Теоретичні основи та практичний розгляд стереометричних задач на побудову

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи геометричних побудов у курсі стереометрії

1.1 Паралельне і центральне проектування та їх властивості

1.2 Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв'язування

1.2.1 Задачі на уявлювані побудови

1.2.2 Побудова елементів плоских фігур, заданих на проекційному рисунку

1.2.3 Побудова перерізів многогранників методом слідів

1.2.4 Побудова перерізів геометричних тіл методом внутрішнього проектування

Висновки до розділу 1

Розділ 2. Методика вивчення задач на побудову в старшій профільній школі

2.1 Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову

2.2 Спецкурс для підготовки до ЗНО учнів з теми "Розв'язування стереометричних задач на побудову"

2.3 Комп'ютерна підтримка навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову

Висновки до розділу 2

Загальні висновки

Список використаних джерел

стереометрія проектування побудова задача

Вступ

Актуальність теми.

Сучасна освіта розглядається в усьому світі як важливий чинник становлення та розвитку особистості, як невід'ємна частина формування соціокультурного середовища.

Зміни в науці, техніці й виробництві висувають нові вимоги до математичної підготовки компетентного, конкурентоспроможного випускника у зв'язку з посиленням ролі математики в усіх сферах життєдіяльності людини та актуальністю реалізації одного з важливих завдань навчання геометрії в школі - розвиток просторової уяви та формування просторових уявлень учнів, здатності й умінь здійснювати операції з просторовими об'єктами.

Це завдання сучасної школи актуалізує проблему формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів, яка є важливим фактором, що сприяє загальнокультурному розвитку людини, її готовності до безперервної освіти і професійної діяльності як у технічній, так і будь-якій іншій сфері людської діяльності.

Розв'язання вищезазначеної проблеми змушує вести пошук не лише у напрямку розробки принципово нового наукового супроводу навчального процесу, але і переусвідомлення минулого досвіду та його адаптації у нових історичних умовах, спрямованих на використання інформаційно-комунікаційних технологій (ІКТ) з метою якісного наповнення та модифікації інформаційного простору, яке відповідає сутності, обсягу, змісту, швидкості сприйняття інформації.

Що стосується вивчення математики в умовах профільного навчання, то відповідно до Типових навчальних планів для профільного навчання на III ступені загальноосвітніх навчальних закладів, затверджених Наказом Міністерства освіти і науки України "Про затвердження типових навчальних планів для організації профільного навчання у загальноосвітніх навчальних закладах" від 25.05. 2003р. №306, на вивчення математики в загальноосвітніх навчальних закладах відводиться така кількість годин.

Навчальні предмети	Універсальний	Філологічний, суспільно-гуманітарний, спортивний, художньо-естетичний	Природничий	Фізико-математичний
	10	11	10	11	10	11	10	11
Математика	4	4	3	3	4	4	8+(2)	6+(2)
В тому числі: алгебра та початки аналізу	2	2	2	2	2	2	4+(1)	4+(1)
геометрія	2	2	1	1	2	2	2+(1)	2+(1)

У профільній диференціації навчання учнів математики можна виділити три етапи:

Перший етап (5-7 класи) - етап формування профільних інтересів. На цьому етапі доцільним є запровадження різноманітних форм позакласної роботи з предмета: гуртки, турніри, конкурси, олімпіади, вечори цікавої математики.

Другий етап (8 - 9 класи) -- етап становлення до- профільних інтересів. Тут реалізується різнорівневе вивчення курсу математики за відповідними програмами.

Третій етап (10-11 класи) етап безпосередньої реалізації профільного навчання математики. Він забезпечується:

* змістом основного курсу математики відповідно до базового навчального плану;

* системою курсів за вибором;

* організацією самостійної творчої роботи учнів, системою індивідуальних завдань (особистісноорієнтована математична підготовка). Кількість обов'язкових предметів (курсів) в старших класах середньої школи набагато менша, ніж в основній. Профільна диференціація навчання здійснюється за рахунок поглибленого вивчення навчальних дисциплін певного профілю. Учні академічних потоків керуються вимогами вищих навчальних закладів, навчальний план яких складається з традиційних загальноосвітніх дисциплін, що не виключає вибір нових навчальних курсів.

Учні, які не орієнтуються на вступ до вищих навчальних закладів, обирають головним чином навчальні курси практичного циклу, що в багатьох випадках не обмежує можливості продовження навчання.

Наукові роботи Л.С. Виготського [31-34], П.Я. Гальперіна [37-38], Г.С. Костюка [87-88], Н.Ф. Тализіної [164-165], І.С. Якиманської [191-192] присвячено визначенню ефективних прийомів та засобів керування розумовою діяльністю учнів.

Теоретико-методичні аспекти формування умінь та навичок учнів побудови зображень стереометричних фігур та розвитку просторової уяви відображено в працях О.М. Астряба [8, 117], О.С. Борейка [15], Г.А. Владимирського [27-28], Г.Д. Глейзера [40], Я.Є. Гольдберга [42], В.О. Гусєва [116], О.Р. Зенгіна [73], М. Я. Ігнатенка [75], І. Г. Ленчука [97-99], В.І. Лисенко [106], В.М. Литвиненка [107], М.М. Лоповка [108], В. М. Савченка [147], З.І. Слєпкань [154], І.Ф. Тесленка [167-168], М.Ф. Четверухіна [182-184], В.О. Швеця [186-187] та інших.

Процес комп'ютеризації освіти веде до постійного поширення впровадження сучасних ІКТ в навчальних закладах. Дослідження В.Ю. Бикова [12], М.І. Жалдака [63], В.Ф. Заболотного [66-70], В.І. Клочка [80], В.В. Лапінського [96], М.С. Львова [109], Н.В. Морзе [121], С.А. Ракова [138], Ю.С. Рамського [139], О.В. Співаковського [158-159] та інших вчених переконливо доводять, що впровадження інформаційних технологій у навчальний процес дає змогу індивідуалізувати та диференціювати процес навчання, значно розширити можливості вчителя у реалізації дидактичних принципів і тим самим підвищити якість засвоєння навчального матеріалу та сприяти активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів.

