Уравнения вида f(g(X))=f(h(x)) и нестандартные методы решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное Образовательное Учреждение

«Университетский лицей»

Кафедра математики

Контрольная работа по теме:

«Уравнения вида f(g(X))=f(h(x)) и нестандартные методы решения»

Петрозаводск 2010 год.

Содержание

Вступление

Уравнения вида f(g(X))=f(h(x))

Решение уравнений вида f(g(x))=f(h(x))

Заключение

Список литературы

Вступление

В последние годы издано достаточно много пособий, справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Во многих из них приводятся методы решения уравнений и неравенств, основанные на свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности, периодичности), приложениях производной. Однако примеры, приводимые в пособиях и справочниках, сами обычно имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных приемов. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные. Речь идет об уравнениях вида f(g(x))=f(h(x)).

Уравнения вида f(g(X))=f(h(x))

f(g(x))=f(h(x)), (1)

где f(х), g(х), h(х) - некоторые функции.

Если функция f(х) либо ogax. либо аx, а g(х), h(х) - квадратные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными. Во всех школьных учебниках разъясняется, что в этих случаях решение уравнения (1) сводится к решению уравнения

g(х)=h(х). (2)

Равносильность уравнений (1) и (2) на области допустимых значений уравнения (1) легко доказать, используя строгую монотонность функции f(х).

При решении уравнений вида (1) полезны следующие утверждения:

1. Решения уравнения (2), содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются решениями уравнения (1).

2. Если f(х) - строго монотонная функция, то уравнения (1) и (2) равносильны на области допустимых значений уравнения (1).

3. Если f(х), g(х) и h(х) многочлены, то полином f(g{х))-f(h(x)) делится на многочлен g(х)-h(х).

Утверждение 1 очевидно. Докажем утверждение 2. Пусть функция f(х) строго монотонная, например, строго возрастающая, g(х0) = h(x0) и x0 входит в область допустимых значений уравнения (1). Тогда: если g(х0)>h(x0), то f(g(x0))>f(h(x0)); если g(x0)<h(x0), то f(g(x0))<f(h(x0)). Следовательно, f(g(x0))?f(h(х0)). Это означает, что уравнение (1) не может иметь решений, отличных от корней уравнения (2), содержащихся в области допустимых значений (1).

Решение уравнений вида f(g(x))=f(h(x))

Перейдем к примерам.

1. Решим уравнения:

а) (х2-3)2+3(х2-3)=(х-2)2+3(х-2);

б) (x2+2|х+5|)2-4х2-6|х+5|+3|х|=0;

в) (x2 + x - 2)3 + x2 - 2 = x3.

Решение.

а) Уравнение имеет вид (1), при этом

f(х)=х2+3х, g(х)=х2-3, h(х)=х-2. разделив многочлен

f(g(x))-f(h(х))=(х2-З)2+3(х2-3)-(х-2)2-3(х-2)=х4-4x2+х+2 на многочлен

g(х)-h(х)=х2-х-1, получим х2+х-2. Следовательно, исходное уравнение Равносильно совокупности двух уравнений х2-х-1=0, х2+х-2=0.

Первое уравнение имеет корни, равные (1±)/2; второе уравнение имеет решения, равные 1 и -2. В итоге получаем, что исходное уравнение имеет четыре корня: x1=(1-)/2, x2=(1+)/2, х3=1, х4=-2.

Замечание. Многочлен f(g(х))-f(h(x)) можно разложить на множители следующим образом

f(g(x))-f(h(х))=g2(х)-h2(х)+3(g(х)-h(х))=(g(x)-h(x))(g(x)+h(x)+3).

б) Перепишем уравнение в виде

(х2+2|х+5|)2-3(х2+2|х+5|)=х2-3|х|.

Это уравнение имеет вид (1), причем f(x) = х2 - 3х, g(х) = х2 + 2 |х + 5|, h(x) = |х|.

Так как

f(g(x)) - f(h(x)) = g2(x) - h2(х) - 3(g(х) - h(х)) = (g(х) - h(x)) (д(х) + h(х) - 3), то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений х2 + 2|х+5| = |х|, х2 + 2|х + 5| = 3- |х|.

