Теоретичні основи та практичний розгляд стереометричних задач на побудову

Розв'язання: Будуємо проектуючу площину і обидві лінії її перетину з двома даними площинами: AX і BY. Знаходимо точку перетину останніх Ї K. З'єднуємо K з точкою L перетину слідів даних площин, отримаємо шукану лінію перетину KL (рис.5).

6. Дано зображення куба . Побудувати точку, в якій перетинається пряма (М - середина ребра ) з площиною ABCD.

Розв'язання: Шукана точка О лежить на прямій, по якій перетинаються площина ABCD і площина, якій належить пряма . Таких площин нескінченна множина. Але ми з них обираємо таку, пряму перетин якої з площиною АВС легко побудувати. Оскільки ребра і паралельні, то вони лежать в одній площині, яка перетинається з площиною АВС по прямій АС. Шукана точка О лежить на прямих АС і , розташованих в площині . Тому, побудувавши прямі АС і , знайдемо шукану точку О (рис.6).

Рис.6.

Дано зображення куба . Побудувати точку О перетину прямої (М - довільна точка ребра ) з діагональною площиною куба.

Розв'язання: Шукана точка належить одночасно площинам і (оскільки цій площині належить пряма ). Отже, точка О належить прямій, по якій перетинаються площини і . Перетин цієї прямої з прямою є шуканою точкою О.

Побудова:Будуємо діагоналі граней куба АС, , , BD. Отримуємо точки К і Р. Пряма КР Ї це пряма, по якій перетинаються площини і . Будуємо відрізки РК і . Отримуємо в їх перетині шукану точку О (рис.7).

Рис.7.

7. Дано зображення куба . Побудувати пряму, в якій перетинаються площини і ВСМ (М - довільна точка грані ).

Розв'язання: Оскільки , то шукана пряма також паралельна AD і BC. Крім того, пряма ВС паралельна площині . Тому пряма, по якій перетинаються площини МВС і , також паралельна ВС, а значить, і AD. І, нарешті, прямі перетину площин МВС з площинами і паралельні між собою. На основі викладеного виконуємо наступні побудови: В площині через точку М проводимо відрізок . Отримуємо точки . Пряма РК Ї шукана (рис.8).

Рис.8.

Дано зображення чотирикутної призми і відрізка РК, який лежить в площині грані . Побудувати точки перетину прямої РК з площинами ABCD і .

Розв'язання: Пряма РК лежить в площині , яка перетинається площиною АВС по прямій ВС, тому точка Х перетину прямої РК з площиною АВС лежить на продовженні ребра ВС. Точка Y перетину прямої РК з площиною лежить на прямій перетину площин і . Будуємо точки і . Отримуємо пряму EF, по якій перетинаються площини і . (рис.9).

Рис. 9.

8. Дано зображення похилої призми і точки M, K, P, F, E, H Ї по одній на кожній грані: Побудувати лінію перетину площин MKE і PFH (рис.10).

Рис.10.

Розв'язання: Ця задача може бути вирішена різними шляхами. Наведемо одне з найбільш простих. Будуємо дві трикутні призми:

а) Ї її бокові ребра паралельні боковим ребрам даної призми і проходять через точки P, H, F; її площини основ співпадають з площинами даної призми;

б) Ї її бокові ребра паралельні боковим ребрам даної призми і проходять через точки M, K, E. ЇЇ площини основ співпадають з площинами даної призми.

Після цього будуючи прямі, по яким дані в умові задачі площини перетинаються з основами даної призми.

1) ; XY Ї пряма перетину площини HFP з площиною ABC.

2) Проводимо в площині через точку Р пряму а, паралельну XY. По прямій а площина HFP перетинається з площиною .

3) , ZG Ї пряма перетину площини MKE з площиною .

4) Проводимо в площині АВС через точку М пряму b, паралельну прямій ZG. По прямій b площина MKE перетинається з площиною ABC.

5) Q Ї точка перетину прямих XY і b.

6) N Ї точка перетину прямих GZ і a.

7) Пряма QN Ї шукана.

Таким чином, для цього рішення характерні такі етапи:

а) побудова прямих, по яких перетинається дана площина з паралельними площинами (основами призми);

б) безпосередня побудова перетину даних площин.

(Використовувати метод слідів)

9. На ребрах куба дано точки P, Q, R такі, що . Побудувати переріз куба площиною PQR .

Розв'язання: З'ясуємо спочатку розв'язується ця задача чи ні. Нехай фігура є зображенням куба. Це зображення повне. Також зрозуміло, що, маючи на зображенні точки P, Q і R Ї проекції точок , ми можемо знайті і другорядні проекції точок . Для цього достатньо виконати в площині зображення внутрішнього паралельного проектування, наприклад, в напрямку, паралельному (). Таким чином, ми знайдемо точки і прийдемо до висновку, що зображення перетинаючої площини є заданим. Тоді задача про знаходження перетину площини, заданої точками P, Q і R, з поверхнею куба розв'язується. Перейдемо безпосередньо до побудови перерізу. Перш за все знайдемо слід перетинаючої площини Ї лінію перетину площини PQR і площини ABC.

1)

Оскільки , а , то . Оскільки , а , то . Таким чином, точка Х є спільною точкою площин PQR і ABC. Точка R також є спільною точкою цих площин. Тоді XR Ї пряма, по якій перетинаються площини PQR і ABC.

2) XR Ї слід перетинаючої площини.

3) .

4) ,

5) .

Оскільки , a і , то і . Оскільки , a . Точка Р також є спільною точкою цих площин. Тому МР Ї пряма, по якій перетинаються площина PQR з площиною бокової грані куба.

6) ,

7) ,

8) .

Аналогічно знаходимо далі точку N і виконуємо побудови:

9) ,

10) ,

11) .

Оскільки за побудовою вершини багатокутника SPKQLR є точками, які лежать в січній площині PQR і належать ребрам куба, то багатокутник SPKQLR Ї шуканий переріз. Оскільки по змісту задачі P, Q і R не лежать на одній прямій, то задача має єдиний розв'язок (рис.11).



Рис.11.

10. Побудувати переріз трикутної піраміди площиною, заданою її слідом на площині основи піраміди, який не перетинає сторін основи, і точкою на бічній грані піраміди.

