Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта
Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2011 |
| Размер файла | 46,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = (х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:
(х) = ln x
Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.
Решение
Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом
h = 0,04:
|
x |
(х) = ln x |
|
|
1 |
0 |
|
|
1,04 |
0,039221 |
|
|
1,08 |
0,076961 |
|
|
1,12 |
0,113329 |
|
|
1,16 |
0,14842 |
|
|
1,2 |
0,182322 |
Сплайн-интерполяция таблично заданной функции
1. На отрезке [a, b] задать одномерную сетку
x = {xi / xi = xi -1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b}
и значения yi = f(xi) в узлах сетки xi, i = 0, 1, 2, …, n.
Задать x* (a, b).
2. Положить ai = yj, i = 0, 1, 2, …, n.
3. Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:
Определить значения коэффициентов ci, i = 0, 1, 2, …, n.
4. Определить значения коэффициентов di и bi, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:
di = (ci - ci - 1) / hi, i = 1, 2, …
5. Определить значение индекса 0 < k n из условия x* [xk - 1, xk].
6. Вычислить по формуле
S(x*) = Sk(x*) = ak + bk(x* - xk) + (ck / 2)(x* - xk)2 + (dk / 6)(x* - xk)3.
7. Процесс завершен: S(x*) - результат интерполяции табличных данных в точку x* (a, b).
Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:
|
ai |
bi |
ci |
di |
|
|
0,03922 |
0,96467 |
-1,188280 |
-29,70700 |
|
|
0,07696 |
0,92494 |
-0,798322 |
9,74897 |
|
|
0,11333 |
0,89366 |
-0,765997 |
0,80813 |
|
|
0,14842 |
0,85986 |
-0,92391 |
-3,94780 |
|
|
0,18232 |
0,84138 |
0,00000 |
23,09770 |
Значение функции в точке находится по формуле:
S(x*) = Sk(x*) = ak + bk(x* - xk) + (ck / 2)(x* - xk)2 + (dk / 6)(x* - xk)3
2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта
, , 0 х 1
Решение. Метод Эйлера
- разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода . Метод Рунге-Кутта
дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн
Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:
Метод Эйлера
|
x |
y |
||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0,2 |
0,2 |
1 |
|
|
0,4 |
0,416 |
1.04 |
|
|
0,6 |
0,67392 |
1.1232 |
|
|
0,8 |
1,00639 |
1.25798 |
|
|
1 |
1,45926 |
1.45926 |
Метод Рунге-Кутта
|
i |
= |
|||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0,02 |
0,0202 |
0,040808 |
1,0202 |
|
|
1 |
0,2 |
1,0202 |
0,0408081 |
0,0624363 |
0,0630852 |
0,0866629 |
1,08329 |
|
|
2 |
0,4 |
1,08329 |
0,086663 |
0,112662 |
0,113962 |
0,14367 |
1,19722 |
|
|
3 |
0,6 |
1,19722 |
0,143666 |
0,177667 |
0,180047 |
0,220362 |
1,37713 |
|
|
4 |
0,8 |
1,37713 |
0,22034 |
0,267713 |
0,271977 |
0,329821 |
1,64872 |
|
|
5 |
1 |
1,64872 |
0,329743 |
0,398989 |
0,406607 |
0,493278 |
2,05442 |
3. Найти решение задачи безусловной минимизации (х) min, х R2. Установить множество глобального решения
(х) =
Решение
Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.
Метод сопряженных направлений
1 Начать с точки x(0) = (x1(0), x2(0), …, xn(0))т и n-линейно независимых направлений s(i),
i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e(i), i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.
2 Начиная с точки x(0) осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s(n) и определить точку z(1).
3 Начиная с точки z(1) осуществить последовательно n - 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s(1), а затем из полученной точки в направлении s(2) и т. д. до одномерного поиска в направлении s(n - 1) включительно. В результате этих действий будет определена точка x(2).
4 Начиная с точки x(2) осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s(n) и определить точку z(2).
Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление
s(n + 1) = z(2) - z(1)
будет сопряженным по отношению к направлениям s(n), s(n - 1), …, s(n - k + 1) (для k = 1 - только к направлению s(n)).
5 Начиная с точки z(2) осуществить поиск в направлении s(n + 1) и определить x*.
6 Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.
7 Положить z(1): = x* и s(i): = s(i + 1), i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.
8 Процесс вычислений завершен: x* - точка минимума функции f(x).
Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:
Таблица результатов
|
k |
|||||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
2 |
0 |
-4 |
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
2 |
-2 |
-8 |
Точка (2,-2) - точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.
реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.
курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010