Эти уравнения не имеют решений. Действительно: если |х|?1, то |х + 5| ? 4; если |х| > 1, то х2 > |х|; поэтому х2 + 2|х + 5| > |х|. Следовательно, первое уравнение не имеет решений. Если |х| <= 3, то х2 + 2|х + 5| >= 4 и 3 - |х| <= 3. Если же |х| > 3, то х2 + 2|х + 5|> 0, 3 - |х| < 0. Поэтому второе уравнение не имеет решений. Отсюда следует, что уравнение б) не имеет решений.

в) Переписав уравнение в виде

(x2 + x - 2)3 + x2 + x - 2 = x3 + x,

мы увидим, что оно имеет вид (1). При этом

f(х) = х3 + х, g(х) = х2 + х - 2, h(х) = х. Поскольку функция f(х) возрастающая, то уравнение равносильно уравнению

х2 + х - 2 = х.

и, значит, имеет два корня х1 = -, x2 =.

Легко заметить, что утверждение 2 справедливо и в том случае, если функция f(х) строго монотонна лишь на множестве значений функций g(х) и h(х). В некоторых случаях удобно воспользоваться этим замечанием. Приведем примеры.

3. Решим уравнения:

а) (х - 1)4 + 4х - 4 = х2 + 4;

б) sin6х - 3sin2х = cos32х - 3cos2х;

в) (x2 + 2x + 3)3 - 3 (x2 + 2x + 3).

Решение. а) Область допустимых значений уравнения: х ? 0. Легко заметить, что оно имеет вид (1) и

f(х) = х4 + 4х, g(х) = х - 1, h(х) =.

Так как f '(х) = 4 (х3 + 1), то функция f(х) возрастающая при х ? -1. Ясно, что

g (х) ?-1, h (х) ? 0 при х ? 0.

Отсюда получаем: функция f (х) возрастает на множестве значений g (x) и h (х), если х из области допустимых значений уравнения, и, значит, исходно уравнение эквивалентно уравнению х - 1 =.

Полученное уравнение и, следовательно, исходное имеет одно решение х = (3 +)/2.

б) Уравнение имеет вид (1) и

f (х) = x3 - Зх, g (x) = sin2 x, h (x) = cos 2x.

Поскольку f ' (x) = 3(x2 - 1), то функция f (x) убывает на сегменте [-1, 1] и, значит, на множестве значений функций g (х) и h (х). Отсюда следует, что уравнение б) равносильно уравнению sin2 х = cos 2х.

Отсюда получаем, что решениями исходного уравнения будут

х = ± 1/2 arccos 1/3 + рn,

где n - произвольное целое число.

в) Уравнение имеет вид (1), где f (х) = х3 - 3х, g (х) = 2x/(x2 + 1), h (х) = х2 + 2х + 3. Легко заметить, что h (х) ?2 и |g (х)| ?1 при всех x. Поскольку f ' (х) = 3(х2 - 1), то функция f (х) убывает на сегменте [-1, 1] и возрастает на [1,?). Кроме того, f (-1) = 2, f (1) = -2. Отсюда следует, что при всех x - 2 ? f (g(х)) ? 2, f (h(x)) ? f(2) = 2. Значит, исходное уравнение равносильно системе т. е. системе

Решив эту систему, получим, что уравнение имеет единственное решение х = -1.

Если функция f (х) в уравнении (1) четная, то легко убедиться в справедливости следующих утверждений.

1. Если функция f (х) четная, то решения совокупности уравнений

g (х) = h (х), g (х) = -h (х), (3)

содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются корнями уравнения (1).

2. Если функция f (х) четная и строго монотонная при х > 0, то на области допустимых значений уравнение (1) равносильно совокупности уравнений (3). Заметим, что утверждение 2 справедливо и в случае, если функция f (х) четная и строго монотонная как при положительных значениях функций g (х) и h (х), так и при отрицательных значениях этих функций.

Приведем примеры.

4. Решим уравнения:

sin2 х - 2|sin х| = cos2 2х - 2|cos 2х|.

Решение. Уравнение имеет вид (1) и

f (х) = x2 - 2|х|, g (х) = sin х, h (х) = cos 2х.

