Нахождение действительных корней приведённого квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

2

Тогурская средняя общеобразовательная школа

Реферат

Нахождение действительных корней

приведенного квадратного уравнения

с помощью циркуля и линейки

Выполнили:

Курганская Наталья,

Улыбина Нина.

Руководитель:

Скворцов А.П.

Тогур - 2006

Оглавление

Введение

Главная часть: “Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки”.

1. Исследование.

2. Построение:

а) задание 1. Решение уравнения x?-8x+15=0;

б) задание 2. Решение уравнения x?-2x-15=0;

в) задание 3. Решение уравнения x?+8x-20=0;

г) задание 4. Решение уравнения x?+8x+12=0;

д) задание 5. Решение уравнения x?-6x+9=0;

е) задание 6. Решение уравнения x?-10x=0;

ж) задание 7. Решение уравнения x?-9=0.

Заключение.

Приложение

Литература.

Введение

Графическое изображение функций, как известно, дает возможности легко отыскивать приближенное решение любого уравнения с одним неизвестным. Одним из таких способов является следующий. Чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным, можно, перенеся все члены в левую часть, представить его в виде f(x)=0. Строим график функции y=f(x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс будут корнями данного уравнения. Однако, как правило, в школе графики строятся по точкам, от руки, поэтому точность нахождения решений уравнений сравнительно невелика. Это касается и графического решения квадратного уравнения ax?+bx+c=0, графиком которого является парабола y=ax?+bx+c, которую, как правило, в школе чертят по точкам, и поэтому решения квадратного уравнения ax?+bx+c=0 являются не очень точными. Мы же нашли свой графический метод нахождения корней квадратного уравнения нигде нами не встречаемый. Он основан на замене параболы окружностью, которая пересекала бы ось абсцисс в тех же точках, что и парабола. Окружность строится легко и почти без погрешностей с помощью циркуля, а потому решение квадратных уравнений таким графическим способом является более точным и быстрым.

Так как любое неприведенное квадратное уравнение ax?+bx+c=0 (где а?1, а?0) легко переводится в приведенное квадратное уравнение x?+px+q=0 простым делением обеих частей не приведенного квадратного уравнения на первый его коэффициент а, то в своей работе мы покажем графический метод нахождения корней именно приведенного квадратного уравнения x?+px+q=0, у которого согласно теореме Виета, , ·= q, где p и q коэффициенты, и - корни квадратного уравнения.

Таким образом задача сводится к нахождению окружности (ее радиуса R и место расположения центра Оґ окружности, то есть его координат на координатной плоскости xoy), пересекающей ось абсцисс в тех же точках что и парабола, уравнение которой y= x?+px+q.

В решении данной задачи поможет нам работа по геометрии учащихся ТСОШ Кривобок Евгения и Бердникова Евгения: “Реферат “Построение с помощью циркуля и линейки отрезка равного произведению или отношению двух других отрезков” Тогур-2005”.

Напомним главные идеи в этой работе:

1. Определение:

Пусть m и n длины двух отрезков, выраженных через произвольно выбранный единичный отрезок, тогда произведением данных отрезков называется отрезок, длина которого равна произведению длин этих отрезков, то есть mn, выраженная через тот же единичный отрезок.

Пусть единичный отрезок

m=4,

n=3

(Рис.1)

и на оси абсцисс ox ОА=m=4, АВ=n=3, точка С является точкой пересечения прямой y=mx-m? (то есть y=4x-16) с перпендикуляром ВС к ox, то:

1. Отрезок ОВ=7 -- отрезок, равный сумме данных отрезков m и n, то есть ОВ=m+n=7.

2. Отрезок СВ=12 -- отрезок, равный произведению отрезков m и n, то есть СВ=m·n=4·3=12.



Рис.1

Примечание: Здесь и далее каждое действие может быть выполнено либо циркулем, либо линейкой; отсутствие циркуля упрощает чтение чертежа.

Главный вывод: точка С -- точка пересечения прямой АС с перпендикуляром ВС к ox имеет следующие координаты С (m+n; m·n).

Именно это обстоятельство позволяет найти геометрический метод нахождения действительных корней квадратного уравнения (с помощью циркуля и линейки).

Тема: “Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки”.

1. Исследование

Действительно, если предположить, что отрезки m и n являются решениями некоторого полного приведенного квадратного уравнения

x?+px+q=0, (1)

где по теореме Виета m+n=-p и m·n=q, то, отложив на оси ox отрезок ОВ=|-p|, а на перпендикуляре ВС к оси ox отрезок ВС=|q|, попытаться на ox найти положение точки А, через которую проходит прямая АС, уравнение которой y=mx-m?. Определив положение точки А, можно определить и корни квадратного уравнения x?+px+q=0, которым будут являться отрезки ОА=m и АВ=n.