Розв'язання: На рисунку дано зображення піраміди SABC, слід MN площини перерізу на площині основи ABC і точку D на грані BSC. Площина SAD має спільну точку зі слідом MN, а тому і спільну пряму з площиною перерізу DMN. Пряма перетне сторону SA в якійсь точці K, яка належатиме площині перерізу. Знайдемо точку . Тоді пряма перетне бічне ребро SC в точці F, а пряма FD перетне ребро SB в точці L. KFL Ї шуканий переріз (рис.12).

Рис.12.

Побудувати переріз п'ятикутної призми площиною, заданою трьома точками, дві з яких лежать на бічних гранях, а третя Ї на бічному ребрі.

Розв'язання: Дано зображення п'ятикутної призми і три точки площини перерізу (рис.).Для знаходження точок перетину січної площини MNK з ребрами призми використаємо метод слідів і паралельне внутрішнє проектування в напрямі бічних ребер призми. Проекціями даних точок M, N, K у площині основи будуть точки . Тоді , пряма XY Ї слід площини перерізу в площині основи призми.

Побудуємо точку , тоді і .

Аналогічно, побудувавши точку , одержимо точки і . Пятикутник MQRLS Ї шуканий переріз (рис.13).

Рис.13.

11. Побудувати переріз чотирикутної піраміди площиною, заданою трьома точками на різних бічних гранях піраміди.

Розв'язання: Дано зображення чотирикутної піраміди SABCD і точок E, F, K на бічних гранях SBC, SAD, SAB відповідно. Розвязування задачі зводиться до знаходження точки перетину січної площини EFK з одним із ребер піраміди. Використаємо метод слідів: побудуємо слід XY січної площині у площині основи піраміди: , де Ї центральні проекції точок F, K, E у внутрішньому проектуванні з центра S на площину основи піраміди.

Для знаходження точки Q на ребрі SC проведемо пряму BC до перетину зі слідом XY у точці Z, тоді .Далі проводимо пряму RK до перетину з ребром SA в точці M, пряму MF до перетину з ребром SD в точці N (рис.). Чотирикутник QRMN Ї шуканий переріз (рис.14).

Рис. 14.

Побудувати переріз п'ятикутної піраміди площиною, заданою трьома точками, дві з яких лежать на бічних ребрах, а одна Ї на грані піраміди.

Розв'язання: Дано зображення пятикутної піраміди SABCDF і точок (рис.15).

Побудуємо слід XY площини перерізу LMN у площині основи піраміди: (у площині SNM і D Ї центральні проекції точок N і M відповідно), (у площині SLM, точки B і D Ї центральні проекції точок L і M відповідно, S Ї центр проектування). Далі знайдемо точки перетину січної площини з бічними ребрами піраміди:

1) де

2)

3) , де .

LKQME Ї шуканий переріз.

Рис.15.

(Використовувати метод внутрішнього проектування)

12. Побудувати переріз куба площиною, яка проходить через вершину , точку N на ребрі АВ і на M ребрі AD.

Розв'язання: Використаємо внутрішнє проектування паралельно бічним ребрам куба на площину нижньої основи: проекцією точки буде точка C, точки M і N збігаються зі своїми проекціями (рис.). Знайдемо точку перетину площини з проектуючою прямою , тоді . Прямі і перетинають ребра куба і у точках і відповідно. Многокутник Ї шуканий переріз (рис.16).

Рис.16.

13. Побудувати переріз п'ятикутної призми площиною, що проходить через дані три точки, дві з яких лежать на бічних ребрах, а третя Ї на бічній грані призми.

Розв'язання: Нехай Ї зображення даної призми, точки належать площині перерізу (рис.17).

Побудуємо переріз призми методом внутрішнього проектування: точки A, D, Ї проекції даних точок M, N, K у площині основи призми. Знайдемо точку Ї це проекція точки і , де .Тоді пряма MO перетне ребро у точці R, а пряма RK перетне ребро у точці Q.

Далі побудуємо точку та її прообраз , де , тоді пряма RL перетне ребро у точці P. Переріз MQRNP Ї шуканий.

Рис.17.

14. Дана п'ятикутна піраміда SABCDF . Побудувати переріз площиною, заданою трьома точками M, N, P на бічних ребрах.

Рис.18.

Розв'язання: Дані точки лежать на ребрах піраміди SABCDF (рис.18).Розвязання задачі передбачає знаходження точок перетину січної площини MNP з бічними ребрами SB і SC. Використаємо метод центрального внутрішнього проектування на площину основи піраміди з центром S: точки A, F, D Ї центральні проекції точок M, N, P відповідно, відрізок AD Ї центральна проекція відрізка MP. Для знаходження точки перетину січної площини з ребром SB проведемо відрізок BF основи, який перетне відрізок AD у точці , ця точка є центральною проекцією точки , яка лежить на відрізку MP: . Тоді точка Ї шукана вершина перерізу на ребрі SB. Аналогічно знаходимо точку F на ребра SC: проводимо FC, дістанемо точку в перетині з AD, яка є проекцією точки , а потім і точку . MNPFK Ї шуканий переріз.

15. Через середини двох суміжних сторін основи правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює а, проведена площина, що перетинає три бічні ребра і нахилена до площини основи під кутом б. Знайдіть площу одержаного перерізу.

Розв'язання:

1. Побудова зображення. Нехай Ї зображення правильної чотирикутної призми (рис.19). Візьмемо точки M і N такі, що .

Рис.19.

Переріз проходить через пряму MN, що сполучає середини суміжних сторін основи. Тому MN Ї ребро двогранного кута між площиною основи і площиною перерізу. Прийнявши за одну сторону лінійного кута діагональ AC основи, маємо, що друга його сторона RK повинна лежати в площині діагонального перерізу . Дійсно , тому . На бічній грані лежить точка K, яка належить і перерізу. Другою точкою, що належить і перерізу, і грані , буде точка , отже, пряма KP є лінією перетину площини грані і площини перерізу, вона перетне ребро у точці G. Точки N і G Ї спільні точки перерізу і грані , отже, NG Ї лінія перетину грані з площиною перерізу. Основу призми площина перерізу перетинає по прямій MN. Точка є спільною точкою грані і площини перерізу, як і точка K, тому FK Ї лінія їх перетину і . Отже, перерізом призми площиною є п'ятикутник GNMLK.

2. Обчислення площі перерізу. П'ятикутник BCDMN є проекцією перерізу GNMLK на площину основи, тому . Але . Тому .

