Методы решения задач Древней Греции

Отдел образования Калинковичского райисполкома

Государственное учреждение образования

"Средняя общеобразовательная школа №1 г.Калинковичи"

Методы решения задач Древней Греции

Научно-исследовательская работа по математике

Автор:

Окуленко Антон Русланович, 7 «В» класс

Руководитель

Самсонова Ольга Григорьевна

учитель математики

г. Калинковичи

2010

Введение

Истоки большинства наук, изучаемых в школе, затерялись в далёком прошлом. Своим развитием, накоплением положительных знаний науки обязаны созерцательному и пытливому уму человека, который стремился познать великие тайны науки. Наш век - это век техники, компьютеров, мобильных телефонов, новейших технологий. Мы настолько привыкли к окружающему нас миру предметов, что воспринимаем их как нечто само собой разумеющееся. Всё это дело ума и рук человека. Все науки развивались постепенно и зарождались в далеком прошлом. Без знания прошлого невозможно понять настоящее.

Шло время - века, тысячелетия. Жизнь не стояла на месте. С развитием человечества появляется потребность передавать известия друг другу, писать, считать. Так в далёком прошлом постепенно зарождалась математика.

Греция интересна не только своей природой, но и историческим прошлым. Культ античной Греции - культ совершенного человека. Истории известно, что древние греки были хорошими скульпторами, поэтами, философами и математиками. В древней Греции возникло разделение на математику и математику прикладную. Меня очень заинтересовали задачи древней Греции, и я решил некоторые из них решить. В книге Чистякова В.Д. «Старинные задачи по элементарной математике» я нашёл задачи древней Греции, и они оказались в решении от простых до очень сложных. Некоторые задачи я не смог решить, потому что они были очень трудными. Я пришел к выводу, что ученые-математики древней Греции были крупнейшими математиками в далеком прошлом и задачи, составленные ими интересны и в наши дни.

Теоретическая часть

Первыми учителями древних греков были египтяне. В VІІ в. до н.э. иностранным путешественникам был открыт доступ в Египет. Этим широко пользовались ученые древней Греции. Примерно с ІV в. До н. э. древние греки стали на путь самостоятельных изысканий по математике и достигли в этом направлении значительных успехов, особенно по геометрии. Древние греки интересовались не только вопросами элементарной геометрии, но и заложили основы высшей геометрии.

Пифагор родился на острове Самосе около 570 г. до н.э. и умер в 500г. до н.э.

В 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года. Затем оказывается в Вавилоне, где пробыл ещё 12 лет. В 56-летнем возрасте возвращается на родину, где соотечественники признали его мудрым человеком. На родине Пифагор создает свою школу. Система обучения была сложной, многолетней. Желающие приобщиться к знанию должны пройти испытательный срок от трех до пяти лет. Все это время ученики обязаны хранить молчание и только слушать Учителя, не задавая никаких вопросов. В этот период проверялись их терпение, скромность. Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую "пифагорейскую гамму" и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи "гармонии мира" и "музыки сфер", впоследствии приведшие к революции в астрономии. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики - теории чисел. Все числа пифагорейцы разделяли на две категории - четные и нечетные. Пифагорейцы знали также совершенные и дружественные числа. Совершенным называлось число, равное сумме своих делителей. Дружественные - числа, каждое из которых - сумма собственных делителей другого числа.

Многое сделал ученый и в геометрии. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. Значительных успехов в теории чисел достиг Пифагор и его ученики. После распада пифагорейского союза ученики Пифагора рассеялись по различным городам Греции. Теорема Пифагора входит во все курсы элементарной геометрии как одна из основных теорем. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

В области алгебры, в частности в решении неопределённых уравнений, много сделал Диофант, живший на рубеже ІІ-ІІІ вв. н.э. в Александрии. Он улучшил алгебраические методы путем введения первых буквенных алгебраических обозначений и символического изображения уравнений. Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями . Это, например, уравнения:

3х+5у=7;

х²+у² =z²;

4x³+ 3y³=5z³.

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего способа нет.

Книга Диофанта «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней. В честь Диофанта назван кратер на Луне.

О жизни Метродора, составителя задачи о жизни Диофанта , ничего неизвестно , нет сведений о времени его жизни и смерти. В историю математики древней Греции он вошел как автор задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборники и имели в своё время большое распространение.

