Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта

Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 18.04.2015
Размер файла 78,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет вычислительной техники

Кафедра "Математика и суперкомпьютерное моделирование"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине математический практикум

На тему: "РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА"

Выполнили: Студент гр.11ФМ1

Галкин С.Н.

Проверил: доцент Долгорев И.А.

Пенза 2015.

Методы Рунге-Кутта

В частном случае n = 1 формула (1) имеет вид

(1)

Этот метод называется методом Эйлера. Можно построить другой класс расчетных формул, к которому принадлежит метод Эйлера. Укажем сначала простейшие методы этого класса, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение y (x) и требуется вычислить значение y (x+h). Рассмотрим равенство

. (2)

При замене интеграла в правой части на величину погрешность имеет порядок ‚ т.е.

.

Поскольку , отсюда имеем

Отбрасывая член порядка и обозначая , получим расчетную формулу Эйлера. Для получения более точной расчетной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл B правой части (2).

Воспользовавшись квадратурной формулой трапеции, получим:

иначе,

, (3)

Соответствующая расчетная формула

(4)

Называется неявной формулой Адамса второго порядка точности. В некоторых случаях, в частности, когда f линейна по y; это уравнение может быть разрешено относительно . Обычно же это уравнение неразрешимо явно относительно , поэтому произведем дальнейшее преобразование алгоритма.

Заменим y (x+h) B правой части (3) на некоторую величину

(5)

Тогда правая часть измениться на величину

где y находится между y* и y (x+h). Вследствие предположения (5) эта величина имеет порядок . Таким образом, при условии (5) имеет место соотношение

Условию (5) удовлетворяет результат вычислений по формуле Эйлера

.

Последние соотношения определяют пару расчетных формул

(6)

При малых h выражение в правой части (4) удовлетворяет условию сжимаемости, поэтому уравнение (4) также можно решать методом простой итерации:

.

Если вычисляется по методу Эйлера.

,

то , получаемое на первом шаге итерации, совпадает с , получаемом по формуле (6). Дальнейшие итерации не приводят к повышению порядка точности по h; B то же время иногда главный член погрешности уменьшается при переходе от к . Если такое уменьшение погрешности компенсирует возрастание вычислительных затрат на шаге, то оно целесообразно.

Можно предложить теоретически обоснованный критерий, позволяющий при малых h выбирать каждый раз наиболее целесообразное число итераций. Однако его использование требует очень большого объема дополнительных вычислений. Поэтому выбор между числом итераций, равным 1 или 2, обычно осуществляется на основе предшествующего опыта, вычислительного эксперимента или просто "волевым" образом.

Построим другую пару формул c погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части (2) заменим по формуле прямоугольников:

,

или, что всё равно,

.Если ,

то, как и в предшествующем случае, имеем

.

B качестве у* можно взять результат вычислений по формуле Эйлера c шагом . Этим соотношениям соответствует пара расчетных формул

метод рунге расчетная формула

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге-Кутта, имеющих следующий вид. В процессе вычислений фиксированы некоторые числа

;

последовательно получаем

и полагаем

Рассмотрим вопрос о выборе параметров . Обозначим . Если f (x,y) - достаточно гладкая функция своих аргументов, то и - гладкие функции параметра h. Предположим, что f (x,y) настолько гладкая, что существуют производные , а выбраны так, что . Кроме того, предположим, что существует некоторая гладкая функция , для которой соответствующее значение . Согласно формуле Тейлора выполняется равенство

где. Величина называется погрешностью метода на шаге, а s - порядком погрешности метода. При q = 1 имеем

здесь и далее y=y (x). Равенство выполняется для всех гладких функций f (x,y) лишь в случае . Этому значению соответствует метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге, согласно (8) получаем выражение

.

Рассмотрим случай q = 2. Имеем

где

Вычислим производную функции :

Согласно исходному дифференциальному уравнению

Подставим в выражения значение h = 0 и воспользуемся этими соотношениями; получим

(9)

Соотношение выполняется при всех f (x,y), если

(10)

соотношение выполняется, если

(11)

Таким образом, при всех f (x,y), если выполнены три указанных выше соотношения (10), (11) относительно четырех параметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различные методы Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости по h. Например, при получаем , что соответствует паре расчетных формул (6). При получаем , что соответствует паре расчетных формул (7).

В случае q = 3 расчетных формул, соответствующих значению s = 4,не существует. Наиболее употребительна совокупность расчетных формул при q=s=3:

У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются непропорциональными. Например, вследствие (8), (9) главный член погрешности формулы (6) равен

, где а у формулы (7)

Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешность дает методом (6), а для второго уравнениям метод (7).

В подобной ситуации рекомендации в пользу того или другого метода должны основываться на "волевом решении", принятом с учетом традиций и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы является довольно неопределенным.

Число различных классов реально i встречающихся дифференциальных уравнений существенно превосходит число задач, на которых производится сравнение методов их численного решения, поэтому суждения "с позиций практики" не всегда объективны. Однако несмотря на такую неопределенность, критерий практики часто несет в себе определенную положительную информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки не может быть формализована или обоснована.

Если исторически первый из методов рассматриваемого класса оказался приемлемым, то в дальнейшем пользователи привыкают к нему. Замена этого метода на другой, даже более эффективный метод требует определенных затрат времени на "привыкание" пользователей к новому методу (а следовательно, и определенных психологических затрат). Чтобы широкий круг пользователей согласился на подобную перестройку, необходимо существенное преимущество нового метода по какой-либо из характеристик.

При дальнейшем рассмотрении для нас будет существенно, что погрешность метода на шаге имеет главный член, а именно справедливо представление вида

Наметим основные этапы доказательства этого соотношения. Предположим, что правая часть и все ее производные до порядка s+1 включительно ограничены равномерно в области .

Тогда также будут равномерно ограничены производные всех решений уравнения до порядка s + 2 включительно. Согласно формуле.

Тейлора соотношение (8) можно записать в уточненной форме

.

Имеем равенство

.

Обе величины и явно выражаются через значения в точке (x,y) функции f и ее производных порядка не выше s; примеры таких явных выражений (при s =2) мы уже получали. Поскольку правая часть дифференцируема s +1 раз, то отсюда следует, что функция дифференцируема в области G и ее производные , и равномерно ограничены в этой области. Аналогично устанавливается, что величина равномерно ограничена при . Таким образом, соотношение (12) имеет место.

Список литературы

1. Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. Численные методы. М., 2002, 632 с.

2. Н. Калиткин. Численные методы. М., 1972,А. Самарский. Введение в численные методы. М.,, 270с.

3. Ю. Тарасевич. Численные методы на Mathcad'е. Астрахань, 2000, 70с.

4. М. Лапчик, М. Рагулина, Е. Хеннер. Численные методы. М., 2004, 384с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.

    курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012

  • Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.

    курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011

  • Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

    практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

  • Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.

    курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012

  • Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010

  • Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.

    курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010

  • Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.

    курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.