Найменше значення площі перерізу буде при , у цьому випадку перерізом буде пятикутник BCDMN і . Найбільшою площа перерізу за даної умови задачі буде тоді, коли точка К суміститься з вершиною , у цьому випадку і Ї найбільше допустиме значення кута б. Отже,

.

Відповідь: .

16. Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Площина, яка проходить через сторону основи піраміди і середню лінію протилежної бічної грані, утворює з площиною основи кут . Обчислити об'єм піраміди.

Рис.20.

Розв'язання:

1. Побудова зображення. Будуємо зображення правильної чотирикутної піраміди SABCD: (рис.20).

ABCD Ї квадрат, проведемо його середні лінії (вісі симетрії). Вершина S проектується в точку О їх перетину (і діагоналей основи). Проведемо середню лінію MN грані DSC, тоді і ABNM Ї переріз, який має форму рівнобедреної трапеції. PF Ї її вісь симетрії: , тоді Ї як лінійний кут двогранного кута з ребром AB.

2. Обчислення об'єму. . Треба знайти H=SO. Зробимо це геометричним способом. FK Ї вісь симетрії основи, тоді (з ). Проведемо З і .

Відповідь: .

2.2 Комп'ютерна підтримка навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову

Підвищення результативності вивчення математики можливе шляхом систематичного використання різних педагогічних програмних засобів (ППЗ).

В галузі шкільної освіти взято курс на гуманізацію і демократизацію навчання, а головною його метою стає розвиток особистості як найвищої цінності суспільства. Одним із напрямків формування особистості школяра як творчої, розвитку позитивних якостей кожного учня, його потенційних можливостей є використання на уроках ППЗ з математики. Застосування програмних засобів навчання математики з урахуванням інтересів і здібностей учнів сприятиме становленню всебічно розвиненої особистості.

Одним із засобів візуалізації математичної задачі та її розв'язку, який робить діалог учня та вчителя більш доступним та евристичним, є педагогічні програмні засоби: "Візуальна стереометрія"; "Живая математика"; "GeoGebra"; "Cabri 3D"; "Blender"; "Grand 3D"; "Stereo". Дані ППЗ розроблені відповідно до навчальної програми з математики для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Завдяки застосуванню цих програм навчання можна здійснювати розвивальними методами. В ППЗ наведена значна кількість стереометричних задач на побудову перерізів многогранників, що унаочнюють графічні зображення та флеш-моделі, що дозволяють переглянути покрокову побудову перерізу. Ми звернимо особливу увагу на такі програми як "Grand 3D"; "Cabri 3D" та "GeoGebra".

Ці завдання можна використовувати при вивченні таких курсів математики, як загальноосвітній, прикладний, загальнокультурний та поглиблений. ППЗ призначений для використання вчителем і учнями безпосередньо в процесі навчання - на уроках, на заняттях гуртка чи факультативу, при самостійній роботі вдома, а також для ефективної підготовки до контрольних робіт та ЗНО. На уроках геометрії його можна використовувати при поясненні нового матеріалу, закріпленні знань і вмінь, організації контролю навчальних досягнень учнів. Це значно підвищуватиме продуктивність праці як вчителя, так і учнів за рахунок наглядності представленого матеріалу.

Підготовлений ППЗ допоможе вчителю математики у формуванні таких позитивних якостей особистості школяра, як розумова активність, пізнавальна самостійність, пізнавальний інтерес, потреба в самоосвіті, здатність адаптуватися до умов, що змінюються, ініціатива, творчість. Новизну даного матеріалу забезпечує унікальна класифікація задач на побудову перерізів многогранників.

Тому, розглянемо можливості використання існуючих програмних педагогічних засобів, а саме "GRAN-3D", "STEREO" під час вивчення дисциплін фізико-математичного циклу.

На прикладі ППЗ GRAN-3D розв'язування будь-якої задачі зводиться до створення моделі стереометричного об'єкта і виконання операцій, що фігурують в умові задачі. Даний програмний засіб дозволяє оперувати моделями таких геометричних та просторових об'єктів як точка, відрізок (ламана), площина, многогранник, поверхня обертання.

Точки, відрізки, ламані та площини можна задавати двома способами: або безпосередньо ввести необхідні просторові координати з клавіатури, або вказати їх на екрані.

Для спрощення завдання деяких типів стереометричних об'єктів, що вивчаються у школі, програму оснащено послугою "Створити базовий об'єкт", після активізації якої у вікні "Завдання базових стереометричних об'єктів" з'являться доступні засоби для швидкого створення цих об'єктів.

Відразу після створення або модифікації моделей об'єктів за програмою автоматично обчислюються деякі характеристики цих об'єктів. Так, для ламаної обчислюється її довжина, а якщо ламана замкнена, то також обчислюється площа області, обмеженої ламаною.

Над об'єктами можна виконувати операції паралельного перенесення, повороту, зміни розмірів. Разом з тим, можливе виконання перерізів опуклих многогранників площинами, результатом чого є утворення нових многогранників, якими надалі можна оперувати як окремими просторовими об'єктами.

Завдяки перевагам подання графічних та інших даних програмними засобами закладаються істотні передумови успішного викладу навчального матеріалу, а саме: ефективний та раціональний розподіл навчального часу протягом уроку; емоційне включення, гностичність та емоційне сприйняття математичних даних учнями. Розглянемо процес розв'язування деякої стереометричної задачі обчислювального характеру з використанням GRAN-3D та методично опишемо хід її розв'язування.

Задача. Правильну п'ятикутну піраміду, висота якої 5 лін. од., а сторона основи 3 лін. од., перетнуто площиною, що проходить через сторону основи і середину протилежного бічного ребра піраміди. Знайти площу та периметр утвореного перерізу піраміди.

В умові фігурують об'єкти "правильна п'ятикутна піраміда", "точка" (як середина бічного ребра піраміди), "площина", "переріз" (як об'єкт - результат виконання операції "переріз"). Отож необхідно створити моделі відповідних об'єктів, що задовольняють умову задачі та виконати операцію "переріз".

Для створення моделі піраміди зручно скористатися послугою програми "Створити базовий об'єкт". У вікні "Задания базових стереометричних об'єктів", що з'явиться, на вкладниці "Правильна піраміда" встановимо лівий перемикач у положення "Висота" і введемо у поле введення під цим перемикачем значення "5". Далі встановимо перемикач типу задання нижньої основи у положення "Сторона" та введемо у поле введення під цим перемикачем значення "3". Введених параметрів цілком достатньо для автоматичного обчислення за програмою інших параметрів, необхідних для створення многогранника. Після натиснення кнопки "Створити" з'явиться вікно "Конструювання просторового об'єкту" з вкладинкою "Многогранник", де можна змінити (якщо потрібно) деякі параметри створюваного об'єкта. Після натиснення кнопки "Ок" модель піраміди буде створено: зображення п'ятикутної піраміди з'явиться у полі зображення головного вікна, а назва - у переліку об' єктів.

