Новый метод решения кубического уравнения
Решение кубического уравнения на основе современных методов: разложение левой части на линейные множители; с помощью формулы Кардана; специальных таблиц. Рассмотрение метода решения кубических уравнений, включая неприводимый случай формулы Кардана.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.02.2011 |
| Размер файла | 276,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
> (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1• x2 = 0 > (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7• 2 = 0
> (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1• x3 = 0 > (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7• 11 = 0
> (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2• x3 = 0 > (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2• 11 = 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеем в качестве исходного уравнение x3 - 25x2 + 203x - 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 > 3x12 - 50x1 + 203 = 0 > x1,2 = ) > x1 = , x2 = 7.
Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X1 = X2 = 7, X3 = 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12 + 2bx1 +с = 0.
> x1,2 = ). При равенстве трех корней имеем = 0
> x1,2,3 = - .
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
> ( x1 + x2 + x3 ) = - b. При x = x1 = x2 = x3 > 3 x = - b > x = - .
Пример 12 Дано уравнение
x3 - 24x2 + 183x - 448 = 0 > b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
->D1 = - [4(549 - 576)3+(- 27648 + 39528 - 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
-> 1188= 4•9•33 = 4•36•
2. Пусть h2 =
> = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 • h2 > [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 = 36 > [(g1 - g2 )2 - h2 ] = ± 6
> (g1 - g2 )2 = - 6 + = > g1 - g2 = ± .
Второе уравнение ( x1 + x2 + x3 ) = - b > (g1 + g2 + h + g2 - h) = - b > g1 + 2g2 = 24
Таким образом, имеем два уравнения g1 - g2 = ± и g1 = 24 - 2g2 .
> 24 - 2g2 - g2 = ± > g2 = = > g2 = > g1 = 24 - 2g2 > g1 = 24 - 17> g1 = 7
> X1 = 7, X2 = ( 17 + ), X3 = ( 17 - )
Задача решена!
Внимание! В данном примере имеет место множитель в значениях X2 и X3. Этот случай обусловлен следующим
1. Разделим исходное уравнение x3 - 24x2 + 183x - 448 = 0 на (x - 7)
> = - x2 + 17x - 64> x3 - 24x2 + 183x - 448= (x - 7)•( x2 - 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2. В уравнении x2 - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4•36• .
Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.
Размещено на http://www.allbest.ru/
E- Mail: fgg-fil1@narod.ru
Подобные документы
Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.
научная работа [44,3 K], добавлен 25.02.2009Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Приближенные решения кубических уравнений. Работы Диофанта, Ферма и Ньютона. Интерационный метод нахождения корня уравнения. Геометрическое и алгебраическое описания метода хорд. Погрешность приближенного решения. Линейная скорость сходимости метода.
презентация [255,1 K], добавлен 17.01.2011Разложение многочлена на множители. Область допустимых значений уравнения как множество всех действительных чисел. Утверждения, полезные при решении уравнений. Примеры упражнений, связанных с понятием обратной функции, нестандартные методы решения.
контрольная работа [47,7 K], добавлен 22.12.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Решение биквадратных, симметричных и кубических уравнений, содержащих радикалы. Решение уравнений четвертой степени методом понижения степени и разложения на множители. Применение бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений повышенной степени.
презентация [754,7 K], добавлен 29.05.2010Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010
