Теоретичні основи та практичний розгляд стереометричних задач на побудову

Точка X належить одночасно і пл. б і пл. в, через це вона і є шуканою: Х=АВ?б. Задача має єдиний розв'язок, через те що за умовою АВ б.

Зауваження. Розв'язування попередньої задачі є ілюстрацією методу розв'язування стереометричних задач на побудову точок перетину прямої з поверхнею геометричних просторових фігур. Характерні особливості розв'язування цієї задачі: пряма-оригінал АВ та її проекція А₁В₁ належать одній і тій самій площині в; задача має єдиний розв'язок, якщо АВ б; шукана точка X є точкою перетину прямої-оригіналу АВ і її проекції на площині б, тобто прямої А₁В₁.

Задача 1.13. На зображенні прямої чотирикутної призми ABCDA'B'C'D' (рис.1.32) позначено точки: К гр. АА'В'В, L гр. ВВ'С'С. Побудувати точки перетину прямої KL з площиною нижньої основи ABCD та з площиною грані DD'C'C.

Рис. 1.32

Розв'язання. За напрям паралельного (в даному випадку воно ортогональне) проектування беремо, наприклад, бічне ребро ВВ' даної призми. Через дані точки К і L проводимо проектуючі прямі та паралельно бічному ребру В'В до перетину з ребрами АВ і ВС основи призми в точках . Тоді К₁ -- проекція точки К на ребро АВ, a L₁ -- проекція точки L на ребро ВС нижньої основи призми. Через те що точки і належать площині нижньої основи ABCD (або пл. б), то пряма є проекція прямої-оригіналу KL. Відрізок -- невидимий, бо і відрізок KL невидимий, через це обводимо їх штриховими лініями.

Прямі KL і належать проектуючій площині в, яка визначається паралельними прямими і . Якщо пряма KL не паралельна площині основи б, то існує точка X, в якій пряма KL перетне пл. б. Якщо ж KL ? б, то задача не має розв'язку.

Визначимо точку перетину прямої KL з гранню DD'C'C. Перетин прямих DC і між собою дасть точку Y₁ -- проекцію точки-оригіналу Y на пл. б. Зрозуміло, що точка-оригінал Y належить прямій-оригіналу KL. Знаючи проекцію точки Y і напрям KL, неважко побудувати точку-оригінал Y, що належить пл. DD'C'C. Для цього проводимо пряму Y₁Y паралельно ребру В'В до взаємного перетину з KL у точці Y. Оскільки,, то Y -- шукана точка.

Відповідь. якщо . Якщо , то задача не має розв'язку.

1.2.3 Побудова перерізів многогранників методом слідів

Під перерізом розуміють плоску лінію, яка утворюється в результаті перетину даної поверхні площиною.

Переріз многогранника -- замкнена фігура -- многокутник, кількість сторін якого дорівнює кількості граней, які перетинаються площиною. Вершинами цього многокутника є точки перетину ребер січною площиною, а сторонами -- лінії перетину граней січною площиною. Найменша кількість сторін многокутника перерізу -- три, найбільша дорівнює кількості граней многогранника.

Перерізом кривої поверхні у загальному випадку буде крива лінія (коло, еліпс), крім тих випадків, коли площина проходить через прямолінійні твірні поверхні.

Побудова перерізу многогранника зводиться до багаторазового розв'язування задачі на перетин прямої площиною або до розв'язування задачі про перетин двох площин. Розв'язання першої задачі простіше, тому часто для побудови перерізу многогранника визначають вершини перерізу як точки перетину ребер многогранника січною площиною. Побудувавши вершини перерізу, сполучають відрізками прямих кожні дві вершини, що належать одній грані многогранника. При цьому сторони перерізу, які належать невидимим граням, будуть невидимі, а які належать видимим граням -- видимі.

У цьому параграфі розглянемо побудову перерізів методом слідів, який полягає в побудові слідів площини перерізу на гранях даної фігури або в побудові кривої перерізу за точками.

Сліди площини на гранях фігури можна будувати двома способами: а) будувати сліди прямих, що лежать у площині перерізу, а за ними знаходити сліди самої площини; б) будувати третій слід тригранного кута за двома знайденими слідами на площині перерізу.

Розглянемо розв'язання задачі.

Задача 1.14. Побудувати лінію перерізу (слід) площини в з основною площиною б, якщо площина в задана точками А, В, С, які не належать площині б; Ї проекції точок А, В, С на пл. б.

Розв'язання. Коли дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Отже, треба побудувати такі дві точки X і Y, які визначають єдину пряму XY, що належить площині б (рис.1.33).

Рис. 1.33

Такими точками будуть точки перетину прямих АС і ВС з пл. б. З цього випливає така побудова: визначаємо точку Х, в якій пряма ВС перетинає площину проекцій б, і точку Y, в якій пряма АС перетинає ту саму пл. б. Оскільки знайдені точки X і Y одночасно належать і площині б, і площині в, і ці точки різні, то XY Ї шукана пряма, яка і є слідом перетину площини б і площини АВС.

Зауваження. Пряма XY Ї не лише слід, а й носій точок перетину нескінченної сукупності прямих, які належать площині АВС і перетинають основну площину б. Це положення є одним з головних під час розв'язання задач на побудову перерізів геометричних тіл методом слідів.

Розв'яжемо кілька задач, в яких задано слід січної площини з площиною основи.

Задача 1.15. Побудувати переріз прямої чотирикутної призми площиною, що задана слідом б на площині її нижньої основи і точкою М, яка розміщена на бічному ребрі призми.

Розв'язання. Скористаємось паралельним проектуванням. На ребрі ( або на його продовженні) є точка перетину січної площини з прямою (рис. 1.34). Її фіксоване розміщення поки що не відоме, але відоме розміщення її паралельної проекції на основу площини б.

Рис. 1.34

Виконуємо побудови.

1. , причому .

2. Будуємо точку . , причому .

3. Через те що точки і різні і належать одній площині б, то вони визначають єдину пряму , яка є паралельною проекцією прямої оригіналу ZM. Прямі і а належать площині б і не паралельні між собою, отже, вони перетинаються: .

4. Будуємо точку Z. Побудована точка 1 та задана точка М належать площині і тому визначають пряму 1-М, яка перетинає ребро призми в шуканій точці Z; ZЇ одна з вершин перерізу.

5. На ребрі (або на його продовженні) є деяка точка Х Ї точка перетину січної площини з прямою :, причому .

