Методы оптимизации при решении уравнений

Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 01.04.2010
Размер файла 170,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:

Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как
то функционал на прямой достигает минимума.
Задание 2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных условиях соответственно:

A

B

t0

tf

x0

xf

a

b

0 1

0 0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Решение
Формируем задачу по исходным данным:
(1)
(2)
Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:
и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3)
(4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
и находим общее решение
(5)
Подставим его в первое уравнение (1):
и находим общее решение:
(6)
Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,:
Таким образом, решение имеет вид:
которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание 3
Для системы, описываемой уравнениями
с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

A

B

t0

tf

x0

xf

g0

a

b

0 1

0 0

0

1

0

t

1

0

x1(tf) = -tf2

0

0

1

Решение. Формулируем задачу по исходным данным
(1)
(2)
т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,
Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Составим вспомогательную функцию
,
где . Таким образом:
. (7)
Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:

(8)

(9)

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:

(11)

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

(12),

(13)

Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие с учетом (13). Тогда:

(14)

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

,

а подставляя 1-е в третье, получим:

Таким образом, решение имеет вид:

Задание 4

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

A

B

t0

tf

F

a

b

0 1

0 0

0

1

0

?

0

1 0

0 2

1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

(1)

- не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)

(2)

(3)

(4)

Из (3) находим:

(5)

Подставим (5) в (4)

(6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

(7)

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

(8)

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

(9)

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:

(10)

(11)

(12)

Если , то S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.

Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:

А

В

t0

tf

х0

xf

|u|

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

0

1

0

0

0

x1max

0

0

1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным:

(4)

Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

(5)

(6)

(7)

Поскольку - подвижна, то используем условие трансверсальности:

Но из (5) видно, что 1 = С1 С1 = 1. Тогда из (7) видно, что 3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень 3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:

Тогда, поскольку 3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать

(8)

Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

(9)

Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:

(10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

(11)

Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:

Используем непрерывность при и :

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

(12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение
.
Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):
Тогда t1 из (12) равно
и, наконец,
Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
(15)
Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:
Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.
Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:
где
.
Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2B):
Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);

.

Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание 7

Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

A

B

Q

R

0 1

1 0

1

0

1 0

0 0

1

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где

,

причем матрица >0 (положительно определена).

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим:


Подобные документы

  • Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.

    контрольная работа [51,5 K], добавлен 05.01.2016

  • Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.

    контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012

  • Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010

  • Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.

    реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011

  • Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.

    контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014

  • Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

    практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

    контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011

  • Суть модифицированного метода Эйлера. Определение интерполяционного многочлена. Выведение формулы трапеций из геометрических соображений. Применение для расчетов интерполированного полинома Ньютона. Составление блок-схемы алгоритма решения уравнений.

    курсовая работа [252,7 K], добавлен 14.02.2016

  • Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

    лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.