Далі треба створити об'єкт "Точка", що відповідає середині одного з бічних ребер піраміди. Для цього необхідно встановити просторові координати цієї точки, що не важко зробити, якщо відомі координати кінців ребра. Якщо підвести курсор мишки до будь-якої вершини піраміди на зображенні, у полі інформування з'являться просторові координати цієї вершини, у якій сходяться бічні ребра піраміди та координати будь-якої вершини, що належить основі. Встановивши перемикач типу об' єкта у положення "Точка", звернемося до послуги головного меню програми "Об'єкт/Створити". У вікні "Конструювання просторового об'єкта", що з'явиться, на вкладниці "Точка" введемо знайдені координати середини ребра, а у полі введення "Назва об'єкта" введемо "Середина бічного ребра". Після натискання "Ок" об'єкт буде створено.

Для завдання площини перерізу зручно скористатися послугою програми "Об'єкт/Створити з екрану": у полі зображення слід лише вказати три точки, що визначатимуть площину. Для цього потрібно послідовно підводимо курсор мишки на зображення точки "Середина бічного ребра" та на зображення вершин сторони основи піраміди, протилежної до вибраного бічного ребра. У вікні "Конструювання просторового об'єкта", що з'явиться після вказання третьої точки, на вкладці "Площина" введемо назву об'єкта "Площина перерізу" та натиснемо "Ок".

Залишилося лише виконати операцію перерізу піраміди площиною. Для цього доцільно скористатися послугою програми "Операції/Виконати переріз" та за відповідними запитами програми у полі зображення. За допомогою мишки вказати площину перерізу та многогранник, стосовно якого виконується операція. Після виконання операції у полі з' явиться результат обчислення площі та периметра утвореного перерізу, а також буде створено два нових об'єкти-многогранники: "Ч. 1. Правильна п'ятикутна піраміда" та "Ч. 2. Правильна п'ятикутна піраміда", що є частинами базової піраміди в різних півпросторах відносно площини перерізу. Надалі утвореними об'єктами можна оперувати як окремими моделями. Для унаочнення моделей стереометричних тіл доцільно скористатися послугою програми "Зображення/Режим півтонового зображення", завдяки чому об'єкти зображуються з врахуванням видимості ліній і площин, чим досягається "реалістичність" зображення.

Функціональні можливості ППЗ GRAN-3D дозволяють учням добудовувати та видозмінювати моделі та повертатися до попередніх ракурсів відповідно, чим значно підвищується ефективність навчання. Адже аналізуючи динамічні моделі, встановлюючи суттєві зв'язки між її складовими, виділяючи певні ознаки, учні активізують розумову діяльність.

Слід зауважити, що можливості використання розглядуваного програмного засобу не обмежується розв'язуванням задач наведеного типу.

Додаткова інформація програми GRAN-3D про площі та периметри окремих граней многогранників (послуга Обчислення/Многогранник/Площі та периметри граней) дає змогу проводити розрахункові експерименти з порівняння об'єктів за загальними і спеціальними ознаками 1-о рівняння зображень можна здійснювати одночасно з експериментуванням з відповідними розрахунками параметрів просторових моделей. Це збагачує фактологічну базу для співставлення та протиставлення об'єктів, для вибору інваріантної ознаки основи систематизації. Аналіз моделей полегшує поділ об'єктів, що належать обсягу поняття "многогранник" на моделі типу "призми" і типу "не призми", тобто надає можливість учням краще засвоїти основні принципи процесу класифікації математичних об'єктів. Даний програмний продукт не може бути використаний на всіх етапах уроку і під час вивчення будь-якого навчального матеріалу. Для підтримки шкільного курсу стереометрії запроваджено в навчальний процес пакет ППЗ "STEREO", розроблений Моторіною В.Г. [3]. Даний пакет складається з 8 програм і використовується під час вивчення розділів "Многогранники", "Тіла обертання", "Об'єми многогранників", "Об'єми і площі поверхонь тіл обертання" в курсі стереометрії 11 класу. Для кожної з тем виділено два типи програм: програми для актуалізації знань учнів з даної теми, програми для навчання учнів розв'язуванню задач.

У ППЗ "STEREO" передбачено аналіз помилок учня, допущених у процесі виконання завдань, що є важливою дидиктичною вимогою особистісно-орієнтованої концепції побудови сучасної освіти, а саме дає змогу учню одразу здійснити "ліквідацію" прогалин у навчальному матеріалі.

Отримання міцних знань, повноцінний розвиток учнів неможливий без систематичного, добре організованого контролю і за процесом засвоєння, і за результатами навчання. У кожному випадку перевага у використанні програмного пакету "STEREO" очевидна, оскільки: дозволяє проводити ефективне управління процесом навчання; підвищує рівень знань та сформованості умінь і навичок; сприяє глибокому усвідомленню суті геометричних понять, які вивчаються в курсі стереометрії; активізує дослідницький, творчий підхід до розв'язування стереометричних задач.

Одним з найвідоміших ППЗ є GeoGebra Ї вільно-поширюване динамічне геометричне середовище, що об'єднує в собі геометрію, алгебру та арифметику. Даний програмний продукт був створений під керівництвом Маркуса Хохенвартера, роботу над яким він розпочав у 2001 році на базі Зальцбурзького університету та продовжив в Університеті Флорида Атлантік (2006-2008), Університеті штату Флорида (2008-2009 роки), і тепер в університеті в Лінці. Розроблене програмне забезпечення розраховане для викладання та вивчення математики у середніх школах та коледжах (10-18 років), проте воно надає широкі можливості для застосування і у вищій школі.

На відміну від інших програм для динамічного маніпулювання геометричними об'єктами, ідея GeoGebra полягає в інтерактивному поєднанні геометричного, алгебраїчного і числового подання.

Програма надає багаті можливостями для роботи з функціями (побудова графіків, обчислення коренів, екстремумів, інтегралів і т. д.). Однією із значних її переваг є можливість покроково відображати хід побудови фігур. Таким чином, є можливість анімовано змінювати координати точок, тоді фігура ніби оживає на моніторі, змінюючи своє зображення внаслідок зміни координат опорних точок.