Сьогодні, як ніколи, все гостріше викристалізовуються протиріччя між: змістом шкільної математичної (зокрема, геометричної) освіти і дидактичним, процесійно-методичним його забезпеченням, з одного боку, та постійно зростаючими програмними вимогами, які під час навчально-виховного процесу ставить учитель, колектив до особистості учня, його уваги, пам'яті, мислення і фактичним рівнем психічного розвитку, розвитком якостей особистості з іншого; варіативністю інтересів, нахилів, здібностей суб'єктів навчального процесу та браком особистісної зорієнтованості змісту й організації навчання математики; наявною практикою впровадження ІКТ під час навчання математики та відсутністю науково виваженого психолого-педагогічного й методичного супроводу; об'єктивною необхідністю реалізації дидактичних умов, що закладені в змісті шкільної геометричної освіти і спрямовані на формування умінь та навичок розв'язувати стереометричні задачі на побудову та недостатнім методичним забезпеченням, необхідним для розв'язання цих завдань.

Незважаючи на наявні праці, дослідження, наукові знання, які не вичерпують всієї повноти багатогранної проблеми формування умінь та навичок учнів розв'язувати стереометричні задачі на побудову і вимагають вирішення наявних протиріч удосконалення форм, методів, прийомів та засобів навчання, спрямованих на реалізацію у навчально-виховному процесі принципів доступності, послідовності, наочності тощо.

Отже, методика навчання учнів розв'язувати стереометричні задачі на побудову, яка включає в себе використання ІКТ, потребує спеціального дослідження в дидактичному і методичному аспектах, що і зумовило вибір теми дослідження: "Стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі".

Мета і завдання дослідження - науково обґрунтувати і розробити спецкурс для підготовки учнів старшої школи до складання ЗНО за темою "Розв'язування стереометричних задач на побудову" з використанням ІКТ.

Об'єктом дослідження є навчально-виховний процес зі стереометрії у загальноосвітніх навчальних закладах.

Предметом дослідження є стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі.

Методи дослідження. Використовувалися такі методи:

теоретичний: системний аналіз, порівняння, узагальнення даних з проблеми дослідження на основі вивчення наукової психолого-педагогічної літератури; вивчення наукових праць філософів і математиків з методології наукового пізнання, навчальної і методологічної літератури;

емпіричний: спостереження за процесом навчання учнів старших класів загальноосвітнього закладу під час проходження педагогічної практики.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці спецкурсу підготовки учнів до зовнішнього незалежного оцінювання за темою "Стереометричні задачі на побудову"

Структура дипломної роботи. Дипломна робота складається зі вступу, двох розділів, висновків до розділів, загальних висновків, списку використаних літературних джерел.

Розділ 1. Теоретичні основи геометричних побудов у курсі стереометрії

1.1 Паралельне і центральне проектування та їх властивості

Центральне проектування та його властивості

Нехай маємо деяку просторову фігуру, наприклад A`B`C`D`, площину P і точку S, яка не належить ні тетраедру, ні площині P (рис. 1.1.). Проведемо пряму SA` до перетину з площиною P в точці A. Точка A називається центральною проекцією точки A`. Точка S називається центром проектування, пряма SA` - проектуючою прямою, площина P - площиною проекцій або площиною зображення.

Побудувавши аналогічно проекції всіх точок фігури A`B`C`D`, дістанемо центральну проекцію даної фігури на площині P. Фігуру ABCD ще називають зображенням фігури A`B`C`D` або її перспективою. Отже, центральне проектування повністю визначається заданням точки S - центра проектування і площини проекцій P.

Рис. 1.1.

Зображення, одержані центральним проектуванням, досить наочні, вони використовуються там, де вимагається максимальне наближення зображення до зорового сприйняття оригінала (в архітектурі, в образотворчому мистецтві).

Уявлення про центральне проектування ми дістанемо безпосередньо з досвіду: це зображення тіні предмета при його освітленості точковим джерелом; зображення на фотоплівці, кіноекрані тощо. Однак центральне проектування не часто використовується в навчальному процесі школи і вищих навчальних закладів у зв'язку з дещо складним виконанням рисунків. Крім того, центральна проекція значно спотворює геометричні властивості фігури, перетворюючи квадрати в трапеції, кола в еліпси, змінюючи величини кутів, довжини відрізків тощо.

Відзначимо окремі властивості центрального проектування.

1. Центральною проекцією точки є точка.

Дійсно через точку S і будь-яку точку A` простору можна провести тільки одну пряму, яка в перетині з площиною проекцій P визначає точку А - центральну проекцію точки А`.

Зрозуміло, що винятком є точки, які лежать у площині, що проходить через точку S паралельно площині Р. Для таких точок проектуючі прямі паралельні площині Р, тому власної точки перетину не існує. Якщо евклідову площину Р доповнити невласними (нескінченно віддаленими) елементами, то і в цьому випадку точкам площини, що проходять через точку S паралельно площині Р, відповідають невласні точки розширеної площини Р. Зауважимо, що обернене твердження не правильне: точка А є центральною проекцією кожної точки проектуючої прямої SA` (рис. 1.1).

2. Кожна непроектуюча пряма проектується в пряму. Проектуюча пряма проектується в точку.

Нехай пряма A`B` непроектуюча, тобто не проходить через точку S, тоді кожна точка цієї прямої, наприклад точки A` і B`, проектується відповідно прямими SA` і SB` у точки А і В площини Р (рис. 1.1), які визначають пряму АВ - проекцію прямої A`B`. Всі точки прямої A`B` лежать у проектуючій площині SA`B`, тому і всі проектуючи прямі SA`, SB` та інші лежать у цій площині. Отже, проекції всіх точок прямої А`B` належать лінії перетину площини Р і проектуючої площини SA`B`, тобто прямій АВ.

Якщо пряма A`B` проектуючи, тобто проходить через точку S, але не лежить у площині, що проходить через точку S, паралельно площині Р, то вона сама себе проектує: кожна точка цієї прямої проектується в одну й ту саму точку - точку перетину цієї прямої з площиною Р.