6. Продовживши відрізок прямої до перетину з прямою а, дістанемо точку 2: .

7. Точки 2 і М належать пл. і визначають єдину пряму 2-М, яка перетинає ребро у шуканій точці Х: 2-М ? = X. Міркуючи аналогічно, знаходимо третю шукану точку Y .

8. , причому .

9.

10.

Сполучивши попарно точки M, X, Y і Z відрізками прямих, дістанемо шуканий переріз Ї чотирикутник MXYZ.

Задача 1.16. Побудувати переріз чотирикутної піраміди площиною, яка задана слідом а на площині її основи і точкою М, розміщеною на бічній грані піраміди.

Розв'язання. Скористаємось центральним проектуванням.

Міркування ті самі, що й у попередній задачі, але додається ще одна операція Ї побудова центральної проекції точки М на основу площини б (рис.1.35).

Рис. 1.35

Етапи побудови перерізу.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. =

6.

7. Сполучаємо точки X, Y, Q, Z, X, дістаємо шуканий переріз.

Задача 1.17. Побудувати переріз чотирикутної призми площиною, яка задана точкою М на бічній грані і перетинає дві суміжні сторони основи призми.

Розв'язання. Проектування паралельне (рис. 1.36). Коротко опишемо етапи побудови.

Рис. 1.36

1. .

2. Якщо , то .

3. або його продовженню; .

4. ; .

5. .

6. Будуємо , оскільки основи призми між собою паралельні. Дістаємо .

7. Точки T, X і ребро належать площині грані . Тому

8. Сполучивши попарно точки F, Z, Y, X, Q, E відрізками прямих, дістанемо шуканий переріз Ї шестикутник FZYXQE.

Задача 1.18. Побудувати переріз чотирикутної піраміди площиною, задана точкою М на бічній грані і перетинає дві суміжні сторони основи піраміди.

Розв'язання. Проектування центральне (рис. 1.37). Коротко опишемо етапи побудови перерізу.

Рис. 1.37

1. .

2. Якщо , то .

3. =.

4. ; .

5. .

6.

7. Сполучивши попарно точки F, Z, Y, X, E відрізками прямих, дістанемо шуканий переріз Ї п'ятикутник FZYXE.

Побудову перерізу циліндра і конуса виконуємо за аналогією до побудови перерізу призми і піраміди площиною. Якщо уявити, що в циліндр (конус) вписано n-кутну призму (піраміду), то бічні ребра призми (піраміди) Ї є не що інше, як твірні циліндра (конуса). Отже, вершини шуканого перерізу будуть розміщені на твірних циліндра (конуса): це точки перетину січної площини в з твірними циліндра чи конуса.

Щоб побудувати лінію перерізу циліндра (конуса) площиною, слід визначити точки перетину контурних твірних з даною площиною.

1.2.4 Побудова перерізів геометричних тіл методом внутрішнього проектування

Між точками будь-якої площини, яка не є проектуючою відносно основної площини, і точками основної площини існує взаємно однозначна відповідність. Це означає, що коли на малюнку задано якусь площину (наприклад, трьома точками), то для кожної точки цієї площини можна побудувати її проекцію, і, навпаки, знаючи проекцію точки даної площини, можна побудувати цю точку.

Метод відповідності або внутрішнього проектування ґрунтується на взаємно однозначній відповідності між точками січної площини та їх проекціями на основну площину.

Розглянемо задачу на побудову точки перетину січної площини з проектуючою прямою. ЇЇ розв'язання розглянемо для випадку паралельного і центрального проектування.

Задача 1.19. Площину KLM задано точками . Задано також проектуючи пряму b слідом . Побудувати точку Х перетину площини KLM з прямою b.

Розв'язання. Для зручності виконання записів побудов позначимо площину KLM через в, а площину через б. Тоді площина в Ї січна, площина б Ї основна. За умовою чотири точки K, L, M, X повинні належати одній площині. Тому розв'язання даної задачі можна звести до побудови точки перетину прямих LM і KX. Проекцію цієї точки не важко побудувати.

Рис. 1.38

1-й спосіб. Проектування паралельне. Виконуємо такі побудови: (рис. 1.38). Далі: .

Беручи до уваги властивість інцидентності точки і прямої, виконуємо такі побудови:

пряма Ї заданий напрям проектування;

Рис. 1.39

2-й спосіб. Проектування центральне. (рис. 1.39). Далі: .

; точка S Ї заданий центр проекцій; .

.

Отже, за відомими чотирма проекціями, з яких відомі три іх оригінали, ми побудуємо і четверту точку оригінал.

Задача 1.20. Дано зображення прямої п'ятикутної призми . Побудувати переріз призми площиною, яка проходить через точки K, L, M, позначені відповідно на бічних ребрах та на грані .

Розв'язання. За напрям паралельного проектування візьмемо, наприклад, ребро , а за площину проекцій б Ї площину нижньої основи даної призми (рис. 1.40).

Знаходимо паралельні проекції даних точок K, L, M на площині б. Ними будуть точки , причому перші дві збігаються з вершинами Е і В (, а третя Ї ).

Рис. 1.40

В основі призми позначимо чотири точки: , де .

Проводимо діагоналі чотирикутника , перетин яких дає точку : . Але , тому коли , то .

.

Точки М і Р і ребро лежать в одній площині , а тому . Знову позначимо чотири точки в площині б, наприклад , де , і також знаходимо точку перетину діагоналей чотирикутника , а потім і шукану точку Y: ; якщо , то

Через те що точки L, Q і ребро належать одній площині , то .

Точки Y і M лежать в одній площині Ї грані , а тому визначають єдиний слід Ї пряму YMZ: .

Сполучивши попарно точки X, K, Y, Z, L відрізками прямих, дістанемо шуканий переріз Ї п'ятикутник XKYZL.

Задача 1.21. Дано зображення п'ятикутної піраміди SABCDE. Побудувати переріз цієї піраміди площиною, яка проходить через три точки K, L, M, позначені відповідно на бічних ребрах SE, SB та на грані SCD.

Розв'язання. За центр проекцій візьмемо вершину піраміди, а за площину проекцій б Ї площину основи даної піраміди (рис. 1. 41). Знаходимо центральні проекції даних точок K, L, M на площині б. Ними будуть точки , причому перші дві збігаються з вершинами Е і В

(), а третя Ї . Отже, .

Рис. 1.41

В основі піраміди Ї в площині б позначимо чотири точки: , де .