GeoGebra має інтуїтивно-зрозумілий інтерфейс, що складається з вікна графіки та вікна алгебри, і не потребує значних зусиль для засвоєння. З одного боку, у вікні графіки, користувач за допомогою миші може створювати будь-які геометричні побудови за допомогою точок, векторів, прямих, дуг тощо, алгебраїчне подання яких відобразиться у вікні алгебри. З іншого боку, координати та рівняння об' єктів можуть бути введені за допомогою клавіатури у вікні алгебри, тобто існує безпосередній зв' язок алгебри з геометрією. Таким чином, можна легко складати графіки функцій, працювати зі слайдерами для підбору необхідних параметрів.

Наведемо приклад використання динамічного пакету на практиці.

Задача. Точки P, Q і R взяті на поверхні паралелепіпеда наступним чином: точка Р лежить на діагоналі , точка R Ї на ребрі , а точка Q Ї на ребрі . Побудуємо переріз паралелепіпеда площиною PQR.

Розв'язання. 1-ий крок. У динамічному середовищі GeoGebra будуємо і наносимо на полотно всі дані з умови задачі (рис. а).Користуємося інструментами з головної панелі, на якій знаходимо прямі, відрізки, точки та всі необхідні деталі для побудови макета паралелепіпеда.

Рис. а)

2- ий крок. Будуємо пряму XY, по якій перетинаються площини PQR і ABC, тобто слід січної площини ABC. Для цього будуємо точку Х Ї точку перетину прямих RQ і і точку Y Ї точку перетину прямих PQ і (рис. б).



Рис. б)

3- ій крок. Тепер, використовуючи знайдений слід XY, побудуємо точку S, в якій січна площина перетинає пряму .

Оскільки точка S лежить на прямій , то точка Ї проекція точки S на площину АВС співпадає з точкою C. Знаходимо точку V Ї точку перетину прямих і XY.

Оскільки точки R і V лежать в січній площині і в площині грані , то пряма RV Ї це лінія перетину вказаних площин, і тоді точка S Ї це точка перетину прямих RV і . Аналогічно знаходимо точку Z як точку перетину прямих і XY, а за тим точку T Ї точку перетину прямих ZQ і . З'єднуємо далі точку T з точкою R, отримуємо точку E на ребрі . В площині ми отримуємо точки F і E, які лежать також і в січній площині. Тоді ці площини перетинаються по прямій FE, причому, оскільки, точка P також належить і площині , і січній площині, то пряма FE пройде через точку P (рис. в).

Рис. в)

4 - ий крок. З'єднуємо знайдені точки прямими та одержуємо шуканий переріз QFERS (рис. г).

Рис. г)

5-ий крок. На даному прикладі дуже зручно показати учням як буде змінюватися переріз та розміщення сліду в залежності від розташування точок на ребрах. І зауважити, що не кожного разу доцільно використовувати метод слідів, оскільки бувають випадки, коли слід знаходиться на дуже великій відстані і це не зручно для вирішення завдання.

У чинній програмі з математики зазначено: "Підвищенню ефективності уроків математики в старших класах сприяє використання програмних засобів навчального призначення. Широке й системне застосування методу математичного моделювання протягом вивчення курсу математики може стати потужним засобом формування в учнів навички повсякденного користування математикою при вивченні природничих предметів".

Алгоритми побудов у СДГ -- повчальні й цікаві для учнів. Віртуальні лінійка (відрізок, промінь, пряма) і циркулі (у фіксованій площині -- коло, у просторі -- сфера) дозволяють застосовувати всі класичні алгоритми задач на побудову.

Побудови -- складова частина розв'язування. За допомогою методів паралельного проектування вони зводяться до плоского малюнка на площині, що відображає ракурс зображення просторового геометричного тіла. У разі необхідності його зміна потребує часу на уроці і тому рідко виконується. Виготовити фізичну тривимірну модель до кожної стереометричної задачі також неможливо. Окрім того, статичні моделі не дозволяють варіювати параметри, отже, не сприяють дослідженням. Динамічні малюнки, що легко й миттєво змінюються, створюють СДГ, середовища інтерактивного моделювання у віртуальному просторі, просторового конструювання. Кожний малюнок у ньому є фактично нескінченною множиною малюнків. Учень може зафіксувати той один, на якому він уявляє дану конфігурацію найкраще. Найважливіше те, що малюнок у СДГ -- це модель, яка зберігає не лише результат побудови, а також її алгоритм з усіма кроками, вихідними даними, залежностями між базовими об'єктами. Усі поточні побудови фіксуються й за необхідності легко редагуються. Будь-які зміни в необхідному масштабі й динаміці відображаються на дисплеї. Отже, роль малюнка зростає суттєво. Він стає не лише ілюстрацією у процесі розв'язування, а його важливою й невід'ємною частиною.

"Провідним принципом, який визначає структуру навчання математики за математичним та фізико-математичним профілями, є моделювання в навчальному процесі елементів діяльності фахівця-математика", -- наголошується в програмі з математики. Вважаємо, що систематичне використання програмних засобів навчального призначення сформує в учнів навички їх застосування в процесі навчання у вузі, розширить математичний кругозір, познайомить з методами дослідження у відповідній галузі науки.

Наведемо практично значимі аспекти застосування СДГ Cabri 3D.

Детально моделювання стереометричних динамічних конфігурацій з досвіду викладання геометрії розглянуто в роботах [22; 23].

* Наочна демонстрація аксіом, означень, теорем, доведень. Комп'ютерні моделі чудово виконують роль інтерпретаторів математичних тверджень. Говорячи, що означений кут між площинами не залежить від вибору січної площини, що міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута, доводячи задачу-теорему про об'єм похилої призми з виконанням паралельного перенесення її частини тощо, вчитель посилається або на статичні малюнки, або на уяву учнів. Засоби анімації, вбудовані в СДГ, дають можливість моделювати динаміку подібних процесів. Учням варто наголосити, що в реальності ні точок, ні прямих, ні площин не існує. Узагалі, геометрія моделює і досліджує об'єкти в абстрактній формі. СДГ -- це лише наочна й наближена комп'ютерна інтерпретація, яка перетворює стереометрію у красиву і "живу".