Ясно, что функция f (х) четная и |g (х)| ?1, |h (х)| ?1 при всех х. Легко заметить, что функция f (х) строго возрастающая на сегменте [-1, 0] и строго убывающая на сегменте [0, 1]. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух уравнений

sin х = cos 2х, sin х = -cos 2х.

Нетрудно видеть, что если х - решение первого уравнения совокупности, то - х - корень второго уравнения. Верно и обратное. Поэтому, решив первое уравнение, получим, что решениями исходного уравнения будут х1 = р/2 + р k, x2 = ± р /6 + р k, где k - произвольное целое число.

Если функция f (х) нечетная, то решение уравнения вида

f(g (x)) + f(h(x)) = 0 (4)

сводится к решению уравнения

f(g (x)) = f(-h(x)).

Приведем примеры.

5. Решим уравнения:

а) (|x| + ) + (3x -1) (|3x - 1| + ) = 0;

б) sin x/(1+2x2) + sin 1/(x2 + x + 2) = 0;

Решение. Область допустимых значений уравнения - множество всех действительных чисел. Легко заметить, что уравнение имеет вид (4), причем

f (x) = х (|х| + (l+х2)1/2), g (х) = х, h (х) = 3х - 1.

Очевидно, что функция f (х) нечетная. Убедимся, что она строго возрастающая. Пусть х1 < x2. Если x1 ? 0, то ясно, что f (x1) < f (х2). Если x1 < 0, х2 > 0. то f (x1) < 0 < f (x2). Если же х1 < x2 < 0, то 0 < -x2 < -x1 и, значит, f (-х2) < f (-x1). Учитывая нечетность функции f (х), получаем, что f (x1) < f (х2). Теперь ясно, что уравнение эквивалентно уравнению х = 1 - 3х, и, следовательно, уравнение имеет единственное решение х = 1/4.

б) Область допустимых значений уравнения - множество всех действительных чисел. Уравнение имеет вид (4) и

f (x) = sin х, g (х) = x/(1+x2), h (х) = 1/(x2 + x + 2).

Ясно, что функция f (х) нечетная. Легко заметить, что |g (х)| < 1/2 . 0 < h (х) < 1 при всех х. Поскольку функция f (х) является строго возрастающей на сегменте [-р/2, р/2] , то уравнение равносильно уравнению

x/(x2+l) = -1/(х2 + х + 2).

После упрощения этого уравнения получим

х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Отсюда следует, что уравнение б) имеет один корень х = -1.

Класс уравнений вида

f(f(x)) = x (5)

так же удобен для отработки нестандартных приемов решений. Уравнения такого же вида давно присутствуют среди олимпиадных задач. Они интересны тем (в отличие от уравнений (1)), что при решении некоторых уравнений данного класса можно воспользоваться свойством непрерывности функции f (х). Отметим следующие утверждения, полезные при решении уравнений вида (5):

1. Корни уравнения

f(x) = x (6)

являются решениями уравнения (5).

2. Если функция f (х) строго возрастающая, то уравнения (5) и (6) эквивалентны.

3. Пусть функция f (х) непрерывна на области определения, которая является промежутком. Если уравнение (6) не имеет корней, то уравнение (5) не имеет решений.

4. Если функция f (х) является многочленом, то полином f (f (x)) - x делится на многочлен f (х) - х.

Утверждение 1 очевидно. Докажем утверждение 2. То, что уравнение (6) является следствием уравнения (5), очевидно: любой корень (5) удовлетворяет (6). (Если f(x0)=x0, то f(f(x0))=f(x0)=x0) Докажем, что любой корень уравнения (6) удовлетворяет уравнению (6). Пусть х0 такое, что f(f(x0))=х0. Предположим, что f(x0) ? х0 и для определенности f(x0)>x0. Тогда f(f(x0))>f(x0)>x0, что противоречит предположению (f(f(x0))=x0). Доказательство утверждения 4 не представляет труда, поэтому мы его опускаем. Докажем утверждение 3.