Проводимо діагоналі чотирикутника , перетин яких дає точку : . Але , тому, якщо , то . . Точки М і Р і ребро SA лежать в одній площині , а тому . Знову позначимо чотири точки в площині б, наприклад , де , і також знаходимо точку перетину діагоналей чотирикутника , а потім і шукану точку Y: ; якщо , то і . .

Через те що точки L, Q і ребро SD належать одній площині , то .

Точки Y і M лежать в одній площині Ї грані SCD, а тому визначають єдиний слід Ї пряму YMZ: .

Сполучивши попарно точки X, K, Y, Z, L дрізками прямих, дістанемо шуканий переріз Ї п'ятикутник XKYZL.

Задача 1.22. На бічній поверхні циліндра позначено три точки K, L, M. Побудувати переріз циліндра площиною, яка проходить через ці точки.

Розв'язання. За площину проекцій візьмемо площину б основи циліндра (рис. 1.42). Внутрішнім проектуванням є паралельне проектування, напрям якого визначається контурною твірною циліндра, наприклад, .

Рис. 1.42

Побудова перерізу виконується аналогічно до побудови перерізу прямої призми. Для побудови перерізу циліндра треба визначити точки перетину контурних твірних циліндра з січною площиною. Такі точки називатимемо базисними.

Етапи побудови перерізу циліндра запишемо в символічній формі. в Ї задана січна площина; б Ї площина проекцій. Паралельними проекціями точок K, L, M будуть точки: .

В основі циліндра на площині б позначимо чотири точки, три з яких ми вже побудували ( це ), а четверту виберемо, знаючи, що , Х Ї базисна точка.

, то , де ..

Знаходимо точку Р: .

Якщо точки L і P належать площині і пряма належить площині , то .

В основі циліндра Ї площина б знову позначаємо чотири точки, три з яких вже відомі Ї це , а четверту вибираємо, знаючи, що . ( Ї довільно вибрана твірна циліндра).

,то , де ..

Знаходимо точку F: .

Будуємо шукану точку Y: якщо точки L і F належать площині і пряма теж належить цій площині, то .

Сполучивши плавною кривою лінією задані точки K, L, M і побудовані X і Y, дістанемо фігуру шуканого перерізу Ї еліпс.

Задача 1.23. На бічній поверхні конуса задано три точки K, L, M. Побудувати переріз конуса площиною, яка проходить через ці точки.

Розв'язання. За площину проекцій візьмемо площину б основи конуса (рис. 1.43). Внутрішнім проектуванням є центральне проектування з центром у вершині S конуса.

Рис. 1.43

Побудова перерізу виконується аналогічно до побудови перерізу піраміди площиною. Для побудови перерізу конуса треба визначити точки перетину контурних твірних конуса з січною площиною. Такі точки називатимемо базисними.

Етапи побудови перерізу конуса запишемо в символічній формі. в Ї задана січна площина; б Ї площина проекцій (основна площина). Знаходимо центральні проекції точок K, L, M будуть точки: .

В основі конуса на площині б позначимо чотири точки, три з яких ми вже побудували (це ), а четверту виберемо, знаючи, що , Х Ї базисна точка.

, то , де .

Знаходимо точку Р: .

Будуємо шукану базисну точку Х, міркуючи так: якщо точки L і P належать площині і пряма належить площині , то .

В основі конуса Ї площина б знову вибираємо чотири точки, три з яких вже відомі Ї це , а четверту вибираємо, знаючи, що . SN Ї довільно вибрана твірна конуса.

,то , де .

Знаходимо точку F: .

Будуємо шукану точку Y: якщо точки X і F належать площині і пряма теж належить цій площині, то .

Сполучивши плавною кривою лінією задані точки K, L, M і побудовані X і Y, дістанемо фігуру шуканого перерізу Ї еліпс.

Висновки до розділу 1

Під час вивчення стереометрії роль рисунка, є, безумовно, вирішальною. Вчитель, щоб викликати в учнів наочне просторове уявлення геометричних образів, поєднує його разом з викладом теоретичних міркувань та пояснень. Таке вивчення предмета є конкретнішим і відповідає практичним завданням засвоєння курсу стереометрії. Яким же методом слід користуватися, виконуючи зазначені рисунки? Безумовно, можна скористатися відомими методами нарисної геометрії, яка вивчає типи зображень: комплексний рисунок в ортогональних проекціях (епюри), аксонометрію, лінійну перспективу. Варто підкреслити, що побудова зображень за правилами будь-якого наперед обраного методу проектування потребує виконання тих чи інших графічних операцій, розв'язання певних конструктивних задач, які абсолютно незрозумілі учням, і як наслідок заважатимуть і ускладнюватимуть процес навчання. Наочні ж зображення можна дістати при центральному проектуванні. Це пояснюється тим, що саме розглядання предмета вже є ніби центральним його проектуванням на сітчатку ока. Проте, розглядаючи невеликі предмети здалеку, центральне проектування можна наближено прийняти за паралельне. До того ж паралельну проекцію оригіналу легше будувати, ніж центральну. Тому в педагогічному процесі застосовують зображення, побудовані тільки паралельним проектуванням, при чому рисунок необов'язково вважати проекцією самого оригіналу, досить, щоб зображення було проекцією фігури, подібної до оригіналу. Задля унаочнення зображення, в школі використовують проекцію оригіналу, на якій одні елементи не закривають інші. Тому проектування повинно бути таким, щоб прямі та площини оригіналу не вироджувалися.

У шкільній практиці використовуються проекційні рисунки (так звані вільні зображення). Це зображення, які можна вважати невиродженою паралельною проекцією оригіналу, або подібної до нього фігури, причому напрям проектування щодо оригіналу не вказується. У вивченні стереометрії роль проекційного рисунка вирішальна. З одного боку, вчитель ілюструє за допомогою рисунка на дошці свій виклад, щоб викликати в учнів наочне просторове уявлення про геометричні образи, поєднуючи з ними теоретичні міркування та пояснення. Таке вивчення предмета є конкретнішим і відповідає практичним завданням засвоєння курсу стереометрії. Професор М.Ф. Четверухін у своєму посібнику [11] називає рисунки, застосовані з цією метою, "рисунками-картинами". З другого боку, не можна забувати про друге завдання курсу стереометрії: навчити учнів, оперувати просторовими образами і формами, розв'язувати задачі з просторовими фігурами, тобто знаходити розв'язок фактичною побудовою. Такі рисунки названі автором "рисунки-моделі". Між обома видами рисунків є істотна, глибока принципова відмінність. Якщо "рисунок-картина" залишає свободу дій за педагогом, тобто надає йому можливість вільного вибору елементів зображення на рисунку, то "рисунок-модель" застосовується для ефективного розв'язування стереометричних задач, тобто не допускається довільний вибір шуканих елементів, бо вони цілком визначаються даними з умови.