* Мимобіжні прямі. Ми виділяємо цей пункт тому, що на площині вказані об'єкти не існують, підручники і збірники задач містять недостатню кількість задач із цієї теми. Учням важко даються задачі на знаходження кутів і відстаней між мимобіжними прямими. Експериментування з моделями навчає їх знаходити і будувати необхідні паралельні площини, спільний перпендикуляр. Вважаємо, що СДГ дозволяють розглядати мимобіжні прямі пропедевтично значно раніше десятого класу.

Задача. Дано куб , довжина ребра якого дорівнює а. Знайти довжини ребер тетраедра . Для кожної пари мимобіжних його ребер вказати паралельні площини, які проходять через ці прямі або площину, що проходить через одну з них, паралельно до другої. Знайти відстань між мимобіжними прямими першої, другої і третьої пари.

Подібні рівневі серії вправ доцільно пропонувати учням для розв'язування з використанням СДГ як навчальні. Шукані відстані: (рис. 3).

* Побудова перерізів. Ця тема -- одна з найсприятливіших для вступу до моделювання. Рисунки нижче ілюструють відому задачу побудови перерізу куба площиною, яка проходить через три точки, що належать попарно мимобіжним ребрам. Cabri 3D дозволяє виконувати реальні перерізи (рис. 5) многогранників площиною (Cut Polyhedron), довільно маніпулювати многогранником (Manipulation), виконувати анімацію (Animation), автоматично і покроково відтворювати побудови (Replay Construction), додавати різні проекції для перегляду (Document / Add View / Front), відтворювати динамічні малюнки в Microsoft Word тощо.

Висновки до розділу 2

Особливості сучасного розвитку освіти України потребують розвинених форм і методів навчання та виховання школяра, що сприяють становленню його особистості. Це покладає величезну відповідальність на вчителів, які повинні свідомо застосувати інноваційні технології навчання. Застосування комп'ютерних технологій навчання в шкільній практиці дає один з шляхів перебудови шкільної освіти.

Відомо, що успішність навчання залежить від відношення дитини до навчан-ня. Позитивне відношення до навчання залежить від мотиву діяльності учня, його інтересу до теми, що вивчається, а також від стійкого інтересу до предмету в цілому. Комп'ютер значно поширив можливості подання навчальної інформації. Застосування кольору, графіки, звуку, сучасних засобів відео техніки дозволяє моделювати різноманітні ситуації і середовища. І це одна з переваг застосування комп'ютерних педагогічних засобів для підвищення інтересу до предмета.

На уроках математики з використанням комп'ютерних технологій учні про-являють зацікавленість до предмета, добре оволодівають знаннями з математики. Процес навчання проходить у невимушеній формі, школярі швидко вирішують поставлені перед ними завдання, не бояться помилитися, є дуже активні, пропонують різноманітні способи розв'язування задач, бажають дістати правильний результат. Якщо це не вдавалося, учні шукали нові варіанти, доки не було досягнуто правильного розв'язування задач - все це сприяє формуванню необхідних математичних понять.

Також можна відзначити, що використання інформаційно-комунікаційних технологій на уроках математики сприяє розвитку пізнавального інтересу учнів, їх розумових здібностей, розвиває хист до самостійної творчої роботи, що допомагає становленню та розвитку особистості дитини.

У сучасному суспільстві використання інформаційних технологій стає необхідним практично в будь-якій сфері діяльності людини. Оволодіння навичками цих технологій ще за шкільною партою багато в чому визначає успішність майбутньої професійної підготовки нинішніх учнів. Досвід показує, що оволодіння цими навичками протікає набагато ефективніше, якщо відбувається не тільки на уроках інформатики, а знаходить своє продовження й розвиток на уроках учителів-предметників. Цей підхід висуває нові вимоги до підготовки вчителя-предметника, ставить перед ним нові проблеми, змушує освоювати нову техніку й створювати нові методики викладання, засновані на використанні сучасного інформаційного середовища навчання.

Загальні висновки

Теоретичне і експериментальне дослідження навчання рішенню задач на побудову, пов'язаного з використанням і розвитком прийомів розумової діяльності учнів старшої школи, підтвердило висунуту гіпотезу і дозволило вирішити ряд поставлених завдань у зв'язку з дослідженням проблеми. У процесі аналізу психологічної та педагогічної літератури з проблеми дослідження, вивчення досвіду формування прийомів розумової діяльності у викладанні математики і геометрії, зокрема, встановлено, що:

1) одним з важливих шляхів розумового розвитку учнів є формування прийомів розумової діяльності;

2) обґрунтовано положення про те, що в процесі навчання необхідно виокремлювати дві самостійні, але взаємообумовлені і взаємозалежні завдання: оволодіння школярами змістом того чи іншого предмета і цілеспрямоване формування у них загальних і специфічних розумових дій і прийомів розумової діяльності;

3) існує розрив між накопиченими теоретичними даними в психології, педагогіці і їх впровадженням у приватні методики, зокрема в методику викладання математики, у практику шкіл;

4) навчання прийомам розумової діяльності можна і потрібно здійснювати на провідному навчальному матеріалі, в процесі вирішення завдань;

5) формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуальних особливостей учнів;

6) сформованість прийомів мислення впливає на мотиваційну сторону вчення;

7) формування прийомів розумової діяльності знімає проблему "перевантаження" і формалізму знань.

У процесі аналізу науково-методичної літератури з проблеми дослідження, вивчення досвіду навчання рішенню задач на побудову та формування прийомів розумової діяльності у викладанні геометрії встановлено, що:

1) Одним з найбільш провідних і важливих тем профільного шкільного курсу геометрії є тема "Стереометричні задачі на побудову.

2) Завдання на побудову повинні пронизувати весь курс шкільної геометрії і бути методом вивчення математичних фактів.

3) Завдання на побудову є специфічно геометричними, вони представляють завдання у власному розумінні цього слова.

4) Завдання на побудову є дуже важкими для учнів. При вирішенні завдань на побудову найяскравіше проявляється рівень математичного розвитку, розумової діяльності.

5) Необхідно цілеспрямоване навчання вирішенню цих завдань, проведення аналізу, дослідження, раціональним прийомам побудови фігур креслярськими інструментами, а також прийомам доведення.

6) Існує розрив між необхідністю цілеспрямованого навчання рішенню задач на побудову та висвітленням цієї проблеми в навчальній і методичній літературі, в практиці викладання в школі.