Винятком є прямі, які лежать у площині б, що проходить через точку S паралельно площині Р. У цьому випадку кожна пряма такої площини паралельна площині Р, тому точки цих прямих в евклідовій площині центральних проекцій не мають. Якщо евклідову площину доповнити невласними елементами, тобто мати модель проективної площини, то проектуючи прямі площини б відображаються у невласні точки площини Р, а непроектуючі - в одну й ту ж невласну пряму площини Р.

3. Інцидентність точок і прямих центральним проектуванням не порушується, тобто якщо в просторі точка A` належить прямій a`, то центральна проекція А точки A` лежить на центральній проекції б прямої a` також.

Якщо в просторі прямі a` і b` перетинаються в точці A`, то центральні проекції a i b перетинаються в точці А, яка є центральною проекцією точки A`.

Доведення цієї властивості аналогічне попередньому.

4. Центральною проекцією будь-якої непроектуючої площини є вся площина Р, а проектуючої площини - пряма (власна або невласна) площини Р.

5. Кожна фігура F`, яка лежить у непроектуючій площині Q, паралельній площині проекцій P, проектується в подібну їй фігуру F (рис. 1.2)

Рис. 1.2.

Дійсно, при такому розміщенні площини P i Q фігури F? Q I F P гомотетичні з центром гомотетії S.

6. Подвійне відношення чотирьох точок прямої є інваріантом центрального проектування.

Нехай точки A?, B?, C?, D? належать прямій а? у просторі, а точки A, B, C, D, належні прямій а , є центральними проекціями точок A?, B?, C?, D?. Тоді (А?В?, С?D?) = (AB, CD) (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Відзначимо, що при центральному проектуванні одна фігура (оригінал у просторі) відображається у іншу фігуру в площині проекцій. Тому центральне проектування є перетворенням у просторі, тобто перспективним перетворенням, а зображення, проекція оригінала називається перспективною. Ці терміни вживають переважно в образотворчому мистецтві.

Паралельне проектування та його властивості

Нехай дано тетраедр A?B?C?D? і площину Р. Через кожну вершину тетраедра проведемо в певному напрямі паралельні прямі АА?, ВВ? і т.д., які перетнуть площину Р в точках A, B, C, D (рис.1.4). Сполучивши ці точки відрізками, дістанемо фігуру ABCD, яка називається паралельною проекцією тетраедра A?B?C?D? на площину Р. Пряма АА? називається проектуючою прямою, а площина Р - площиною проекцій. Такий спосіб одержання паралельної проекції фігури називається паралельним проектуванням у певному напрямі.

Отже, паралельне проектування повністю визначається заданням напряму проектування і площини проекцій.

Рис.1.4

Означення 1.1. Паралельною проекцією точки називається точка перетину проектуючої прямої, проведеної паралельно заданому напряму, з площиною проекцій.

Щоб одержати паралельну проекцію фігури, треба побудувати паралельні проекції точок, що визначають положення цієї фігури. На рис. 1.4 фігуру A?B?C?D? визначають її вершини, тому, побудувавши паралельні проекції A, B, C, D вершин, дістали паралельну проекцію ABCD даної фігури, сполучивши відрізками побудовані точки.

На рис. 1.5 паралельне проектування на площину Р прямої а? задане напрямом m. Пряму визначають дві її точки, тому, побудувавши проекції А, В двох її точок А? і В?, одержимо проекцію АВ = а даної прямої.

Рис. 1.5.

Перетворення однієї фігури F? в іншу F паралельним проектуванням називають перспективно-афінним або спорідненим перетворенням.

Паралельне проектування називається прямокутним (ортогональним), якщо напрям проектування перпендикулярний до площини проекцій, і косокутним в інших випадках.

Метод паралельного проектування широко використовується в навчальному процесі середньої та вищої школи завдяки тому, що він забезпечує достатньо повну наочність зображення просторових фігур на площині і простий у реалізації.

Розглянемо основні властивості паралельних проекцій.

1. Паралельною проекцією точки є точка.

Справедливість цієї властивості випливає із способу побудови: через дану точку можна провести тільки одну пряму, паралельну даній у даному напрямі, тому буде й єдина точка перетину проектуючого променя з площиною проекцій, тобто єдина паралельна проекція даної точки в площині проекцій.

Але обернене твердження неправильне: точка А площини Р є проекцією всіх точок проектуючої прямої (рис.1.5).

2. Паралельною проекцією прямої, непаралельної напряму проектування, є пряма, а паралельної напряму проектування - точка.

Справді, нехай пряма А?В? = а? проектується на площину Р у заданому напрямі m (рис.1.5). Тоді проектуючі прямі всіх точок прямої а? паралельні між собою та лежать в одній площині - проектуючій площині, яка перетинає площину Р по прямій а,на якій лежать проекції А, В, С,… точок А?, В?, С?, … прямої а?. Отже, паралельною проекцією прямої а?, непаралельної прямій m, є пряма а.

Обернене твердження не правильне: пряма лінія може бути проекцією будь-якої кривої лінії, розміщеної у проектуючій площині, а також площини, паралельної напряму проектування (рис. 1.6)

Рис 1.6

Якщо пряма b? = B?B паралельна напрямку проектування m, то ця пряма перетинає площину Р в єдиній точці В, яка є паралельною проекцією всіх точок прямої b? (рис.1.5).

3. Інцидентність точок і прямих при паралельному проектуванні не порушується.

Правильність цієї властивості випливає з попередніх міркувань (рис.1.5).

4. Відношення відрізків прямої дорівнює відношенню їх паралельних проекцій.

Нехай пряма а? взято точки А?, В?, С?, на прямій а площини Р їм відповідають точки А, В, С при паралельному проектуванні у напрямі m, D - точка перетину прямих а і а? (рис.1.5). Прямі а і а? утворюють у проектуючій площині А?В?ВА кут А?DA, сторони якого перетинають прямі А?А? В?В?С?С, тому вони відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки: . Звідси випливає, що порядок точок на прямій не порушується паралельним проектуванням.

5. Проекції двох паралельних прямих паралельні між собою.

Дійсно, оскільки а? ? b?, то проектуючи площини Q i R також паралельні між собою, а тому вони перетинають площину проекцій Р по паралельних прямих, тобто а ? b (рис. 1.7).