Також М.Ф. Четверухін [10] і виділяє три вимоги до рисунка -- рисунок має бути: правильним, тобто всі його елементи побудовані за допомогою одного й того ж методу проектування; наочним, тобто такий, що дає повне уявлення про оригінал, який зображується; простим у побудові, тобто всі побудови мають бути зрозумілі учням і не обтяжувати викладання матеріалу.

Аналіз типів зображень, вимог та принципів їх побудови в нарисній геометрії та в умовах педагогічного процесу, дає змогу визначити метод та вид проектування. Отже, вільні зображення, які використовуються в шкільному курсі стереометрії, слід виконувати за допомогою паралельного проектування з дотриманням принципу їх зображення згідно трьом вимогам до рисунка: правильність, наочність та простота в побудові. Метод, який при цьому використовується, запропонований М.Ф. Четверухіним і відомий як метод основної площини. Довільність в побудові є обмеженою і пов'язана з поняттями повноти чи неповноти та метричної визначеності рисунка. З огляду на це в практичній діяльності під час вивчення курсу стереометрії варто користуватися неповними або повними метрично невизначеними зображеннями для простоти виконання побудови. Розгляд поетапного формування в учнів умінь зображати просторові фігури в шкільному курсі стереометрії дає можливість створити чітку технологію розвитку таких вмінь. Логічно вибудувана лінія формування й розвитку вмінь старшокласників зображати стереометричні фігури та їх комбінації є запорукою їх графічної культури.

Розділ 2. Методика вивчення задач на побудову в старшій профільній школі

2.1 Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову

Як навчати учнів розв'язувати стереометричні задачі? У цьому параграфі обговоримо питання, пов'язані з методикою вироблення умінь і навичок, організацією розв'язування стереометричних задач на уроці і вдома тощо Про те, як навчитись розв'язувати задачі, написано немало праць.

У методичних посібниках подано загальні правила, поради, вказівки, які, на думку авторів, допомагають учням швидше навчитись розв'язувати задачі. Система порад, розроблена американським математиком Д. Пойа 1231, найбільш відома, проте вона стосується всіх математичних задач, а тому досить загальна. Конкретнішою щодо геометричних задач є система порад Є.Ф. Данилової 19, 1411. Всього ця система містить 45 порад, що входять у такі шість груп:

І Точно і чітко зрозуміти зміст задачі.

ІІ Скласти план розв'язування задачі.

ІІІ Виконати план.

IV Обґрунтувати розв'язання.

V Дослідити розв'язок.

VI Перевірити розв'язання.

Зауважимо, що в сучасних умовах дві останні групи можна не виділяти, бо вони стосуються далеко не всіх стереометричних задач, а обгрунтування розв'язання можна вважати складовою частиною групи III. Тому замість трьох останніх груп ми сформулювали б одну: IV. Відповідно оформити розв'язання. Відповідно -- означає так, як пропонував учитель: стисло, з коротким чи розгорнутим поясненням.

Основне і найважче -- скласти план розв'язування задачі. Є.Ф. Данилова в цій групі формулює 14 порад:

Розчленувати задачу на частини, якщо вона має кілька запитань.

З'ясувати, чи не є задача безпосередньо розв'язуваною.

З'ясувати, чи всі дані і шукані елементи введено в малюнок.

Шукати ідею розв'язання проведенням допоміжних ліній, пов'язаних з означеннями згаданих у задачі понять, і розкладаючи фігуру на трикутники.

Шукати ідею розв'язання за допомогою експерименту і розгляду малюнка.

З'ясувати, чи не можна замінити формулювання задачі іншим, зручнішим, а конкретну задачу -- абстрактною геометричною

З'ясувати, чи не можна перетворити дані, діставши з них наслідки.

З'ясувати, чи не можна уявити задачу розв'язаною і дістати в зв'язку з цим ряд наслідків.

З'ясувати, чи не можна скласти загальну формулу розв'язання задачі на обчислення або побудову.

З'ясувати, чи не можна перетворити шукані дані.

Розглянути окремі випадки, які вичерпують задачу.

З'ясувати, чи доводжуване твердження не є оберненим якому-небудь вже доведеному твердженню.

З'ясувати, чи не можна застосувати метод геометричних перетворень (симетрію, паралельне перенесення, гомотетію та ін.)

З'ясувати, чи не можна застосувати метод геометричних місць.

Безперечно, всі ці поради корисні. І вчитель, допомагаючи учням скласти план розв'язування задачі, може вести їх до мети саме такими короткими запитаннями: "Чи не можна розчленувати задачу на частини?", "Чи не можна скористатись гомотетією?" тощо. Зрозуміло. що кількість таких порад треба доповнити: Чи не можна скористатись векторним методом?; Чи не можна скористатись координатним методом?; Чи не можна скористатись похідною, інтегралом?.

Для задач окремих видів такі поради можна конкретизувати. Наприклад, навчаючи учнів розв'язувати задачі на побудову, корисно пропонувати:

- Уявіть, якою може бути побудована фігура.

- Виконайте ту частину побудови, яку можна виконати відразу.

- Якщо площина перетинає паралельні площини, то лінії перетину паралельні!

- Спробуйте скористатись методом слідів.

- Спробуйте скористатись методом відповідності.

- Спробуйте скористатись методом подібності.

- Спробуйте скористатись алгебраїчним методом.

Зрозуміло, перш ніж давати учням такі поради, треба їх ознайомити з названими методами. І не слід переоцінювати роль таких порад. Щоб навчити учнів розв'язувати стереометричні задачі, перш за все, треба розв'язувати багато таких задач. Але якщо розв'язувати їх без системи, без узагальнень, без акцентування уваги учнів на окремих методах, на часто повторюваних прийомах, то бажаного результату досягти не можна.