Пусть функция f (х) непрерывна на области определения D (f), которая является промежутком. Так как уравнение(6) не имеет корней, то функция у = f (х) - х не меняет своего знака на D (f). (В противном случае по теореме о промежуточном значении непрерывной функции уравнение (6) имело бы решения.) Пусть, например, f (х) > х при всех х из D (f). Тогда, подставляя в это неравенство f (х) вместо х, получим f (f (х)) > f (х) и, значит, f (f (x)) > х при всех х из D (f). Следовательно, уравнение (5) не может иметь решений.

Решим уравнения:

а) (х2 - 2|х| + 3)2 - 2|х2 - 2|х| + 3| = х;

б) + +1,8 = 0.

Решение. а) Уравнение имеет вид (5), причем f (х) = х2 - 2|х| +3. Функция f (х) непрерывна на множестве действительных чисел. Легко заметить, что уравнение f (х) = х, т. е. уравнение x2 - 2|х| + 3 = х не имеет решений. Следовательно, по утверждению 4, исходное уравнение не имеет корней.

б) Так как = ,

то, прибавив к обеим частям уравнения х, получим, что уравнение равносильно уравнению вида (6), причем

f (x) = x/(x2+1) + x 0,9

Функция f (х) непрерывна на множестве действительных чисел. Поскольку уравнение f(х)=х, т.е. уравнение

x/(x2 + 1) = -0,9, не имеет решений, то уравнение б не имеет корней.

Заметим, что на занятиях учащиеся при решении этих уравнений не ссылаются на утверждение 3, а фактически воспроизводят его в процессе решения. Например, при решении уравнения, а сперва убеждаются, что f (х) > х при всех действительных числах.

Обобщениями класса уравнений (4) можно считать уравнения вида

f(f(x)/g(x))=xg(x), (7)

где f(x), g(x) - некоторые функции. При g(x)=1 уравнение (7) примет вид (5). Для этого класса уравнений справедливы следующие утверждения, полезные при их решении.

Корни уравнения

f(x)=xg(x), (8)

входящие в область допустимых значений уравнения (7), являются решениями уравнения (7).

Если функция f(x) возрастающая и g(x)>0 или f(x) убывающая и g(x)<0 на области допустимых значений уравнения (7), то уравнение (7) и (8) равносильны на области допустимых значений уравнения (7).

Если функция f(x) является многочленом n-ой степени и g(x) - многочлен, то полином p(x)= делится на многочлен f(x)-xg(x).

Докажем утверждение 3.

Пусть

.

Тогда

=

==

=.

Поскольку многочлен делится на полином f(x)-xg(x) при любом l, то многочлен p(x) делится на f(x)-xg(x).

Решим уравнения:

а) 3-2((3-2x)/(x+2))=(x+2)x;

б) 1-((x-1)/2x)=-2x.

Решение. а) Область допустимых значений уравнения: х? -2. Если положим f(x)=3-2x, g(x)=x+2, то уравнение запишется в виде (7). Решение уравнения после обычных преобразований сводится к решению уравнения

9x+6x-15x-4x+6=0, (*)

левую часть которого обозначим p(x). По утверждению (3) p(x) делится на многочлен (f(x)-xf(x))=3x+2x-3. Частное равно 3x-2. Поэтому уравнение (*) равносильно совокупности двух уравнений

3x+2x-3=0; 3x-2=0.

Решив эти уравнения, получим, что уравнение а) имеет четыре корня x=-(1+)/3; x=(-1+)/3; x=-; x=.

б) Область допустимых значений уравнения: х?0. Положим

f(x)=1-x, g(x)=-2x,

замечаем, что уравнение имеет вид (7).

Так как функция f(x) убывающая на множестве действительных чисел и g(x)<0 на области допустимых значений уравнения, то уравнение равносильно f(x)=xg(x), т. е. уравнению

1-x=-2x.

Следовательно, уравнение б) имеет одно решение х=-1.

С уравнениями (5) и (7) тесно связаны уравнения вида

f(x)=f(x), (9)

f(x)/g(x)=f(xg(x)), (10)

где f(x), g(x) - некоторые функции и f(х) - функция, обратная к функции f(х). Так как f(f(х))?x, то решения уравнений (9), (10) являются корнями уравнения (5) (соответственно, (7)). Интересно, что уравнения вида (9) встречались среди конкурсных задач на экзаменах в ведущие вузы, и их решения обсуждались в методической литературе, но без явного использования понятия обратной функции. Учитывая, что задачи и упражнения, связанные с понятием обратной функции, редко встречаются в методической литературе, то решения уравнений вида (9) и (10) полезны в физико-математических лицеях и в классах с углубленным изучением математики. Приведем примеры.