Рис.1.7

6. Відношення відрізків двох паралельних прямих дорівнює відношенню паралельних проекцій цих відрізків.

Нехай дані відрізки А?В? і С?D? паралельні (рис. 1.8).

Рис.1.8

Проведемо в проектуючи площинах Q i RA?M? ? AB i C?N? ?CD, де АВ і СD - паралельні проекції відрізків А?В? і С?D? відповідно. Оскільки АВ ? СD (за властивістю 5), то А?М? ? С?N?. Тоді трикутники А?В?М? і C?D?N? подібні (відповідні сторони паралельні), звідси .

Але тому .

7. Довжина відрізка прямої, паралельної площині проекцій, дорівнює довжині його паралельної проекції.

Нехай , AB Ї паралельна проекція відрізка (рис. 1.9). Тоді АВ? і , тому (Ї паралелограм).

Рис.1.9.

8. При ортогональному проектуванні довжина проекції відрізка прямої дорівнює добутку довжини відрізка Ї оригіналу і косинуса кута його нахилу до площини проекцій.

Нехай напрям паралельного проектування m перпендикулярний до площини проекцій Р, а кут між прямою і її ортогональною проекцією АВ дорівнює б (рис. 1.10). Проведемо , тоді в прямокутному трикутнику кут = б і . Але (за властивістю 7), тому .

Рис. 1.10

Нагадаємо, що властивості фігур, які не змінюються при деякому геометричному перетворенні, називаються інваріантними в даному перетворенні. Незмінні параметри (числові величини) фігур називають їх інваріантами.

Паралельне проектування є перетворенням просторової фігури у фігуру на площині, тому названі властивості встановлюють, що колінеарність і паралельність пари прямих є інваріантними властивостями паралельного проектування, а відношення трьох точок прямої є його інваріантом.

Зображення методом паралельного проектування одержується у два кроки:

1) Усі точки оригіналу проектуються в даному напрямі на площину проекцій;

2) Одержане у площині зображення збільшується або зменшується у певне число разів Ї виконують подібне перетворення відповідно до потрібних розмірів рисунка. Від цього форма зображення не змінюється.

1.2 Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв'язання

1.2.1 Задачі на уявлювані побудови

У шкільній практиці виділяють найчастіше два види завдань на побудови в просторі: завдання на уявні (умовні ) побудови та завдання на ефективні побудови. До задач на побудову відносяться і завдання на поверхні тіл. Однак у практиці шкільної математичної освіти вони практично не зустрічаються.

Для побудов в планіметрії використовуються креслярські інструменти ( циркуль і лінійка ) . З їх допомогою ми насправді можемо виконувати всілякі побудови . Наприклад , відомо , що пряма і коло на площині перетинаються в двох точках , якщо відстань від прямої до центру кола менше її радіусу. Ці точки ми можемо знайти реально , провівши з центру О коло даного радіуса і на заданій відстані від точки О прямі.

Але як у просторі здійснити побудову , наприклад , перетину сфери з площиною ? Не існує реальних інструментів для побудови сфери з даної точки даного радіуса або площини, що проходить , наприклад , через пряму і не належну їй точку. Тому при вирішенні завдань на побудову в просторі доводиться обмежуватися мисленим проведенням прямих, площин, сфер, тобто мова йде про так звані уявні побудови. У них йдеться про принципову можливість виконати деякі реальні побудови: через дану точку простору провести площину, паралельну даній площині - побудувати стелю, паралельну підлозі; через дану точку простору провести пряму, перпендикулярну даній площині - повісити лампочку на шнурі, перпендикулярно до стелі.

Під завданнями на ефективні побудови розуміються завдання на побудови на проекційному рисунку. "...На таких завданнях можна ефективно вирішувати завдання з просторовими фігурами, фактично будуючи на кресленні шукані елементи і виробляючи необхідні операції, майже зовсім так, як це мало б виконуватися в самому просторі" [22, с. 6]. Такі побудови здійснюються з урахуванням аксіом і теорем стереометрії та правил зображень, наприклад , побудова перерізів багатогранників та інших тіл.

У шкільних підручниках зі стереометрії задачі на побудову в уяві представлені у вигляді теорем існування (наприклад , через будь-яку точку простору проходить пряма , перпендикулярна до даної площини, і притому тільки одна) і завдань (наприклад , побудувати пряму перетину двох площин, де кожна задана двома даними прямими і даною точкою).

У процесі вирішення завдань на побудову в уяві встановлюється лише факт існування шуканої фігури, сама ж побудова не виконується. За ідеєю методу елементи, зумовлені умовою задачі, не задаються ні безпосередньо в просторі, ні на плоскому рисунку, а утримуються в уяві. Рішення задачі зводиться до перерахування такої сукупності геометричних операцій, фактичне виконання яких (у разі, якщо їх можна було б виконати) призводить до побудови шуканого елемента. Завдання вважається вирішеним, якщо удається відшукати розглянуту сукупність побудов.

Таким чином, для побудов в просторі, як і на площині, характерна алгоритмічність. Це означає, що шукана побудова зводиться до кінцевого числа послідовно здійснюваних кроків. У планіметрії рішення задачі на побудову має як би дві сторони: теоретичну Ї алгоритм побудови і практичну Ї реалізацію цього алгоритму, наприклад, циркулем і лінійкою.

У стереометричних задач на побудову лише одна сторона Ї теоретична, так як немає інструментів для побудови в просторі, аналогічних для циркуля і лінійки.

Креслення при вирішенні в уяві задач на побудову може не виконуватися. При викладі рішення з однаковим правом можна вживати слова: "визначає", "існує", "задає", "будуємо", "проводимо" та ін. З метою наочності викладу, для полегшення роботи уяви необхідні побудови звичайно все ж супроводжуються ілюстративними кресленнями, які відіграють допоміжну роль.

Приклад. Через точку, що лежить поза площиною, провести площину, паралельно даній площині.

Нехай задана площина б і точка А поза площиною (рис. 1. 11).

Рис. 1.11

Рішення.

1. У площині б проведемо дві прямі a і b, що перетинаються.

2. У площині, заданої прямої а і точкою А, через точку А проведемо пряму , паралельну прямій а.