Особливо важливу роль у навчанні розв'язування стереометричних задач відіграє послідовність, в якій їх пропонують учням. Добираючи задачі до того чи іншого уроку, вчитель насамперед повинен дбати про те, щоб вони стосувались певної теми, допомагали краще осмислити і закріпити її. Коли урок присвячується тільки розв'язуванню задач, то спочатку бажано пропонувати однотипні задачі. Поняття "тип задачі" чітко не окреслено. Подібно до того, як ту саму множину об'єктів можна класифікувати за різними основами, так і окремі типи задач можна виділяти по-різному залежно від мети такого виділення. При цьому, зрозуміло, ту саму задачу можна відносити то до одного типу, то до іншого. Іноді типи стереометричних задач доцільно розглядати залежно від видів фігур, про які в них ідеться: задачі про паралельність прямих і площин, про мимобіжні прямі, про двогранні кути, про перерізи многогранників і т. д. Іноді -- залежно від методів і прийомів розв'язання: задачі, які зручно розв'язувати за допомогою векторів, похідної, інтеграла і т. д. Основою об'єднання задач в один тип є аналогія.

Практика показує, що коли пропонувати учням розв'язувати задачі, згруповані за певними ознаками, методами або прийомами розв'язання, то учні швидше й краще засвоюють ці методи і прийоми, успішніше навчаються розв'язувати задачі і цих і інших типів. Задачі інших типів бажано пропонувати лише після того, як учні матимуть досвід розв'язування задач простіших типів.

Розгляд подібних в'язок однотипних задач позитивно впливає на вміння розв'язувати стереометричні задачі. Бажано кожний новин тип задач починати розв'язувати з найпростіших і ускладнювати поступово.

Забезпечення умінь і навичок

Розв'язування стереометричних задач -- процес синтезуючий. Він потребує багатьох знань, умінь і навичок не тільки з стереометрії, а й з планіметрії та алгебри, набутих учнями ще кілька років тому. Отже, щоб учні могли успішно навчатись розв'язувати стереометричні задачі, бажано своєчасно організувати повторення відповідних тем. Наприклад, перед розв'язуванням стереометричних задач з застосуванням тригонометрії бажано ґрунтовно повторити матеріал про розв'язування прямокутних і косокутних трикутників, теореми синусів і косинусів.

Не менш важливо нагадати відомі ще з 7-го класу способи визначення площ трикутника, паралелограма, трапеції, ромба тощо.

Обов'язково треба повторити відомі з курсу креслення способи зображень геометричних тіл, наголосивши на тому, як зручно виконувати побудови на папері в клітку.

Починаючи розв'язувати задачі про призми і циліндри, показують учням, як у зошитах малювати основи правильних чотирикутних, трикутних і шестикутних призм, еліпси. Бажано окремі уроки присвячувати малюванню відповідних фігур. На цих уроках можна, крім інших, пропонувати й такі вправи:

- Намалюйте правильну чотирикутну призму, висота якої вдвоє більша від сторони основи.

- Намалюйте правильну шестикутну призму, всі ребра якої рівні.

- Намалюйте циліндр, висота якого вдвоє менша від радіуса основи.

Оцінювати такі завдання треба так само вимогливо, як і задачі на обчислення або на побудову.

Усне розв'язування задач

Особливу увагу слід звернути на вироблення умінь і навичок розв'язувати найпростіші задачі, бо без цього не можна навчити добре розв'язувати задачі середньої трудності. На жаль, останнім часом частина вчителів недооцінює роль таких задач. Причиною цього є поради деяких методистів менше розв'язувати шаблонних, стандартних задач "з малою дидактичною цінністю", а більше -- навчаючих і пошукових. В результаті з шкільних навчальних посібників майже повністю вилучено задачі для усного розв'язування, що негативно впливає на формування навичок розв'язування стереометричних задач взагалі. Щоб виправити становище, радимо під час вивчення кожної теми спочатку розв'язати з учнями десяток-два найпростіших задач.

Для усного розв'язування корисно пропонувати стереометричні задачі, пов'язані з тим самим малюнком. Наприклад, намалювавши на класній дошці (або спроектувавши малюнок на екрані) правильну чотирикутну призму з проведеною діагоналлю, учитель може запропонувати учням послідовно кілька задач:

1.Діагональ правильної чотирикутної призми d нахилена до площини основи під кутом .

Визначте:

а) висоту призми;

б) діагональ основи призми;

в) площу основи призми;

г) площу діагонального перерізу призми;

д) об'єм призми;

е) кут між діагоналлю призми і бічним ребром.

2. Діагональ правильної чотирикутної призми d утворює з бічним ребром кут . Визначте:

а) висоту призми;

б) діагональ основи призми і т. д.

3.Бічне ребро h правильної чотирикутної призми з її діагоналлю утворює кут . Визначте:

а) діагональ призми;

б) діагональ основи призми і т. д.

Так за одним малюнком на уроці можна усно розв'язати з учнями 10--15 задач.

Під час вивчення об'єму похилої призми корисно запропонувати учням, наприклад, такі задачі.

1. Знайдіть об'єм похилої призми, висота якої h, а в основі лежить:

а) квадрат з стороною а;

б) квадрат з діагоналлю d;

в) прямокутник з сторонами а і b

г) рівносторонній трикутник з стороною а;

д) ромб з стороною а й кутом б;

е) паралелограм з сторонами а і b і кутом б;

є) ромб з діагоналями d і ,;

ж) правильний шестикутник з стороною а.

2. Знайдіть об'єм похилої призми з площею основи S, якщо:

а) бічне ребро с нахилене до площини основи під кутом б;

б) бічне ребро с нахилене до площини основи під кутом 60°;

в) середина бічного ребра віддалена від площини основи на m;

г) бічне ребро і його проекція на площину основи відповідно дорівнюють b і с.

Вважаємо, що для усного розв'язування слід пропонувати учням не менше задач, ніж для письмового. Кожний учитель самостійно може скласти достатню кількість таких задач. Основою для їх складання можуть бути не тільки малюнки, а й моделі.

Самостійне і колективне розв'язування

На уроках практикують самостійне і колективне розв'язування задач. Завдання вчителя -- правильно організувати обидві форми роботи учнів, не нехтуючи жодною з них. Багато методистів шкіл особливо наголошують на організації самостійного розв'язування задач учнями. Це й справді досить важлива і відповідальна справа. Треба домогтися, щоб кожний учень 9--11-х класів умів самостійно розв'язувати задачі принаймні середньої трудності.

Як відомо, учні закріплюють уміння розв'язувати задачі самостійно під час виконання домашніх завдань. Час від часу треба організовувати самостійне розв'язування задач і в класі. Його завдання -- навчити учнів розв'язувати задачі того чи іншого типу. Учитель при цьому має активно втручатись в роботу учнів: спостерігати за ходом розв'язування задач, допомагати виправляти помилки, а помітивши помилку, допущену кількома учнями, давати роз'яснення всьому класу. Учитель повинен навчати учнів і під час самостійної роботи. І не обов'язково щоразу для самостійної роботи пропонувати кожному учневі окремий варіант. Навчати одночасно 30--40 учнів зручніше на однакових задачах. Та й для виховання це має велике значення. Учням треба довіряти і вони повинні це бачити. Тому вважаємо, що для такої самостійної роботи досить двох варіантів.