Каким же способом можно определить положение точки А на ox?

Очевидно положение точки А на ox определяется точкой пересечения прямой

y=mx-m? и осью ox, то есть прямой, проходящей через точку С на плоскости xoy, принадлежащей перпендикуляру ВС к ox, а для этого надо знать под каким углом к ox надо проводить эту прямую через точку С. А это очень сложная задача, так как для каждой произвольной точки С плоскости xoy существует определенный угол наклона прямой к оси ox, проходящей через эту точку С.

Попробуем подойти к решению данной проблемы несколько с другой стороны, то есть не со способа определения угла наклона прямой АС к оси ox. Дополним наш рисунок 1 прямой y=nx-n?, то есть для n=3 прямой уравнение которой y=3x-9 (Рис.2).



Рис.2

Эта прямая пересекает ox в точке А1, такой что ОА1=n=3, откуда следует, что А1В=ОВ-ОА1=7-3=4=m, то есть А1В=m=4.

Далее отметим на оси oy точку D(0;1), проведем A1D и AD и измерим транспортиром углы DA1С и DAС, оказалось, что они равны 90°, то есть DA1С=DAС=90° . Это наводит на мысль, что точки D, A1, A и С принадлежат окружности, а данные прямые углы опираются на диаметр CD этой окружности. Центр Oґ данной окружности находиться на середине диаметра CD, координаты которого легко вычисляются, если на рисунке 2 провести и самою окружность и ее диаметр с центром Oґ. Действительно окружность с центром в точке Oґ прошла через точки A1 и A (по крайне мере на глаз это видно четко).

Однако надо математически доказать, что данная окружность действительно пройдет через точки A1 и A.

Теперь, что касается координат точки Oґ - центра окружности, абсцисса ее равна

==

(то, что абсцисса равна - это следует из теоремы Фалеса: CD и ОВ пересекаются параллельными oy, OґK, и BC, а OґD= OґC=R - радиус окружности).

Ордината ее равна, учитывая, что точка М - точка пересечения окружности с перпендикуляром ВС к ox и ВМ=ОD=1единице (это доказывается ниже):

EM+BM= +BM=+BM===,

так как ВС=q=mn (то, что ЕМ=, это следует из теоремы о диаметре перпендикулярном к хорде, который эту хорду делит пополам).

Итак, по-нашему предположению координаты центра Oґ окружности, проходящей через точки D, M, C и точки А1, А (это надо еще доказать) следующие:

Oґ(;).

Доказательство 1

Докажем, что ВМ=ОD=1единице.

Дано: (рисунок 3)

CD - диаметр окружности с центром Oґ и радиусом R.

D(0;1) - точка пересечения окружности с oy (oyox).

М - точка пересечения окружности с BC, где BC¦oy.

Доказать: ВМ=ОD=1.

Доказательство.

1. Проведем DM; угол CMD=90°, так как он опирается на диаметр окружности. Отсюда следует, что BCDM.

2. ОD=DM, так как они являются противоположными сторонами прямоугольника OBMD, так как oyox, BC¦oy, следовательно BCox, BCDM.

3. Так как D(0;1), то ОD=1 ВМ=ОD=1.

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2

Докажем, что окружность с центром Oґ(;) и радиусом R (OґС) (Рис.3) пересекает ось ox в точках A1 и A, то есть в тех же точках, что и парабола y=x?+px+q.



Рис.3

Дано:

Oґ(;) - центр окружности.

R=OґC - радиус окружности.

Парабола y=x?+px+q, пересекающая ось ox в точках A1 и A.

Доказать: окружность пересекает ось ox в точках A1 и A.

Доказательство 2

а) Докажем, что радиус R окружности (рисунок 3) равен:

R=.

Известно, что общее уравнение окружности (x-a)?+(y-b)?=R?, где a (абсцисса) и b (ордината) - координаты центра Oґокружности, R - радиус окружности. Так как координаты Oґ нам известны, радиус R окружности можно вычислить, то мы сможем записать и уравнение нашей окружности.

Определим радиус R окружности. На рисунке 3 проведем радиус OґF параллельный ox и отметим точку E пересечения радиуса OґF с хордой CM. Нами было уже отмечено, что

CE=CE===.

Из подобия треугольников ?OґEC и ?DMC следует, что OґE=, так как R=OґC=. Следовательно,

OґE===.

Итак, в прямоугольном треугольнике ?OґEC катеты равны: CE=; OґE=. Отсюда следует, по теореме Пифагора гипотенуза

R=OґC===, то есть



2

b) Докажем, что наша окружность пересекает ox в тех же точках (A1 и A), что и парабола y=x?+px+q.