7) Особливу роль у процесі вирішення завдань на побудову грають умова і креслення, тому важливим моментом навчання вирішенню цих завдань є формування певних розумових процесів, спрямованих на оволодіння учнями раціональними прийомами аналізу креслення і умови задачі.

8) Уміння вирішувати складні задачі на побудову передбачає засвоєння основних і простих завдань. Зазвичай в школі учням показуються способи побудови елементів і фігур, але обґрунтування способів побудови не проводиться, у методичній літературі також поширена думка про недоцільність проводити обґрунтування порядку побудови в задачах, "рішення яких очевидно і безпосередньо вбачається". У той же час, з одного боку, немає об'єктивних критеріїв для визначення очевидності рішення для всіх учнів, з іншого боку, в дидактиці і загальною методикою викладання існує принцип: "Від простого до складного".

9) У загальній структурі процесу вирішення складної задачі центральне місце займають процеси виділення часткових завдань. Складне завдання може бути по-різному розчленована на складові частини цієї задачі: а) шляхом послідовного виділення окремих елементів (елементарний аналіз), б) шляхом вичленування трикутника (чи іншою допоміжною фігури) як цілісного комплексу елементів (комплексний аналіз, заснований на синтезі) .

10) У процесі вирішення завдань на побудову істотним є виділення шуканого об'єкта на кресленні. В силу варіативності побудов в кожній задачі на кожному етапі пошуків можна орієнтуватися на різні етапи або фігури, як шукані. Уміння вирішувати завдання значною мірою полягає в умінні логічно переходити від відшукання одного шуканого до відшукання іншого, від однієї проміжної мети до іншої. Труднощі в пошуках рішення часто виражаються саме в невмінні звести одну задачу до іншої.

11) Для вирішення деяких складних завдань для проведення аналізу первинного креслення-начерку буває недостатньо, необхідно ввести додаткові лінії. Тому для вирішення задачі на побудову буває необхідно відповісти на ряд питань: "чи достатньо для проведення аналізу побудови?"; Якщо по даному кресленню не можна вирішити завдання, то "яку геометричну побудову необхідно застосувати, щоб доповнити креслення?". На основі вищевказаних педагогічних умов реалізації ідей навчання рішенню стереометричних задач на побудову з використанням і розвитком прийомів розумової діяльності напрямки методики навчання рішенню задач на побудову, спрямованої на формування прийомів розумової діяльності учнів.

В якості даних основних напрямків запропоновані наступні:

1) Навчання рішенню завдань на побудову і проблема формування прийомів розумової діяльності взаємопов'язані і взаємозумовлені.

2) Необхідно цілеспрямоване використання і розвиток прийомів розумової діяльності при навчанні рішенню завдань на побудову.

3) Правильне встановлення співвідношень на кресленні залежить від того, наскільки повно проаналізовано умову задачі, і, навпаки, успішний аналіз умови завдання залежить від ступеня проаналізовані креслення.

4) Формування певних розумових процесів, спрямованих на оволодіння учнями прийомів розгляду креслення (аналізу креслення), аналізу умови, є найважливішим моментом при навчання рішенню задач на побудову.

5) Виділені рівні складності аналізу в задачах на побудову, на нашу думку, можуть служити, підставою для класифікації задач на побудову в процесі навчання: а) основні завдання на побудову; б) прості завдання на побудову; в) складні завдання на побудову, що не вимагають для свого рішення введення додаткових, ліній; г) складні завдання на побудову, що вимагають використання додаткових побудов.

Вивчивши проблему формування конструктивно-геометричних умінь, та навичок учнів, як одного із видів математичних компетенцій та стан її реалізації у старшій школі, відмічаємо, що уміння зображати просторові фігури на площині, виконувати побудови на зображеннях та аналізувати їх, нерозривно пов'язане з розвитком просторової уяви учнів. У зв'язку з цим встановлено, що розв'язання проблеми навчання побудови зображень стереометричних фігур може бути відшукано у застосуванні педагогічних програмних засобів інформаційно-комунікаційних технологій, які ґрунтуються на використанні прийомів розвитку просторової уяви (асоціація, аналогія, гіперболізація, загострення) та рекомендовано підтримувати такі види діяльності як розпізнавання, переміщення, перетворення та перебудова образів, підкріплених діяльністю самого учня, що стимулює розвиток геометричного мислення, зокрема його конструктивний, просторовий та інтуїтивний компоненти.

Проаналізовано наявні програмно-педагогічні засоби на предмет ефективності їх використання під час вивчення стереометрії, з урахуванням методичних вимог наочності, доступності, поетапності формування конструктивно-геометричних знань, умінь і навичок учнів. Встановлено, що програмні засоби: "Візуальна стереометрія"; "Живая математика"; "GeoGebra"; "Cabri 3D"; "Blender"; "Grand 3D"; "Stereo" лише частково задовольняють методичні вимоги формування знань, умінь та навичок учнів побудови зображень стереометричних фігур, тому що просторова уява, як різновид уяви, має певні особливості: вирізняється творчим характером; подає дійсність в образах та здійснює їх уявне перетворення; створює уявний образ об'єкта за його зображенням і, навпаки, зображення за уявним образом.

Сьогодні, як ніколи, все гостріше викристалізовуються протиріччя між: змістом шкільної математичної (зокрема, геометричної) освіти і дидактичним, процесійно-методичним його забезпеченням, з одного боку, та постійно зростаючими програмними вимогами, які під час навчально-виховного процесу ставить учитель, колектив до особистості учня, його уваги, пам'яті, мислення і фактичним рівнем психічного розвитку, розвитком якостей особистості з іншого; варіативністю інтересів, нахилів, здібностей суб'єктів навчального процесу та браком особистісної зорієнтованості змісту й організації навчання математики; наявною практикою впровадження ІКТ під час навчання математики та відсутністю науково виваженого психолого-педагогічного й методичного супроводу; об'єктивною необхідністю реалізації дидактичних умов, що закладені в змісті шкільної геометричної освіти і спрямовані на формування умінь та навичок розв'язувати стереометричні задачі на побудову та недостатнім методичним забезпеченням, необхідним для розв'язання цих завдань.

Отже, методика навчання учнів розв'язувати стереометричні задачі на побудову, яка включає в себе використання ІКТ, потребує і подальшого спеціального дослідження в дидактичному і методичному аспектах.