3. У площині, що задана прямою b і точкою А, через точку А проведемо пряму , паралельну прямій b.

4. Дві прямі і , що перетинаються, задають площину в, паралельну площині б (за ознакою паралельності двох площин).

Завдання завжди має єдине рішення (доведення наводиться в шкільних підручниках стереометрії).

Вирішення цього завдання можна провести без опори на наочність (малюнок), наприклад , так:

1. У заданій площині проведемо дві прямі, що перетинаються.

2. У площині, яка визначається однією з цих прямих і даною точкою, через цю точку проведемо пряму, паралельну даній прямій.

3. У площині, яка визначається другою прямою і заданою точкою, через цю точку проведемо пряму, паралельну даній прямій.

4. Дві пересічні прямі, що проходять через дану точку, визначають єдину площину, паралельну заданій площині ( за ознакою паралельності двох площин).

Зрозуміло, що без опори на наочність (фізичні моделі, малюнки) навіть готове рішення сприймається важче, не кажучи вже про його пошук. У тому й особливість завдань на уявні побудови, що вони є не тільки прекрасним засобом розвитку просторової уяви, а й показником його рівня.

З розглянутого прикладу видно, що ми ведемо міркування за умови, що вважаємо площину заданою, якщо задані дві пересічні прямі, пряма і точка поза нею і т. п. Подібна ситуація спостерігається і при вирішенні планіметричних задач на побудову. На площині задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки вирішувалися з опорою на такі умови ("постулати побудови"):

1. Через будь-які дві дані точки можна провести пряму (можливість використання лінійки ) .

2. З будь-якого центру можна описати коло будь-яким радіусом (можливість застосування циркуля).

Для побудов в просторі приймаються такі умовні угоди ("постулати побудови") [1, с. 45]:

1. Якщо задана фігура, то про кожну точку простору можна сказати, чи належить вона цій фігурі або не належить. Іншими словами, можна вибирати в просторі точки, які належать даній фігурі, так і не належать їй.

2. Якщо побудовано дві фігури, то вважається побудованим їх перетин (наприклад , пряма при перетині двох площин або коло, при перетині сфери і площини).

3. Якщо дано дві точки, то через них можна провести пряму.

4. Якщо дано три точки, то через них можна провести площину. І точно так можна провести площину через пряму та точку і через дві пересічні або паралельні прямі.

5. На кожній площині можна проводити будь-які побудови планіметрії.

При вирішенні тієї чи іншої задачі на уявні побудови не завжди доводять міркування до цих п'яти основних, первинних побудов, а посилаються на вже відомі (як при доказі теорем посилаються не тільки на аксіоми, але і на вже доведені теореми).

Розглянемо приклад вирішення задачі на уявлювані (умовні ) побудови.

Задача 1.1.

Побудувати біссектор даного двогранного кута. Біссектор - напівплощина, обмежена ребром даного двогранного кута і ділить цей кут навпіл.

Рис. 1.12

Рішення.

Нехай дано двогранний кут б з гранями б і в (рис.1. 12).

Аналіз:

1. Нехай біссектор г цього кута побудований. Значить, ребро а цього двогранного кута належить півплощині г. Знайдемо спосіб побудови ще однієї прямої цієї півплощини.

2. Проведемо площину д, перпендикулярну прямій а. Нехай М Ї точка перетину площини д з ребром а.

3. Тоді площина д перетне півплощини б, в і г відповідно по променям , і . Кожен з променів , і перпендикулярний прямій а, оскільки всі вони лежать у площині д і а перпендикулярна площині д.

4. Тоді Ї лінійний кут двогранного кута, утвореного півплощинами б і г , Ї лінійний кут двогранного кута, утвореного півплощинами б і в, .

5. Оскільки (г Ї біссектор двогранного кута, утвореного півплощинами б і в), то, тобто - бісектриса . Таким чином, напівплощина г задається прямою а і променем .

Побудова:

Рис. 1.13

1. Виберемо довільно точку A на ребрі а двогранного кута (рис. 1.13).

2. Побудуємо в точці A лінійний кут KAN даного двогранного кута .

3. Проведемо бісектрису AM кута KAN

4. Напівплощина г, задана прямою а і променем AM - біссектор двогранного кута a.

Доведемо це. Виберемо довільну точку X , що належить площині г. Доведемо, що точка X належить біссектору двогранного кута а, тобто X належить біссектору відповідного лінійного кута:

1. З точки X опустимо перпендикуляр XB на пряму а;

2. Побудуємо в точці B лінійний кут даного двогранного кута а;

3. Доведемо, що :

а ) (як лінійні кути двогранного кута з ребром а і гранямиа б і г);

б) (як лінійні кути двогранного кута з ребром а і гранями в і г;

в) оскільки (AM - бісектриса ), то , що й потрібно було довести.

При вирішенні завдань на уявні побудови часто використовується той факт, що біссектор двогранного кута є множиною точок рівновіддалених від його граней. Для цього доведення з довільної точки X біссектора г ( рис. 1. 13 ) опустимо перпендикуляри ХЕ і XF на грані б і в двогранного кута а. Площина , перпендикулярна кожній з граней двогранного кута, оскільки ця площина перпендикулярна ребру а цього двогранного кута ( Ї лінійний кут даного двогранного кута). Тоді основи E і F перпендикулярів XE і XF лежать відповідно на променях і . Трикутники BXE і BXF рівні за гіпотенузою і гострим кутом, отже, ХЕ = XF, тобто довільна точка біссектора рівновіддалена від граней двогранного кута.

При вирішенні задач на побудову в уяві при необхідності слід проводити аналіз умови задачі, доведення і дослідження рішення. Аналіз проводиться з метою відшукання рішення задачі. На наш погляд , щоб не знижувати інтерес учнів до вирішення завдань на побудову варто проводити аналіз тільки в тому випадку, якщо в ньому є необхідність. А ось на доведення того, що побудовано шукана множина точок, і на дослідженні рішень слід загострювати увагу учнів.

Задача 1.2 На прямій АВ знайти точки, рівновіддалені від двох даних пересічних площин.

Рішення.

Рис. 1.14

Нехай б?в= а (рис. 1. 14 ).