Зрозуміло, що перш ніж пропонувати учням задачі для самостійного розв'язування, треба навчити їх розв'язувати задачі відповідного типу, а це краще робити за допомогою колективних форм роботи. Самостійна робота корисна тоді, коли всі або майже всі учні вміють її виконувати. Тому колективне розв'язування задач учитель повинен ставити на перше місце.

Колективне розв'язування задачі в класі можна організувати по-різному. Наприклад, учитель сам читає задачу, пропонує учням записати її (повністю чи скорочено), будує малюнок і після того, як учні усвідомлять задачу, пропонує їм скласти план розв'язування. Вислухавши з місць кількох учнів та зробивши потрібні корективи, вчитель може запропонувати одному з них розв'язати задачу на дошці, а всім іншим -- у зошитах. При цьому слід заохочувати втручання учнів з місць у хід розв'язування задачі на дошці. За раціоналізаторські пропозиції, виправлення допущених помилок бажано відразу ж виставляти відмінні оцінки. Оцінити можна й тих учнів, які склали правильний план розв'язування задачі.

Можливі й інші варіанти колективного розв'язування: задачу вголос читає один учень, або кожний мовчки читає її в посібнику. Будувати малюнок на дошці може один з учнів, а можна заготовити його ще до уроку: на дошці, на окремому аркуші або на кодоплівці. І тут учитель має робити корисні зауваження: порівнювати задачі з раніше розв'язаними, виділяти нові моменти, систематизувати, узагальнювати, виправляти малюнок, записи, відповідь. Іноді, хоч раз на місяць, учитель сам повинен розв'язати на уроці задачу -- від початку до кінця, тобто показати, як це треба робити чітко, грамотно й акуратно.

Правильно вважають, що одним з першочергових завдань учителя математики є здійснення індивідуального підходу до учнів, розумна організація їх самостійної роботи. Але якщо ми, переоцінивши роль самостійної роботи, відповідно ослабимо увагу до колективної роботи класу, то бажаного результату не досягнемо.

Вивчення задачі

Перш ніж починати розв'язувати задачу, треба зрозуміти її умову і вимогу. Не всі учні однаково швидко вникають у змісті задачі, тому, тільки коли всі або майже всі учні добре зрозуміють задачу і виконають малюнок, можна приступати до її розв'язування.

Щоб продемонструвати учням, як треба міркувати в процесі вивчення задачі, корисно, щоб учитель на конкретній задачі показав, як це робити, тобто поділився з учнями своїм досвідом. Наведемо міркування вчителя під час розв'язування конкретної задачі: Висота правильної чотирикутної піраміди, яка дорівнює h, утворює з бічною гранню кут б. Через сторону основи піраміди проведено площину, перпендикулярну до протилежної грані. Знайдіть об'єм піраміди, яку відтинає від даної ця площина.

Перший раз я читаю задачу повністю, а другий -- частинами, позначаючи водночас на малюнку те, про що йдеться в тексті. Читаємо: "Висота правильної чотирикутної піраміди, яка дорівнює h, ..." і малюємо правильну чотирикутну піраміду, позначаємо її буквами, наприклад SABCD, проводимо висоту SO, біля неї ставимо h. І далі: "...утворює з бічною гранню кут б". Проводимо апофему піраміди, кут між висотою і апофемою піраміди позначаємо дужкою і буквою б.

"Через сторону основи піраміди проведено площину, перпендикулярну до протилежної грані". Проаналізуємо, як зручніше провести цей переріз. Що буде в перерізі? Сторона основи паралельна протилежній грані піраміди, тому в перерізі повинна бути трапеція. Таких трапецій можна намалювати на вже частково зробленому малюнку багато. Мабуть, зручніше провести переріз через ту сторону основи, до якої проведено апофему піраміди.

Читаємо далі: "Знайдіть об'єм піраміди, яку відтинає від даної ця площина". Позначаємо цю піраміду іншим кольором або на малюнку жирніше наводимо її ребра. Тепер ще раз читаємо задачу і перевіряємо малюнок. Щоб швидше вникнути в задачу, бажано на малюнку позначати дані та шукані величини, а окремі деталі виділяти.

Найскладніший і найважливіший етап розв'язування задачі -- складання його плану. Іноді учні приступають до розв'язування без плану: виражають одні величини через інші, проводять різні додаткові лінії тощо. Виконують те, що можуть виконати, не знаючи, чи потрібне воно для розв'язання задачі. Це -- не кращий шлях. Учитель повинен привчати своїх вихованців діяти цілеспрямовано: спочатку обдумати, хоча у загальних рисах, весь план розв'язування і тільки після цього приступати до його реалізації.

Якщо задачу розв'язують колективно, то в складанні плану розв'язання повинні взяти участь усі учні. Припустимо, що колективно розв'язують таку задачу: Основа прямого паралелепіпеда -- ромб, площа якого дорівнює 1 м². Площі діагональних перерізів відповідно дорівнюють 3 м² і 6 м². Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Кожний учень повинен вміти почати розв'язувати задачу, міркуючи так:

Об'єм паралелепіпеда можна визначити за формулою V = SH, де S -- площа його основи, а НЇ висота. Площа основи паралелепіпеда відома, вона дорівнює 1 м². Отже розв'язування задачі зводиться до знаходження висоти паралелепіпеда.

Учні можуть запропонувати такі плани розв'язання цієї задачі.

Ї Якщо діагоналі основ і висоту паралелепіпеда позначити буквами х, у і h, то можна скласти три рівняння з трьома невідомими. Розв'язавши систему цих рівнянь, визначимо h.

Ї Позначимо шукану висоту паралелепіпеда буквою h. Тоді, знаючи площі діагональних перерізів, визначимо через h діагоналі основи паралелепіпеда. Півдобуток цих діагоналей дорівнює відомій площі основи, оскільки в основі паралелепіпеда лежить ромб. Отже, дістанемо рівняння, з якого можна визначити h.