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике -- способы измерения важнейших геометрических фигур. Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. Работы его дошли до нас не полностью. Из его работ известны "Механика", "Книга о подъемных механизмах", "Пневматика", "Книга о военных машинах", "Театр автоматов", "Метрика".

В лучшей из них "Метрике" даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды, приводится так называемая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, встречающаяся у Архимеда, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. Содержание математических трудов Герона догматично, правила чаще всего не выводятся, а поясняются на примерах. Это сближает труды Герона с работами математиков Древнего Египта и Вавилона. Влияние работ Герона можно проследить в Европе вплоть до эпохи Возрождения.

Практическая часть

Задачи Диофанта.

№1 Решить систему:

х+у =10,

х²+у² =68.

Решение.

х=10-у,

(10-у)² +у²=68,

х=10-у,

100-20у+ у²+у² =68.

Решаем отдельно квадратное уравнение.

2у²-20у+32=0;

D=25-16=9, у₁=2,у₂=8.

Подставляя значения у₁ и у₂ в уравнение х==10-у, получим х₁=8, х₂=2.

Ответ: 8 и 2.

№2 . Найти два числа, сумма которых 20, а произведение 96.

Решение:

1способ.

Пусть х -первое число, у - второе число.

Составим систему уравнений:

х+у=20,

х·у=96;

х= 20-у,

(20-у)·у=96;

х= 20-у,

20у-у²-96=0;

Решаем отдельно квадратное уравнение.

20у-у²-96=0;

У²-20у+96=0;

D=100-96=4;

у₁=12, у₂=8.

Подставляя значения у₁ и у₂ в уравнение х = 20-у ,получим, х₁=8, х₂=12.

Ответ: 8 и 12.

2способ.

Пусть х -первое число, тогда 20-х -второе число.

По условию задачи составляем уравнение:

(20-х)·х=96;

20х-х²-96=0;

х²-20х+96=0;

D=100-96=4;

х₁=12,х₂=8.

Подставляя значения х₁ и х₂ в 20-х ,получим, у₁=8, у₂=12.

Ответ: 8 и 12.

№3. Найти два числа, отношение которых 3 , а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Решение: Пусть х -первое число, у - второе число.

Составим систему уравнений:

х/у=3,

(х²+у²) / (х+у)=5;

х=3у,

(3у)² +у²= 5(3у+у);

10у²- 20у=0,

х=3у.

у (у-2)=0, у?0,

х=3у;

у=2,

х=6.

Ответ: 2 и 6.

№4. Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе - 27 , суммы второго с третьим на первое - 32.

Решение. Пусть х -первое число, у - второе число, z -третье число.

Составим систему уравнений:

( х+у)•z=35,

(х+z)•у=27;

(у+z)•х=32;

 хz+уz =35,

ху+zу=27;

ух+zх=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

27-zу+ 35-уz=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

30-2zу=0;

хz=20,

ху =12;

zу=15;

х= 20/z,

х=12/у;

у=15;

20/z=12/у,

х=12/у;

у=15;

у= 3/5z,

х=12/у;

z•3/5z=15;

у= 3/5z,

х=12/у,

z²= 15: 3/5;

х= 4,

у=3;

z =5.

Ответ: 4, 3 и 5.

Задачи из « Греческой антологии»

№1.

Ослица и мул шли бок обок с тяжелой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. «Чего ты жалуешься?» - ответил ей мул.- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет в двое тяжелее твоей. А вот если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей.

Решение.

1 способ

Пусть х - количество мешков ослицы, у - количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у-2х=-3,

у=2+х;

2+х-2х=-3,

у=2+х;

х=5,

у=2+х;

х=5,

у=7.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

2 способ.

Пусть х - количество мешков ослицы, у - количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

 у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у=2х-3,

у=2+х.

Решаем графическим способом.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

3 способ.

Пусть х - количество мешков ослицы, у - количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у-2х=-3,

у-х=2.

Используем метод Крамера.

х=?х: ?, у=?у: ?.

?==-1+2= 1

?х==2+3=5

?у==3+4=7

х=5:1=5; у=7:1=7.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

№2.

-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушают твои беседы?

-Вот сколько, - ответил философ, половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того есть еще три женщины.

Решение.