1.Множиною точок, рівновіддалених від двох даних площин б і в будуть дві взаємно перпендикулярні площини г і д, які є біссекторами двогранних кутів, утворених цими площинами .

2. Перетин площин г і д з прямою АВ і дасть шукану множину точок. Як бачимо, проведення аналізу для відшукання вирішення цього завдання нам не було потрібно.

Вище доведено, що біссектор двогранного кута є множиною точок, рівновіддалених від його граней, тому точки перетину площин г і д з прямою АВ будуть рівновіддалені від двох даних пересічних площин б і в .

Дослідження.

1. Якщо пряма АВ паралельна прямій а перетину площин б і в (а не збігається з АВ) і не належить жодній з площин г і д, то не існує на прямій АВ точок, рівновіддалених від площин б і в, оскільки пряма АВ не перетинається ні з однією з площин г або д.

2. Існує єдине рішення (єдина точка), якщо:

а) пряма АВ не належить жодній з площин г і д і перетинається з прямою а;

б) пряма АВ паралельна одній , але не паралельна і не належить іншій з біссекторних площин г і д.

3. Існує дві точки на прямій АВ, рівновіддалені від площин б і в , якщо АВ перетинає кожну з площин г і д і не перетинає пряму а .

4. Завдання має незліченну безліч рішень, якщо пряма АВ належить хоча б одній з площин г або д.

Базові задачі на уявні побудови

Як і для планіметричних задач на побудову для задач на побудову в уяві виділяють основні (базові) завдання, тобто завдання, які часто є складовою частиною інших більш складних завдань. До таких завдань можна віднести наступні:

1. Через дану точку А, що лежить поза даною прямою а, провести пряму, паралельну прямій а.

2. Побудувати пряму, яка проходить через дану точку А і паралельна даній площині б, А .

3 . Через дану точку А провести пряму, що перетинає дві дані перехресні прямі а і b.

4. Побудувати пряму, що перетинає дві дані перехресні прямі і паралельну третій прямій.

5. Через дану пряму а провести площину, паралельну іншій даній прямій b.

6. Побудувати площину, що проходить через дану точку А, паралельно данsq площині б.

7. Через кожну з двох перехресних прямих провести площину, паралельну іншій прямій.

8. Через дану точку А провести площину, перпендикулярну до даної прямої а .

9. Побудувати пряму, що проходить через дану точку А і перпендикулярну до даної прямої а.

10. Через дану точку А провести пряму, перпендикулярну до даної площини б.

11. Побудувати площину, що проходить через дану точку А і перпендикулярну даній площині б .

12. Побудувати пряму, що перетинає дві дані перехресні прямі, і перпендикулярну до кожної з них.

13. Побудувати площину, що проходить через дану пряму а і перпендикулярну до даної площини б.

14. Побудувати перетин площин, заданих кожною з двох даних прямих а і b і даною точкою М.

15. Побудувати біссектор даного двогранного кута.

Розглянемо вирішення деяких з базових завдань (Б. З.).

Б. З. 1. Через дану точку А, що лежить поза прямою а, провести пряму, паралельну прямій а.

Рішення.

Рис. 1.15

Побудова:

1. Пряма а і точка А поза неї задають площину б і притому єдину (рис. 1.15);

2. У площині б через точку А проведемо пряму b, паралельну прямій а. Пряма b Ї шукана.

Доведення: пряма b проходить через точку А (за побудовою) і паралельна прямій а (за побудовою).

Дослідження: завдання має єдине рішення. Єдиність прямої b випливає з єдиності площини б, що проходить через дану пряму а і точку А поза цією прямою, і єдиності в площині б прямої, що проходить через точку А і паралельно прямій а.

Б. 3. 2. Побудувати пряму, яка проходить через дану точку А і паралельна даній площині б, А .

Рішення.

Рис. 1.16

Побудова:

1. У площині б проведемо довільну пряму m (рис.1.16);

2. У площині, заданої прямої m і точкою А, через точку А проведемо пряму а, паралельну прямій m. Пряма а Ї шукана.

Доведення: пряма а проходить через точку А (за побудовою) і паралельна площині б, оскільки а паралельна прямій m, що лежать у цій площині.

Дослідження: через точку А можна провести безліч прямих, паралельних площині б (для будь-якої прямої m площини б можна побудувати відповідну пряму а), які утворюють площину, що проходить через точку А і паралельно площині б.

Б. З. 3. Через дану точку А провести пряму, що перетинає дві дані перехресні прямі а і b.

Рішення. 1 випадок: А , А .

Рис. 1.17

Аналіз:

1. Нехай побудована така пряма m, що проходить через точку А і перетинає кожну з перехресних прямих a і b (рис.1. 17);

2. Існує площин б, що проходить через дві пересічні прямі m і a;

3. Існує площина в, що проходить через дві пересічні прямі m і b;

4. Таким чином, m - загальна пряма площин б і в, кожна з яких проходить через точку А і одну з перехресних прямих а і b.

Побудова:

1. Через пряму а і точку А проведемо площину б;

2. Через пряму b і точку А проведемо площину в;

3. Площини б і в перетинаються (оскільки мають спільну точку А) по прямій m.

Зауважимо, що після побудови площини б, можна знайти точку В перетину прямої b і б. Тоді пряма АВ і є шукана пряма m (проходить через точку А і перетинає кожну з перехресних прямих а і b).

Дослідження:

1. Завжди існує площина б, задана прямою а і точкою А поза неї;

2. Завжди існує площина в, задана прямою b і точкою А поза неї;

3. Завжди існує пряма m перетину площин б й в.

Але чи завжди пряма m перетинає перехресні прямі а і b?

Якщо пряма b паралельна площині б, то не можна побудувати пряму m другим способом, як пряму АВ, (не існує точки В перетину прямої b з площиною б). При побудові m як прямої перетину площин б й в отримуємо, m паралельна прямій b. Таким чином, якщо пряма b паралельна площині б чи пряма а паралельна площині в, то завдання рішень не має; в інших випадках, існує єдина пряма m, що проходить через дану точку А і перетинає кожну з даних перехресних прямих a і b, А , А .

2 випадок: А а.