Ї Діагональними площинами даний паралелепіпед ділиться на чотири трикутні призми, з яких можна скласти прямокутний паралелепіпед, в основі якого буде квадрат. Площа цього квадрата дорівнює 1 м², отже, його сторона -- 1 м. Площа бічної грані утвореного прямокутного паралелепіпеда дорівнює 3 м², тому шукана висота паралелепіпеда дорівнює 3 м.

Ї Замінивши даний паралелепіпед рівновеликим прямокутним паралелепіпедом з відомими площами трьох його граней, неважко визначити всі три виміри прямокутного паралелепіпеда. їх добуток дорівнює шуканому об'єму.

Якщо перший запропонований учнями спосіб збігається з тим, яким передбачав розв'язувати задачу вчитель, то відразу ж інших способів шукати не слід. Це краще зробити пізніше.

Якщо учні запропонують першим не той спосіб, який потрібний учителеві (він не раціональний або такий, що не дає можливості зробити потрібні узагальнення чи зауваження), то бажано відразу зорієнтувати учнів на пошук іншого способу. Тільки склавши план розв'язування задачі і переконавшись, що учні зрозуміли його, приступають до розв'язування. Залежно від мети уроку розв'язання можна записувати на класній дошці (якщо вчитель планував проаналізувати деякі записи, внести поправки), або самостійно в зошитах.

Робота над задачею після розв'язання

Досить часто, записавши відповідь (або сказавши "що й треба було довести"), учні ставлять крапку і вже не повертаються до розв'язаної задачі. А жаль! Саме тепер час зробити потрібні зауваження про особливості розв'язання, розглянути інші його способи, зробити узагальнення. Наприклад, розв'язавши сформульовану задачу про об'єм паралелепіпеда, бажано запропонувати учням таку задачу: Знайдіть об'єм прямого паралелепіпеда, в основі якого лежить ромб, якщо площі основи і діагональних перерізів дорівнюють відповідно Q, M і N?

Тепер цю задачу учні можуть розв'язати за дві хвилини (використавши попередній малюнок). Розв'язати її також можна кількома способами. Іноді корисно запропонувати учням додатково розв'язати за тим самим малюнком ще такі задачі:

1. Чому дорівнює площа повної поверхні даного паралелепіпеда?

2. Визначте величини двогранних кутів цього паралелепіпеда.

Коли б ці задачі розв'язувати окремо, без зв язку з розглянутою, то на кожну з них потрібно було б не менше 10 хв.

Після розв'язування відповідних задач бажано давати деякі загальні рекомендації і конкретні поради щодо деяких прийомів розв'язування різних типів стереометричних задач. Наприклад:

- якщо в задачі на обчислення дано площу або об'єм якоїсь фігури, спробуйте ввести додаткові лінійні елементи;

- якщо в задачі дано значення величин кутів, спробуйте виділити трикутники з такими кутами;

- якщо в задачі йдеться про мимобіжні прямі, намалюйте паралельні площини, яким ці прямі належать;

- якщо треба визначити суму квадратів якихось довжин, спробуйте використати теорему Піфагора, теорему косинусів, скалярний добуток векторів або координатний метод;

- якщо йдеться про піраміду, всі бічні ребра якої нахилені до площини основи під однаковими кутами, навколо основи цієї піраміди можна описати коло;

- якщо йдеться про піраміду, в якої всі двогранні кути при основі рівні, в основу цієї піраміди можна вписати коло;

Такі поради корисні. Доцільніше їх давати після розв'язування відповідних задач як деяке узагальнення.

Іноді, хоч епізодично, після розв'язання задачі корисно запропонувати учням проконтролювати розв'язання. Бажано при цьому порадити учням насамперед звертати увагу на розмірність результату.

Інколи знайти помилку можна прикидкою. З таким способом контролю слід ознайомити учнів.

Надійнішим контролем слід вважати розв'язання тієї самої задачі іншим способом. Але такий контроль нерідко забирає більше часу, ніж розв'язання задачі, до того ж не так легко його відшукати. Найкращий і найзагальніший спосіб перевірки правильності розв'язання задачі-- уважний повторний аналіз усіх елементів розв'язання.

Наочні засоби

Велику роль у навчанні розв'язувати стереометричні задачі відіграють наочні засоби: моделі, таблиці,діафільми, діапозитиви, кодопозитиви тощо. Найпростіші і найважливіші з них -- моделі, оскільки вони найкраще сприяють виробленню просторової уяви учнів. Під моделями ми розуміємо і спеціально виготовлені скляні, каркасні многогранники, фігури обертання та інші конструкції з паперу, паличок тощо, які є під руками в учителя. Зазначимо відразу, що не треба майже всі стереометричні задачі ілюструвати відповідними моделями. Модель корисна тоді, коли без неї учні не можуть правильно розв'язати задачу, коли багато з них, користуючись малюнком, не можуть правильно уявити ту чи іншу конфігурацію. Коли ж кожну розв'язувану задачу ілюструвати спеціальною моделлю, то напруження учнів, а значить, і ефект розв'язування значно зменшується.

Особливо корисні моделі на перших уроках стереометрії, коли в багатьох учнів ще не досить розвинута просторова уява. Одними малюнками чи екранними засобами тут не обійтись. На кількох перших уроках у 9-му класі корисно демонструвати малюнки відомих учням многогранників з їх діагоналями і запитувати, які із зображених на малюнку прямих перетинаються, а які -- ні.

Досвід показує, що майже в кожному класі знайдуться учні, які на деякі з таких запитань дадуть неправильну відповідь. В такому випадку одночасно з малюнком треба показати і відповідну каркасну модель куба.

Нерідко учні неправильно уявляють комбінацію тих чи інших фігур. Наприклад, вважають, що вписана в піраміду куля дотикається до її ребер, вписаний у конус куб розміщений так, що чотири його вершини належать колу основи конуса тощо. Найкращий засіб виправлення таких помилок -- показати відповідну модель.

Таблиці, діафільми, діапозитиви під час розв'язування стереометричних задач використовують найчастіше для економії часу. Замість того, щоб малювати складний малюнок на класній дошці, учитель може показати заздалегідь зроблений плакат, відповідну таблицю, чи спроектувати потрібний малюнок на екран. Однак надто захоплюватись розв'язуванням стереометричних задач, користуючись готовим малюнком, не слід. Крім усього іншого, на уроках стереометрії треба розвивати графічну культуру учнів. А для цього необхідно, щоб учень не тільки розглядав готові малюнки, а й бачив, як ті малюнки виконувати і, головне, сам малював. Окремі вчителі математики, щоб економити не тільки свій час, а й учнів, використовують спеціальні штампи многогранників або фігур обертання. Взагалі кажучи, такі штампи корисні і вони заощаджують час при виконанні тренувальних вправ. Але використовувати штампи дуже часто, щоб учні майже не малювали малюнків, а використовували готові,-- недоцільно.