1 способ.

1) 1/2+1/4+1/7=25/28 (часть посещает школу)

2) 1-15/28= 3/28 (ч)

3) 3: 3/28=28 (учеников)

Ответ: 28 учеников.

2 способ.

Пусть х -число человек, которые посещают школу.

По условию задачи составляем уравнение:

1/2х +1/4х+ 1/7 х +3=х;

24/28х+3=х;

х-24/28х=3;

3/28х=3;

х=28(учеников).

Ответ: 28 учеников

№3.Найти два числа, отношение которых 3, отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно5.

Решение.

Пусть х -первое число, у - второе число.

Составим систему уравнений:

х:у=3,

(х²+у²): (х+у) =5;

х=3у,

( (3у)² +у²) : (у+3у)=5,

х=3у,

10у² : 4у=5,

х=3у,

у²- 2у=0,

Решаем отдельно квадратное уравнение у²- 2у=0, у(у-2)=0, у₁₌0 (не удовлетворяет условию задачи) , у=2.

Тогда х = 3·2=6.

Ответ:6 и 2.

№4.

Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:

«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»

«Яблок я нёс с Геликона немало, - Эрот отвечает, -

Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио

Пятую долю взяла. Талия - долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена.

Четверть взяла Терпсихора,

С частью седьмою Эрато от меня убежала.

Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать

Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.

Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.

Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.

Решение.

1 способ.

Пусть х -количество всех плодов.

По условию задачи составляем уравнение:

1/12х+1/5+1/8х+1/20х+1/4х+1/7х+30+120+300+50=х;

х - 715/840 х=500;

125/840 х=500;

х =500:(25/168);

х = 3360(яблок)

Ответ: 3360яблок.

2 способ.

1) 1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840(ч)

2) 1- 715/840=125/840=25/168(ч)

3) 30+120+300+50=500(я)

4) 500:(25/168)=3360(яблок).

Ответ: 3360яблок.

Задача Метродора

На памятнике древнегреческому математику Диофанту есть следующая запись, известная под названием задача Метродора.

Здесь погребен Диофант, и камень могильный

При счете искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим -перед нами очаг Гименея.

Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.

Но горе ребенку! Едва половину он прожил

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение.

1способ.

1) 1/6+1/12+1/7+1/2=75/84 (ч)

2) 1- 75/84=9/84 (ч)

3) 5+4=9 (л)

4) 9: 9/84 = 84(г)

Ответ:84 года.

2 способ.

Пусть х - лет Диофанту.

По условию задачи составляем уравнение:

1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х;

75/84х+9=х;

х -75/84х =9;

9/84х=9;

х=84(г).

Ответ:84 года.

Заключительная часть

В написании этой работы я познакомился с новыми математическими терминами, такими как квадратное уравнение, дискриминант, нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера. Я научился решать квадратные уравнения, составлять системы уравнений. Познакомился с задачами древней Греции и самостоятельно изучил научно-популярную литературу по математике и истории возникновения математики. В тоже время мне пришлось ознакомиться с жизнью и творчеством Пифагора, Диофанта, Фалеса. Работа для меня была интересной, увлекательной и немного сложной. Думаю, что в дальнейшем я расширю свои знания в области математики, продолжу изучение этой темы. Считаю, что мои знания позволят, мне решать более сложные задачи древней Греции. Полагаю, что когда-нибудь я смогу решить диофантовы уравнения более высоких степеней.

Я сейчас изучаю интересную и важную науку - математику. Математика проникла во все отрасли знаний. Не зная которой, нельзя надеяться, что можно достигнуть какого-то успеха в химии, биологии, физике и других науках. Уходит в глубину веков история развития математики, но невозможно забыть её творцов и их труды. Хотелось бы закончить свою работу словами А.П. Баратянского: «Я желал более успеть в математиках и вообще в точных науках».

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. -М.: Педагогика. 1985. -352 с., ил.

2. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Изд. 3-е, испр. Мн., « Вышэйш. Школа», 1978.272 с. с ил.

3. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. -2-е иэд., испр. и доп. -Мн.: Выш.школа,1979. -368 с., ил.

4. Коренькова А.С. Путешествие и мир графических изображений /А.С. Коренькова, И.Е. Августинович. -Минск: Нац.ин-т образования, 2009. -72с.