Рис. 1.18

Побудова:

1. Через пряму b і точку А проведемо площину в ( рис. 1. 18);

2. Через пряму а проходить незліченна множина площин (б), які міститимуть точку А;

3. Таким чином, шуканою прямою буде будь-яка пряма площини в, яка проходить через точку А і перетинає пряму b. Значить, для вирішення завдання в даному випадку достатньо з'єднати точку А з будь-якою точкою прямої b.

Завдання на уявні побудови в класах з поглибленим вивченням математики

У підручниках і навчальних посібниках для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики [1, 3, 20] вводиться поняття завдання на уявні побудови, пропонуються досить різноманітні , цікаві, часто непрості для школярів завдання.

У навчальних посібниках [1, 2, 3] значна увага приділяється завданням, в яких необхідно встановити взаємне розташування точок, прямих і площин у просторі.

Наприклад, вже для школярів восьмого класу пропонується наступна задача.

Задача 1.3. Дано n прямих. Доведіть, що існує пряма, що перетинає всі ці прямі [2, №18, с. 14].

Зрозуміло, що мова йде про прямі на площині, і учні не знають ні про які уявні побудови, але міркування під час вирішення цього завдання виявляться в значній мірі подібними і дуже корисними у вирішенні деяких завдань до глави 1 в десятому класі [1, с.55]. Розглянемо рішення задачі 1. Візьмемо довільну точку А, через неї проведемо прямі, паралельні даним прямим. Виберемо точку В, що не належить жодній з цих прямих. Пряма АВ Ї шукана. Вона не буде паралельна жодній з даних прямих, так як перетинає прямі, паралельні кожній з них. Завдання має незліченну кількість рішень, так як можна вибрати нескінченно багато точок В.

Задача 1.4. [1, №1.5, с. 55].

Кожні дві з трьох площин перетинаються по різним прямим. Дві з цих прямих перетинаються. Доведіть, що перетинаються всі три прямі.

Рішення.

Рис. 1.19

Нехай (рис. 1.19). Точка A належить кожній з площинб і в, оскількт вона належить прямій а. З іншого боку, точка А належить прямій b, яка є перетином площин в і г. Значить, точка А є спільною точкою всіх трьох площин б, в і г. Але загальні точки площин б і г лежать на прямій с. Таким чином, всі три прямі а , b і c перетинаються в точці А.

Задача 1.5. [1, №1.9, с. 55].

Дано n площин. Доведіть, що: а) існують точки, що не лежать в них,

б) існує площина, яка перетинає кожну з них;

в) існує пряма, яка перетинає кожну з них.

Рішення.

Нехай дано площини .

Доведемо, що існують точки, що не лежать в даних n площинах.

1. Площина має не більше n - 1 прямих перетину з площинами .. Значить , у площині існує точка А, яка не належить жодній з площин . Назвемо її власною точкою площини .

2. У площині існує власна точка В.

3. У площині існує власна точка С.

4. Розглянемо площину (ABC) . Вона не збігається ні з однією з площин . Доведемо це : ( ABC ) не збігається з площиною т. к. точки В і С не належить ; аналогічно доводиться відмінність (ABC) від площин і ; (ABC ) не збігається з площинами , т . к. жодній з цих площин не належать точки А , В, С.

5. У площині (ABC) знайдуться точки, що не лежать у площинах , оскільки навіть якщо ( АВС ) перетинається з кожною з них, то це тільки n прямих у площині ( АВС ), тобто існує нескінченно багато точок, які не лежать на цих n прямих, а значить, і даних площинах. Доведемо, що існують пряма і площина, які перетинають кожну з n даних площин.

1. Візьмемо в просторі довільну точку М. Через неї проведемо площини , відповідно паралельні площинам .

2. Виберемо точку N, що не лежить ні в одній з площин . Пряма MN перетинає кожну з площин , а значить, і відповідно паралельні їм площині . Існує нескінченно багато прямих, які перетинають кожну з даних n площин.

3. Будь-яка площина, що проходить через пряму МN, перетинатиме кожну з площин .

Рішення деяких задач на уявні побудови в просторі природним, іноді очевидним, чином зводиться до вирішення відповідної планіметричної завдачі.

Задача 1.6. По одну сторону від площини б розташовані точки А і В. Знайти в цій площині таку точку М, щоб сума відстаней АМ + МВ була найменшою.

Аналіз:

1. Відома планіметрична задача про знаходження на даній прямій точки, сума відстаней від якої до двох даних точок, розташованих в одній півплощині відносно цієї прямої, мінімальна.

2. Спробуємо звести задачу до планіметричної. Через точки А і В проведемо площину в, перпендикулярну площині б і доведемо, що шукана точка М належить прямій m перетину площин б і в. Для цього достатньо довести, що для будь-якої точки X площини б, що не лежить на прямій m, знайдеться така точка прямої m, що ( рис. 1.20). Доведемо це:

Рис. 1.20

а ) візьмемо на площині б довільну точку Х, що не належить прямій m. Їх точки Х опустимо перпендикуляр , на пряму m;

б) трикутники прямокутні з прямими кутами при вершині ;

в) значить, .. Отже, .

Побудова:

Рис. 1.21

1. Через пряму АВ перпендикулярно площині б проведемо площину в ( рис. 1.21);

2.

3. Подальші побудови проводимо в площині в:

а ) побудуємо точку, симетричну точці В відносно прямої m;

б) знайдемо точку М перетину прямих m і . М Ї шукана .

Доведення:

1. З аналізу випливає, що точка М лежить на прямій m. Рис . 1.21

2. Покажемо, що для будь-якої точки N прямої m виконується нерівність :

а). точка симетрична точці В відносно прямої m, тому ;

б). тоді .

Значить, для побудованої точки М площини б сума відстаней АМ + МВ є мінімальною.

Дослідження . Завдання має єдине рішення, оскільки всі наведені побудови завжди здійсненні і приводять до однозначного результату .

Задача 1.7. Дві точки А і В знаходяться по різні сторони від площини б. Знайти в площині б точку М , різниця відстаней АМ та МВ від якої до точок А і В була б найбільшою.

Побудова:

Рис. 1.22

1. Побудуємо точку , симетричну точці В відносно площини б (рис. 1.22).