Итак, уравнение окружности (x-a)?+(y-b)?=R?

(x-())?+(y-())?= (2)

Так как отрезки m и n, являющиеся корнями квадратного уравнения, лежат на оси ox, то и точки A1 и A, ограничивающие эти отрезки, тоже лежат на ox, когда их ординаты равны 0, то есть y=0.

И вот теперь, если подставить в уравнение 2 окружности y=0, мы получим квадратное уравнение 1 x?+px+q=0. То это значит, что наша окружность пересекается с параболой y=x?+px+q как раз на оси ox (когда y=0) в точках A1 и A, абсциссы которых численно равны m и n и являются решениями квадратного уравнения x?+px+q=0.

Итак, подставив в уравнение 2 окружности y=0, получим

(x+)?+(-)?=()

x?+px+q=0 (1)

окружность пересекает ось ox в точках A1 и A, абсциссы которых являются решениями квадратного уравнения x?+px+q=0.

А это в свою очередь подсказывает метод построения отрезков m, равное OA, и n, равное OA1, длины которых являются корнями квадратного уравнения x?+px+q=0.

Для этого мы должны начертить дугу окружности

2

пересекающую ось ox или ее касающей в точках, абсциссы которых соответствуют корням квадратного уравнения x?+px+q=0.

Примечание: доказав, что существует окружность, которая действительно может пересекать ox в точках A1 и A, абсциссы которых являются решениями квадратного уравнения, мы тем самым подтвердили правильность наших предположений:

1. Угол DA1C=DAC=90° (рисунок 2).

2. Эти углы опираются на диаметр окружности CD.

2. Построения

Примечание: 1. Используется линейка односторонняя, без делений.

2. Задается отрезок единичной длины

3. Если в уравнении x?+px+q=0

а) p<0, то отрезок, численно равный , откладывается по оси ox вправо от начала координат;

б) p>0, то отрезок, численно равный , откладывается влево по оси ox от начала координат;

в) q>0, то отрезок, численно равный , откладывается в I и II четвертях координатной плоскости xoy;

г) q<0, то отрезок, численно равный , откладывается в III и IV четвертях координатной плоскости xoy.

Это связано с расположением корней квадратного уравнения на оси ox и с теоремой Виета: ; ·.

Задание 1: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение , где

Дано:

- единичный отрезок

, p<0, q>0

=8

=15

Построить: и .

Определить: и .



Построение (Рис.4)

Рис.4

1. Строим прямоугольную систему координат xoy с масштабом, равным единичному отрезку.

2. На ox отложим вправо от O отрезок OB=, так как p=-8<0.

3. Строим BCox, где BC=, в I четверти координатной плоскости, так как q>0.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (3;0), (5;0).

Следовательно:

а) корнями квадратного уравнения являются =3, =5, так как эти числа являются абсциссами точек пересечения окружности с осью ox;

б) корнями квадратного уравнения являются численные значения длин отрезков и , то есть , а .

Квадратное уравнение решено.

Примечание: Численные значения длин отрезков A2B и A1B тоже являются решениями нашего квадратного уравнения, так как это следует из наших рассуждений и построений.

Задание 2: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение , где ,.

Дано:

- единичный отрезок

, p<0, q<0

=15

Построить: и .

Определить: и .

Построение (Рис.5)



Рис.5

1. Строим xoy с масштабом 1 единица.

2. На ox отложим вправо от O отрезок OB=, так как p=-2<0.

3. Строим BCox, где BC=, в IV четверти xoy , так как q<0.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (-3;0), (5;0).

Следовательно:

а) корнями являются =-3, =5;

б) =-3, =5 (с учетом знаков, то есть местом расположения отрезков на оси ox).

Квадратное уравнение решено.

Задание 3: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение, где.

Дано:

- единичный отрезок

, p>0, q<0

=8

=20

Построить: и .

Определить: и .

Построение (Рис.6)

1. Строим xoy с масштабом 1 единица.

2. На ox отложим влево от O отрезок OB=, так как p=8>0.

3. Строим BCox, где BC=, в III четверти xoy , так как q<0.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (-10;0), (2;0).

Следовательно:

а) корнями являются =-10, =2;

б) =-10, =2 (с учетом знаков, то есть местом расположения отрезков на оси ox).

Квадратное уравнение решено.

Рис.6

Задание 4: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение.

Дано:

- единичный отрезок

, p>0, q>0

=8

=12

Построить: и .

Определить: и .

Построение (Рис.7)

Рис.7

Строим xoy с масштабом 1 единица.

1. На ox отложим влево от O отрезок OB=, так как p=8>0.

2. Строим BCox, где BC=, во II четверти xoy , так как q>0.

3. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

4. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

5. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

6. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

7. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (-6;0), (-2;0).

