необхідно) і натиснути кнопку Виконати.

Для створення об'єкта типу Точка слід вказати лише одну точку.

Для створення об'єкта типу Ламана слід вказати стільки точок, скільки вершин має ламана. Задавши останню вершину ламаної, слід натиснути праву кнопку мишки.

Для створення об'єкта типу Площина слід вказати три точки, через які має проходити площина.

“Вказати точку” означає підвести вказівник мишки у полі зображення до зображення будь-якої вершини або лінії (ребра) будь-якого створеного об'єкта так, щоб у полі інформування з'явилися координати точки та назва об'єкта, якому вона належить, та натиснути ліву клавішу мишки. Якщо одна з координатних площин розміщена (за допомогою смуг повороту зображення) паралельно до площини зображення, тоді слід курсор мишки підвести до будь-якої точки площини так, щоб у полі інформування з'явилися координати цієї точки, та натиснути ліву клавішу мишки. При створенні координата точки вздовж виродженої осі вважатиметься рівною 0.

Перерізи многогранників площинами

ППЗ GRAN-3D дозволяє виконувати перерізи опуклих многогранників площиною. Для виконання перерізу призначено послугу Операції\Виконати переріз. Необхідно вказати у полі зображення (за допомогою вказівника мишки) площину (об'єкт типу Площина), якою перерізається многогранник, та многогранник (об'єкт типу Многогранник), що перерізається.

У разі позитивної відповіді на запит Створити ламану, що відповідає контуру перерізу?, що з'явиться після вказування площини та многогранника буде створено об'єкт типу Ламана, що відповідатиме контуру перерізу.

Далі з'явиться додатковий запит Створити об'єкти, що відповідають частинам вихідного многогранника у різних півпросторах відносно площини перерізу? У разі стверджувальної відповіді автоматично буде створено два нових об'єкти типу Многогранник, що матимуть таку ж назву, як і базовий, але з помітками ч.1 та ч.2 відповідно, та відповідатимуть частинам вихідного об'єкта у різних півпросторах відносно площини перерізу. Надалі новоутвореними многогранниками можна оперувати, як окремими об'єктами. У полі звіту з'явиться площа та довжина периметра утвореного перерізу.

Слід наголосити, що програма дозволяє виконувати переріз лише опуклих многогранників.

Обчислити площу перерізу правильної п'ятикутної прямої призми ABCDEFGHIJ площиною, що проходить через сторону AB та вершину I. Перш за все необхідно створити модель вказаної призми, для чого зручно скористатися послугою Об'єкт\Створити базовий об'єкт (вкладинка Пряма правильна призма вікна Завдання базових просторових об'єктів). У полі зображення з'явиться зображення призми ABCDEFGHIJ, подане на рис. Далі необхідно створити модель площини перерізу. Для цього зручно скористатися послугою Об'єкт\Створити з екрану\Площина, після чого за відповідним запитом програми (що з'явиться у полі підказки) необхідно вказати у полі зображення три точки, що визначатимуть площину. Послідовно вкажемо на зображенні призми на її вершини A, B та I, після чого буде створено модель площини, що проходить через вказані точки.

Далі залишилось застосувати операцію перерізу, для чого необхідно скористатися послугою програми Операції\Виконати переріз. За запитом, що з'явиться у полі підказки, необхідно послідовно вказати у полі зображення (за допомогою мишки) площину перерізу та многогранник, для чого необхідно послідовно вказати на зображення площини та многогранника. Після цього на запит Створити ламанану, що відповідає контуру перерізу? відповімо Ні, а на запит Створити об'єкти, що відповідають частинам вихідного многогранника у різних півпросторах відносно площини перерізу? відповімо Так. При цьому буде створено два нових об'єкти-многогранники, що відповідають частинам призми у різних півпросторах відносно площини перерізу, а у полі звіту з'явиться значення площі перерізу.

В нашій роботі у прикладах 11 та 15 на рисунках 29, 34 зображено два способи перерізу куба площиною, що проходить через задані точки P, Q, R - методом слідів і методом внутрішнього проектування.

При розв'язанні задач такого типу доцільно використання пакету GRAN-3D на етапі пошуку плану розв'язання та на етапі контролю за правильністю виконання дій.

Висновки

У викладанні стереометрії роль проекційного креслення повинна бути дуже значною. Від цього суттєво залежить досягнення мети, яка ставиться в курсі стереометрії. Треба підкреслити подвійну роль проекційного креслення при вивченні стереометрії. З одного боку, викладач ілюструє своє викладення кресленням на дошці, щоб викликати в учнів наочне просторове уявлення геометричних образів, які вони вивчають, поєднати з ними теоретичні судження і пояснення. Таке викладання предмету дає більш пручне, конкретне засвоєння курсу стереометрії, яке і відповідає практичним задачам. Друга задача курсу стереометрії: навчити учнів оперувати над просторовими образами та формами, розв'язувати задачі з просторовими фігурами, тобто знаходити розв'язок фактичною побудовою.

Вправа на проекційних кресленнях, розв'язування задач на таких кресленнях повинні складати суттєву частину викладання стереометрії. При цьому проекційні креслення, які використовуються в стереометрії, не повинні виходити за рамки матеріалу звичайного курсу стереометрії, тобто не повинні містити специфічних прийомів нарисної геометрії, які викликаються інженерно-технічними міркуваннями. Такі побудови повинні бути віднесені до курсу креслення, де вони знайдуть своє справжнє місце.