9. Решите уравнения:

а) х3 + 1 = 2*,

б) (3 - 2х2)/(х + 2) =.

Решение. а) Область допустимых значений уравнения - множество всех действительных чисел. Перепишем уравнение в виде (х3 + 1)/2 = (*) и положим у= f (х) = (х3 + 1)/2. Отсюда легко заметить, что х =. Следовательно, в первой части уравнения (*) стоит функция, обратная к функции f(х) и, значит, уравнение (*) имеет вид (10). Поскольку функция f(х) возрастающая, то уравнение (*) равносильно уравнению f(f (х)) и, значит, уравнению f(х) =х, т. е. уравнению х3 + 1 = 2х. Так как

х3 - 2х + 1 = х (х2- 1) - (х - 1) = (х- 1)(х2+х-1),

то уравнение а) имеет три корня х=1, х=-(1+)/2, х=(-1 + )/2.

б) Область допустимых значений уравнения - это множество решений системы неравенств

Решив эту систему, находим, что область допустимых значений уравнения - это [-3;-2)U [-;1].

Положим y=f(х)=3-2x2, g(х)=х+2.

Так как х=, то уравнение имеет вид (10). Следовательно, его решения сводятся к решению уравнения f(f(x)/g(х))= хg(х), которое нами решено (см. пример 8, а). Поскольку корень х=-(1+)/3 не входит в область допустимых значений исходного уравнения, то уравнение имеет три решения x=(-1+)/3; x= -; x=.

В заключение изучения уравнений, составленных из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, остановимся на уравнениях вида

f(f…(f(x))…)=x (11)

f(f…(f(x))...)=f(x). (12)

где f (х) - некоторая функция, f(x) - функция, обратная к функции f(x) и левая часть уравнений (11) и (12) есть результат действия п раз f на х (n - кратная суперпозиция f). Для уравнения (11) справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 1-3 для уравнения (5). Примеры решения уравнений вида (11) встречаются в математической литературе. Ясно, что решение уравнений (12) сводится к решению уравнений вида (11). Приведем примеры.

10. Решим уравнения:

а) 6+(6+...+(6+х3)3...)3 = , где возведение в куб в левой части уравнения повторяется п раз;

б) 1+(1+...+(1+х2)2...)2 =, где возведение в квадрат в левой части уравнения повторяется п раз.

Решение. а) Нетрудно заметить, что уравнение имеет вид (12), причем f(х) = 6 + х3 (если у = 6 + х3, то х = ). Поскольку функция f(х) возрастающая, то уравнение равносильно уравнению

f(f…(f(x))…)=x

и, следовательно, эквивалентно уравнению f(х) =(x), т. е. уравнению 6+x3 = х.

Отсюда следует, что уравнение а) имеет одно решение х=-2.

б) Уравнение имеет вид (12) и f(х)=1+х2. (Если у=1+х2, то х=.) Поэтому его решение сводится к решению уравнения

f(f…(f(x))…)=x (*)

Поскольку функция f(х) непрерывная и уравнение f(х)=х, т. е. уравнение х2+1=х не имеет решений, то уравнение (*) и, значит, уравнение б) не имеет корней.

Заключение

многочлен множитель уравнение решение

Нестандартные методы решения уравнений вида f(g(x))=f(h(x)) помогают сэкономит время на экзаменах и контрольных при решении этих уравнений. В этой работе мы описали нестандартные методы решения уравнений, используя такие свойства функций, как: монотонность, ограниченность, четность и периодичность, на примере решения уравнений видов: f(g(X))=f(h(x)); f(g (x)) + f(h(x)) = 0; f(f(x)) = x; f(f(x)/g(x))=xg(x); f(x)=f -1(x); f(f…(f(x))…)=x.

Список литературы

1. Рогов О.Б. Твоя научно-исследовательская работа: Информационные материалы для школьников. 2001 г.

2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач 11 класс. 1995 г.

3. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. 1991 г.

Размещено на Allbest.ru