Следовательно:

а) корнями являются =-6, =-2;

б) =-6, =-2 (с учетом знаков, то есть местом расположения отрезков на оси ox).

Квадратное уравнение решено.

Задание 5: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение.

Дано:

- единичный отрезок

, p<0, q>0

=6

=9

Построить: и .

Определить: и .

Построение (Рис.8)



Рис.8

1. Строим xoy с масштабом 1 единица.

2. На ox отложим вправо от O отрезок OB==6.

3. Строим BCox, где BC=, в I четверти xoy , так как q>0.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность касается ox в точке , совпадающей с точкой , координаты которой (3;0) (3;0).

Следовательно:

а) корнями являются ==3;

б) =3, =3 m=n.

Квадратное уравнение решено.

Примечание: Графический метод нахождения одинаковых корней уравнения x?+px+q=0 (p>0, q>0) аналогично рассмотренному, только все построения проводим во II четверти координатной плоскости xoy, так как p>0, в этом случае оба корня отрицательны и равны друг другу.

Задание 6: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение.

Примечание: Неполным приведенным квадратным уравнением x?+px+q=0 называется уравнение, у которого либо p=0, либо q=0, либо p=q=0.

Дано:

- единичный отрезок

, p<0, q=0

=10

Построить: и .

Определить: и .



Построение (Рис.9)

Рис.9

1. Строим xoy с масштабом 1 единица.

2. На ox отложим вправо от O отрезок OB==10.

3. Так как q=0, то BC= C совпадает с B.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (0;0), (10;0).

Следовательно:

а) корнями являются =0, =10;

б) =0, =10.

Квадратное уравнение решено.

Примечание: Графический метод нахождения корней уравнения , где p>0 аналогичен рассмотренному , только все построения проводятся во II четверти координатной плоскости xoy, так как p>0, в этом случае <0, =0.

Задание 7: С помощью циркуля и линейки решить квадратное уравнение.

Дано:

- единичный отрезок

, p=0, q<0

=9

Построить: и .

Определить: и .

Построение (Рис.10)

1. Строим xoy с масштабом 1 единица.

2. Так как p=0, то OB==0 B совпадает с O - началом координат.

3. Строим BC==10 по оси oy вниз от начала координат O(B) , так как q<0.

4. На oy отложим OD=1 единице, где точка D(0;1).

5. Проводим CD - диаметр будущей окружности.

6. Отмечаем центр Oґ окружности, разделив CD пополам.

7. Проводим окружность с центром в точке Oґ и радиусом R=COґ=.

8. Окружность пересекла ось ox в точке и точке , координаты которых (-3;0), (3;0).

Следовательно:

а) корнями являются =-3, =3;

б) =-3, =3 (с учетом знаков, то есть местом расположения отрезков на оси ox).

Квадратное уравнение решено.

Рис.10

Примечание: Если в уравнении q>0, то построенная окружность ось ox не пересекает и не касается ее, из чего следует, что данное уравнение действительных корней не имеет.

Заключение

В своей работе нами исследовано и показано на конкретных примерах решение приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. Эта работа опирается на другую школьную исследовательскую работу Кривобок Евгения и Бердникова Евгения “Построение с помощью циркуля и линейки отрезка равного произведению или отношению двух других отрезков” (руководитель А.П. Скворцов). Никакой другой специальной литературы по решению квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки мы не использовали и не встречали. Очевидно, ее и нет, как не было, и нет понятия в этой литературе об умножении и делении отрезков друг на друга, на которые главным образом и опирается настоящая работа о решении квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

В данной работе нами было использованы практически все четыре этапа: анализ, доказательство, исследование (в пункте 1 “Исследование”) и построение (в пункте 2 “Построение”).

Главным моментом в нашей работе мы считаем применение уравнения окружности и доказательство того, что всегда можно построить такую окружность, которая бы пересекала ось ox в тех же точках, что и парабола, заданная уравнением. Рассмотренный графический метод нахождения корней квадратного уравнения легок и доступен для учащихся средней школы и поэтому может быть использован на уроках математике в школе.

Этот метод, где используется циркуль, быстр и дает меньшую погрешность при нахождении корней квадратного уравнения, чем метод, основанный на построении параболы по точкам.

И главное, найденный нами метод нахождения действительных корней квадратного уравнения позволяет, оказывается, найти и мнимые корни квадратных уравнений с действительными коэффициентами, но решение названной проблемы не входит в тему данной работы.

Данная работа основана на идеях и разработках нашего руководителя Скворцова Александра Петровича, учителя, ветерана педагогического труда.

ЛИТЕРАТУРА

Кривобок Евгений, Бердников Евгений. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков: Реферат / рук. Скворцов А.П. - Тогур. - 2005.