Невід'ємною частиною процесу розв'язування стереометричних задач на побудову на проекційних кресленнях є потреба визначити контури відповідних побудов, які видні та невидні. Це сприяє розвитку просторових уявлень і просторової уяви учнів, допомагає наочному оформленню розв'язування відповідної задачі і швидкому та безпомилковому читанню цього розв'язування. стереометричний задача комп'ютерний навчання

Одночасно з проходженням розділу про паралельні прямі в стереометрії можна показати спосіб зображення точок простору і ввести необхідну термінологію (основна площина, проектуючі прямі і площини, основа точки). Значна частина задач може бути введена в звичайний матеріал занять по стереометрії. Задачі можна запропонувати учням як для класної, так і для домашньої роботи. При цьому треба зважити, що варіанти таких задач надзвичайно різноманітні і можуть дути без зайвих зусиль розмножені. Далі, по ходу проходження курсу стереометрії можна запропонувати досить корисні задачі на перерізи. Більш важкі задачі можуть бути використані для факультативних занять або можуть бути запропоновані окремим, більш сильним учням, які проявляють великий інтерес до цих питань. Для доповіді на факультативному занятті можна дати більш важкі задачі на перерізи.

Суттєво привчити учнів акуратно виконувати кожну задачу, піклуючись про її графічне оформлення. Такі роботи дадуть учням значне естетичне задоволення і допоможуть вихованню в них корисних навичок.

В цій роботі були розглянуті теоретичні основи геометричних побудов у стереометрії та основні методи розв'язування стереометричних задач на побудову; проаналізовано, які методи і в якому обсязі вивчаються в шкільному курсі стереометрії; проаналізовані задачі на побудову у підручниках профільної школи; розроблено зміст та методичні рекомендації для проведення спецкурсу по навчанню учнів розв'язуванню задач на побудову у просторі з використанням засобів пакету GRAN.

Література
1. Александров И. Геометрические задачи на построение и методы их решения, М., 1950.
2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. М., Просвещение, 1976, ч. 2.
3. Базилев В.Т. Дуничев К.И. Геометрия. М., Просвещение, 1975, ч. 2.
4. Бевз Г.П. Методика викладання математики. К., 1989.
5. Василевкий А.В. Методы решения задач. - Минск: Вища школа, 1974.
6. Грузин О.І., Неліна О.Є. Система опорних фактів шкільного курсу геометрії. - Х.: Світ дитинства, 2010.
7. Жовнір Я.М. 500 задач з методики викладання математики. - Х., 2007.
8. Жовнір Я.М. Позиційні задачі в стереометрії. - К., 1991.
9. Збірник екзаменаційних завдань в 10-11 кл. Геометрія.
10. Литвиненко В.М. Практикум по решению задач школьной математики. - Москва: Просвещение, 1982.
11. Лоповок Л.М. Сборник задач по стереометри. Пособие для учителей средних школ. - Москва, 1959.
12. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение. - Москва, 1962.
13. Нілін Є.П. Геометрія в таблицях. Х.: Мир детства, 2008.
14. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе, М., 1954.
15. Погорєлов О.В. Геометрія: Підручник для 7-11 кл. - К.: Освіта, 2010.
16. Семушин А.Д. Методика обучения решению задач в стереометрии. - Москва, 1959.
17. Смогоржевський О.С. Дослідження задач на побудову. - Х., 1952.
18. Четверухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. - Москва. Учпедгиз, 1954.
19. Четверухин Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. - Москва. Учпедгиз, 1958.
20. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. - Москва. Учпедгиз, 1952.
21. Четверухин Н.Ф. Стереометрия. Задачи на проекционном чертеже. - М., 1954.
22. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике (решение задач). - Москва: Просвещение, 1991.

23. Моторіна В.Г. Технології навчання математики в сучасній школі. - Харків, 2009. - 262 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Проблема формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів в старшій профільній школі. Поняття геометричних побудов; паралельне і центральне проектування та їх властивості. Основні типи задач в стереометрії та методи їх розв’язування.

    дипломная работа [2,6 M], добавлен 11.02.2014

  • Дослідження історії виникнення та розвитку координатно-векторного методу навчання розв'язування задач. Розкриття змісту даного методу, розгляд основних формул. Розв'язання факультативних стереометричних задач з використанням координатно-векторного методу.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.04.2011

  • Розгляд програми вивчення паралельності прямих у просторі. Аналіз викладення теми конструювання геометричних тіл та дослідження їхніх властивостей у шкільних підручниках геометрії. Методика навчання учнів теоретичного матеріалу та розв’язування завдань.

    курсовая работа [699,1 K], добавлен 26.03.2014

  • Поняття про алгебраїчний метод у геометрії. Побудова коренів квадратного рівняння та формул. Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою. Ознака можливості побудови відрізка. Розв’язування задач на побудову. Поняття про однорідні функції.

    курсовая работа [920,5 K], добавлен 17.03.2011

  • Історія виникнення методу координат та його розвиток. Канонічні рівняння прямої. Основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач. Розробка уроку з використанням координатно-векторного методу.

    дипломная работа [2,5 M], добавлен 05.05.2011

  • Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.

    курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014

  • Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.

    курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010

  • Суть принципу Діріхле та найпростіші задачі, пов’язані з ним. Використання методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру при вивченні окремих тем шкільного курсу математики та на факультативних заняттях. Індукція в геометричних задачах.

    дипломная работа [239,7 K], добавлен 15.03.2013

  • Основні поняття поворотної симетрії. Означення, задання та властивості повороту площини. Формула повороту площини в координатах. Поворотна симетрія в природі. Розв'язання задач з геометрії за допомогою повороту (на обчислення, на побудову, на доведення).

    курсовая работа [2,6 M], добавлен 02.11.2013

  • Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.

    презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.