Стереометричні моделі можна використовувати не тільки як ілюстрації важчих задач з навчальних посібників, а й як базу для створення нових задач.

В багатьох шкільних математичних кабінетах є моделі, описані в книжці: Придатко М.О. Виготовлення стереометричних моделей / За ред. Г.Ф. Олійника. -- К. : Рад. шк., 1986.-- 64 с. Демонструючи будь-яку з цих моделей (їх малюнки, узяті із згаданої книжки, наводяться на вклейках), учитель може запропонувати учням кілька задач, насамперед для усного розв'язування.

Наприклад, показуючи десятикласникам першу із цих моделей, можна сформулювати такі задачі:

- Скільки площин можна провести через ці три червоні точки?

- Чи можна провести площину через дві зелені і дві чорні точки?

- Чи існує площина, якій належать усі ці три прямі?

Демонструючи останню модель, можна сформулювати кілька задач для усного і письмового розв'язування.

Конус вписано в правильну чотирикутну піраміду, як показано на моделі. Центр основи конуса -- середина висоти піраміди. Знайдіть:

Радіус конуса, якщо сторона основи піраміди 20 см;

Твірну конуса, якщо апофема піраміди 30 см;

Кут між висотою піраміди і апофемою, якщо осьовий переріз конуса -- рівносторонній трикутник;

Площу основи конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює 0;

Об'єм конуса, якщо об'єм піраміди V;

Відношення площ бічної поверхні конуса і піраміди.

Аналогічно можна складати задачі, що відповідають іншим моделям, вказаним в додатку. Бажано пропонувати, щоб і учні складали свої задачі за даними їм моделями.

Як було вже зазначено, на уроках стереометрії розрізняють два види задач на побудову: уявлювані й ефективні. Про ефективні побудови говорять тоді, коли їх виконують за допомогою лінійки, циркуля або інших креслярських інструментів. Якщо побудови за допомогою інструментів не виконують, а тільки описують словами їх можливість, посилаючись на аксіоми чи теореми, то мають на увазі уявлювані побудови.

Задачі на уявлювані побудови в 9-му класі розв'язують на основі таких припущень:

можна позначити точку на будь-якій фігурі,

можна позначити точку, яка не належить певній фігурі (в останньому випадку мається на увазі фігура, відмінна від простору);

через будь-яку певну точку можна провести пряму, через дві точки можна провести тільки одну пряму;

через будь-яку певну точку можна провести площину, і через дві точки можна провести площину; через три точки, що не належать одній прямій, можна провести тільки одну площину;

якщо в одній площині задано дві непаралельні прямі, то можна визначити їх точку перетину;

якщо задано дві непаралельні площини, то можна визначити їх лінію перетину;

у заданій площині можна виконати будь-яку з побудов, які розглядаються в планіметрії: відкласти відрізок даної довжини, побудувати кут, який дорівнює даному, поділити відрізок на п рівних частин, провести бісектрису кута, через дану точку провести пряму, паралельну даній прямій або перпендикулярну до неї тощо.

Зрозуміло, що під час розв'язування задачі на уявлювану побудову за допомогою креслярських інструментів нічого не будують. Яким інструментом можна провести площину? І хоч говоримо "проведемо площину через три дані точки", маємо на увазі інше: "через три дані точки можна провести площину" (в розумінні сформульованих вище припущень).

Найпростіші задачі на уявлювані побудови в розділі "Паралельність прямих і площин" такі:

Через дану в просторі точку проведіть пряму, паралельну даній прямій.

Через дану в просторі точку проведіть пряму, паралельну даній площині.

Через дану в просторі точку проведіть площину, паралельну даній площині.

2.2 Спецкурс для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання учнів з теми "Розв'язування стереометричних задач на побудову"

Для розробки спецкурсу було проаналізовано ряд тестових завдань починаючи з 2006 року до 2013 року і виявлено, що в кожному тесті міститься приблизно по 5-7 завдань зі стереометрії різного типу, але оскільки в учнів виникають утруднення з розв'язанням задач на побудову перерізів многогранників, то спецкурс буде сконцентрований саме на задачах такого типу.

Задачі для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики

1. Дано точки А, В і С, які не лежать в основній площині. Треба побудувати лінію перетину (слід) площини АВС з основною площиною.

Розв'язання: Знаходимо точку Х, в якій пряма ВА перетинає основну площину, і точку Y, в якій пряма ВС перетинає основну площину. Тоді пряма XY являється, очевидно, шуканою (рис.1).



Рис.1.

2. Дано дві проектуючи площини. Треба побудувати їх лінію перетину.

Розв'язання: Нехай одна проектуюча площина визначена на рисунку проектуючими , а друга Ї проектуючи ми . Припустимо, що сліди даних площин перетинаються в точці . Проведемо через цю точку проектуючи пряму . Доведемо, що ця пряма являється шуканою лінією перетину даних площин. Насправді, ця лінія паралельна прямій (оскільки всі проектуючі паралельні), отже, вона лежить в площині . За аналогічною причиною вона повинна лежати і в площині . Тому пряма є шуканою лінією перетину даних площин (рис.2).

Рис. 2.

3. Дано: проектуючи площина і пряма CD (). Побудувати точку зустрічі даної прямої з даною площиною.

Розв'язання: Пряма CD визначає проектуючу площину , яка проходить через неї.

Будуємо лінію перетину обох проектуючи площин ( для чого достатньо знайти точку перетину слідів і провести через неї проектуючи пряму). Точка Х, в якій ця пряма перетинає дану пряму, і є шуканою. Насправді, вона лежить на прямій CD і на площині , отже, вона являється точкою їх перетину (рис.3).

Рис.3.

4. Дано проектуючу площину і точку C (). Провести через цю точку площину рівня і побудувати лінію перетину її з даною проектуючою площиною.

Розв'язання: З'єднуємо з і проводимо .Тоді CD Ї лінія рівня, яка лежить в шуканій площині рівня. Тому точка D є точкою лінії перетину площини рівня з площиною . Оскільки ця лінія перетину являється одночасно і лінією рівня, то вона повинна бути паралельною сліду . Отже, маємо (рис.4).

Рис.4.

5. Дано дві площини і . Побудувати лінію їх перетину.