Список використаних джерел

1. А.В. Прус "Про прикладну спрямованість шкільного курсу стереометрії"

2. Адамар Ж. Елементарна геометрія: в 2 ч. Ч.2, вип. 2. Стереометрія / Ж. Адамар; пер. В. Е. Бучков, Я. Д. Костецький - К. : Рад. шк., 1955 -244 с.

3. Александров А.Д. О геометрии / А.Д. Александров // Математика в шк. - 1980. - №3. - С. 56-57.

4. Бевз В.Г. Методические основы построения системы стереометрических упражнений: дис. канд. пед. наук : 13.00.02 / Валентина Григорьевна Бевз. - К., 1989. -197 с.

5. Бевз Г.П. Методика викладання математики : навч. посіб. / Г.П. Бевз. - К. : Вища шк., 1977. - 376 с.

6. Бевз Г.П. Методика розв'язування стереометричних задач : посіб. для вчителя. - К. : Рад. шк., 1988. - 192 с.

7. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г., Владіміров В.М. Геометрія, профільний рівень, 10, Київ, "Генеза", 2010.

8. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г., Владіміров В.М. Геометрія, академічний рівень, профільний рівень, 11, Київ, "Генеза", 2011.

9. Бондаренко М.Ф., Дикарев В.А., Мельников А.Ф. и др. Под ред. Семенца В.В. Математика для поступающих в ВУЗы / Учебное пособие. -Харьков, ХТУРЭ, 1999. - 1120с.

10. Василевский А.В. Методы решения задач. - Минск: Вища школа, 1974.

11. Васильева М.В. Методические рекомендации и указания по геометрии.

12. Вітюк О.В. GRAN-2D і GRAN-3D - програмні засоби для підтримки курсу геометрії // Інформатика та комп'ютерно-орієнтовані технології навчання: Зб. наук. праць Всеукраїнської науково-практичної конференції (м. Хмельницький, 16-18 травня 2001 року)/ Редкол.-К: Педагогічна думка. 2001.

13. Вітюк О.В. Розвиток образного мислення учнів при вивченні геометрії з використанням ППЗ GRAN-3D. Комп'ютерно-орієнтовані системи навчання: 36. наук. праць/К.:НПУ ім. Драгоманова.-Випуск 3. 2001

14. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. - М.: Изд. Московского ун-та, 1985.

15. Гальперіна А.Р. Математика. Методика підготовки до ЗНО. -Х.: Веста, 2009. -208с.

16. Геометрія: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова. - К.: Зодіак-ЕКО;

17. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. - Харків: "Ранок";

18. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір - "Гімназія"

19. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями). - М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983. - 384с.

20. Гольдберг Я.Є. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. - Київ: Радянська школа., 1990.

21. Грузін О.І., Неліна О.Є. Система опорних фактів шкільного курсу геометрії. - Х.: Світ дитинства, 2000.

22. Гулівата І.О. Демонстраційні комп'ютерні моделі як засіб формування просторової уяви / І.О. Гулівата, В. Ф. Заболотний // Зб. наук. пр. Херсон. держ. ун-ту. Сер. Педагогічні науки. - Херсон, 2010. - Вип. 56. - С. 401-406.

23. Гулівата І.О. Естетичний аспект використання комп'ютерних моделей у навчальному процесі / І.О. Гулівата // Нові технології навчання : зб. наук. пр. / Ін-т інновац. технологій і змісту в освіти МОН України ; Вінниц. соц.-екон. ін.-т ун-ту "Україна". - К. ; Вінниця, 2007. - №48, ч. 1 : Шляхи розвитку духовності та професіоналізму за умов глобалізації ринку освітніх послуг - С. 100-102.

24. Гулівата І.О. Розвиток просторової уяви учнів з використанням демонстраційних мультимедійних моделей / І.О. Гулівата, В.Ф. Заболотний, Н.А. Мисліцька // Зб. наук. пр. Уман. держ. пед. ун-ту ім. П. Тичини. - Умань, 2008. - Ч. 2. - С. 131-137.

25. Гулівата І.О. Розвиток просторової уяви учнів у процесі вивчення стереометрії з використанням динамічних комп'ютерних моделей / І.О. Гулівата // Наук. вісн. Ужгород. нац. ун-ту. Сер. Педагогіка. Соціальна робота. - Ужгород, 2010. - Вип. 18. - С. 46-49.

26. Гусев В.А. и др. Практикум по элементарной математике. Геометрия: Учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. 2-е изд., перераб. и доп. М., 1992.

27. Далингер В.А. Проектирование элективных курсов по геометрии посредством локальной аксиоматизации // Современные проблемы науки и образования. - 2006. - №3. -С. 67-70.

28. Демидов В.П. Сборник задач на доказательство по геометрии. - Саранск, 1964.

29. Жовнір Я.М. 500 задач з методики викладання математики. - Харків, 1997.

30. Жовнір Я.М. Позиційні задачі в стереометрії. - Київ, 1991.

31. Жовнір Я.М. Позиційні задачі в стереометрії: Посібник для вчителя - Київ, "Освіта",1991.

32. Жук Ю.О. Педагогічні програмні засоби як ринковий продукт / Ю.О. Жук, О.М. Соколюк // Засоби і технології єдиного інформаційного освітнього простору : зб. наук. пр. / за ред. В.Ю. Бикова, Ю.О. Жука ; Ін-т засобів навчання АПН України. - К., 2004. - С. 154-158.

33. Збірник екзаменаційних завдань в 10-11 кл. Геометрія.

34. Зенчин А.Р. Основные принципы построения изображений в стереометрии.

35. Игначкова А.В., Марченко Т.Л. Методические указания и задания для самомтоятельной работы по геометрии для слушателей подготовительного отделения. - Харьков, ХИЭИ, 1985. - 46с.

36. Изаак Д.Ф. К методике решения задач на построение сечений призм и пирамид // Математика в школе. 1978. № 5.

37. Изаак Д.Ф. О задачах на построение в стереометрии // Математика в школе. 1978. №3.

38. І.А. Сверчевська "Еволюція вивчення геометричних тіл у шкільному курсі стереометрії"

39. Кульчицька Н.В. Вивчення стереометрії в старшій школі в умовах використання нової інформаційної технології: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Н.В. Кульчицька ; УДПУ ім. М. П. Драгоманова. - К., 1993. - 144 с.

40. Кравченя Э.М. Средства обучения в педагогическом образовании / Э.М. Кравченя. - Минск : БГПУ, 2004.-235 с.