2. Знайдемо точку М перетину прямої з площиною б. М Ї шукана.

Доведення:

1. Точка М належить площині б з побудови.

2. Доведемо , що для будь-якої точки N площини б виконуватиметься нерівність :

а) точки і В симетричні відносно площини б, тому ;

б) . Таким чином, величина приймає найбільше значення . Це можливо, коли точка N збігається з точкою М, оскільки) .

Дослідження: Будемо вважати різниця відстаней АМ та МВ від точки М площини б до точок А і В найбільшою

1. Якщо точки А і збігаються (А і В симетричні відносно площини б), то для будь-якої точки N площині а, отже, будь-яка точка площини б задовольняє умові задачі.

2. Пряма паралельна площині б, якщо точки А і В рівновіддалені від площини б, але не симетричні відносно б, то не існує на площині б точки, що задовольняє умові задачі.

3. Якщо точки А і В не рівновіддалені від площини б і не симетричні відносно площини б, то завдання має єдине рішення.

1.2.2 Побудова елементів плоских фігур, заданих на проекційному рисунку

Нагадаємо деякі теоретичні положення. Точка, пряма, площина вважаються заданими, якщо на площині задано відповідно паралельні проекції точки, двох різних точок, проекції трьох точок, які не лежать на одній прямій. Точку перетину прямої з площиною називають слідом даної прямої на цій площині.

Дві різні площини, які мають спільну точку, перети- . наються по прямій. Цей перетин є взаємним, тобто, коли площина Р перетинає площину Q по прямій AВ (рис.1.23), то площина Q перетинає площину Р по цій самій прямій. Пряма АВ -- спільна пряма двох площин Р і Q, вона -- слід площини Р на площині Q і вона ж -- слід площини Q на площині Р.

Рис. 1.23

Коли розв'язують стереометричні задачі на побудову, пов'язані з призматичними і циліндричними формами, за основну площину беруть площини їх основ, а за напрям проектування -- напрям, паралельний бічним ребрам призми або контурним твірним циліндра. У випадку пірамідальних і конічних форм за основну площину беруть площини їх основ, але користуються центральним проектуванням, прийнявши одну з вершин . піраміди або вершину конуса -- за центр проекцій.

Спочатку розв'яжемо кілька нескладних задач на осмислення властивості інцидентності точки прямій, прямої площині, а також висловлень: "точка належить площині", "точка не належить площині", "пряма належить площині".

Задача 1.8. Побудувати зображення точки М, яка належить заданій площині б, і точки N, яка не належить цій площині.

Розв' язання. (Рис. 1.24). Розв'язанням задачі є малюнок 1.24. Ілюстрацією помилкового розв'язання цієї задачі є малюнок 1.25.

Рис. 1.24

Рис. 1.25

Рис.1.26

Рис.1.27

Задача 1.9. Як розміщені пряма l і пл. в на малюнках 1.26, 1.27?

Розв'язання. Малюнок 1.26 є ілюстрацією того, що пряма l належить площині в. Малюнок 1.27 ілюструє той факт, що пряма l перетинає площину в в точці В.

Задача 1.10. Трикутну пластинку задано своїми вершинами . Точка М належить площині цієї пластинки. Побудувати проекцію точки М на площину б.

Розв'язання. Розв'язання грунтується на застосуванні властивості паралельного проектування -- властивості інцидентності точки прямій та прямої площині.

1-й спосіб (Рис.1.28). За умовою задачі точки А, В, С задані, тому А₁ = пр_бА, В₁= пр_бВ, С₁= пр_бС. Сполучивши попарно точки А, В, С і А₁ В₁ С₁ відрізками прямих, дістанемо: А₁В₁С₁ = пр_б АВС. Через точку М проводимо довільну пряму так, щоб вона перетнула сторони (або їх продовження) трикутної пластинки АВС, наприклад, у точках X і У. Ці точки належать відповідно відрізкам АВ і ВС. Тому проекції точок X і У на площину б (за властивістю паралельного проектування) повинні належати проекції відрізків АВ і ВС на площину б, тобто, якщо то XY. За властивістю інциденти ості . Оскільки прямі XY і належать одній і тій самій проектуючій площині, то перпендикуляр ММ₁ до пл. б перетне пряму X₁Y₁ у шуканій точці: М = пр_бМ, М₁ -- шукана точка.

Рис.1.28

2-й спосіб. "Прив'яжемо" точку М пл. ABC до однієї з даних точок за допомогою прямої, яку проведемо через точку М і одну з вершин А, В, С (Рис.1.29). Для такої побудови підходить тільки вершина А, бо саме ця побудова дає точку К: К -- АМ ? ВС. Тому, побудувавши точку К₁(К₁ = пр_бK), дістанемо: А₁К₁₌ пр_б АК. Шукану точку М₁ побудуємо так: .

Рис.1.29

Задача 1.11. Площину г задано на проекційному кресленні у вигляді трикутної пластинки KLM (рис.1.30). Точка і належить внутрішній області KLM. Побудувати проекцію точки X на площину проекцій б.

Рис.1.30

Розв'язання. K₁L₁M₁= пр_б KLM,. "Прив'яжемо" точку X до однієї з вершин KLM, наприклад до вершини К. Для цього з вершини К проводимо промінь КХ до перетину із стороною LM в точці N. Через те що точка X -- задана, то KX -- задана пряма. Отже, можна побудувати її проекцію (ортогональну) на площину проекцій б.

Будуємо проекцію прямої КN на площину б.. Відомо, що, тому .

X₁ -- шукана точка, яка є проекцією точки Хна пл. б.

Задача 1.12. Дано точки А і В, які не належать площині проекцій і знаходяться від неї на різних відстанях. Побудувати точку перетину прямої АВ з площиною б.

Рис. 1.31

Роз в' язання. Проектуючі прямі АА₁ і ВВ₁ паралельні між собою і тому визначають проектуючу площину в (рис. 1.31). Оскільки пряма АВ і її проекція -- пряма А₁В₁ належать одній і тій самій площині в і не паралельні між собою (за умовою АА₁ ? ВВ₁), то АВ ? А₁В₁ = X.