Уравнение и функция Бесселя

28

Содержание

Задание на курсовую работу 2

Замечания руководителя 3

1. Бесселевы функции с любым индексом 5

2. Формулы приведения для бесселевых функций 10

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом 13

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 15

5. Ряды Фурье-Бесселя 18

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 23

Список литературы 30

1. Бесселевы функции с любым индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

, ;

, .

Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

, ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв

,

найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)

Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования на ,

, (7)

откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( - не целое) (8)

и дополняя это определение для (целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где - целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)

2. Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:

; ;

, ;

.

Следовательно,

. (10)

Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где - любое натуральное число, получаем:

. (10`)

Имеем:

;

Следовательно,

. (11)

Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:

. (11`)

Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

; ; .

Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:

; ; .

Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

, (12)

. (13)

Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):

, (13`)

откуда последовательно получаем:

,

, …………………

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом

Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где - целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.

Имеем:

,

,

следовательно,

.

Но , значит:

. (14)

Далее

,

,

следовательно,

.

Но , поэтому

. (15)

С помощью (10`) находим:

,

а учитывая (14)

,

следовательно, при целом положительном

. (14`)

С помощью (11`) находим:

,

но в силу (15)

,

и, следовательно, при целом положительном

. (15`)

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

,

где - комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ?.

Функция

(16)

(где x лежит в области определения функций системы , - внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .

Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :

,

найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой .

Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:

. (17)

Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:

.

Имеем:

, ,

откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме и были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это будет ; при это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,

, (18)

но это и доказывает, что есть производящая функция для системы .

Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:

,

откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )

(18`)

(18``)

Заменяя в (18`) и (18``) на , найдем:

, (18```)

. (18````)

Интегральное представление J_n(x)

Так как, по доказанному, при имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что есть четная функция от есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа

. (19)

Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем:

. (19`)

5. Ряды Фурье-Бесселя

Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

, , (20)

где и - непрерывные функции на . Пусть и - ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают

.

Пусть и принадлежат и , тогда после интегрирования в пределах от до получим

. (21)

Если и - соседние нули решения , то между и сохраняет постоянный знак, пусть, например, на (, ) (в противном случае следует заменить на ), тогда , (равенство нулю исключено, так как - ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между и , так как иначе сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например, на (,) (в противном случае заменяем на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ?0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z - ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).

Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на , то каждое ненулевое решение уравнения может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить и взять ). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить , взять и заметить, что нулями будут только числа вида , целое). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить и взять ). Из сказанного следует, что если на , то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем .

Изложенное показывает, что если непрерывна на и превышает некоторое положительное число вблизи +?, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +?, а если, кроме того, , где , то .

Рассмотрим уравнение Бесселя

на интервале . Подстановка приводит к уравнению

.

Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как , где - целая функция, то не имеет нулей на при достаточно малом , и так как при , то при каждом нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность

причем .

Если , то удовлетворит уравнению

на интервале (0, +?). Подстановка приводит к уравнению

и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем

, где ,

, где ,

откуда

,

следовательно,

, где . (22)

Пусть теперь . Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим

,

то есть

, (23)

откуда видно, что если и являются разными нулями функции , то

. (23`)

Этим доказано, что при система функций

на интервале является ортогональной относительно веса .

Переходя к пределу при в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком

, (24)

следовательно, если является нулем функции , то

. (24`)

Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции на , удовлетворяющей требованию

,

поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

, (25)

коэффициенты которого определяются формулами

. (25`)

Можно доказать, что система функций на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

Можно показать, что если и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

при

означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем .

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

при

означает, что найдутся такие числа и , что на .

Вспомогательная лемма

Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

. (26)

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому

при ,

откуда

при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

при . (27)

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

,

.

Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где первое слагаемое правой части есть при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, так как

при ;

следовательно, второе слагаемое есть тоже при .

Итак, имеем:

при . (28)

Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:

при . (29)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

при . (29`)

Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для J_n(x)

Заменяя на , получим:

(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:

,

где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим:

Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

;

но ; , следовательно,

.

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

при . (30)

Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

при ; (30`)

при . (30``)

Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

1. Найти решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее начальным условиям при , и .

Решение.

На основании формулы (5`) находим одно частное решение:

.

2. Найти одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Сделаем замену

.

При получим:

.

При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на имеет вид ;

, , , , поэтому

,

, .

Рисунок 1 - График функции y=J₀(x)

Рисунок 2 - График функции y=J₁(x)

Список литературы

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.